उरीसोहन और पूर्ण हॉसडॉर्फ समष्टि

"Urysohn space" redirects here. Not to be confused with Urysohn universal space.

Separation axioms in topological spaces
Kolmogorov classification
T0	(Kolmogorov)
T1	(Fréchet)
T2	(Hausdorff)
T2½	(Urysohn)
completely T2	(completely Hausdorff)
T3	(regular Hausdorff)
T3½	(Tychonoff)
T4	(normal Hausdorff)
T5	(completely normal  Hausdorff)
T6	(perfectly normal  Hausdorff)
History

टोपोलॉजी में, गणित के भीतर एक अनुशासन, एक उरीसोहन स्पेस, या टी_2½ स्पेस, एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसमें किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को बंद पड़ोस द्वारा अलग किया जा सकता है। पूरी तरह से हॉसडॉर्फ़ स्पेस, या कार्यात्मक रूप से हॉसडॉर्फ़ स्पेस, एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसमें किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को एक सतत फ़ंक्शन द्वारा अलग किया जा सकता है। ये स्थितियां पृथक्करण सिद्धांत हैं जो अधिक परिचित हॉसडॉर्फ़ स्थान टी से कुछ हद तक मजबूत हैं₂.

परिभाषाएँ

मान लीजिए कि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है। माना कि X में x और y बिंदु हैं।

• हम कहते हैं कि x और y को बंद पड़ोस से अलग किया जा सकता है यदि x का एक बंद सेट पड़ोस (टोपोलॉजी) U और y का एक बंद पड़ोस V मौजूद है, जैसे कि U और V असंयुक्त सेट हैं (U ∩ V = ∅)। (ध्यान दें कि x का एक बंद पड़ोस एक बंद सेट है जिसमें x युक्त एक खुला सेट होता है।)
• हम कहते हैं कि यदि f(x) = 0 और f(y) = 1 के साथ निरंतरता (टोपोलॉजी) f : X → [0,1] (इकाई अंतराल) मौजूद है तो x और y को एक फ़ंक्शन द्वारा अलग किया जा सकता है।

'उरीसोहन स्पेस', जिसे 'टी' भी कहा जाता है_2½ अंतरिक्ष, एक ऐसा स्थान है जिसमें किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को बंद पड़ोस द्वारा अलग किया जा सकता है।

पूरी तरह से हॉसडॉर्फ़ स्पेस, या कार्यात्मक रूप से हॉसडॉर्फ़ स्पेस, एक ऐसा स्थान है जिसमें किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को एक सतत फ़ंक्शन द्वारा अलग किया जा सकता है।

नामकरण परंपरा

पृथक्करण स्वयंसिद्धों का अध्ययन प्रयुक्त नामकरण परंपराओं के साथ टकराव के लिए कुख्यात है। इस लेख में प्रयुक्त परिभाषाएँ विलार्ड (1970) द्वारा दी गई हैं और अधिक आधुनिक परिभाषाएँ हैं। स्टीन और सीबैक (1970) और कई अन्य लेखक पूरी तरह से हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान और उरीसोहन रिक्त स्थान की परिभाषा को उलट देते हैं। टोपोलॉजी में पाठ्यपुस्तकों के पाठकों को लेखक द्वारा उपयोग की गई परिभाषाओं की जांच अवश्य करनी चाहिए। इस मुद्दे पर अधिक जानकारी के लिए पृथक्करण सिद्धांतों का इतिहास देखें।

अन्य पृथक्करण सिद्धांतों से संबंध

किन्हीं दो बिंदुओं को एक फ़ंक्शन द्वारा अलग किया जा सकता है जिन्हें बंद पड़ोस द्वारा अलग किया जा सकता है। यदि उन्हें बंद पड़ोस द्वारा अलग किया जा सकता है तो स्पष्ट रूप से उन्हें पड़ोस द्वारा अलग किया जा सकता है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक पूर्णतः हॉसडॉर्फ़ स्थान उरीसोहन है और प्रत्येक उरीसोहन स्थान हॉसडॉर्फ़ स्थान है।

कोई यह भी दिखा सकता है कि प्रत्येक नियमित हॉसडॉर्फ़ स्थान उरीसोहन है और प्रत्येक टाइकोनोफ़ स्थान (=पूरी तरह से नियमित हॉसडॉर्फ़ स्थान) पूरी तरह से हॉसडॉर्फ़ है। संक्षेप में हमारे पास निम्नलिखित निहितार्थ हैं:

Tychonoff (T3½)	$\Rightarrow$	regular Hausdorff (T3)
$\Downarrow$		$\Downarrow$
completely Hausdorff	$\Rightarrow$	Urysohn (T2½)	$\Rightarrow$	Hausdorff (T2)	$\Rightarrow$	T1

कोई भी ऐसे प्रति-उदाहरण पा सकता है जो दर्शाता है कि इनमें से कोई भी निहितार्थ उलटा नहीं है।

उदाहरण

सहगणनीय विस्तार टोपोलॉजी सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी और सहगणनीय टोपोलॉजी के मिलन (सेट सिद्धांत) द्वारा उत्पन्न वास्तविक रेखा पर टोपोलॉजी है। इस टोपोलॉजी में सेट खुले सेट हैं यदि और केवल यदि वे फॉर्म यू \ ए के हैं जहां यू यूक्लिडियन टोपोलॉजी में खुला है और ए गणनीय है। यह स्थान पूरी तरह से हॉसडॉर्फ़ और उरीसोहन है, लेकिन नियमित नहीं है (और इस प्रकार टाइकोनॉफ़ नहीं है)।

ऐसे स्थान मौजूद हैं जो हौसडॉर्फ़ हैं लेकिन उरीसोहन नहीं हैं, और ऐसे स्थान हैं जो उरीसोहन हैं लेकिन पूरी तरह से हॉसडॉर्फ़ या नियमित हॉसडॉर्फ़ नहीं हैं। उदाहरण गैर तुच्छ हैं; विवरण के लिए स्टीन और सीबैक देखें।

संदर्भ

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
• Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).
• Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.
• "Completely Hausdorff". PlanetMath.