बीजगणितीय विविधता

This article is about बीजगणितीय विविधता. For शब्द "बीजगणित की विविधता", see विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित).

मुड़ घन एक प्रक्षेपी बीजीय किस्म है।

बीजगणितीय विविधता बीजगणितीय ज्यामिति, गणित के एक उप-क्षेत्र में अध्ययन की केंद्रीय वस्तुएं हैं। मूल रूप से, एक बीजीय विविधता को वास्तविक संख्या या जटिल संख्या पर बहुपद समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है। आधुनिक परिभाषाएँ इस अवधारणा को कई अलग-अलग तरीकों से सामान्य बनाती हैं, मूल परिभाषा के पीछे ज्यामितीय अंतर्ज्ञान को संरक्षित करने का प्रयास करते हुए।

बीजगणितीय विविधता की परिभाषा के संबंध में परंपराएं थोड़ी भिन्न होती हैं। उदाहरण के लिए, कुछ परिभाषाओं के लिए एक बीजीय किस्म को इरेड्यूसिबल होने की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि यह दो छोटे सेट (गणित) का संघ (सेट सिद्धांत) नहीं है जो ज़ारिस्की टोपोलॉजी में बंद सेट हैं। इस परिभाषा के तहत, गैर-अपूरणीय बीजगणितीय किस्मों को बीजगणितीय सेट कहा जाता है। अन्य सम्मेलनों में अप्रासंगिकता की आवश्यकता नहीं होती है।

बीजगणित का मौलिक प्रमेय बीजगणित और ज्यामिति के बीच एक लिंक स्थापित करता है, जिसमें दिखाया गया है कि जटिल संख्या के गुणांक वाले एक चर में एक मोनिक बहुपद (एक बीजगणितीय वस्तु) जटिल तल में इसकी जड़ों (एक ज्यामितीय वस्तु) के सेट द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस परिणाम का सामान्यीकरण करते हुए, हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसैट्ज बहुपद वलय और बीजगणितीय सेटों के आदर्शों के बीच एक मौलिक पत्राचार प्रदान करता है। 'नलस्टेलनसैट्ज और संबंधित परिणामों का उपयोग करते हुए, गणितज्ञों ने बीजगणितीय सेटों और रिंग थ्योरी के प्रश्नों के बीच एक मजबूत पत्राचार स्थापित किया है। यह पत्राचार बीजगणितीय ज्यामिति की एक परिभाषित विशेषता है।

कई बीजगणितीय किस्में कई गुना होती हैं, लेकिन एक बीजगणितीय विविधता में एकवचन बिंदु हो सकते हैं जबकि कई गुना नहीं हो सकते। बीजगणितीय किस्मों को उनके आयाम द्वारा चित्रित किया जा सकता है। आयाम एक की बीजगणितीय किस्मों को बीजीय वक्र कहा जाता है और आयाम दो की बीजगणितीय किस्मों को बीजीय सतह कहा जाता है।

आधुनिक योजना (गणित) सिद्धांत के संदर्भ में, एक क्षेत्र पर एक बीजगणितीय विविधता उस क्षेत्र पर एक अभिन्न (अखंडनीय और कम) योजना है जिसकी संरचना आकारिकी अलग और परिमित प्रकार की होती है।

अवलोकन और परिभाषाएं

एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक संबधित विविधता अवधारणात्मक रूप से परिभाषित करने के लिए विविधता का सबसे आसान प्रकार है, जो इस भाग में किया जाएगा। अगला, एक समान तरीके से प्रोजेक्टिव और अर्ध-प्रोजेक्टिव किस्मों को परिभाषित कर सकता है। एक किस्म की सबसे सामान्य परिभाषा छोटी अर्ध-प्रक्षेपी विविधताओं को एक साथ जोड़कर प्राप्त की जाती है। यह स्पष्ट नहीं है कि कोई इस तरह से वास्तव में विविधताओं के नए उदाहरण बना सकता है, लेकिन न्यायमूर्ति नागता ने 1950 के दशक में ऐसी ही एक नई विविधता का उदाहरण दिया।

एफिन विविधता

Main article: एफ़िन विविधता

बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड K और प्राकृतिक संख्या n के लिए, Aⁿ को K पर एक n-स्पेस ओवर होने दें, जिसे सजातीय निर्देशांक प्रणाली की पसंद के माध्यम से $K^{n}$ से पहचाना जाता है। वलय K[x₁, ..., x_n] में बहुपद  f   को Aⁿ के बिंदुओं पर   f   का मूल्यांकन करके Aⁿ पर K-मूल्यवान फलन के रूप में देखा जा सकता है, अर्थात् प्रत्येक xi के लिए K में मान चुनकर।K[x₁, ..., x_n] में बहुपदों के प्रत्येक सेट S के लिए, शून्य-बिंदु Z(S) को Aⁿ में बिंदुओं के सेट के रूप में परिभाषित करें जो एस में कार्य एक साथ गायब हो जाते हैं, कहने का मतलब है

$Z(S)=\left\{x\in \mathbf {A} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\right\}.$

Aⁿ के उपसमुच्चय V को एफ़िन बीजीय समुच्चय कहा जाता है यदि कुछ S के लिए V = Z(S)। यदि इसे दो उचित बीजीय उपसमुच्चयों के मिलन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। एक इरेड्यूसिबल एफ़िन बीजीय सबसेट को एफ़िन विविधता भी कहा जाता है। कई लेखक किसी भी एफ़िन बीजगणितीय सेट को संदर्भित करने के लिए एफ़िन किस्म वाक्यांश का उपयोग करते हैं, इरेड्यूसबल या नहीं )

बंद सेटों को ठीक एफ़िन बीजीय सेट घोषित करके एफ़िन किस्मों को प्राकृतिक टोपोलॉजी दी जा सकती है। इस टोपोलॉजी को ज़ारिस्की टोपोलॉजी कहा जाता है।

Aⁿ के उपसमुच्चय V को देखते हुए, हम I(V) को V पर लुप्त होने वाले सभी बहुपद फलनों का आदर्श मानते हैं:

$I(V)=\left\{f\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0{\text{ for all }}x\in V\right\}.$

किसी भी एफ़िन बीजगणितीय सेट वी के लिए, वी की समन्वय रिंग या संरचना इस आदर्श द्वारा बहुपद रिंग का भागफल वलय है।

प्रोजेक्टिव विविधता और अर्ध-प्रोजेक्टिव विविधता

Main articles: प्रोजेक्टिव विविधता and अर्ध-प्रोजेक्टिव विविधता

मान लीजिए k एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है और Pⁿ को k के ऊपर प्रक्षेपी n-स्पेस होने दें। मान लीजिए  f  में k[x₀, ..., x_n] घात d का एक समांगी बहुपद है। सजातीय निर्देशांक में Pⁿ में बिंदुओं पर  f   का मूल्यांकन करना अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है। चूंकि,  f  सजातीय है, जिसका अर्थ है कि   f  (λx₀, ..., λx_n) = λ^d f  (x₀, ..., x_n), यह पूछने के लिए समझ में आता है क्या   f   बिंदु [x₀ : ... : x_n] पर लुप्त हो जाता है। सजातीय बहुपदों के प्रत्येक सेट एस के लिए, Pⁿ में बिंदुओं के सेट के रूप में S के शून्य-बिंदु को परिभाषित करें जिस पर S में कार्य गायब हो जाते हैं:

$Z(S)=\{x\in \mathbf {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\}.$

Pⁿ के उपसमुच्चय V को प्रक्षेपी बीजगणितीय समुच्चय कहा जाता है यदि कुछ S के लिए V = Z(S) एक अलघुकरणीय प्रक्षेपी बीजगणितीय समुच्चय को प्रक्षेपी किस्म कहा जाता है।सभी बीजीय सेटों को बंद करने की घोषणा करके प्रोजेक्टिव विविधताओं को ज़ारिस्की टोपोलॉजी से भी लैस किया गया है।

अर्ध-प्रोजेक्टिव विविधता प्रोजेक्टिव विविधता के लिए ज़ारिस्की का एक खुला उपसमुच्चय है। ध्यान दें कि प्रत्येक एफ़िन किस्म अर्ध-प्रोजेक्टिव है। यह भी ध्यान दें कि एक affine वैरायटी में एक बीजगणितीय सेट का पूरक एक अर्ध-प्रोजेक्टिव वैरायटी है; एफ़ाइन किस्मों के संदर्भ में, ऐसी अर्ध-प्रक्षेपी विविधता को आमतौर पर विविधता नहीं बल्कि एक रचनात्मक सेट कहा जाता है।

सार विविधता

मूल बीजगणितीय ज्यामिति में, सभी किस्में परिभाषा के अनुसार अर्ध-प्रक्षेपी किस्में थीं, जिसका अर्थ है कि वे प्रक्षेप्य स्थान की बंद उप-किस्मों की खुली उप-किस्में थीं। उदाहरण के लिए, हार्टशोर्न के अध्याय 1 में एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में विविधता को अर्ध-प्रक्षेपी विविधता के रूप में परिभाषित किया गया है, लेकिन अध्याय 2 के बाद से, शब्द विविधता (जिसे अमूर्त किस्म भी कहा जाता है) जो एक अधिक सामान्य वस्तु को संदर्भित करता है, जो स्थानीय रूप से एक अर्ध-प्रक्षेपी किस्म है, लेकिन जब समग्र रूप से देखा जाए तो जरूरी नहीं कि अर्ध-प्रक्षेपी हो; यानी इसमें प्रोजेक्टिव स्पेस में एम्बेडिंग नहीं हो सकती है। तो मूल रूप से बीजगणितीय विविधता की परिभाषा को प्रोजेक्टिव स्पेस में एम्बेडिंग की आवश्यकता होती है, और विविधता पर टोपोलॉजी और विविधता पर नियमित कार्यों को परिभाषित करने के लिए इस एम्बेडिंग का उपयोग किया गया था। इस तरह की परिभाषा से हानि यह है कि सभी विविधिताएँ प्राकृतिक एम्बेडिंग के साथ प्रक्षेप्य स्थान में नहीं आती हैं। उदाहरण के लिए, इस परिभाषा के तहत, उत्पाद P¹ × P¹ एक किस्म नहीं है जब तक यह प्रोजेक्टिव स्पेस में एम्बेड नहीं किया जाता है; यह आमतौर पर सेग्रे एम्बेडिंग द्वारा किया जाता है। हालाँकि, कोई भी किस्म जो किसी को प्रोजेक्टिव स्पेस में एम्बेड करने की अनुमति देती है, वेरोनीज़ एम्बेडिंग के साथ एम्बेडिंग की रचना करके कई अन्य लोगों को स्वीकार करती है। परिणामस्वरूप, कई धारणाएं जो आंतरिक होनी चाहिए, जैसे नियमित कार्य की अवधारणा स्पष्ट रूप से ऐसा नहीं है।

एक एम्बेडिंग के बिना, एक बीजगणितीय विविधता को सारगर्भित रूप से परिभाषित करने का सबसे पहला सफल प्रयास एंड्रे वेइल द्वारा किया गया था। बीजगणितीय ज्यामिति की अपनी नींव में, वेइल ने मूल्यांकन (बीजगणित) का उपयोग करके एक अमूर्त बीजगणितीय विविधता को परिभाषित किया। क्लाउड शेवेली ने एक योजना की परिभाषा दी, जिसने एक समान उद्देश्य पूरा किया, लेकिन अधिक सामान्य था। हालांकि, अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक की एक योजना की परिभाषा अभी भी अधिक सामान्य है और इसे सबसे व्यापक स्वीकृति प्राप्त हुई है। ग्रोथेंडिक की भाषा में, एक सार बीजगणितीय विविधता को आमतौर पर एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर परिमित प्रकार की एक अभिन्न, अलग योजना के रूप में परिभाषित किया जाता है, हालांकि कुछ लेखक इरेड्यूसिबिलिटी या रिड्यूसनेस या अलगाव की स्थिति को छोड़ देते हैं या अंतर्निहित क्षेत्र को बीजगणितीय रूप से बंद नहीं होने देते हैं। मूल बीजगणितीय विविधता बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर क्वासिप्रोजेक्टिव इंटीग्रल सेपरेटेड परिमित प्रकार की योजनाएं हैं।

गैर-अर्धप्रोजेक्टिव अमूर्त बीजीय किस्मों का अस्तित्व

एक गैर-अद्र्धप्रक्षेपी बीजगणितीय किस्म के शुरुआती उदाहरणों में से एक नगाटा द्वारा दिया गया था। नागाटा का उदाहरण पूर्ण नहीं था (सघनता का अनुरूप), लेकिन जल्द ही बाद में उन्हें एक बीजगणितीय सतह मिली जो पूर्ण और गैर-प्रक्षेपी थी।  तब से अन्य उदाहरण पाए गए हैं; उदाहरण के लिए, एक टोरिक विविधता का निर्माण करना सीधा है जो अर्ध-प्रक्षेपी नहीं है लेकिन पूर्ण है।

उदाहरण

उपवर्ग

एक उपप्रजाति एक किस्म का सबसेट है जो स्वयं एक किस्म है (परिवेश विविधता से प्रेरित संरचना के संबंध में)। उदाहरण के लिए, किसी किस्म का प्रत्येक खुला उपसमुच्चय एक किस्म है। बंद विसर्जन भी देखें।

हिल्बर्ट के Nullstellensatz का कहना है कि एक एफ़िन या प्रोजेक्टिव किस्म की बंद उप-प्रजातियां विविधता के समन्वय रिंग के प्रमुख आदर्शों या सजातीय प्रमुख आदर्शों के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं।

एफाइन किस्म

उदाहरण 1

होने देना k = C, और ए² C के ऊपर द्वि-आयामी एफ़िन स्पेस हो। रिंग C[x, y] में बहुपदों को A पर जटिल मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में देखा जा सकता है² A . के बिंदुओं पर मूल्यांकन करके^{2</सुप>. माना 'C'[x, y] के उपसमुच्चय S में एक ही अवयव है  f  (x, y):}

$f(x,y)=x+y-1.$

का शून्य-ठिकाना  f  (x, y) A . में बिंदुओं का समुच्चय है² जिस पर यह फ़ंक्शन गायब हो जाता है: यह सम्मिश्र संख्याओं (x, y) के सभी युग्मों का समुच्चय इस प्रकार है कि y = 1 - x। इसे एफाइन प्लेन में एक लाइन (ज्यामिति) कहा जाता है। ('शास्त्रीय टोपोलॉजी' में जटिल संख्याओं पर टोपोलॉजी से आ रही है, एक जटिल रेखा आयाम दो का वास्तविक कई गुना है।) यह सेट है Z( f ):

$Z(f)=\{(x,1-x)\in \mathbf {C} ^{2}\}.$

इस प्रकार उपसमुच्चय V = Z( f ) ए का² एक बीजीय किस्म है#Affine किस्म। सेट V खाली नहीं है। यह अपरिवर्तनीय है, क्योंकि इसे दो उचित बीजीय उपसमुच्चयों के मिलन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। इस प्रकार यह एक एफाइन बीजीय किस्म है।

उदाहरण 2

होने देना k = C, और ए² C के ऊपर द्वि-आयामी एफ़िन स्पेस हो। रिंग C[x, y] में बहुपदों को A पर जटिल मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में देखा जा सकता है² A . के बिंदुओं पर मूल्यांकन करके^{2</सुप>. माना 'C'[x, y] के उपसमुच्चय S में एक ही अवयव g(x, y) है:}

$g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.$

जी (एक्स, वाई) का शून्य-लोकस 'ए' में बिंदुओं का समूह है² जिस पर यह फ़ंक्शन गायब हो जाता है, वह अंक (x, y) का सेट है जैसे कि x² + और² = 1. चूँकि g(x, y) एक पूर्णतया अपरिष्कृत बहुपद है, यह एक बीजीय किस्म है। इसके वास्तविक बिंदुओं का समुच्चय (अर्थात वह बिंदु जिसके लिए x और y वास्तविक संख्याएँ हैं), इकाई वृत्त के रूप में जाना जाता है; यह नाम अक्सर पूरी किस्म को भी दिया जाता है।

उदाहरण 3

निम्नलिखित उदाहरण न तो ऊनविम पृष्ठ है, न ही सदिश स्थल , न ही एक बिंदु। चलो ए³ सी के ऊपर त्रि-आयामी एफ़िन स्पेस बनें। बिंदुओं का सेट (x, x)², x³) के लिए x in 'C' एक बीजीय किस्म है, और अधिक सटीक रूप से एक बीजीय वक्र है जो किसी भी तल में निहित नहीं है। यह ऊपर की आकृति में दिखाया गया मुड़ घन है। इसे समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

${\begin{aligned}y-x^{2}&=0\\z-x^{3}&=0\end{aligned}}$

इस बीजगणितीय समुच्चय की अप्रासंगिकता को एक प्रमाण की आवश्यकता है। इस मामले में एक दृष्टिकोण यह जांचना है कि प्रक्षेपण (x, y, z) → (x, y) समाधान के सेट पर इंजेक्शन समारोह है और इसकी छवि एक अपरिवर्तनीय विमान वक्र है।

अधिक कठिन उदाहरणों के लिए, एक समान प्रमाण हमेशा दिया जा सकता है, लेकिन एक कठिन गणना का अर्थ हो सकता है: पहले आयाम की गणना करने के लिए ग्रोबनर आधार गणना, उसके बाद चर के यादृच्छिक रैखिक परिवर्तन (हमेशा आवश्यक नहीं); फिर प्रोजेक्शन की गणना करने के लिए एक और एकपदी आदेश के लिए ग्रोबनर आधार गणना और यह साबित करने के लिए कि यह सामान्य संपत्ति इंजेक्शन है और इसकी छवि एक हाइपरसर्फेस है, और अंत में छवि की अपरिवर्तनीयता साबित करने के लिए एक बहुपद कारक है।

सामान्य रैखिक समूह

आधार क्षेत्र k पर n-by-n आव्यूहों के समुच्चय को affine n . से पहचाना जा सकता है²-स्पेस $\mathbb {A} ^{n^{2}}$ निर्देशांक के साथ $x_{ij}$ ऐसा है कि $x_{ij}(A)$ मैट्रिक्स की (i, j) -वीं प्रविष्टि है $A$. एक मैट्रिक्स का निर्धारक $\det$ तब एक बहुपद है $x_{ij}$ और इस प्रकार हाइपरसर्फेस को परिभाषित करता है $H=V(\det )$ में $\mathbb {A} ^{n^{2}}$. का पूरक $H$ तब का एक खुला उपसमुच्चय है $\mathbb {A} ^{n^{2}}$ जिसमें सभी व्युत्क्रमणीय n-by-n आव्यूह होते हैं, सामान्य रैखिक समूह $\operatorname {GL} _{n}(k)$. यह एक एफ़िन किस्म है, क्योंकि सामान्य तौर पर, एफ़िन किस्म में हाइपरसर्फ़ का पूरक एफ़िन होता है। स्पष्ट रूप से, विचार करें $\mathbb {A} ^{n^{2}}\times \mathbb {A} ^{1}$ जहां एफाइन लाइन को कोऑर्डिनेट टी दिया गया है। फिर $\operatorname {GL} _{n}(k)$ शून्य-लोकस के बराबर है $\mathbb {A} ^{n^{2}}\times \mathbb {A} ^{1}$ बहुपद का $x_{ij},t$:

$t\cdot \det[x_{ij}]-1,$

अर्थात्, आव्यूह A का समुच्चय ऐसा है कि $t\det(A)=1$ एक समाधान है। यह बीजगणितीय रूप से सबसे अच्छी तरह से देखा जाता है: का निर्देशांक वलय $\operatorname {GL} _{n}(k)$ स्थानीयकरण है (कम्यूटेटिव बीजगणित) $k[x_{ij}\mid 0\leq i,j\leq n][{\det }^{-1}]$, जिसे से पहचाना जा सकता है $k[x_{ij},t\mid 0\leq i,j\leq n]/(t\det -1)$.

गुणक समूह k^{आधार फ़ील्ड k का **} वही है $\operatorname {GL} _{1}(k)$ और इस प्रकार एक affine किस्म है। इसका एक परिमित उत्पाद $(k^{*})^{r}$ एक बीजीय टोरस है, जो फिर से एक एफाइन किस्म है।

एक सामान्य रेखीय समूह एक रैखिक बीजगणितीय समूह का एक उदाहरण है, एक एफ़िन किस्म जिसमें एक समूह (गणित) की संरचना होती है, इस तरह समूह संचालन किस्मों के रूपवाद होते हैं।

प्रक्षेपी किस्म

एक प्रोजेक्टिव किस्म एक प्रोजेक्टिव स्पेस की एक बंद उप-विविधता है। यही है, यह सजातीय बहुपद ों के एक सेट का शून्य स्थान है जो एक प्रमुख आदर्श उत्पन्न करता है।

उदाहरण 1

एफाइन प्लेन कर्व y² = x³ − x. संबंधित प्रक्षेप्य वक्र को अण्डाकार वक्र कहा जाता है।

एक समतल प्रक्षेप्य वक्र तीन अनिश्चित में एक इरेड्यूसिबल सजातीय बहुपद का शून्य स्थान है। प्रक्षेप्य रेखा P¹ प्रक्षेपी वक्र का एक उदाहरण है; इसे प्रक्षेप्य तल में वक्र के रूप में देखा जा सकता है P² = {[x, y, z]} द्वारा परिभाषित x = 0. एक अन्य उदाहरण के लिए, पहले एफ़िन क्यूबिक कर्व पर विचार करें

$y^{2}=x^{3}-x.$

2-आयामी एफ़िन स्पेस में (विशेषता के क्षेत्र में दो नहीं)। इसमें संबंधित घन सजातीय बहुपद समीकरण है:

$y^{2}z=x^{3}-xz^{2},$

जो P . में एक वक्र को परिभाषित करता है² को अण्डाकार वक्र कहा जाता है। वक्र में जीनस वन (सूत्र टाइप करें ) है; विशेष रूप से, यह प्रक्षेपी रेखा P . के समरूपी नहीं है¹, जिसका जीनस जीरो है। घटता को अलग करने के लिए जीनस का उपयोग करना बहुत ही बुनियादी है: वास्तव में, जीनस पहला अपरिवर्तनीय है जो घटता वर्गीकृत करने के लिए उपयोग करता है (बीजीय वक्रों के मॉड्यूल का निर्माण भी देखें)।

उदाहरण 2: ग्रासमैनियन

मान लीजिए V एक परिमित-विमीय सदिश समष्टि है। ग्रासमैनियन किस्म जी_n(वी) वी के सभी एन-डायमेंशनल सबस्पेस का सेट है। यह एक प्रोजेक्टिव किस्म है: इसे प्लकर एम्बेडिंग के माध्यम से प्रोजेक्टिव स्पेस में एम्बेड किया गया है:

${\begin{cases}G_{n}(V)\hookrightarrow \mathbf {P} \left(\wedge ^{n}V\right)\\\langle b_{1},\ldots ,b_{n}\rangle \mapsto [b_{1}\wedge \cdots \wedge b_{n}]\end{cases}}$

जहां बी_iV में रैखिकतः स्वतंत्र सदिशों का कोई समुच्चय है, $\wedge ^{n}V$ V की n-th बाहरी शक्ति है, और ब्रैकेट [w] का अर्थ है गैर-शून्य वेक्टर w द्वारा फैली हुई रेखा।

ग्रासमैनियन किस्म एक प्राकृतिक वेक्टर बंडल (या अन्य शब्दावली में स्थानीय रूप से मुक्त शीफ ) के साथ आती है जिसे टॉटोलॉजिकल बंडल कहा जाता है, जो कि चेर्न क्लास जैसे विशिष्ट वर्गों के अध्ययन में महत्वपूर्ण है।

जैकोबियन किस्म

मान लीजिए C एक चिकना पूर्ण वक्र है और $\operatorname {Pic} (C)$ इसका पिकार्ड समूह ; यानी, सी पर लाइन बंडलों के आइसोमोर्फिज्म वर्गों का समूह। चूंकि सी चिकना है, $\operatorname {Pic} (C)$ C के भाजक वर्ग समूह के रूप में पहचाना जा सकता है और इस प्रकार समरूपता की डिग्री होती है $\operatorname {deg} :\operatorname {Pic} (C)\to \mathbb {Z}$. जैकोबियन किस्म $\operatorname {Jac} (C)$ सी का इस डिग्री मानचित्र का कर्नेल है; यानी, डिग्री शून्य के सी पर भाजक वर्गों का समूह। एक जैकोबियन किस्म एक अबेलियन किस्म का एक उदाहरण है, एक पूरी किस्म जिस पर एक संगत एबेलियन समूह संरचना है (नाम एबेलियन इसलिए नहीं है क्योंकि यह एक एबेलियन समूह है)। एक एबेलियन किस्म प्रक्षेपी हो जाती है (बीजीय सेटिंग में थीटा समारोह एक एम्बेडिंग देता है); इस प्रकार, $\operatorname {Jac} (C)$ एक प्रक्षेपी किस्म है। करने के लिए स्पर्शरेखा स्थान $\operatorname {Jac} (C)$ पहचान तत्व पर स्वाभाविक रूप से आइसोमॉर्फिक है $\operatorname {H} ^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C});$ इसलिए, का आयाम $\operatorname {Jac} (C)$ का वंश है $C$.

एक बिंदु ठीक करें $P_{0}$ पर $C$. प्रत्येक पूर्णांक के लिए $n>0$, एक प्राकृतिक रूपवाद है

$C^{n}\to \operatorname {Jac} (C),\,(P_{1},\dots ,P_{r})\mapsto [P_{1}+\cdots +P_{n}-nP_{0}]$

कहाँ पे $C^{n}$ C. For . की n प्रतियों का गुणनफल है $g=1$ (अर्थात, C एक अण्डाकार वक्र है), के लिए उपरोक्त रूपवाद $n=1$ एक समरूपता बन जाता है; विशेष रूप से, एक अण्डाकार वक्र एक अबेलियन किस्म है।

मोडुली किस्में

एक पूर्णांक दिया गया $g\geq 0$, जीनस के चिकने पूर्ण वक्रों के समरूपता वर्गों का समुच्चय $g$ जीनस के वक्रों का मॉड्यूल कहा जाता है $g$ और के रूप में निरूपित किया जाता है ${\mathfrak {M}}_{g}$. यह दिखाने के कुछ तरीके हैं कि इस मॉड्यूल में संभावित रूप से कमजोर बीजीय किस्म की संरचना है; उदाहरण के लिए, एक तरीका ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत का उपयोग करना है जो सुनिश्चित करता है कि आइसोमोर्फिज्म वर्गों के एक सेट में एक (कम करने योग्य) अर्ध-प्रोजेक्टिव किस्म संरचना है। मोडुली जैसे कि निश्चित जीनस के वक्रों के मॉड्यूल आमतौर पर एक प्रक्षेपी किस्म नहीं होते हैं; मोटे तौर पर इसका कारण यह है कि एक चिकने वक्र का अध: पतन (सीमा) गैर-चिकना या कम करने योग्य होता है। यह जीनस के एक स्थिर वक्र की धारणा की ओर जाता है $g\geq 2$, एक गैर-जरूरी-चिकनी पूर्ण वक्र जिसमें कोई बहुत खराब विलक्षणता नहीं है और इतना बड़ा ऑटोमोर्फिज्म समूह नहीं है। स्थिर वक्रों का मापांक ${\overline {\mathfrak {M}}}_{g}$, जीनस के स्थिर वक्रों के समरूपता वर्गों का समुच्चय $g\geq 2$, तब एक प्रक्षेपी किस्म है जिसमें ${\mathfrak {M}}_{g}$ एक खुले उपसमुच्चय के रूप में। तब से ${\overline {\mathfrak {M}}}_{g}$ सीमा बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है ${\mathfrak {M}}_{g}$, ${\overline {\mathfrak {M}}}_{g}$ बोलचाल की भाषा में का एक संघनन (बीजगणितीय ज्यामिति) कहा जाता है ${\mathfrak {M}}_{g}$. ऐतिहासिक रूप से ममफोर्ड और डेलिग्ने का एक पेपर दिखाने के लिए एक स्थिर वक्र की धारणा पेश की ${\mathfrak {M}}_{g}$ जब $g\geq 2$.

वक्रों का मॉड्यूल एक विशिष्ट स्थिति का उदाहरण देता है: अच्छी वस्तुओं का एक मॉड्यूल प्रोजेक्टिव नहीं होता बल्कि केवल अर्ध-प्रोजेक्टिव होता है। एक अन्य मामला वक्र पर वेक्टर बंडलों का एक मॉड्यूल है। यहाँ, एक चिकने पूर्ण वक्र पर स्थिर वेक्टर बंडल और अर्ध-स्थिर वेक्टर बंडल की धारणाएँ हैं $C$. किसी दिए गए रैंक के सेमीस्टेबल वेक्टर बंडलों का मॉड्यूलि $n$ और दी गई डिग्री $d$ (बंडल के निर्धारक की डिग्री) तब एक प्रक्षेपी किस्म है जिसे के रूप में दर्शाया गया है $SU_{C}(n,d)$, जिसमें सेट शामिल है $U_{C}(n,d)$ रैंक के स्थिर वेक्टर बंडलों के आइसोमोर्फिज्म वर्गों की $n$ और डिग्री $d$ एक खुले उपसमुच्चय के रूप में। चूंकि एक लाइन बंडल स्थिर है, इस तरह के एक मोडुली जैकोबियन किस्म का एक सामान्यीकरण है $C$.

सामान्य तौर पर, वक्रों के मोडुली के मामले के विपरीत, एक मोडुली का एक कॉम्पैक्टीफिकेशन अद्वितीय नहीं होना चाहिए और कुछ मामलों में, अलग-अलग तरीकों का उपयोग करके और अलग-अलग लेखकों द्वारा अलग-अलग गैर-समतुल्य कॉम्पैक्टिफिकेशन का निर्माण किया जाता है। एक उदाहरण ओवर $\mathbb {C}$ संकुचित करने की समस्या है $D/\Gamma$, एक परिबद्ध सममित डोमेन का भागफल $D$ अंकगणित असतत समूह की एक क्रिया द्वारा $\Gamma$. का एक मूल उदाहरण $D/\Gamma$ कब है $D={\mathfrak {H}}_{g}$, सीगल का ऊपरी आधा स्थान और $\Gamma$ अनुरूपता (समूह सिद्धांत) के साथ $\operatorname {Sp} (2g,\mathbb {Z} )$; उस मामले में, $D/\Gamma$ moduli . के रूप में एक व्याख्या है ${\mathfrak {A}}_{g}$ आयाम की मुख्य रूप से ध्रुवीकृत जटिल एबेलियन किस्मों की $g$ (एक प्रमुख ध्रुवीकरण अपने दोहरे के साथ एक अबेलियन किस्म की पहचान करता है)। टोरिक किस्मों (या टोरस एम्बेडिंग) का सिद्धांत कॉम्पैक्ट करने का एक तरीका देता है $D/\Gamma$, इसका एक टॉरॉयडल संघनन । लेकिन संकुचित करने के अन्य तरीके भी हैं $D/\Gamma$; उदाहरण के लिए, का न्यूनतम संघनन है $D/\Gamma$ बेली और बोरेल के कारण: यह मॉड्यूलर रूपों द्वारा गठित परियोजना निर्माण है (सीगल मामले में, सीगल मॉड्यूलर फॉर्म ) कॉम्पैक्टीफिकेशन की गैर-विशिष्टता उन कॉम्पैक्टिफिकेशन की मॉड्यूली व्याख्याओं की कमी के कारण है; यानी, वे (श्रेणी-सिद्धांत अर्थ में) किसी भी प्राकृतिक मोडुली समस्या का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं या, सटीक भाषा में, कोई प्राकृतिक मोडुली स्टैक नहीं है जो स्थिर वक्रों के मोडुलि स्टैक का एक एनालॉग होगा।

गैर-एफ़िन और गैर-प्रोजेक्टिव उदाहरण

एक बीजीय किस्म न तो एफ़िन और न ही प्रक्षेपी हो सकती है। एक उदाहरण देने के लिए, आइए X = P¹ × A¹ तथा p: X → A¹ प्रक्षेपण। यह एक बीजीय किस्म है क्योंकि यह किस्मों का उत्पाद है। P . के बाद से यह affine नहीं है¹ X की एक बंद उप-प्रजाति है (p के शून्य ठिकाने के रूप में), लेकिन एक एफ़िन किस्म में बंद उप-प्रजाति के रूप में सकारात्मक आयाम की प्रक्षेपी विविधता नहीं हो सकती है। यह प्रक्षेप्य भी नहीं है, क्योंकि एक्स पर एक गैर-स्थिर नियमित कार्य है; अर्थात्, पी।

गैर-एफ़िन गैर-प्रोजेक्टिव किस्म का एक अन्य उदाहरण है X = A² − (0, 0) (सीएफ.Morphism of varieties § Examples.)

गैर-उदाहरण

एफाइन लाइन पर विचार करें $\mathbb {A} ^{1}$ ऊपर $\mathbb {C}$. सर्कल का पूरक $\{z\in \mathbb {C} ||z|^{2}=1\}$ में $\mathbb {A} ^{1}=\mathbb {C}$ बीजगणितीय किस्म नहीं है (बीजगणितीय समुच्चय भी नहीं)। ध्यान दें कि $|z|^{2}-1$ में बहुपद नहीं है $z$ (यद्यपि वास्तविक चरों में एक बहुपद $x,y$।) दूसरी ओर, मूल का पूरक $\mathbb {A} ^{1}=\mathbb {C}$ एक बीजीय (एफ़िन) किस्म है, क्योंकि मूल का शून्य-लोकस है $z$. इसे इस प्रकार समझाया जा सकता है: एफ़िन लाइन का आयाम एक होता है और इसलिए स्वयं के अलावा इसकी किसी भी उप-प्रजाति का आयाम कम होना चाहिए; अर्थात्, शून्य।

इसी तरह के कारणों के लिए, एक एकात्मक समूह (जटिल संख्याओं पर) एक बीजीय किस्म नहीं है, जबकि विशेष रैखिक समूह $\operatorname {SL} _{n}(\mathbb {C} )$ की एक बंद उपप्रजाति है $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$, का शून्य-ठिकाना $\det -1$. (एक अलग आधार क्षेत्र पर, एक एकात्मक समूह को एक किस्म की संरचना दी जा सकती है।)

मूल परिणाम

• एक एफ़िन बीजीय सेट वी एक किस्म है यदि और केवल अगर I(V) एक प्रमुख आदर्श है; समान रूप से, V एक किस्म है यदि और केवल यदि इसकी निर्देशांक वलय a . है integral domain.
• प्रत्येक गैर-रिक्त affine बीजगणितीय सेट को विशिष्ट रूप से बीजीय किस्मों के एक परिमित संघ के रूप में लिखा जा सकता है (जहां अपघटन में कोई भी किस्म किसी अन्य की उप-विविधता नहीं है)।
• एक किस्म के आयाम को विभिन्न समकक्ष तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। विवरण के लिए बीजीय किस्म का आयाम देखें।
• सूक्ष्म रूप से कई बीजीय किस्मों (बीजीय रूप से बंद क्षेत्र पर) का एक उत्पाद एक बीजीय किस्म है। affine किस्मों का एक परिमित उत्पाद affine है और प्रक्षेपी किस्मों का एक परिमित उत्पाद प्रक्षेप्य होता है।

बीजीय किस्मों का समरूपता

See also: Morphism of varieties

होने देना V₁, V₂ बीजगणितीय किस्में हों। हम कहते हैं V₁ तथा V₂ ग्राफ समरूपता हैं, और लिखिए V₁ ≅ V₂, यदि नियमित कार्य हैं φ : V₁ → V₂ तथा ψ : V₂ → V₁ ऐसा है कि समारोह (गणित) ψ ∘ φ तथा φ ∘ ψ पहचान कार्य चालू हैं V₁ तथा V₂ क्रमश।

चर्चा और सामान्यीकरण

ऊपर दी गई बुनियादी परिभाषाएं और तथ्य शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति को करने में सक्षम बनाते हैं। अधिक करने में सक्षम होने के लिए - उदाहरण के लिए, उन क्षेत्रों में किस्मों से निपटने के लिए जो बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र नहीं हैं - कुछ मूलभूत परिवर्तनों की आवश्यकता है। विविधता की आधुनिक धारणा उपरोक्त की तुलना में काफी अधिक सारगर्भित है, हालांकि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों में किस्मों के मामले में समकक्ष है। एक अमूर्त बीजीय किस्म एक विशेष प्रकार की योजना है; ज्यामितीय पक्ष पर योजनाओं का सामान्यीकरण ऊपर वर्णित पत्राचार के विस्तार को छल्ले के व्यापक वर्ग में सक्षम बनाता है। एक योजना एक स्थानीय रूप से रिंग की गई जगह है जैसे कि हर बिंदु का एक पड़ोस होता है, जो स्थानीय रूप से रिंग किए गए स्थान के रूप में, एक रिंग के स्पेक्ट्रम के लिए आइसोमॉर्फिक होता है। मूल रूप से, एक किस्म से अधिक k एक ऐसी योजना है जिसकी संरचना का शीफ ​​एक शीफ (गणित) है k-बीजगणित इस संपत्ति के साथ कि ऊपर होने वाले छल्ले R सभी अभिन्न डोमेन हैं और सभी अंतिम रूप से उत्पन्न होते हैं k-बीजगणित, अर्थात्, वे अभाज्य आदर्शों द्वारा बहुपद बीजगणित के भागफल हैं।

यह परिभाषा किसी भी क्षेत्र में काम करती है k. यह आपको एफ़िन किस्मों (सामान्य खुले सेटों के साथ) को इस चिंता के बिना गोंद करने की अनुमति देता है कि परिणामी वस्तु को कुछ प्रक्षेप्य स्थान में रखा जा सकता है या नहीं। यह कठिनाइयों की ओर भी ले जाता है क्योंकि कोई कुछ रोग संबंधी वस्तुओं को पेश कर सकता है, उदा। शून्य के साथ एक affine लाइन दोगुनी हो गई। ऐसी वस्तुओं को आमतौर पर किस्मों के रूप में नहीं माना जाता है, और विभिन्न प्रकार की अंतर्निहित योजनाओं को अलग करने की आवश्यकता के द्वारा समाप्त कर दिया जाता है। (सख्ती से कहा जाए तो, एक तीसरी शर्त भी है, अर्थात्, किसी को ऊपर की परिभाषा में केवल बहुत से एफ़िन पैच की आवश्यकता होती है।)

कुछ आधुनिक शोधकर्ता विभिन्न प्रकार के इंटीग्रल डोमेन एफ़िन चार्ट वाले प्रतिबंध को भी हटा देते हैं, और जब एक किस्म की बात करते हैं तो केवल यह आवश्यक होता है कि एफ़िन चार्ट में एक रिंग का तुच्छ नीलराडिकल हो।

एक पूर्ण विविधता एक ऐसी विविधता है जिसमें एक गैर-एकवचन बीजीय वक्र के खुले उपसमुच्चय से किसी भी मानचित्र को संपूर्ण वक्र तक विशिष्ट रूप से बढ़ाया जा सकता है। प्रत्येक प्रक्षेपी किस्म पूर्ण है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।

इन किस्मों को सेरे के अर्थ में किस्में कहा गया है, क्योंकि जीन पियरे सेरे के मूलभूत पेपर फैसेको अल्जेब्रिक्स कोहेरेंट्स शीफ कोहोलॉजी पर उनके लिए लिखा गया था। वे बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन शुरू करने के लिए विशिष्ट वस्तुएं बने रहते हैं, भले ही अधिक सामान्य वस्तुओं का भी सहायक तरीके से उपयोग किया जाता है।

एक तरीका जो सामान्यीकरण की ओर ले जाता है, वह है रिड्यूसिबल बीजीय सेट (और फ़ील्ड .) की अनुमति देना k जो बीजगणितीय रूप से बंद नहीं हैं), इसलिए रिंग R अभिन्न डोमेन नहीं हो सकते हैं। एक अधिक महत्वपूर्ण संशोधन यह है कि वलयों के शीफ में निलपोटेंट ्स को अनुमति दी जाती है, अर्थात वे छल्ले जो 'कम' नहीं होते हैं। यह शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति के कई सामान्यीकरणों में से एक है जो अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक के योजनाओं के सिद्धांत में निर्मित हैं।

रिंगों में नीलपोटेंट तत्वों की अनुमति बीजगणितीय ज्यामिति में बहुलताओं का ट्रैक रखने से संबंधित है। उदाहरण के लिए, x . द्वारा परिभाषित एफ़िन लाइन की बंद उपयोजना² = 0 x = 0 (मूल) द्वारा परिभाषित उपयोजना से भिन्न है। आम तौर पर, वाई के एक बिंदु पर योजनाओं एक्स → वाई के आकार की योजनाओं के फाइबर उत्पाद गैर-कम हो सकते हैं, भले ही एक्स और वाई कम हो जाएं। ज्यामितीय रूप से, यह कहता है कि अच्छे मानचित्रण के तंतुओं में गैर-तुच्छ अन्तर्निहित संरचना हो सकती है।

और भी सामान्यीकरण हैं जिन्हें बीजीय रिक्त स्थान और बीजीय स्टैक कहा जाता है।

बीजीय मैनिफोल्ड

Main article: Algebraic manifold

एक बीजीय मैनिफोल्ड एक बीजीय किस्म है जो एक एम-आयामी मैनिफोल्ड भी है, और इसलिए प्रत्येक पर्याप्त रूप से छोटा स्थानीय पैच कश्मीर के लिए आइसोमोर्फिक है^मी. समान रूप से, विविधता सुचारू कार्य (एकवचन बिंदुओं से मुक्त) है। कब k वास्तविक संख्या है, R, बीजीय मैनिफोल्ड को नैश मैनिफोल्ड कहा जाता है। बीजीय मैनिफोल्ड्स को विश्लेषणात्मक बीजीय कार्यों के परिमित संग्रह के शून्य सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। प्रोजेक्टिव बीजीय मैनिफोल्ड प्रोजेक्टिव किस्मों के लिए एक समान परिभाषा है। रीमैन क्षेत्र एक उदाहरण है।

यह भी देखें

• विविधता (बहुविकल्पी) — कई गणितीय अर्थों को सूचीबद्ध करना
• बीजीय किस्म का कार्य क्षेत्र
• बायरेशनल ज्यामिति
• एबेलियन किस्म
• मकसद (बीजगणितीय ज्यामिति)
• विश्लेषणात्मक किस्म
• ज़ारिस्की-रिमेंन स्पेस
• अर्ध-बीजीय समुच्चय

संदर्भ

स्रोत

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