सीमाओं की सूची

यह प्राथमिक कार्यों जैसे सामान्य कार्य (गणित) के लिए सीमा (गणित) की एक सूची है। इस लेख में, एसएम के संबंध में ए, बी और सी शब्द स्थिर हैं

सामान्य कार्यों के लिए सीमाएं

सीमाओं की परिभाषाएं और संबंधित अवधारणाएं

$\lim _{x\to c}f(x)=L$ अगर और केवल अगर $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0:0<|x-c|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon$. यह (ε, δ)-सीमा की परिभाषा है।

एक अनुक्रम की सीमा श्रेष्ठ और सीमा अवर को इस रूप में परिभाषित किया गया है $\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)$ और $\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)$.

एक समारोह, $f(x)$, को एक बिंदु पर निरंतर कहा जाता है, c, यदि

$$\lim _{x\to c}f(x)=f(c).$$

एक ज्ञात सीमा पर संचालन

अगर $\lim _{x\to c}f(x)=L$ तब:

• $\lim _{x\to c}\,[f(x)\pm a]=L\pm a$
• $\lim _{x\to c}\,af(x)=aL$
• $\lim _{x\to c}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{L}}$ अगर एल 0 के बराबर नहीं है।
• $\lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L^{n}$ अगर एन एक सकारात्मक पूर्णांक है*$\lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L^{1 \over n}$ यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है, और यदि n सम है, तो L > 0.व्यापक रूप से, यदि g(x) L पर संतत है और $\lim _{x\to c}f(x)=L$ तब
• $\lim _{x\to c}g\left(f(x)\right)=g(L)$

दो ज्ञात सीमाओं पर संचालन

अगर $\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}$ और $\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}$ तब:

• $\lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}$*$\lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\cdot L_{2}$*$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad {\text{ if }}L_{2}\neq 0$

डेरिवेटिव या अतिसूक्ष्म परिवर्तन से जुड़ी सीमाएं

इन सीमाओं में, अतिसूक्ष्म परिवर्तन $h$ अक्सर निरूपित किया जाता है $\Delta x$ या $\delta x$. अगर $f(x)$पर अवकलनीय फलन है $x$,

• $\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)$. यह व्युत्पन्न की परिभाषा है। सभी भेदभाव नियमों को सीमा से जुड़े नियमों के रूप में भी बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि g(x) x पर अवकलनीय है,
  • $\lim _{h\to 0}{f\circ g(x+h)-f\circ g(x) \over h}=f'[g(x)]g'(x)$. यह चेन नियम है।
  • $\lim _{h\to 0}{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) \over h}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$. यह उत्पाद नियम है।
• $\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{1/h}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)$
• $\lim _{h\to 0}{\left({f(e^{h}x) \over {f(x)}}\right)^{1/h}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)$

अगर $f(x)$ और $g(x)$ सी युक्त एक खुले अंतराल पर अलग-अलग हैं, संभवतः सी को छोड़कर, और $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty$, ल'हॉपिटल के नियम का उपयोग किया जा सकता है:

• $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

असमानताएं

अगर $f(x)\leq g(x)$ एक अंतराल में सभी एक्स के लिए जिसमें सी शामिल है, संभवतः सी को छोड़कर, और की सीमा $f(x)$ और $g(x)$ दोनों सी पर मौजूद हैं, फिर

$$\lim _{x\to c}f(x)\leq \lim _{x\to c}g(x)$$

अगर $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L$ और $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$सभी एक्स के लिए एक खुले अंतराल में जिसमें सी शामिल है, संभवतः सी को छोड़कर,

$$\lim _{x\to c}g(x)=L.$$

इसे निचोड़ प्रमेय के रूप में जाना जाता है।यह उन मामलों में भी लागू होता है जहां f(x) और g(x) c पर अलग-अलग मान लेते हैं, या c पर असंतत हैं।

बहुपद और फॉर्म एक्स के कार्य^एक

• $\lim _{x\to c}a=a$

=== x === में बहुपद

• $\lim _{x\to c}x=c$*$\lim _{x\to c}(ax+b)=ac+b$
• $\lim _{x\to c}x^{n}=c^{n}$ अगर एन एक सकारात्मक पूर्णांक है*$\lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\{\text{does not exist}},&a=0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}$

सामान्य तौर पर, अगर $p(x)$एक बहुपद है, तो बहुपदों की निरंतरता से,

$$\lim _{x\to c}p(x)=p(c)$$

यह तर्कसंगत कार्यों के लिए भी सच है, क्योंकि वे अपने कार्य के डोमेन पर निरंतर हैं।

फॉर्म एक्स के कार्य^{ए</सुप>}

• $\lim _{x\to c}x^{a}=c^{a}.$विशेष रूप से,
  • $\lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}$
• $\lim _{x\to c}x^{1/a}=c^{1/a}$.विशेष रूप से,
  • $\lim _{x\to \infty }x^{1/a}=\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty {\text{ for any }}a>0$
• $\lim _{x\to 0^{+}}x^{-n}=\lim {\frac {1}{x^{n}}}=+\infty$
• $\lim _{x\to 0^{-}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}={\begin{cases}-\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\+\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is even}}\end{cases}}$
• $\lim _{x\to \infty }ax^{-1}=\lim _{x\to \infty }a/x=0{\text{ for any real }}a$

घातीय कार्य

फॉर्म के कार्य ए^{जी (एक्स) </सुप>}

• $\lim _{x\to c}e^{x}=e^{c}$, की निरंतरता के कारण $e^{x}$
• $\lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}$
• $\lim _{x\to \infty }a^{-x}={\begin{cases}0,&a>1\\1,&a=1\\\infty ,&0<a<1\end{cases}}$*$\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim _{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{does not exist}},&a<0\end{cases}}$

फॉर्म एक्स के कार्य^{जी (एक्स) </सुप>}

• $\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim _{x\to \infty }{x}^{1/x}=1$

फॉर्म एफ (एक्स) के कार्य^{जी (एक्स) </सुप>}

• $\lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x}{x+k}}\right)^{x}=e^{-k}$*$\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e$*$\lim _{x\to 0}\left(1+kx\right)^{\frac {m}{x}}=e^{mk}$
• $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$
• $\lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}$
• $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}$*$\lim _{x\to 0}\left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)^{-{\frac {1}{x}}}=e^{a}$. यह सीमा #Logarithmic और एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शंस Anchor01 से प्राप्त की जा सकती है।

रकम, उत्पाद और सम्मिश्र

• $\lim _{x\to 0}xe^{-x}=0$
• $\lim _{x\to \infty }xe^{-x}=0$
• $\lim _{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a},$ सभी सकारात्मक ए के लिए*$\lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{x}-1}{x}}\right)=1$
• $\lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{ax}-1}{x}}\right)=a$

लघुगणकीय कार्य

प्राकृतिक लघुगणक

• $\lim _{x\to c}\ln {x}=\ln c$, की निरंतरता के कारण $\ln {x}$. विशेष रूप से,
  • $\lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty$
  • $\lim _{x\to \infty }\log x=\infty$
• $\lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(x+1)}{x}}=1$*$\lim _{x\to 0}{\frac {-\ln \left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)}{x}}=a$. यह सीमा L'Hôpital के नियम से है।
• $\lim _{x\to 0}x\ln x=0$, इस तरह $\lim _{x\to 0}x^{x}=1$
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=0$

मनमाना आधारों के लिए लघुगणक

बी > 1 के लिए,

• $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-\infty$
• $\lim _{x\to \infty }\log _{b}x=\infty$

बी <1 के लिए,

• $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=\infty$
• $\lim _{x\to \infty }\log _{b}x=-\infty$

दोनों मामलों को सामान्यीकृत किया जा सकता है:

• $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-F(b)\infty$
• $\lim _{x\to \infty }\log _{b}x=F(b)\infty$

कहाँ $F(x)=2H(x-1)-1$ और $H(x)$ हैवीसाइड स्टेप फंक्शन है

त्रिकोणमितीय कार्य

अगर $x$ रेडियंस में व्यक्त किया गया है:

• $\lim _{x\to a}\sin x=\sin a$
• $\lim _{x\to a}\cos x=\cos a$

ये दोनों सीमाएँ sin और cos की निरंतरता से अनुसरण करती हैं।

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$. या, सामान्य तौर पर,
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{ax}}=1$, 0 के बराबर नहीं के लिए।
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a$
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}$, b के लिए 0 के बराबर नहीं है।
• $\lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{x}}=0$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$
• $\lim _{x\to n^{\pm }}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty$, पूर्णांक n के लिए।
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan x}{x}}=1$. या, सामान्य तौर पर,
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan ax}{ax}}=1$, 0 के बराबर नहीं के लिए।
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan ax}{bx}}={\frac {a}{b}}$, b के लिए 0 के बराबर नहीं है।
• $\lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\sin \sin \cdots \sin(x_{0})} _{n}=0$, जहां एक्स₀ एक मनमाना वास्तविक संख्या है।
• $\lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\cos \cos \cdots \cos(x_{0})} _{n}=d$, जहां डी डॉटी नंबर है। एक्स₀ कोई भी मनमानी वास्तविक संख्या हो सकती है।

रकम

सामान्य तौर पर, कोई भी अनंत श्रृंखला उसके आंशिक योग की सीमा होती है। उदाहरण के लिए, एक विश्लेषणात्मक कार्य इसकी टेलर श्रृंखला की सीमा है, इसकी अभिसरण की त्रिज्या के भीतर।

• $\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\infty$. इसे हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) के रूप में जाना जाता है।*$\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n\right)=\gamma$. यह यूलर माशेरोनी स्थिरांक है।

उल्लेखनीय विशेष सीमाएं

• $\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e$
• $\lim _{n\to \infty }\left(n!\right)^{1/n}=\infty$. यह असमानता पर विचार करके सिद्ध किया जा सकता है $e^{x}\geq {\frac {x^{n}}{n!}}$ पर $x=n$.
• $\lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi$. यह पाई के लिए वियत के सूत्र से प्राप्त किया जा सकता हैπ.

सीमित व्यवहार

स्पर्शोन्मुख तुल्यता

स्पर्शोन्मुख विश्लेषण, $f(x)\sim g(x)$, यदि सत्य हैं $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$. इसलिए, उन्हें सीमा के रूप में भी बदला जा सकता है। कुछ उल्लेखनीय स्पर्शोन्मुख समकक्षों में शामिल हैं

• $\lim _{x\to \infty }{\frac {x/\ln x}{\pi (x)}}=1$अभाज्य संख्या प्रमेय के कारण, $\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}$, जहां π(x) प्राइम-काउंटिंग फंक्शन है।
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{n!}}=1$, स्टर्लिंग के सन्निकटन के कारण, $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$.

बिग ओ नोटेशन

बिग ओ नोटेशन द्वारा वर्णित कार्यों के व्यवहार को सीमाओं द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए

• $f(x)\in {\mathcal {O}}(g(x))$ अगर $\limsup _{x\to \infty }{\frac {|f(x)|}{g(x)}}<\infty$