प्लेटो की समस्या
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गणित में, पठार की समस्या एक निश्चित सीमा के साथ एक न्यूनतम सतह के अस्तित्व को दर्शाने की है, यह समस्या 1760 में जोसेफ-लुई लाग्रेंज द्वारा उठाई गई थी। हालांकि, इसका नाम जोसेफ पठार के नाम पर रखा गया है जिन्होंने साबुन फिल्मों के साथ प्रयोग किया था। समस्या को विविधताओं की गणना का हिस्सा माना जाता है। अस्तित्व और नियमितता की समस्याएं ज्यामितीय माप सिद्धांत का हिस्सा हैं।
इतिहास
समस्या के विभिन्न विशिष्ट रूपों को हल किया गया था, लेकिन केवल 1930 में जेसी डगलस और टिबोर राडो द्वारा स्वतंत्र रूप से मैपिंग (निमज्जन) के संदर्भ में सामान्य समाधान खोजे गए थे। उनके तरीके काफी अलग थे; रैडो का काम रेने गार्नियर के पिछले काम पर बनाया गया था और केवल सुधार योग्य वक्र सरल बंद वक्रों के लिए आयोजित किया गया था, जबकि डगलस ने अपने परिणाम के साथ पूरी तरह से नए विचारों का इस्तेमाल किया था, जो एक मनमाना सरल बंद वक्र था। दोनों न्यूनीकरण समस्याओं को स्थापित करने पर निर्भर थे; डगलस ने अब के नाम वाले डगलस इंटीग्रल को कम कर दिया जबकि राडो ने ऊर्जा को कम कर दिया। डगलस को उनके प्रयासों के लिए 1936 में फील्ड मेडल से सम्मानित किया गया।
उच्च आयामों में
उच्च आयामों के लिए समस्या का विस्तार (अर्थात, for -आयामी सतहों में -डायमेंशनल स्पेस) का अध्ययन करना अधिक कठिन हो जाता है। इसके अलावा, जबकि मूल समस्या के समाधान हमेशा नियमित होते हैं, यह पता चलता है कि विस्तारित समस्या के समाधान में गणितीय विलक्षणता हो सकती है यदि . ऊनविम पृष्ठ मामले में जहां , विलक्षणता केवल के लिए होती है . पठारी समस्या के ऐसे एकवचन समाधान का एक उदाहरण साइमन्स शंकु, एक शंकु ओवर है में यह पहली बार जिम सिमंस (गणितज्ञ) द्वारा वर्णित किया गया था और हेनरी बोम्बिएरी, एननियो डी जियोर्गी और एनरिको गिउस्टी द्वारा एक क्षेत्र न्यूनतम दिखाया गया था।[1] कुछ विशेष मामलों में विस्तारित समस्या को हल करने के लिए, कोडिमेंशन 1 के लिए Caccioppoli set#De Giorgi परिभाषा (Ennio de Giorgi) और उच्च कोडिमेंशन के लिए सुधार योग्य धाराओं (हर्बर्ट फेडरर और फ्लेमिंग) के सिद्धांत को विकसित किया गया है। सिद्धांत कोडिमेंशन 1 समाधानों के अस्तित्व की गारंटी देता है जो हौसडॉर्फ आयाम के एक बंद सेट से आसानी से दूर होते हैं . उच्च कोडिमेंशन के मामले में फ्रेडरिक जे. अल्मग्रेन, जूनियर ने आयाम के एकवचन सेट के साथ समाधान के अस्तित्व को साबित किया उनके अल्मग्रेन नियमितता प्रमेय में। एसएक्स चांग, ए अल्मग्रेन के छात्र, अल्मग्रेन के काम पर निर्मित, यह दिखाने के लिए कि 2-आयामी क्षेत्र की विलक्षणताएँ अभिन्न धाराओं को कम करना (मनमाने कोडिमेंशन में) एक परिमित असतत सेट बनाता है।[2][3] जेनी हैरिसन और हैरिसन प्यूघ का स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण[4] विभिन्न प्रकार के विशेष मामलों का इलाज करता है। विशेष रूप से, वे सामान्य होमोलॉजिकल, कोहोमोलॉजिकल या होमोटोपिकल स्पैनिंग स्थितियों के संयोजन को संतुष्ट करने वाले सुधार योग्य सेटों के किसी भी संग्रह के लिए मनमाना आयाम और कोडिमेंशन में अनिसोट्रोपिक पठार समस्या को हल करते हैं। कैमिलो डी लेलिस, फ्रांसेस्को घेराल्डिन और फ्रांसेस्को मैगी द्वारा हैरिसन-पुघ के परिणामों का एक अलग प्रमाण प्राप्त किया गया।[5]
भौतिक अनुप्रयोग
भौतिक साबुन फिल्म किसके द्वारा अधिक सटीक रूप से प्रतिरूपित की जाती है -फ्रेडरिक अल्मग्रेन के न्यूनतम सेट, लेकिन एक कॉम्पैक्टनेस प्रमेय की कमी से एक एरिया मिनिमाइज़र के अस्तित्व को साबित करना मुश्किल हो जाता है। इस संदर्भ में, एक सतत खुला प्रश्न एक न्यूनतम-क्षेत्रीय साबुन फिल्म के अस्तित्व का रहा है। अर्नेस्ट रॉबर्ट रीफेनबर्ग ने सीमाओं के लिए ऐसी सार्वभौमिक पठार की समस्या को हल किया जो एकल एम्बेडेड क्षेत्रों के लिए होमोमोर्फिक हैं।
यह भी देखें
- डबल बबल अनुमान
- डिरिचलेट सिद्धांत
- पठार के कानून
- तनी हुई ग्रिड विधि
- बर्नस्टीन की समस्या
संदर्भ
- ↑ Bombieri, Enrico; de Giorgi, Ennio; Giusti, Enrico (1969), "Minimal cones and the Bernstein problem", Inventiones Mathematicae, 7 (3): 243–268, doi:10.1007/BF01404309, S2CID 59816096
- ↑ Chang, Sheldon Xu-Dong (1988), "Two-dimensional area minimizing integral currents are classical minimal surfaces", Journal of the American Mathematical Society, 1 (4): 699–778, doi:10.2307/1990991, JSTOR 1990991
- ↑ http://www.math.stonybrook.edu/~bishop/classes/math638.F20/deLellis_survey_BUMI_24.pdf[bare URL PDF]
- ↑ Harrison, Jenny; Pugh, Harrison (2017), "General Methods of Elliptic Minimization", Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 56 (1), arXiv:1603.04492, doi:10.1007/s00526-017-1217-6, S2CID 119704344
- ↑ De Lellis, Camillo; Ghiraldin, Francesco; Maggi, Francesco (2017), "A direct approach to Plateau's problem" (PDF), Journal of the European Mathematical Society, 19 (8): 2219–2240, doi:10.4171/JEMS/716, S2CID 29820759
- Douglas, Jesse (1931). "Solution of the problem of Plateau". Trans. Amer. Math. Soc. 33 (1): 263–321. doi:10.2307/1989472. JSTOR 1989472.
- Reifenberg, Ernst Robert (1960). "Solution of the {Plateau} problem for m-dimensional surfaces of varying topological type". Acta Mathematica. 104 (2): 1–92. doi:10.1007/bf02547186.
- Fomenko, A.T. (1989). The Plateau Problem: Historical Survey. Williston, VT: Gordon & Breach. ISBN 978-2-88124-700-2.
- Morgan, Frank (2009). Geometric Measure Theory: a Beginner's Guide. Academic Press. ISBN 978-0-12-374444-9.
- O'Neil, T.C. (2001) [1994], "Geometric Measure Theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- Radó, Tibor (1930). "On Plateau's problem". Ann. of Math. 2. 31 (3): 457–469. doi:10.2307/1968237. JSTOR 1968237.
- Struwe, Michael (1989). Plateau's Problem and the Calculus of Variations. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08510-4.
- Almgren, Frederick (1966). Plateau's problem, an invitation to varifold geometry. New York-Amsterdam: Benjamin. ISBN 978-0-821-82747-5.
- Harrison, Jenny; Pugh, Harrison (2016). Open Problems in Mathematics (Plateau's Problem). Springer. arXiv:1506.05408. doi:10.1007/978-3-319-32162-2. ISBN 978-3-319-32160-8.
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