विकर्ण आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, एक विकर्ण मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स (गणित) है जिसमें मुख्य विकर्ण के बाहर की सभी प्रविष्टियाँ शून्य होती हैं; यह शब्द आमतौर पर स्क्वायर मैट्रिसेस को संदर्भित करता है। मुख्य विकर्ण के अवयव या तो शून्य या अशून्य हो सकते हैं। 2×2 विकर्ण मैट्रिक्स का एक उदाहरण है $\left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$, जबकि 3×3 विकर्ण मैट्रिक्स का एक उदाहरण है$\left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{smallmatrix}}\right]$. किसी भी आकार का एक पहचान मैट्रिक्स, या इसका कोई गुणक (#Scalar मैट्रिक्स), एक विकर्ण मैट्रिक्स है।

एक विकर्ण मैट्रिक्स को कभी-कभी स्केलिंग मैट्रिक्स कहा जाता है, क्योंकि इसके साथ मैट्रिक्स गुणन के परिणामस्वरूप बदलते पैमाने (आकार) होते हैं। इसका निर्धारक इसके विकर्ण मानों का गुणनफल है।

परिभाषा

जैसा ऊपर बताया गया है, एक विकर्ण मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसमें सभी ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियां शून्य हैं। यानी मैट्रिक्स D = (d_i,j) n कॉलम और n पंक्तियों के साथ विकर्ण है यदि

$$\forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\implies d_{i,j}=0.$$

हालाँकि, मुख्य विकर्ण प्रविष्टियाँ अप्रतिबंधित हैं।

शब्द विकर्ण मैट्रिक्स कभी-कभी एक 'का उल्लेख कर सकता है।rectangular diagonal matrix, जो एक m-by-n मैट्रिक्स है जिसमें सभी प्रविष्टियां d रूप की नहीं हैं_i,i शून्य होना। उदाहरण के लिए:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}$ या ${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}$

अधिक बार, हालांकि, विकर्ण मैट्रिक्स वर्ग मैट्रिक्स को संदर्भित करता है, जिसे स्पष्ट रूप से 'के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है।square diagonal matrix. एक वर्ग विकर्ण मैट्रिक्स एक सममित मैट्रिक्स है, इसलिए इसे a भी कहा जा सकता हैsymmetric diagonal matrix.

निम्नलिखित मैट्रिक्स वर्ग विकर्ण मैट्रिक्स है:

$${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}$$

यदि प्रविष्टियाँ वास्तविक संख्याएँ या जटिल संख्याएँ हैं, तो यह एक सामान्य मैट्रिक्स भी है।

इस लेख के शेष भाग में हम केवल वर्ग विकर्ण आव्यूहों पर विचार करेंगे, और उन्हें केवल विकर्ण आव्यूहों के रूप में संदर्भित करेंगे।

वेक्टर-टू-मैट्रिक्स डायग ऑपरेटर

एक विकर्ण मैट्रिक्स $\mathbf {D}$ वेक्टर से बनाया जा सकता है $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ का उपयोग $\operatorname {diag}$ ऑपरेटर:

$$\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$$

इसे और अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (\mathbf {a} )$.

उसी ऑपरेटर का उपयोग ब्लॉक मैट्रिक्स # ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स को दर्शाने के लिए भी किया जाता है $\mathbf {A} =\operatorname {diag} (A_{1},\dots ,A_{n})$ जहां प्रत्येक तर्क $A_{i}$ एक मैट्रिक्स है। $\operatorname {diag}$ h> ऑपरेटर के रूप में लिखा जा सकता है:

$$\operatorname {diag} (\mathbf {a} )=\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \mathbf {I}$$

कहाँ $\circ$ हैडमार्ड उत्पाद (मैट्रिसेस) का प्रतिनिधित्व करता है और $\mathbf {1}$ तत्व 1 के साथ एक स्थिर वेक्टर है।

मैट्रिक्स-टू-वेक्टर डायग ऑपरेटर

उलटा मैट्रिक्स-टू-वेक्टर $\operatorname {diag}$ ऑपरेटर को कभी-कभी समान नाम से दर्शाया जाता है $\operatorname {diag} (\mathbf {D} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ जहां तर्क अब एक मैट्रिक्स है और परिणाम इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का एक सदिश है।

निम्नलिखित संपत्ति रखती है:

$$\operatorname {diag} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{j}\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)_{ij}$$

स्केलर मैट्रिक्स

समान विकर्ण प्रविष्टियों वाला एक विकर्ण मैट्रिक्स एक अदिश मैट्रिक्स है; यानी, आइडेंटिटी मैट्रिक्स का एक स्केलर मल्टिपल λ I. सदिश (गणित और भौतिकी) पर इसका प्रभाव λ द्वारा अदिश गुणन है। उदाहरण के लिए, एक 3×3 स्केलर मैट्रिक्स का रूप है:

$${\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}$$

अदिश आव्यूह, आव्यूहों के बीजगणित के बीजगणित का केंद्र होते हैं: अर्थात्, वे सटीक रूप से वे आव्यूह होते हैं जो एक ही आकार के अन्य सभी वर्ग आव्यूहों के साथ (गणित) परिभ्रमण करते हैं। इसके विपरीत, एक क्षेत्र (गणित) पर (वास्तविक संख्या की तरह), सभी विकर्ण तत्वों के साथ एक विकर्ण मैट्रिक्स केवल विकर्ण मैट्रिक्स के साथ यात्रा करता है (इसका केंद्रक विकर्ण मैट्रिक्स का सेट है)। ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि एक विकर्ण मैट्रिक्स $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ है $a_{i}\neq a_{j},$ फिर एक मैट्रिक्स दिया $\mathbf {M}$ साथ $m_{ij}\neq 0,$ $(i,j)$ उत्पादों की अवधि हैं: $(\mathbf {D} \mathbf {M} )_{ij}=a_{i}m_{ij}$ और $(\mathbf {M} \mathbf {D} )_{ij}=m_{ij}a_{j},$ और $a_{j}m_{ij}\neq m_{ij}a_{i}$ (चूंकि कोई विभाजित कर सकता है $m_{ij}$), इसलिए वे तब तक यात्रा नहीं करते जब तक कि ऑफ-डायगोनल शब्द शून्य न हों। विकर्ण मैट्रिसेस जहां विकर्ण प्रविष्टियां सभी समान नहीं हैं या सभी अलग-अलग हैं, पूरे स्थान और केवल विकर्ण मैट्रिसेस के बीच मध्यवर्ती मध्यस्थ हैं। एक सार सदिश स्थान V के लिए (कंक्रीट सदिश स्थान के बजाय $K^{n}$), अदिश आव्यूहों के अनुरूप अदिश परिवर्तन हैं। यह आमतौर पर एक मॉड्यूल (रिंग थ्योरी) M के लिए एक रिंग (बीजगणित) R पर अधिक सच है, जिसमें एंडोमोर्फिज्म बीजगणित End(M) ('M' पर रैखिक ऑपरेटरों का बीजगणित) ) मेट्रिसेस के बीजगणित की जगह। औपचारिक रूप से, अदिश गुणन एक रेखीय मानचित्र है, जो एक मानचित्र को प्रेरित करता है $R\to \operatorname {End} (M),$ (एक स्केलर λ से इसके संबंधित स्केलर परिवर्तन, λ द्वारा गुणा) आर-बीजगणित (रिंग थ्योरी) के रूप में एंड (एम) को प्रदर्शित करता है। वेक्टर रिक्त स्थान के लिए, स्केलर ट्रांसफॉर्म एंडोमोर्फिज्म बीजगणित की अंगूठी का बिल्कुल केंद्र हैं, और इसी प्रकार, उलटा ट्रांसफॉर्म सामान्य रैखिक समूह जीएल (वी) का केंद्र हैं। पूर्व अधिक आम तौर पर सही मुक्त मॉड्यूल है $M\cong R^{n}$, जिसके लिए एंडोमोर्फिज्म बीजगणित मैट्रिक्स बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है।

वेक्टर संचालन

एक वेक्टर को एक विकर्ण मैट्रिक्स से गुणा करने पर प्रत्येक पद को संबंधित विकर्ण प्रविष्टि से गुणा किया जाता है। एक विकर्ण मैट्रिक्स दिया $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ और एक वेक्टर $\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$उत्पाद है:

$$\mathbf {D} \mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.$$

यह एक विकर्ण मैट्रिक्स के बजाय एक सदिश का उपयोग करके अधिक सघन रूप से व्यक्त किया जा सकता है, $\mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$, और वैक्टर (एंट्रीवाइज प्रोडक्ट) के हैडमार्ड उत्पाद (मैट्रिसेस) को निरूपित किया $\mathbf {d} \circ \mathbf {v}$:

$$\mathbf {D} \mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.$$

यह गणितीय रूप से समतुल्य है, लेकिन इस विरल मैट्रिक्स के सभी शून्य शब्दों को संग्रहीत करने से बचता है। इस प्रकार इस उत्पाद का उपयोग यंत्र अधिगम में किया जाता है, जैसे backpropagation में डेरिवेटिव के उत्पादों की गणना करना या TF-IDF में IDF भार को गुणा करना, चूंकि कुछ बीएलएएस ढांचे, जो मैट्रिसेस को कुशलतापूर्वक गुणा करते हैं, हैडमार्ड उत्पाद क्षमता को सीधे शामिल नहीं करते हैं।

मैट्रिक्स संचालन

मैट्रिक्स जोड़ और मैट्रिक्स गुणन के संचालन विशेष रूप से विकर्ण मैट्रिसेस के लिए सरल हैं। लिखना diag(a₁, ..., a_n) एक विकर्ण मैट्रिक्स के लिए जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ ऊपरी बाएँ कोने में शुरू होती हैं₁, ..., ए_n. फिर, जोड़ने के लिए, हमारे पास है

diag(a₁, ..., a_n) + diag(b₁, ..., b_n) = diag(a₁ + b₁, ..., a_n + b_n)

और मैट्रिक्स गुणन के लिए,

diag(a₁, ..., a_n) diag(b₁, ..., b_n) = diag(a₁b₁, ..., a_nb_n).

विकर्ण मैट्रिक्स diag(a₁, ..., a_n) उलटा मैट्रिक्स है अगर और केवल अगर प्रविष्टियां ए₁, ..., ए_n सभी अशून्य हैं। इस मामले में, हमारे पास है

diag(a₁, ..., a_n)⁻¹ = diag(a₁⁻¹, ..., a_n⁻¹).

विशेष रूप से, विकर्ण मेट्रिसेस सभी एन-बाय-एन मेट्रिसेस की रिंग का एक सबरिंग बनाते हैं।

n-by-n मैट्रिक्स को गुणा करना A बाएँ से diag(a₁, ..., a_n) गुणा करने के बराबर है i-वीं पंक्ति A द्वारा a_i सभी के लिए i; मैट्रिक्स को गुणा करना A के साथ दाएँ से diag(a₁, ..., a_n) गुणा करने के बराबर है i-वाँ स्तंभ A द्वारा a_i सभी के लिए i.

ईजेनबेसिस में ऑपरेटर मैट्रिक्स

Main articles: Transformation matrix § Finding the matrix of a transformation, and Eigenvalues and eigenvectors

जैसा कि परिवर्तन मैट्रिक्स में समझाया गया है # परिवर्तन के मैट्रिक्स को खोजना, एक विशेष आधार है, e₁, ..., e_n, जिसके लिए मैट्रिक्स $\mathbf {A}$ तिरछा रूप धारण कर लेता है। इसलिए, परिभाषित समीकरण में ${\textstyle \mathbf {A} \mathbf {e} _{j}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$, सभी गुणांक $a_{i,j}$ साथ i ≠ j शून्य हैं, प्रति योग केवल एक पद छोड़ते हैं। जीवित विकर्ण तत्व, $a_{i,i}$, eigenvalues ​​​​के रूप में जाना जाता है और के साथ नामित किया गया है $\lambda _{i}$ समीकरण में, जो कम हो जाता है $\mathbf {A} \mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}$. परिणामी समीकरण को eigenvalue समीकरण के रूप में जाना जाता है और विशेषता बहुपद और आगे, आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है।

दूसरे शब्दों में, के eigenvalues diag(λ₁, ..., λ_n) हैं λ₁, ..., λ_n के संबद्ध ईजेनवेक्टरों के साथ e₁, ..., e_n.

गुण

• का निर्धारक diag(a₁, ..., a_n) उत्पाद है a₁⋯a_n.
• एक विकर्ण मैट्रिक्स का सहायक फिर से विकर्ण है।
• जहां सभी मेट्रिसेस वर्गाकार होते हैं,
  • एक मैट्रिक्स विकर्ण है अगर और केवल अगर यह त्रिकोणीय और सामान्य मैट्रिक्स है।
  • एक मैट्रिक्स विकर्ण है अगर और केवल अगर यह त्रिकोणीय मैट्रिक्स दोनों है | ऊपरी- और त्रिकोणीय मैट्रिक्स | निचला-त्रिकोणीय।
  • एक विकर्ण मैट्रिक्स सममित मैट्रिक्स है।
• पहचान मैट्रिक्स मैं_n और शून्य मैट्रिक्स विकर्ण हैं।
• एक 1×1 मैट्रिक्स हमेशा विकर्ण होता है।

अनुप्रयोग

रैखिक बीजगणित के कई क्षेत्रों में विकर्ण मैट्रिक्स होते हैं। ऊपर दिए गए मैट्रिक्स ऑपरेशन और eigenvalues/eigenvectors के सरल विवरण के कारण, आमतौर पर एक विकर्ण मैट्रिक्स द्वारा दिए गए मैट्रिक्स या रैखिक ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करना वांछनीय है।

वास्तव में, एक दिया गया n-by-n मैट्रिक्स A एक विकर्ण मैट्रिक्स के समान मैट्रिक्स है (जिसका अर्थ है कि एक मैट्रिक्स है X ऐसा है कि X⁻¹AX विकर्ण है) अगर और केवल अगर यह है n रैखिक रूप से स्वतंत्र ईजेनवेक्टर। ऐसे आव्यूहों को विकर्णीय आव्यूह कहा जाता है।

वास्तविक संख्या या जटिल संख्या संख्याओं के क्षेत्र (गणित) में, अधिक सत्य है। वर्णक्रमीय प्रमेय का कहना है कि प्रत्येक सामान्य मैट्रिक्स एक विकर्ण मैट्रिक्स (यदि AA^∗ = A^∗A तो एक एकात्मक मैट्रिक्स मौजूद है U ऐसा है कि UAU^∗ विकर्ण है)। इसके अलावा, एकवचन मूल्य अपघटन का अर्थ है कि किसी भी मैट्रिक्स के लिए A, एकात्मक मैट्रिसेस मौजूद हैं U और V ऐसा है कि U^∗AV सकारात्मक प्रविष्टियों के साथ विकर्ण है।

ऑपरेटर सिद्धांत

ऑपरेटर सिद्धांत में, विशेष रूप से पीडीई के अध्ययन में, ऑपरेटरों को विशेष रूप से समझना आसान होता है और पीडीई को हल करना आसान होता है यदि ऑपरेटर उस आधार के संबंध में विकर्ण है जिसके साथ कोई काम कर रहा है; यह एक वियोज्य आंशिक अंतर समीकरण के अनुरूप है। इसलिए, ऑपरेटरों को समझने के लिए एक महत्वपूर्ण तकनीक निर्देशांक का एक परिवर्तन है - ऑपरेटरों की भाषा में, एक अभिन्न परिवर्तन - जो आधार को eigenfunction के खुद का आधार में बदलता है: जो समीकरण को वियोज्य बनाता है। इसका एक महत्वपूर्ण उदाहरण फूरियर रूपांतरण है, जो गर्मी समीकरण में निरंतर गुणांक विभेदन संचालकों (या अधिक सामान्यतः अनुवाद अपरिवर्तनीय संचालकों) को तिरछा करता है, जैसे कि लाप्लासियन संचालिका।

गुणन संचालक विशेष रूप से आसान होते हैं, जिन्हें एक निश्चित फ़ंक्शन द्वारा गुणन (के मान) के रूप में परिभाषित किया जाता है - प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शन के मान एक मैट्रिक्स की विकर्ण प्रविष्टियों के अनुरूप होते हैं।

यह भी देखें

• विरोधी विकर्ण मैट्रिक्स
• बैंडेड मैट्रिक्स
• बिडायगोनल मैट्रिक्स
• तिरछे प्रमुख मैट्रिक्स
• विकर्ण मैट्रिक्स
• जॉर्डन सामान्य रूप
• गुणा ऑपरेटर
• त्रिविकर्ण मैट्रिक्स
• टोप्लिट्ज मैट्रिक्स
• तोरल झूठ बीजगणित
• परिचालित मैट्रिक्स

स्रोत

• Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6

श्रेणी:मैट्रिक्स सामान्य रूप श्रेणी: विरल मैट्रिसेस