होलोमॉर्फिक सदिश बंडल

गणित में, एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल एक जटिल मैनिफोल्ड पर एक जटिल वेक्टर बंडल होता है X जैसे कि कुल स्थान E एक जटिल कई गुना और प्रक्षेपण मानचित्र है π : E → X होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन है। मौलिक उदाहरण एक जटिल मैनिफोल्ड के होलोमोर्फिक स्पर्शरेखा बंडल हैं, और इसके दोहरे, होलोमोर्फिक कॉटैंजेंट बंडल हैं। एक होलोमॉर्फिक लाइन बंडल एक रैंक वन होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल है।

Serre's GAGA द्वारा, होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडलों की श्रेणी एक चिकनी विविधता जटिल प्रोजेक्टिव किस्म 'X' (एक जटिल मैनिफोल्ड के रूप में देखी गई) पर बीजगणितीय वेक्टर बंडलों की श्रेणी के बराबर है (यानी, परिमित रैंक के स्थानीय रूप से मुक्त शीफ) ' 'एक्स।

तुच्छीकरण के माध्यम से परिभाषा

विशेष रूप से, किसी के लिए आवश्यक है कि तुच्छीकरण मानचित्र

$\phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {C} ^{k}$

बिहोलोमोर्फिक मानचित्र हैं। यह संक्रमण मानचित्रों की आवश्यकता के बराबर है

$t_{UV}:U\cap V\to \mathrm {GL} _{k}(\mathbf {C} )$

होलोमॉर्फिक मानचित्र हैं। एक जटिल मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा बंडल पर होलोमोर्फिक संरचना की गारंटी इस टिप्पणी से होती है कि वेक्टर-मूल्यवान होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न (उचित अर्थ में) स्वयं होलोमोर्फिक है।

होलोमोर्फिक वर्गों का शीफ ​​

होने देना E एक होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल बनें। एक स्थानीय खंड s : U → E|_U को होलोमॉर्फिक कहा जाता है, यदि प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में U, यह कुछ (समतुल्य किसी भी) तुच्छीकरण में होलोमोर्फिक है।

यह स्थिति स्थानीय है, जिसका अर्थ है कि होलोमोर्फिक खंड एक शीफ (गणित) बनाते हैं X. इस शीफ को कभी-कभी निरूपित किया जाता है ${\mathcal {O}}(E)$, या द्वारा संकेतन का दुरुपयोग E. ऐसा पूला हमेशा स्थानीय रूप से सदिश बंडल की रैंक के समान रैंक से मुक्त होता है। अगर E तुच्छ रेखा बंडल है ${\underline {\mathbf {C} }},$ तो यह पूला संरचना शीफ ​​के साथ मेल खाता है ${\mathcal {O}}_{X}$ जटिल कई गुना X.

बुनियादी उदाहरण

लाइन बंडल हैं ${\mathcal {O}}(k)$ ऊपर $\mathbb {CP} ^{n}$ जिनके वैश्विक खंड डिग्री के सजातीय बहुपदों के अनुरूप हैं $k$ (के लिए $k$ सकारात्मक पूर्णांक)। विशेष रूप से, $k=0$ तुच्छ रेखा बंडल से मेल खाती है। अगर हम कवर लेते हैं $U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}]:x_{i}\neq 0\}$ तो हम चार्ट ढूंढ सकते हैं $\phi _{i}:U_{i}\to \mathbb {C} ^{n}$ <ब्लॉककोट> द्वारा परिभाषित$\phi _{i}([x_{0}:\cdots :x_{i}:\cdots :x_{n}])=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{i-1}}{x_{i}}},{\frac {x_{i+1}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right)=\mathbb {C} _{i}^{n}$हम ट्रांजिशन फंक्शन बना सकते हैं $\phi _{ij}|_{U_{i}\cap U_{j}}:\mathbb {C} _{i}^{n}\cap \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \mathbb {C} _{j}^{n}\cap \phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})$ <ब्लॉककोट> द्वारा परिभाषित$\phi _{ij}=\phi _{i}\circ \phi _{j}^{-1}(z_{1},\ldots ,z_{n})=\left({\frac {z_{1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{i-1}}{z_{i}}},{\frac {z_{i+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{j}}{z_{i}}},{\frac {1}{z_{j}}},{\frac {z_{j+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}}\right)$अब, यदि हम तुच्छ बंडल पर विचार करें $L_{i}=\phi _{i}(U_{i})\times \mathbb {C}$ हम प्रेरित संक्रमण कार्य बना सकते हैं $\psi _{i,j}$. अगर हम समन्वय का उपयोग करते हैं $z$ फाइबर पर, तो हम ट्रांज़िशन फ़ंक्शंस बना सकते हैं

$\psi _{i,j}((z_{1},\ldots ,z_{n}),z)=\left(\phi _{i,j}(z_{1},\ldots ,z_{n}),{\frac {z_{i}^{k}}{z_{j}^{k}}}\cdot z\right)$

किसी भी पूर्णांक के लिए $k$. इनमें से प्रत्येक एक लाइन बंडल से जुड़ा हुआ है ${\mathcal {O}}(k)$. चूंकि वेक्टर बंडल आवश्यक रूप से पीछे खींचते हैं, कोई भी होलोमोर्फिक सबमेनिफोल्ड $f:X\to \mathbb {CP} ^{n}$ एक संबंधित लाइन बंडल है $f^{*}({\mathcal {O}}(k))$, कभी-कभी निरूपित ${\mathcal {O}}(k)|_{X}$.

डोलबेल्ट ऑपरेटर्स

ग्रहण E एक होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल है। फिर एक प्रतिष्ठित संचालिका है ${\bar {\partial }}_{E}$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। एक स्थानीय तुच्छता में $U_{\alpha }$ का E, स्थानीय फ्रेम के साथ $e_{1},\dots ,e_{n}$, कोई भी खंड लिखा जा सकता है $s=\sum _{i}s^{i}e_{i}$ कुछ सहज कार्यों के लिए $s^{i}:U_{\alpha }\to \mathbb {C}$. स्थानीय रूप से एक ऑपरेटर को परिभाषित करें

${\bar {\partial }}_{E}(s):=\sum _{i}{\bar {\partial }}(s^{i})\otimes e_{i}$

कहाँ ${\bar {\partial }}$ रेगुलर कॉम्प्लेक्स डिफरेंशियल फॉर्म है#द डॉल्बेल्ट ऑपरेटर्स|बेस मैनिफोल्ड का कॉची-रीमैन ऑपरेटर। यह ऑपरेटर सभी पर अच्छी तरह से परिभाषित है E क्योंकि दो तुच्छताओं के ओवरलैप पर $U_{\alpha },U_{\beta }$ होलोमोर्फिक संक्रमण समारोह के साथ $g_{\alpha \beta }$, अगर $s=s^{i}e_{i}={\tilde {s}}^{j}f_{j}$ कहाँ $f_{j}$ के लिए एक स्थानीय फ्रेम है E पर $U_{\beta }$, तब $s^{i}=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\tilde {s}}^{j}$, इसलिए

${\bar {\partial }}(s^{i})=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\bar {\partial }}({\tilde {s}}^{j})$

क्योंकि संक्रमण कार्य होलोमोर्फिक हैं। यह निम्नलिखित परिभाषा की ओर ले जाता है: एक चिकने जटिल सदिश बंडल पर एक डॉलबेल्ट ऑपरेटर $E\to M$ एक $\mathbb {C}$-रैखिक ऑपरेटर

${\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1}(M)\otimes \Gamma (E)$

ऐसा है कि

• (कॉची-रीमैन स्थिति) ${\bar {\partial }}_{E}^{2}=0$,
• (लीबनिज नियम) किसी भी वर्ग के लिए $s\in \Gamma (E)$ और समारोह $f$ पर $M$, किसी के पास

${\bar {\partial }}_{E}(fs)={\bar {\partial }}(f)\otimes s+f{\bar {\partial }}_{E}(s)$.

न्यूलैंडर-निरेनबर्ग प्रमेय के एक आवेदन से, एक होलोमोर्फिक बंडल के डोलबेल्ट ऑपरेटर के निर्माण के लिए एक बातचीत प्राप्त करता है:

Theorem: एक Dolbeault ऑपरेटर दिया गया है ${\bar {\partial }}_{E}$ एक चिकने जटिल वेक्टर बंडल पर $E$, पर एक अद्वितीय होलोमोर्फिक संरचना है $E$ ऐसा है कि ${\bar {\partial }}_{E}$ जैसा कि ऊपर निर्मित किया गया है, संबद्ध डॉलबियॉल्ट ऑपरेटर है।

एक डॉल्बेल्ट ऑपरेटर द्वारा प्रेरित होलोमोर्फिक संरचना के संबंध में ${\bar {\partial }}_{E}$, एक चिकना खंड $s\in \Gamma (E)$ होलोमोर्फिक है अगर और केवल अगर ${\bar {\partial }}_{E}(s)=0$. यह एक रिंग वाली जगह के रूप में एक चिकनी या जटिल मैनिफोल्ड की परिभाषा के समान नैतिक रूप से है। अर्थात्, यह निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि एक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पर कौन से कार्य सुचारू या जटिल हैं, ताकि इसे एक चिकनी या जटिल संरचना के साथ जोड़ा जा सके।

Dolbeault ऑपरेटर के पास बंद और सटीक अंतर रूपों के संदर्भ में स्थानीय व्युत्क्रम होता है।

== एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल == में मूल्यों के साथ रूपों का ढेर अगर ${\mathcal {E}}_{X}^{p,q}$ के पुलिंदे को दर्शाता है C^∞ प्रकार के विभेदक रूप (p, q), फिर प्रकार का शीफ (p, q) मूल्यों के साथ रूपों E को टेंसर उत्पाद के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

${\mathcal {E}}^{p,q}(E)\triangleq {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}\otimes E.$

ये पूले ठीक पूले हैं, जिसका अर्थ है कि वे एकता के विभाजन को स्वीकार करते हैं। चिकने और होलोमोर्फिक वेक्टर बंडलों के बीच एक मूलभूत अंतर यह है कि बाद वाले में, एक कैनोनिकल डिफरेंशियल ऑपरेटर होता है, जो ऊपर परिभाषित #Dolbeault ऑपरेटरों द्वारा दिया गया है:

${\overline {\partial }}_{E}:{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\to {\mathcal {E}}^{p,q+1}(E).$

होलोमोर्फिक वेक्टर बंडलों की कोहोलॉजी

See also: Dolbeault cohomology

अगर E एक होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल है, जिसका कोहोलॉजी है E को शेफ कोहोलॉजी के रूप में परिभाषित किया गया है ${\mathcal {O}}(E)$. विशेष रूप से, हमारे पास है

$H^{0}(X,{\mathcal {O}}(E))=\Gamma (X,{\mathcal {O}}(E)),$ के वैश्विक होलोमोर्फिक वर्गों का स्थान E. हमारे पास वह भी है $H^{1}(X,{\mathcal {O}}(E))$ के ट्रिवियल लाइन बंडल के एक्सटेंशन के समूह को पैरामीट्रिज करता है X द्वारा E, यानी होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडलों का सटीक क्रम 0 → E → F → X × C → 0. समूह संरचना के लिए, बेयर सम और साथ ही शीफ एक्सटेंशन भी देखें।

डोलबेल्ट के प्रमेय द्वारा, इस शीफ कॉहोलॉजी को वैकल्पिक रूप से होलोमोर्फिक बंडल में मूल्यों के साथ रूपों के शीशों द्वारा परिभाषित श्रृंखला परिसर के कोहोलॉजी के रूप में वर्णित किया जा सकता है। $E$. अर्थात् हमारे पास है

$H^{i}(X,{\mathcal {O}}(E))=H^{i}(({\mathcal {E}}^{0,\bullet }(E),{\bar {\partial }}_{E})).$

पिकार्ड समूह

कॉम्प्लेक्स डिफरेंशियल ज्योमेट्री के संदर्भ में, पिकार्ड ग्रुप Pic(X) जटिल कई गुना X टेंसर उत्पाद द्वारा दिए गए समूह कानून के साथ होलोमोर्फिक लाइन बंडलों के आइसोमोर्फिज्म वर्गों का समूह है और दोहरीकरण द्वारा दिया गया व्युत्क्रम है। इसे समकक्ष रूप से पहले कोहोलॉजी समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})$ गैर-लुप्त हो रहे होलोमॉर्फिक कार्यों के पूले का।

होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल पर हर्मिटियन मेट्रिक्स

See also: Hermitian connection

ई को एक जटिल मैनिफोल्ड एम पर एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल होने दें और मान लें कि ई पर एक हर्मिटियन मीट्रिक है; यानी फाइबर ई_x आंतरिक उत्पादों <·,·> से लैस हैं जो सुचारू रूप से भिन्न होते हैं। फिर ई पर एक अनूठा कनेक्शन (वेक्टर बंडल) मौजूद है जो जटिल संरचना और मीट्रिक संरचना दोनों के साथ संगत है, जिसे 'चेर्न कनेक्शन' कहा जाता है; अर्थात्, ∇ एक ऐसा संबंध है कि

(1) ई के किसी भी चिकने खंड के लिए, $\pi _{0,1}\nabla s={\bar {\partial }}_{E}s$ जहां प_0,1(0, 1)-सदिश मूल्यवान रूप का घटक लेता है|ई-मूल्यवान 1-रूप।

(2) किसी भी चिकने खंड s, t के E और M पर एक सदिश क्षेत्र X के लिए,

$X\cdot \langle s,t\rangle =\langle \nabla _{X}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{X}t\rangle$

जहाँ हमने लिखा था $\nabla _{X}s$ के आंतरिक उत्पाद के लिए $\nabla s$ X द्वारा। (यह कहने के बराबर है कि ∇ द्वारा समानांतर परिवहन मीट्रिक <·,·> को संरक्षित करता है।)

दरअसल, अगर यू = (ई₁, …, यह है_n) एक होलोमोर्फिक फ्रेम है, तो मान लीजिए $h_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle$ और ω को परिभाषित करें_u समीकरण द्वारा $\sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j}^{k}=\partial h_{ij}$, जिसे हम और सरल रूप में लिखते हैं:

$\omega _{u}=h^{-1}\partial h.$

यदि u' = ug आधार g के होलोमोर्फिक परिवर्तन के साथ एक और फ्रेम है, तो

$\omega _{u'}=g^{-1}dg+g\omega _{u}g^{-1},$

और इसलिए ω वास्तव में एक कनेक्शन प्रपत्र है, जो ∇ by ∇s = ds + ω · s को जन्म देता है। अब, चूंकि ${\overline {\omega }}^{T}={\overline {\partial }}h\cdot h^{-1}$,

$d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_{j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .$

अर्थात, ∇ मीट्रिक संरचना के अनुकूल है। अंत में, चूंकि ω एक (1, 0)-रूप है, (0, 1)-घटक $\nabla s$ है ${\bar {\partial }}_{E}s$.

होने देना $\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega$ ∇ का वक्रता रूप हो। तब से $\pi _{0,1}\nabla ={\bar {\partial }}_{E}$ Dolbeault ऑपरेटर की परिभाषा के अनुसार वर्गों को शून्य तक, Ω में कोई (0, 2)-घटक नहीं है और चूंकि Ω को आसानी से तिरछा-हर्मिटियन दिखाया जाता है, इसका कोई (2, 0)-घटक भी नहीं है। नतीजतन, Ω एक (1, 1)-रूप है जो द्वारा दिया गया है

$\Omega ={\bar {\partial }}_{E}\omega .$

होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडलों के उच्च कोहोलॉजी के लिए सुसंगत शीफ कोहोलॉजी में वक्रता Ω प्रमुखता से दिखाई देती है; उदाहरण के लिए, कोडैरा की लुप्तप्राय प्रमेय और नाकानो की गायब प्रमेय।

संदर्भ

• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
• "Vector bundle, analytic", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

यह भी देखें

• बिरखॉफ-ग्रोथेंडिक प्रमेय
• क्विलन मीट्रिक
• गंभीर द्वैत

बाहरी संबंध

• Splitting principle for holomorphic vector bundles