मूल्यांकन (बीजगणित)

बीजगणित में (विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति या बीजगणितीय संख्या क्षेत्र में), मूल्यांकन क्षेत्र (गणित) पर फ़ंक्शन (गणित) है जो क्षेत्र के तत्वों के आकार या बहुलता का माप प्रदान करता है। जटिल विश्लेषण में ध्रुव की डिग्री या शून्य की बहुलता (गणित) के विचार में अंतर्निहित आकार की धारणा, संख्या सिद्धांत में अभाज्य संख्या द्वारा संख्या की विभाज्यता की डिग्री और बीजगणितीय ज्यामिति में दो बीजगणितीय विविधता या काम्प्लेक्स ऐनालिटिक फंक्शन के मध्य संपर्क (ज्यामिति) की ज्यामितीय अवधारणा को यह क्रमविनिमेय बीजगणित के लिए सामान्यीकरण करता है। जिस क्षेत्र पर मूल्यांकन होता है, उसे वैल्यूड क्षेत्र कहा जाता है।

परिभाषा

यह निम्नलिखित वस्तुओं से प्रारम्भ होता है:

क्षेत्र (गणित) $K$ और इसका गुणक समूह K^×
एबेलियन समूह पूर्ण व्यवस्थित समूह $(Γ, +, \geq)$ ,

$Γ$ पर क्रम और समूह नियम सेट $Γ \cup {\infty$ }^{[lower-alpha 1]} निम्लिखित नियमानुसार विस्तारित किये गए हैं,

$α$ ∈ $Γ$ के लिए $\infty \geq α$ है,
$α$ ∈ $Γ$ के लिए $\infty + α = α + \infty = \infty + \infty = \infty$ है

तब $K$ का मूल्यांकन मानचित्र है-

$v : K \to Γ \cup {\infty}$

जो K में a, b के लिए निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है-

$v (a) = \infty$ यदि $a = 0$ ,
$v (ab) = v (a) + v (b)$ ,
यदि v(a) ≠ v(b), तब समानता $v (a + b) \geq min(v (a), v (b))$ है

यदि $K$ ^{× में a के लिए v(a) = 0 है तो मूल्यांकन v 'ट्रिविअल' है, अन्यथा यह नॉन-ट्रिविअल है।}

द्वितीय गुण का आशय है कि कोई भी मूल्यांकन समूह समरूपता है। तृतीय गुण मीट्रिक रिक्त स्थान पर त्रिभुज असमानता का संस्करण है जो एकपक्षीय Γ के लिए अनुकूलित है (नीचे 'गुणात्मक संकेतन' देखें)। विश्लेषणात्मक ज्यामिति अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाने वाले मूल्यांकन के लिए, प्रथम गुण का अर्थ है कि बिंदु के निकट विश्लेषणात्मक विविधता के किसी भी नॉन-एम्प्टी जर्म (गणित) में वह बिंदु होता है।

मूल्यांकन की व्याख्या अग्रणी-क्रम अवधि के क्रम के रूप में की जा सकती है।^{[lower-alpha 2]} तृतीय गुण लघु पद के क्रम के योग में युग्मित होते हैं,^{[lower-alpha 3]} जब तक कि दो शब्दों का एक ही क्रम न हो, उस स्थित में वे समाप्त हो सकते हैं जिस स्थिति में योग का बड़ा क्रम हो सकता है।

कई अनुप्रयोगों के लिए, $Γ$ वास्तविक संख्या $\mathbb {R}$ का योगात्मक उपसमूह है^{[lower-alpha 4]} जिस स्थिति में ∞ की व्याख्या विस्तारित वास्तविक संख्याओं में +∞ के रूप में की जा सकती है; ध्यान दें कि $\min(a,+\infty )=\min(+\infty ,a)=a$ किसी वास्तविक संख्या a के लिए, और इस प्रकार +∞ न्यूनतम की बाइनरी संक्रिया के अंतर्गत इकाई है। न्यूनतम और योग संक्रियाओं के साथ वास्तविक संख्याएं (+ ∞ द्वारा विस्तारित) सेमीरिंग बनाती हैं, जिसे मिन ट्रॉपिकल सेमिरिंग कहा जाता है,^{[lower-alpha 5]} और मूल्यांकन v, K से ट्रॉपिकल सेमिरिंग तक प्रायः सेमीरिंग होमोमोर्फिज्म है, अतिरिक्त इसके कि होमोमोर्फिज्म गुण विफल हो सकता है जब दो समान मान वाले तत्वों को साथ जोड़ा जाता है।

गुणक अंकन और निरपेक्ष मान

अवधारणा को एमिल आर्टिन ने अपनी पुस्तक ज्यामितीय बीजगणित (पुस्तक) में विकसित किया था, जिसमें समूह को गुणक संकेतन $(Γ, \cdot, \geq)$ के रूप में लिखा गया था।^[1]

∞ के अतिरिक्त, हम नियमों द्वारा विस्तारित क्रम और समूह नियम के साथ औपचारिक प्रतीक O को Γ से जोड़ते हैं

$α$ ∈ $Γ$ के लिए $O \leq α$
$α$ ∈ $Γ$ के लिए $O \cdot α = α \cdot O = O$

तब $K$ का मूल्यांकन मानचित्र है-

| \cdot | v : K \to Γ \cup {O}

a, b ∈ K के लिए निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है-

$|a| v = O$ यदि $a = 0$ ,
$|ab| v = |a| v \cdot |b| v$ ,
यदि $|a| v \neq |b| v$ , तब समानता $|a+b| v \leq max(|a| v, |b| v)$ है।

(ध्यान दें कि असमानताओं की दिशाएँ योज्य संकेतन से परिवर्तित हैं।)

यदि $Γ$ गुणन के अंतर्गत सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का उपसमूह है, तो अंतिम स्थिति अल्ट्रामेट्रिक स्पेस असमानता है, त्रिकोण असमानता का ठोस रूप $|a+b| v \leq |a| v + |b| v$ , और $| \cdot | v$ निरपेक्ष मान (बीजगणित) है। इस स्थिति में, हम $v + (a) = -log |a| v$ लेकर मान समूह $\Gamma _{+}\subset (\mathbb {R} ,+)$ के साथ योज्य संकेतन को पास कर सकते हैं।

K पर प्रत्येक मूल्यांकन संबंधित रैखिक पूर्व क्रम $a ≼ b \Leftrightarrow |a| v \leq |b| v$ को परिभाषित करता है। इसके विपरीत, $≼$ आवश्यक गुणों को संतुष्ट करता है, हम $K$ और $≼$ के आधार पर गुणा और क्रम के साथ मूल्यांकन $|a| v = {b : b ≼ a \land a ≼ b$ } को परिभाषित कर सकते हैं।

शब्दावली

इस लेख में, हम योगात्मक संकेतन में परिभाषित शब्दों का उपयोग करते हैं। चूँकि, कुछ लेखक वैकल्पिक शब्दों का उपयोग करते हैं:

हमारे मूल्यांकन (अल्ट्रामेट्रिक असमानता को संतुष्ट करना) को एक्सपोनेंशियल मूल्यांकन या नॉन-आर्किमिडीयन एब्सोल्यूट वैल्यू या अल्ट्रामेट्रिक एब्सोल्यूट वैल्यू कहा जाता है;
हमारा निरपेक्ष मूल्य (त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करना) मूल्यांकन या आर्किमिडीयन निरपेक्ष मान कहलाता है।

संबद्ध वस्तुएं

किसी दिए गए मूल्यांकन $v : K \to Γ \cup {\infty}$ से परिभाषित कई वस्तुएं हैं-

मूल्य समूह या मूल्यांकन समूह $Γ v$ = v(K^×), $Γ$ का उपसमूह है (चूँकि v सामान्यतः विशेषण है जैसे $Γ v$ = $Γ$ );
मूल्यांकन वलय Rv, a ∈ K का समुच्चय है जिसमें v(a) ≥ 0 है,
प्राइम आइडियल mv, a ∈ K का समुच्चय है जिसमें v(a) > 0 है (यह वास्तव में Rv का मैक्सिमल आइडियल है),
अवशेष क्षेत्र (बीजगणित) kv = Rv/mv,
नीचे दी गई तुल्यता के अंतर्गत v वर्ग से संबंधित K का स्थान है।

मूल गुण

मूल्यांकन की समानता

मूल्यांकन समूह Γ1 और Γ2 के साथ K के दो मूल्यांकन v1 और v2 क्रमशः समतुल्य कहे जाते हैं यदि कोई क्रम-संरक्षण समूह समरूपता $φ : Γ 1 \to Γ 2$ है, जैसे K^× में a के लिए v2(a) = φ(v1(a)) है। यह तुल्यता संबंध है।

K के दो मूल्यांकन समतुल्य हैं यदि उनके निकट समान मूल्यांकन रिंग है।

किसी क्षेत्र के मूल्यांकन के समतुल्य वर्ग को 'स्थान' कहा जाता है। ओस्ट्रोव्स्की की प्रमेय परिमेय संख्याओं $\mathbb {Q} :$ के क्षेत्र के स्थानों का पूर्ण वर्गीकरण देती है, ये $\mathbb {Q} .$ के पी-एडिक पूर्णताओं के लिए मूल्यांकन के त्रुटिहीन समकक्ष वर्ग हैं।

मूल्यांकन का विस्तार

मान लीजिए v का मूल्यांकन $K$ है और L का फील्ड एक्सटेंशन $K$ है। V (L) का विस्तार L का मूल्यांकन w है, जैसे कि w से $K$ तक का प्रतिबंध v है। सभी विस्तारों के समुच्चयों का अध्ययन मूल्यांकन के रेमीफिकेशन सिद्धांत में किया जाता है।

मान लीजिए L/K सीमित विस्तार हैं और w, v से L तक का विस्तार है। Γ_w, e(w/v) = [Γ_w : Γ_v] में Γ_v को v के ऊपर w का अल्प रेमीफिकेशन इंडेक्स कहा जाता है। यह e(w/v) ≤ [L : K] को संतुष्ट करता है (विस्तार L/K' के क्षेत्र विस्तार की डिग्री ')।

v पर w की सापेक्ष डिग्री को f(w/v) = [R_w/m_w : R_v/m_v] के रूप में परिभाषित किया गया है। यह L/K की डिग्री से अल्प या उसके समतुल्य है। जब L/K वियोज्य होता है, तो v के ऊपर w का रेमीफिकेशन इंडेक्स e(w/v)pi के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहां pi, R_v/m_v पर विस्तार R_w/m_w की अविभाज्य डिग्री है।

पूर्ण मूल्यवान क्षेत्र

जब व्यवस्थित एबेलियन समूह $Γ$ पूर्णांकों का योज्य समूह होता है, तो संबंधित मूल्यांकन निरपेक्ष मान के समान होता है, और इसलिए क्षेत्र $K$ पर मीट्रिक (गणित) को प्रेरित करता है। यदि $K$ इस मीट्रिक के संबंध में पूर्ण मीट्रिक स्थान है, तो इसे पूर्ण मान क्षेत्र कहा जाता है। यदि $K$ पूर्ण नहीं है, तो इसके समापन (बीजगणित) के निर्माण के लिए मूल्यांकन का उपयोग किया जा सकता है, जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरणों में है, और भिन्न-भिन्न मूल्यांकन भिन्न-भिन्न समापन क्षेत्रों को परिभाषित कर सकते हैं।

सामान्यतः, मूल्यांकन, $K$ पर यूनिफार्म स्पेस को प्रेरित करता है, और $K$ को पूर्ण मूल्यवान क्षेत्र कहा जाता है यदि यह यूनिफार्म स्पेस के रूप में पूर्ण होता है। संबंधित गुण, जिसे वृताकार पूर्णता के रूप में जाना जाता है: यह पूर्णता के समान है $\Gamma =\mathbb {Z} ,$ किन्तु सामान्य रूप से दृढ़ है।

उदाहरण

$p$ -एडिक मूल्यांकन

सबसे मूल उदाहरण है $p$ -एडिक मूल्यांकन ν_p, परिमेय संख्या $K=\mathbb {Q} ,$ पर मूल्यांकन वलय $R=\mathbb {Z} _{(p)},$ के साथ अभाज्य पूर्णांक $p$ से जुड़ा हुआ है, जहाँ $\mathbb {Z} _{(p)}$ प्राइम आइडियल $(p)$ पर $\mathbb {Z}$ का स्थानीयकरण है। मूल्यांकन समूह योगात्मक पूर्णांक $\Gamma =\mathbb {Z} .$ है। $a\in R=\mathbb {Z} ,$ पूर्णांक के लिए मूल्यांकन νp(a), $p$ की घात द्वारा a की विभाज्यता को मापता है-

\nu _{p}(a)=\max\{e\in \mathbb {Z} \mid p^{e}{\text{ divides }}a\};

और भिन्न के लिए, νp(a/b) = νp(a) - νp(b) है।

इसे गुणात्मक रूप से अंकित करने पर $p$ -ऐडिक निरपेक्ष मान प्राप्त होता है, जिसका पारंपरिक रूप से आधार $1/p=p^{-1}$ होता है, इसलिए $|a|_{p}:=p^{-\nu _{p}(a)}$

ν_p के संबंध में $\mathbb {Q}$ की पूर्णता p-एडिक संख्याओं का क्षेत्र $\mathbb {Q} _{p}$ है।

लुप्त होने का क्रम

मान लीजिए K = F(x) एफ़िन लाइन X = F1 पर परिमेय फलन और बिंदु a ∈ X है। बहुपद $f(x)=a_{k}(x{-}a)^{k}+a_{k+1}(x{-}a)^{k+1}+\cdots +a_{n}(x{-}a)^{n}$ के लिए $a_{k}\neq 0$ के साथ v_a(f) = k, x = a और v_a(f /g) = v_a(f) − v_a(g) पर लुप्त होने के क्रम को परिभाषित करें। तब मूल्यांकन वलय R में परिमेय फलन होते हैं जिनमें x = a पर कोई ध्रुव नहीं होता है, और पूर्णता औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला वलय 'F'((x−a)) है। इसे प्यूसियक्स श्रृंखला K{{t}} (भिन्नात्मक घात), लेवी-सिविता क्षेत्र (इसकी कॉची पूर्णता), और हैन श्रृंखला के क्षेत्र में सामान्यीकृत किया जा सकता है, सभी स्थितियों में मूल्यांकन के साथ श्रृंखला में दिखाई देने वाले t के सबसे छोटे घातांक को लौटाता है।

$π$ -एडिक मूल्यांकन

पूर्व उदाहरणों का सामान्यीकरण करते हुए, मान लीजिए $R$ प्रमुख आदर्श डोमेन है, $K$ इसके भिन्नों का क्षेत्र है, और $π$ , $R$ का अलघुकरणीय तत्व है। चूंकि प्रत्येक प्रमुख आदर्श डोमेन अद्वितीय गुणनखंड डोमेन है, R के प्रत्येक अशून्य तत्व को (अनिवार्य रूप से) विशिष्ट रूप से अंकित किया जा सकता है-

a=\pi ^{e_{a}}p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{n}^{e_{n}}

जहाँ e गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं और p_i $R$ के अलघुकरणीय तत्व हैं जो $π$ के सहयोगी (रिंग थ्योरी) नहीं हैं। पूर्णांक e_a विशिष्ट रूप से a द्वारा निर्धारित किया जाता है।

K का $π$ -एडिक मूल्यांकन निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दिया जाता है-

$v_{\pi }(0)=\infty$
$v_{\pi }(a/b)=e_{a}-e_{b},{\text{ for }}a,b\in R,a,b\neq 0.$

यदि π' $R$ का अलघुकरणीय तत्व है, जैसे कि (π') = (π) (अर्थात, वे R में समान आदर्श उत्पन्न करते हैं), तो π-एडिक मूल्यांकन और π'-एडिक मूल्यांकन समान हैं। इस प्रकार, π-एडिक मूल्यांकन को P-एडिक मूल्यांकन कहा जा सकता है, जहाँ P = (π) है।

डेडेकाइंड डोमेन पर पी-एडिक मूल्यांकन

पूर्व उदाहरण को डेडेकाइंड डोमेन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। मान लीजिए $R$ डेडेकाइंड डोमेन है, $K$ इसके भिन्नों का क्षेत्र है, और P, $R$ का अशून्य प्रमुख आदर्श है। तब P पर $R$ का स्थानीयकरण, निरूपित R_P प्रमुख आदर्श डोमेन है जिसका भिन्न क्षेत्र $K$ है। R_P के प्रमुख आदर्श PR_P पर प्रयुक्त पिछले खंड का निर्माण $K$ के P-एडिक मूल्यांकन को प्राप्त करता है।

मूल्यांकन क्षेत्रों पर सदिश समष्टि

मान लीजिए कि, गुणन के अंतर्गत गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $Γ$ ∪ {0} है। तब हम कहते हैं कि मूल्यांकन असतत है यदि इसकी सीमा (मूल्यांकन समूह) अनंत है (और इसलिए 0 पर संचय बिंदु है)।

मान लीजिए कि X, K के ऊपर सदिश समष्टि है और A और B, X के उपसमुच्चय हैं। तब हम कहते हैं कि A, B को अवशोषित करता है यदि α ∈ K उपस्थित है जैसे कि λ ∈ K और |λ| ≥ |α| का तात्पर्य B ⊆ λ A है। A को रेडियल या अवशोषित कहा जाता है यदि A, X के प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय को अवशोषित करता है। X के रेडियल उपसमुच्चय परिमित प्रतिच्छेदन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं। साथ ही, A को वृत कहा जाता है यदि λ K और |λ| ≥ |α| का तात्पर्य λ A ⊆ A है। L के परिचालित उपसमुच्चय का समुच्चय आर्बिट्ररी प्रतिच्छेदन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। A का वृत्ताकार हल, A युक्त X के सभी वृत्ताकार उपसमुच्चयों का प्रतिच्छेदन है।

मान लीजिए कि X और Y गैर-असतत मूल्यांकन क्षेत्र K पर सदिश समष्टि हैं, मान लीजिए A ⊆ X, B ⊆ Y, और f : X → Y रैखिक मानचित्र हैं। यदि 'B' वृत्ताकार या रेडियल है तो $f^{-1}(B)$ है। यदि A वृत्ताकार है तब f(A) है किन्तु यदि A रेडियल है तो f(A) अतिरिक्त स्थिति के अंतर्गत रेडियल होगा जो कि f सरजेक्टिव है।

यह भी देखें

↑ The symbol ∞ denotes an element not in $Γ$ , with no other meaning. Its properties are simply defined by the given axioms.
↑ With the min convention here, the valuation is rather interpreted as the negative of the order of the leading order term, but with the max convention it can be interpreted as the order.
↑ Again, swapped since using minimum convention.
↑ Every Archimedean group is isomorphic to a subgroup of the real numbers under addition, but non-Archimedean ordered groups exist, such as the additive group of a non-Archimedean ordered field.
↑ In the tropical semiring, minimum and addition of real numbers are considered tropical addition and tropical multiplication; these are the semiring operations.

संदर्भ

↑ Emil Artin Geometric Algebra, pages 47 to 49, via Internet Archive

Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X, Zbl 1103.12002
Jacobson, Nathan (1989) [1980], "Valuations: paragraph 6 of chapter 9", Basic algebra II (2nd ed.), New York: W. H. Freeman and Company, ISBN 0-7167-1933-9, Zbl 0694.16001. A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
Chapter VI of Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1976) [1960], Commutative algebra, Volume II, Graduate Texts in Mathematics, vol. 29, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90171-8, Zbl 0322.13001
Schaefer, Helmut H.; Wolff, M.P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 3. New York: Springer-Verlag. pp. 10–11. ISBN 9780387987262.

बाहरी संबंध

Danilov, V.I. (2001) [1994], "Valuation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Discrete valuation at PlanetMath.
Valuation at PlanetMath.
Weisstein, Eric W. "Valuation". MathWorld.

[1] The symbol ∞ denotes an element not in $Γ$ , with no other meaning. Its properties are simply defined by the given axioms.

[2] With the min convention here, the valuation is rather interpreted as the negative of the order of the leading order term, but with the max convention it can be interpreted as the order.

[3] Again, swapped since using minimum convention.

[4] Every Archimedean group is isomorphic to a subgroup of the real numbers under addition, but non-Archimedean ordered groups exist, such as the additive group of a non-Archimedean ordered field.

[5] In the tropical semiring, minimum and addition of real numbers are considered tropical addition and tropical multiplication; these are the semiring operations.

[6] Emil Artin Geometric Algebra, pages 47 to 49, via Internet Archive

[lower-alpha 1]

[lower-alpha 2]

[lower-alpha 3]

[lower-alpha 4]

[lower-alpha 5]

[1]

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