गुणक विभाजन

संख्या सिद्धांत में, गुणक विभाजन या पूर्णांक n का अक्रमित गुणनखंडन n को 1 से अधिक पूर्णांकों के उत्पाद के रूप में लिखने की विधि है, दो उत्पादों को समतुल्य माना जाता है, यदि वे केवल कारकों के क्रम में भिन्न होते हैं। संख्या 'n' स्वयं इन उत्पादों में से मानी जाती है। गुणक विभाजन एंड्रयूज (1976) में वर्णन किए गए बहुखण्डीय विभाजन के अध्ययन के समानांतर है, जो धनात्मक पूर्णांकों के परिमित अनुक्रमों का बहुखण्डीय विभाजन (संख्या सिद्धांत) हैं, इसके अतिरिक्त बिंदुवार बनाया गया है। चूँकि गुणक विभाजन का अध्ययन कम से कम 1923 से चल रहा है, गुणक विभाजन नाम ह्यूजेस & शालिट (1983) द्वारा प्रस्तुत किया गया प्रतीत होता है। लैटिन नाम "गुणनखंड संख्या" पूर्व में उपयोग की गयी थी, मैथवर्ल्ड अक्रमित गुणनखंड शब्द का उपयोग करता है।

उदाहरण

• संख्या 20 में चार गुणक विभाजन हैं: 2 × 2 × 5, 2 × 10, 4 × 5, और 20।
• 3 × 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 9, 3 × 27, 9 × 9, और 81, 81 = 3 के पांच गुणनात्मक विभाजन हैं (पाँच) गुणक विभाजन के रूप में 4 योगात्मक विभाजन करता है।
• संख्या 30 में पाँच गुणक विभाजन हैं: 2 × 3 × 5 = 2 × 15 = 6 × 5 = 3 × 10 = 30।
• सामान्यतः, i अभाज्य गुणनखंड के साथ वर्ग-मुक्त संख्या के गुणक विभाजन की संख्या ith बेल संख्या, B_i होती है।

अनुप्रयोग

ह्यूजेस & शालिट (1983) विभाजकों की दी गई संख्या के साथ पूर्णांकों को वर्गीकृत करने में गुणक विभाजनों के अनुप्रयोग का वर्णन करते हैं। उदाहरण के लिए, 12 भाजक वाले पूर्णांक p¹¹, p×q⁵, p²×q³, और p×q×r² के रूप लेते हैं, जहाँ p, q, और r विशिष्ट अभाज्य संख्याएँ हैं; ये रूप गुणक विभाजन 12, 2×6, 3×4, और 2×2×3 के अनुरूप हैं। अधिक सामान्यतः, प्रत्येक गुणक विभाजन के लिए,

$k=\prod t_{i}$

पूर्णांक k का, फॉर्म के बिल्कुल k विभाजक वाले पूर्णांकों के वर्ग से युग्मित होता है,

$\prod p_{i}^{t_{i}-1},$

जहां प्रत्येक p_i विशिष्ट अभाज्य संख्या है। यह पत्राचार विभाजक फलन के गुणक फलन गुण से होता है।

विभाजन की संख्या पर सीमा

ओपेनहेम (1926), मैकमोहन (1923) को n के गुणक विभाजनों की संख्या की गणना करने की समस्या का श्रेय देता है; तब से इस समस्या का लैटिन नाम गुणन संख्या के अंतर्गत अन्य लोगों द्वारा अध्ययन किया गया है। यदि n के गुणक विभाजनों की संख्या a_n है, तो मैकमोहन और ओपेनहेम ने देखा कि इसकी डिरिचलेट श्रृंखला उत्पादक फलन f(s) में उत्पाद प्रतिनिधित्व है:

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\prod _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{1-k^{-s}}}.$

संख्याओं का क्रम a_n प्रारंभ करना:

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 2, 5, 1, 4, 1, 4, 2, 2, 1, 7, 2 , 2, 3, 4, 1, 5, 1, 7, 2, 2, 2, 9, 1, 2, 2, ... (sequence A001055 in the OEIS).

ओपेनहाइम ने फॉर्म के a_n पर ऊपरी सीमा का भी आशय किया,

$a_{n}\leq n\left(\exp {\frac {\log n\log \log \log n}{\log \log n}}\right)^{-2+o(1)},$

किन्तु जैसे कैनफील्ड, एर्डोस & पोमेरेन्स (1983) ने दिखाया, यह बाउंड त्रुटिपूर्ण है:

$a_{n}\leq n\left(\exp {\frac {\log n\log \log \log n}{\log \log n}}\right)^{-1+o(1)}.$

ये दोनों सीमाएँ n में रैखिक से दूर नहीं हैं: ये n^1−o(1) के रूप की हैं। चूँकि, a_n का विशिष्ट मान अधिक छोटा है: a_n का औसत मान, अंतराल x ≤ n ≤ x+N पर औसत है:

${\bar {a}}=\exp \left({\frac {4{\sqrt {\log N}}}{{\sqrt {2e}}\log \log N}}{\bigl (}1+o(1){\bigr )}\right),$

बाउंड जो फॉर्म नंबर n^o(1) (लुका, मुखोपाध्याय & श्रीनिवास 2008) का है।

अतिरिक्त परिणाम

कैनफ़ील्ड, एर्दोस & पोमेरेन्स (1983) अवलोकन करते हैं, और लुका, मुखोपाध्याय & श्रीनिवास (2008) सिद्ध करते हैं कि अधिकांश संख्याएँ कुछ n के गुणक विभाजनों की संख्या के रूप में उत्पन्न नहीं हो सकती हैं: N से कम मानों की संख्या जो इस प्रकार उत्पन्न होती है, N^{O(log log log N / log log N)} है इसके अतिरिक्त, लुका, मुखोपाध्याय & श्रीनिवास (2008) दिखाते हैं कि a_n के अधिकांश मान a के गुणक नहीं हैं: मानों की संख्या n ≤ N जैसे कि n विभाजित करता है O(N / log^{1 + o(1)} N)।

यह भी देखें

• विभाजन (संख्या सिद्धांत)
• भाजक

संदर्भ

• Andrews, G. (1976), The Theory of Partitions, Addison-Wesley, chapter 12.
• Canfield, E. R.; Erdős, Paul; Pomerance, Carl (1983), "On a problem of Oppenheim concerning "factorisatio numerorum"", Journal of Number Theory, 17 (1): 1–28, doi:10.1016/0022-314X(83)90002-1.
• Hughes, John F.; Shallit, Jeffrey (1983), "On the number of multiplicative partitions", American Mathematical Monthly, 90 (7): 468–471, doi:10.2307/2975729, JSTOR 2975729.
• Knopfmacher, A.; Mays, M. (2006), "Ordered and Unordered Factorizations of Integers", Mathematica Journal, 10: 72–89. As cited by MathWorld.
• Luca, Florian; Mukhopadhyay, Anirban; Srinivas, Kotyada (2008), On the Oppenheim's "factorisatio numerorum" function, arXiv:0807.0986, Bibcode:2008arXiv0807.0986L.
• MacMahon, P. A. (1923), "Dirichlet series and the theory of partitions", Proceedings of the London Mathematical Society, 22: 404–411, doi:10.1112/plms/s2-22.1.404.
• Oppenheim, A. (1926), "On an arithmetic function", Journal of the London Mathematical Society, 1 (4): 205–211, doi:10.1112/jlms/s1-1.4.205, archived from the original on 2013-04-15.

अग्रिम पठन

• Knopfmacher, A.; Mays, M. E. (2005), "A survey of factorization counting functions" (PDF), International Journal of Number Theory, 1 (4): 563–581, doi:10.1142/S1793042105000315

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Unordered Factorization". MathWorld.