वाल्ड परीक्षण

आंकड़ों में, वाल्ड परीक्षण (अब्राहम वाल्ड के नाम पर) शून्य परिकल्पना के अंतर्गत पैरामीटर अनुमान और उसके परिकल्पित मान के मध्य भारित दूरी के आधार पर सांख्यिकीय पैरामीटर पर बाधा (गणित) का आकलन करता है, जहां भार अनुमान की त्रुटिहीनता (सांख्यिकी) होती है I^[1]^[2] सहज रूप से, यह भारित दूरी जितनी बड़ी होगी, बाधा के सत्य होने की संभावना उतनी ही कम होती है। जबकि वाल्ड परीक्षणों के प्रारूपकरण वितरण सामान्यतः अज्ञात होती हैं,^[3] इसमें शून्य परिकल्पना के अंतर्गत स्पर्शोन्मुख χ²- वितरण है, तथ्य जिसका उपयोग सांख्यिकीय महत्व निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।^[4] लैग्रेंज गुणक परीक्षण और संभावना-अनुपात परीक्षण के साथ, वाल्ड परीक्षण परिकल्पना परीक्षण के तीन शास्त्रीय दृष्टिकोणों में से है। अन्य दो की तुलना में वाल्ड परीक्षण का लाभ यह है कि इसमें केवल अप्रतिबंधित रूप के अनुमान की आवश्यकता होती है, जो संभावना-अनुपात परीक्षण की तुलना में कम्प्यूटेशनल जटिलता को कम करता है। चूँकि, अधिक हानि यह है कि (परिमित प्रारूपों में) यह शून्य परिकल्पना के प्रतिनिधित्व में परिवर्तन के लिए अपरिवर्तनीय नहीं है; दूसरे शब्दों में, गैर-रेखीय पैरामीटर प्रतिबंध की बीजगणितीय रूप से समतुल्य अभिव्यक्ति (गणित) परीक्षण सांख्यिकी के विभिन्न मानों को जन्म दे सकती है।^[5]^[6] ऐसा इसलिए है क्योंकि वाल्ड आँकड़ा टेलर श्रृंखला से लिया गया है,^[7] और समतुल्य अरेखीय अभिव्यक्तियों को लिखने के विभिन्न प्रकारो से संबंधित टेलर गुणांक में गैर-तुच्छ अंतर प्राप्त होते हैं,^[8] और विपथन, जिसे हॉक-डोनर प्रभाव के नाम से जाना जाता है I^[9] द्विपद प्रतिगमन तब हो सकता है जब अनुमानित (अप्रतिबंधित)पैरामीटर स्थान की सीमा (टोपोलॉजी) के निकट होता है- उदाहरण के लिए फिट संभावना शून्य के निकट होती है- जो वाल्ड परीक्षण में परिणाम अब अप्रतिबंधित और बाधित पैरामीटर के मध्य की दूरी में नीरस रूप से वृद्धि नहीं कर रहा है I^[10]^[11]

गणितीय विवरण

वाल्ड परीक्षण के अंतर्गत, अनुमान लगाया गया, ${\hat {\theta }}$ जिसे अप्रतिबंधित संभावना फलन की अधिकतम संभावना अनुमान की तुलना परिकल्पित मान से की गई है I $\theta _{0}$ विशेष रूप से, वर्ग अंतर ${\hat {\theta }}-\theta _{0}$ लॉग-संभावना फलन की वक्रता द्वारा भारित किया जाता है।

एकल पैरामीटर पर परीक्षण

यदि परिकल्पना में केवल पैरामीटर प्रतिबंध सम्मिलित होते है, तो वाल्ड आँकड़ा निम्नलिखित रूप लेता है:

W={\frac {{({\widehat {\theta }}-\theta _{0})}^{2}}{\operatorname {var} ({\hat {\theta }})}}

जो शून्य परिकल्पना के अंतर्गत स्पर्शोन्मुख χ²-वितरण का अनुसरण करता है I एकल-प्रतिबंध वाल्ड सांख्यिकी के वर्गमूल को (छद्म) t-अनुपात के रूप में समझा जा सकता है, जो कि सामान्य रूप से वितरित त्रुटियों के साथ रैखिक प्रतिगमन के विशेष विषय को त्यागकर वास्तव में t-वितरित नहीं है।^[12] सामान्यतः, यह स्पर्शोन्मुख मानक सामान्य वितरण का पालन करता है।^[13]

{\sqrt {W}}={\frac {{\widehat {\theta }}-\theta _{0}}{\operatorname {se} ({\hat {\theta }})}}

जहाँ $\operatorname {se} ({\widehat {\theta }})$ अधिकतम संभावना अनुमान (एमएलई) की मानक त्रुटि है, जो विचरण का वर्गमूल है। विचरण आव्यूह के सुसंगत अनुमानक के कई उपाय होते हैं, जो परिमित प्रारूपों में मानक त्रुटियों और संबंधित परीक्षण आंकड़ों और p-वैल्यू के वैकल्पिक अनुमान की ओर ले जाते हैं।^[14]

एकाधिक पैरामीटर पर परीक्षण

वाल्ड परीक्षण का उपयोग कई पैरामीटर पर ही परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है, साथ ही एकल/एकाधिक पैरामीटर पर संयुक्त रूप से कई परिकल्पनाओं का परीक्षण करने के लिए भी किया जा सकता है। होने देना ${\hat {\theta }}_{n}$ p पैरामीटर का प्रारूप अनुमानक बनें, (जिससे, ${\hat {\theta }}_{n}$ है $P\times 1$ सदिश), जिसे सहप्रसरण आव्यूह V के साथ सामान्य वितरण का लक्षणहीन रूप से पालन करना माना जाता है, ${\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta )\,\xrightarrow {\mathcal {D}} \,N(0,V)$ p पैरामीटर पर Q परिकल्पनाओं का परीक्षण $Q\times P$ आव्यूह R के साथ व्यक्त किया गया है:-

H_{0}:R\theta =r

H_{1}:R\theta \neq r

शून्य परिकल्पना के अंतर्गत परीक्षण आँकड़ों का वितरण इस प्रकार है:-

(R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[R({\hat {V}}_{n}/n)R']^{-1}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)/Q\quad \xrightarrow {\mathcal {D}} \quad F(Q,n-P)\quad {\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{\mathcal {D}}}\quad \chi _{Q}^{2}/Q,

जिसका विपरीत रूप इस प्रकार है:-

(R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[R({\hat {V}}_{n}/n)R']^{-1}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)\quad {\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{\mathcal {D}}}\quad \chi _{Q}^{2},

जहाँ ${\hat {V}}_{n}$ सहप्रसरण आव्यूह का अनुमानक है।^[15]

प्रमाण

कल्पना करना ${\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta )\,\xrightarrow {\mathcal {D}} \,N(0,V)$ स्लटस्की के प्रमेय द्वारा और बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण एफ़िन परिवर्तन के गुणों द्वारा, R द्वारा गुणा करने पर वितरण होता है:

R{\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta )={\sqrt {n}}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)\,\xrightarrow {\mathcal {D}} \,N(0,RVR')

यह याद करते हुए कि सामान्य वितरण के द्विघात रूप में ची-वर्ग वितरण होता है:

{\sqrt {n}}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[RVR']^{-1}{\sqrt {n}}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)\,\xrightarrow {\mathcal {D}} \,\chi _{Q}^{2}

n को पुनर्व्यवस्थित करने पर अंततः प्राप्त होता है:

(R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[R(V/n)R']^{-1}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)\quad \xrightarrow {\mathcal {D}} \quad \chi _{Q}^{2}

क्या होगा यदि सहप्रसरण आव्यूह को प्राथमिकता से ज्ञात नहीं किया गया है और डेटा से अनुमान लगाने की आवश्यकता है? यदि हमारे निकट सुसंगत अनुमानक है ${\hat {V}}_{n}$ का $V$ ऐसा है कि $V^{-1}{\hat {V}}_{n}$ निर्धारक है जो वितरित है $\chi _{n-P}^{2}$ , तो उपरोक्त सहप्रसरण अनुमानक और समीकरण की स्वतंत्रता से, हमारे निकट है:

(R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[R({\hat {V}}_{n}/n)R']^{-1}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)/Q\quad \xrightarrow {\mathcal {D}} \quad F(Q,n-P)

अरेखीय परिकल्पना

मानक रूप में, वाल्ड परीक्षण का उपयोग रैखिक परिकल्पनाओं का परीक्षण करने के लिए किया जाता है, जिन्हें एकल आव्यूह R द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है। यदि कोई फॉर्म की गैर-रेखीय परिकल्पना का परीक्षण करना चाहता है:

H_{0}:c(\theta )=0

H_{1}:c(\theta )\neq 0

परीक्षण आँकड़ा बन जाता है:

c\left({\hat {\theta }}_{n}\right)'\left[c'\left({\hat {\theta }}_{n}\right)\left({\hat {V}}_{n}/n\right)c'\left({\hat {\theta }}_{n}\right)'\right]^{-1}c\left({\hat {\theta }}_{n}\right)\quad \xrightarrow {\mathcal {D}} \quad \chi _{Q}^{2}

जहाँ $c'({\hat {\theta }}_{n})$ प्रारूप अनुमानक पर मानांकित c का व्युत्पन्न है। यह परिणाम डेल्टा विधि का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है, जो विचरण के प्रथम क्रम के सन्निकटन का उपयोग करता है।

पुनः-पैरामीटर के प्रति अपरिवर्तनशीलता

तथ्य यह है कि कोई विचरण के सन्निकटन का उपयोग करता है, इसका दोष यह है कि वाल्ड आँकड़ा परिकल्पना के गैर-रेखीय परिवर्तन/पुनरावर्तन के लिए अपरिवर्तनीय नहीं है: यह ही प्रश्न के भिन्न-भिन्न उत्तर दे सकता है, यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि प्रश्न को किस प्रकार व्यक्त किया गया है।^[16]^[5] उदाहरण के लिए, यह पूछना कि क्या R = 1, यह पूछने के समान है कि क्या log R = 0; किन्तु R = 1 के लिए वाल्ड आँकड़ा लॉग R = 0 के लिए वाल्ड आँकड़ा के समान नहीं है (क्योंकि R और लॉग R की मानक त्रुटियों के मध्य सामान्यतः कोई स्पष्ट संबंध नहीं है, इसलिए इसे अनुमानित करने की आवश्यकता है)।^[17]