लैम्ब शिफ्ट

हाइड्रोजन में ऊर्जा स्तर की बारीक संरचना - बोह्र प्रारूप में सापेक्षिक सुधार

भौतिकी में लैम्ब शिफ्ट, जिसका नाम विलिस लैम्ब के नाम पर रखा गया है, हाइड्रोजन परमाणु में दो इलेक्ट्रॉन कक्षों के बीच ऊर्जा में असामान्य अंतर को संदर्भित करता है। इसके अंतर की प्रायिकता सिद्धांत द्वारा नहीं की गई थी और इसे डिराक समीकरण से प्राप्त नहीं किया जा सकता है, जो समान ऊर्जा की प्रायिकता करता है। इसलिए लैम्ब शिफ्ट में निहित विभिन्न ऊर्जा में देखे गए सिद्धांत से विचलन ²s_1/2 और ²p_1/2 हाइड्रोजन परमाणु का ऊर्जा स्तर को संदर्भित करता है ।

लैम्ब शिफ्ट क्वांटम उतार-चढ़ाव के माध्यम से बनाए गए आभासी फोटॉन और इलेक्ट्रॉन के बीच बातचीत के कारण होता है क्योंकि यह इन दोनों कक्षाओं में से प्रत्येक में हाइड्रोजन नाभिक के चारों ओर घूर्णन करता है। इस कारण तब से लैम्ब शिफ्ट ने ब्लैक होल से हॉकिंग विकिरण की सैद्धांतिक प्रायिकता में निर्वात ऊर्जा के उतार-चढ़ाव के माध्यम से महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है।

इस प्रभाव को पहली बार 1947 में लैम्ब-रदरफोर्ड प्रयोग में मापा गया था, हाइड्रोजन माइक्रोवेव स्पेक्ट्रम पर इस माप ने विचलनों को संभालने के लिए पुनर्सामान्यीकरण सिद्धांत को प्रोत्साहन प्रदान किया था। यह जूलियन श्विंगर, रिचर्ड फेनमैन, अर्न्स्ट स्टुकेलबर्ग, सिनिचिरो टोमोनागा या सिन-इटिरो टोमोनागा और फ्रीमैन डायसन द्वारा विकसित आधुनिक क्वांटम विद्युतगतिकी का अग्रदूत था। लैम्ब शिफ्ट से संबंधित अपनी खोजों के लिए लैम्ब ने 1955 में भौतिकी में नोबेल पुरस्कार जीता था।

महत्व

1978 में, लैम्ब के 65वें जन्मदिन पर, फ्रीमैन डायसन ने उन्हें इस प्रकार संबोधित किया था कि उस वर्ष जब लैम्ब शिफ्ट भौतिकी का केंद्रीय विषय था, मेरी पीढ़ी के सभी भौतिकविदों के लिए स्वर्णिम वर्ष में थे। आप यह देखने वाले पहले व्यक्ति थे कि यह छोटा सा परिवर्तन जो इतना आभासी और मापने में कठिन है, इस प्रकार के कणों और क्षेत्रों के बारे में हमारी सोच को स्पष्ट करेगा।

व्युत्पत्ति

विद्युतगतिकी के स्तर में होने वाले परिवर्तन की यह अनुमानी व्युत्पत्ति थियोडोर ए. वेल्टन के दृष्टिकोण का अनुसरण करती है।

क्यूईडी निर्वात से जुड़े विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों में उतार-चढ़ाव परमाणु नाभिक के कारण विद्युत क्षमता को बिगाड़ देता है। यह त्रुटिपूर्ण सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) इलेक्ट्रॉन की स्थिति में उतार-चढ़ाव का कारण बनता है, जो ऊर्जा परिवर्तन की व्याख्या करता है। जो स्थितिज ऊर्जा का अंतर किसके द्वारा दिया जाता है?

$\Delta V=V({\vec {r}}+\delta {\vec {r}})-V({\vec {r}})=\delta {\vec {r}}\cdot \nabla V({\vec {r}})+{\frac {1}{2}}(\delta {\vec {r}}\cdot \nabla )^{2}V({\vec {r}})+\cdots$

चूंकि उतार-चढ़ाव समदैशिक हैं,

$\langle \delta {\vec {r}}\rangle _{\rm {vac}}=0,$

$\langle (\delta {\vec {r}}\cdot \nabla )^{2}\rangle _{\rm {vac}}={\frac {1}{3}}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\nabla ^{2}.$

तो कोई भी प्राप्त कर सकता है

$\langle \Delta V\rangle ={\frac {1}{6}}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}.$

इलेक्ट्रॉन विस्थापन के लिए गति का मौलिक समीकरण (δr)_k→ तरंग सदिश के क्षेत्र के एकल प्रारूप से प्रेरित k→ और आवृत्ति ν है

$m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\delta r)_{\vec {k}}=-eE_{\vec {k}},$

और यह तभी मान्य है जब आवृत्ति ν, ν₀ से अधिक हो बोह्र कक्षा में, $\nu >\pi c/a_{0}$ के समान होगी, इस प्रकार यदि उतार-चढ़ाव परमाणु में प्राकृतिक कक्षीय आवृत्ति से छोटा है तो इलेक्ट्रॉन उतार-चढ़ाव वाले क्षेत्र पर प्रतिक्रिया करने में असमर्थ है।

ν पर दोलन करने वाले क्षेत्र के लिए

$\delta r(t)\cong \delta r(0)(e^{-i\nu t}+e^{i\nu t}),$

इसलिए

$(\delta r)_{\vec {k}}\cong {\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}E_{\vec {k}}={\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}{\mathcal {E}}_{\vec {k}}\left(a_{\vec {k}}e^{-i\nu t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}+h.c.\right)\qquad {\text{with}}\qquad {\mathcal {E}}_{\vec {k}}=\left({\frac {\hbar ck/2}{\epsilon _{0}\Omega }}\right)^{1/2},$

जहाँ $\Omega$ कुछ बड़ा सामान्यीकरण आयतन (हाइड्रोजन परमाणु युक्त काल्पनिक बॉक्स का आयतन) है, और $h.c.$ पूर्ववर्ती शब्द के हर्मिटियन संयुग्म को दर्शाता है। कुल मिलाकर संक्षेप से ${\vec {k}},$

${\begin{aligned}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}&=\sum _{\vec {k}}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left\langle 0\left|(E_{\vec {k}})^{2}\right|0\right\rangle \\&=\sum _{\vec {k}}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {\hbar ck}{2\epsilon _{0}\Omega }}\right)\\&=2{\frac {\Omega }{(2\pi )^{3}}}4\pi \int dkk^{2}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {\hbar ck}{2\epsilon _{0}\Omega }}\right)&&{\text{since continuity of }}{\vec {k}}{\text{ implies }}\sum _{\vec {k}}\to 2{\frac {\Omega }{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}k\\&={\frac {1}{2\epsilon _{0}\pi ^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\int {\frac {dk}{k}}\end{aligned}}$

यह परिणाम तब अलग हो जाता है जब अभिन्न (बड़ी और छोटी दोनों आवृत्तियों पर) के बारे में कोई सीमा नहीं होती है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह विधि तभी मान्य होने की उम्मीद है, जब $\nu >\pi c/a_{0}$, या $k>\pi /a_{0}$ के समकक्ष हैं। यह केवल कॉम्पटन तरंगदैर्घ्य से अधिक लंबी तरंगदैर्घ्य या $k<mc/\hbar$ के समकक्ष होने के लिए ही मान्य है। इसलिए, कोई अभिन्न की ऊपरी और निचली सीमा चुन सकता है और ये सीमाएँ परिणाम को अभिसरण बनाती हैं।

$\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\cong {\frac {1}{2\epsilon _{0}\pi ^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\ln {\frac {4\epsilon _{0}\hbar c}{e^{2}}}$.

परमाणु कक्षक और कूलम्ब क्षमता के लिए,

$\left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int d{\vec {r}}\psi ^{*}({\vec {r}})\nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)\psi ({\vec {r}})={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}}}|\psi (0)|^{2},$

चूँकि यह ज्ञात है

$\nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)=-4\pi \delta ({\vec {r}}).$

p कक्षों के लिए, गैर-सापेक्ष तरंग फ़ंक्शन मूल (नाभिक पर) विलुप्त हो जाता है, इसलिए कोई ऊर्जा परिवर्तन नहीं होता है। किन्तु s कक्षों के लिए मूल बिंदु पर कुछ सीमित मान है,

$\psi _{2S}(0)={\frac {1}{(8\pi a_{0}^{3})^{1/2}}},$

जहां बोह्र त्रिज्या है

$a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}.$

इसलिए,

$\left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}}}|\psi _{2S}(0)|^{2}={\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}a_{0}^{3}}}$.

अंततः, स्थितिज ऊर्जा का अंतर बन जाता है:

$\langle \Delta V\rangle ={\frac {4}{3}}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}{\frac {1}{8\pi a_{0}^{3}}}\ln {\frac {4\epsilon _{0}\hbar c}{e^{2}}}=\alpha ^{5}mc^{2}{\frac {1}{6\pi }}\ln {\frac {1}{\pi \alpha }},$

जहाँ $\alpha$ सूक्ष्म-संरचना स्थिरांक है। यह परिवर्तन लगभग 500 मेगाहर्ट्ज है, 1057 मेगाहर्ट्ज के देखे गए परिवर्तन के परिमाण के क्रम के भीतर हैं। यह केवल 7.00 x 10^-25 जूल या 4.37 x 10^-6 ईलेक्ट्रान वोल्ट की ऊर्जा के समान है।

वेल्टन की लैम्ब शिफ्ट की अनुमानी व्युत्पत्ति कांपती हुई हरकत का उपयोग करके डार्विन शब्द की गणना के समान है, किन्तु उससे अलग है, जो कि निम्न क्रम की बारीक संरचना में योगदान है। जो $\alpha$ मेमने की शिफ्ट से विपरीत हैं।

लैम्ब-रदरफोर्ड प्रयोग

1947 में विलिस लैम्ब और रॉबर्ट रदरफोर्ड ने रेडियो-आवृत्ति संक्रमण को प्रोत्साहित करने के लिए माइक्रोवेव तकनीकों का उपयोग करके प्रयोग किया हैं।

²s_1/2 और ²p_1/2 हाइड्रोजन का स्तर के लिए ऑप्टिकल संक्रमणों की तुलना में कम आवृत्तियों का उपयोग करके डॉपलर चौड़ीकरण की उपेक्षा की जा सकती है, डॉपलर चौड़ा करने के लिए उपयुक्त आवृत्ति के समानुपाती होता है। जो लैम्ब और रदरफोर्ड ने जो ऊर्जा अंतर पाया वह लगभग 1000 मेगाहर्ट्ज (0.03 सेमी⁻¹) की वृद्धि थी, जिसका स्तर ²s_1/2 के स्तर से ऊपर ²p_1/2 स्तर के समान हैं।

यह विशेष अंतर क्वांटम विद्युतगतिकी का लूप प्रभाव है, और इसे आभासी फोटॉन के प्रभाव के रूप में समझा जा सकता है जो परमाणु द्वारा उत्सर्जित और पुन: अवशोषित हो गए हैं। इस प्रकार क्वांटम विद्युतगतिकी में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को परिमाणित किया जाता है, और इसके कारण क्वांटम यांत्रिकी में लयबद्ध दोलक की तरह, इसकी निम्नतम अवस्था शून्य नहीं होती है। इस प्रकार, छोटे शून्य-बिंदु ऊर्जा या शून्य-बिंदु दोलन में उपस्थित होते हैं जो इलेक्ट्रॉन को तीव्र दोलन गति निष्पादित करने का कारण बनते हैं। इलेक्ट्रॉन को बाहर निकाल दिया जाता है और प्रत्येक त्रिज्या मान को r से r + δr के लिए छोटी किन्तु सीमित त्रुटि के कारण इसमें परिवर्तित कर दिया जाता है।

इसलिए कूलम्ब विभव छोटी सी मात्रा से गलत हो जाता है और दो ऊर्जा स्तरों की विकृति दूर हो जाती है। नई क्षमता का अनुमान (परमाणु इकाइयों का उपयोग करके) इस प्रकार लगाया जा सकता है:

$\langle E_{\mathrm {pot} }\rangle =-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left\langle {\frac {1}{r+\delta r}}\right\rangle .$

मेमना शिफ्ट स्वयं द्वारा दिया गया है

$\Delta E_{\mathrm {Lamb} }=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {k(n,0)}{4n^{3}}}\ \mathrm {for} \ \ell =0\,$

k(n, 0) के साथ 13 के आसपास n, और के साथ थोड़ा भिन्न होता है

$\Delta E_{\mathrm {Lamb} }=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {1}{4n^{3}}}\left[k(n,\ell )\pm {\frac {1}{\pi (j+{\frac {1}{2}})(\ell +{\frac {1}{2}})}}\right]\ \mathrm {for} \ \ell \neq 0\ \mathrm {and} \ j=\ell \pm {\frac {1}{2}},$

लॉग के साथ (k(n,ℓ)) के लिए छोटी संख्या को लगभग −0.05 के मान के कारण जिससे k(n,ℓ) के एकीकरण के समीप ΔE_Lamb की व्युत्पत्ति के लिए उदाहरण के लिए देखें।

हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में

Main article: लाइमन श्रेणी

1947 में, हंस बेथे हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में लैंब शिफ्ट की व्याख्या करने वाले पहले व्यक्ति थे, और उन्होंने इस प्रकार क्वांटम विद्युतगतिकी के आधुनिक विकास की नींव रखी थी। इस कारण बेथे ने बड़े पैमाने पर पुनर्सामान्यीकरण के विचार को लागू करके लैम्ब शिफ्ट प्राप्त करने में सक्षम थे, जिसने उन्हें बाध्य इलेक्ट्रॉन की शिफ्ट और मुक्त इलेक्ट्रॉन की शिफ्ट के बीच अंतर के रूप में देखी गई ऊर्जा परिवर्तन की गणना करने की अनुमति दी।

लैम्ब शिफ्ट वर्तमान में मिलियन में भाग से उत्तम संरचना स्थिरांक α का माप प्रदान करता है, जिससे क्यूईडी के सटीक परीक्षण की अनुमति मिलती है।

यह भी देखें

• उहलिंग क्षमता, लैम्ब शिफ्ट का पहला सन्निकटन
• आश्रय द्वीप सम्मेलन
• ज़ीमन प्रभाव का उपयोग लैम्ब शिफ्ट को मापने के लिए किया जाता है

अग्रिम पठन

• Boris M Smirnov (2003). Physics of atoms and ions. New York: Springer. pp. 39–41. ISBN 0-387-95550-X.
• Marlan Orvil Scully & Muhammad Suhail Zubairy (1997). Quantum optics. Cambridge UK: Cambridge University Press. pp. 13–16. ISBN 0-521-43595-1.

बाहरी संबंध

• Hans Bethe talking about Lamb-shift calculations on Web of Stories
• Nobel Prize biography of Willis Lamb
• Nobel lecture of Willis Lamb: Fine Structure of the Hydrogen Atom