प्रगतिरोध बिंदु प्रवाह

द्रव गतिशीलता में, एक ठहराव बिंदु प्रवाह एक ठहराव बिंदु (त्रि-आयामी प्रवाह में) या एक ठहराव रेखा (द्वि-आयामी प्रवाह में) के पड़ोस (गणित) में एक द्रव प्रवाह को संदर्भित करता है जिसके साथ ठहराव बिंदु/रेखा संदर्भित होती है एक बिंदु/रेखा जहां अदृश्य सन्निकटन में वेग शून्य है। प्रवाह विशेष रूप से ठहराव बिंदुओं के एक वर्ग पर विचार करता है जिसे सैडल पॉइंट के रूप में जाना जाता है, जिसमें आने वाली स्ट्रीमलाइनें विक्षेपित हो जाती हैं और एक अलग दिशा में बाहर की ओर निर्देशित हो जाती हैं; सुव्यवस्थित विक्षेप पृथक्करणों द्वारा निर्देशित होते हैं। ठहराव बिंदु या रेखा के पड़ोस में प्रवाह को आम तौर पर संभावित प्रवाह सिद्धांत का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, हालांकि यदि ठहराव बिंदु एक ठोस सतह पर स्थित है तो चिपचिपा प्रभाव को नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है।

ठोस सतहों के बिना ठहराव बिंदु प्रवाह

जब द्वि-आयामी या अक्षीय प्रकृति की दो धाराएँ एक-दूसरे से टकराती हैं, तो एक ठहराव तल बनता है, जहाँ आने वाली धाराएँ स्पर्शरेखीय रूप से बाहर की ओर मुड़ जाती हैं; इस प्रकार ठहराव तल पर, उस तल का सामान्य वेग घटक शून्य है, जबकि स्पर्शरेखीय घटक गैर-शून्य है। ठहराव बिंदु के पड़ोस में, वेग क्षेत्र के लिए एक स्थानीय विवरण वर्णित किया जा सकता है।

सामान्य त्रि-आयामी वेग क्षेत्र

ठहराव बिंदु प्रवाह निर्देशांक पर एक रैखिक निर्भरता से मेल खाता है, जिसे कार्टेशियन निर्देशांक में वर्णित किया जा सकता है $(x,y,z)$ वेग घटकों के साथ $(v_{x},v_{y},v_{z})$ निम्नलिखित नुसार

$v_{x}=\alpha x,\quad v_{y}=\beta y,\quad v_{z}=\gamma z$

कहाँ $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ स्थिरांक को तनाव दर के रूप में जाना जाता है; ये स्थिरांक पूरी तरह से मनमाने नहीं हैं क्योंकि निरंतरता समीकरण की आवश्यकता होती है $\alpha +\beta +\gamma =0$, अर्थात्, तीन में से केवल दो स्थिरांक स्वतंत्र हैं। हम मान लेंगे $\gamma <0\leq \alpha$ ताकि प्रवाह ठहराव बिंदु की ओर हो $z$ दिशा और ठहराव बिंदु से दूर $x$ दिशा। व्यापकता की हानि के बिना, कोई यह मान सकता है $\beta \geq \alpha$. प्रवाह क्षेत्र को एक ही पैरामीटर के आधार पर विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है

$\lambda ={\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}$

तलीय ठहराव-बिंदु प्रवाह

द्वि-आयामी ठहराव-बिंदु प्रवाह मामले से संबंधित है $\beta =0\,(\lambda =1)$. प्रवाह क्षेत्र का वर्णन इस प्रकार किया गया है

$v_{x}=kx,\quad v_{z}=-kz$

हमने कहां जाने दिया $k=\alpha =-\gamma >0$. इस प्रवाह क्षेत्र की जांच 1934 में ही जी.आई. टेलर द्वारा की गई थी। प्रयोगशाला में, यह प्रवाह क्षेत्र चार-मिल उपकरण का उपयोग करके बनाया जाता है, हालांकि ये प्रवाह क्षेत्र अशांत प्रवाह में सर्वव्यापी होते हैं।

अक्षमितीय ठहराव-बिंदु प्रवाह

अक्षसममितीय ठहराव बिंदु प्रवाह से मेल खाता है $\alpha =\beta \,(\lambda =0)$. प्रवाह क्षेत्र को बेलनाकार समन्वय प्रणाली में सरलता से वर्णित किया जा सकता है $(r,\theta ,z)$ वेग घटकों के साथ $(v_{r},0,v_{z})$ निम्नलिखित नुसार

$v_{r}=kr,\quad v_{z}=-2kz$

हमने कहां जाने दिया $k=\alpha =\beta =-\gamma /2>0$.

रेडियल ठहराव प्रवाह

रेडियल ठहराव प्रवाह में, ठहराव बिंदु के बजाय, हमारे पास एक ठहराव चक्र होता है और ठहराव तल को एक ठहराव सिलेंडर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। रेडियल ठहराव प्रवाह को बेलनाकार समन्वय प्रणाली का उपयोग करके वर्णित किया गया है $(r,z)$ वेग घटकों के साथ $(v_{r},v_{z})$ निम्नलिखित नुसार

$v_{r}=-k\left(r-{\frac {r_{s}^{2}}{r}}\right),\quad v_{z}=2kz$

कहाँ $r_{s}$ ठहराव सिलेंडर का स्थान है.

हिमेंज़ प्रवाह

फ़ाइल:Stagnation2D.pdf|thumb|200px|द्वि-आयामी ठहराव बिंदु प्रवाह प्रवाह एक ठोस सतह की उपस्थिति के कारण होता है $z=0$ समतलीय ठहराव-बिंदु प्रवाह का वर्णन सबसे पहले 1911 में कार्ल हिमेन्ज़ द्वारा किया गया था, जिनके समाधानों के लिए संख्यात्मक गणनाओं में बाद में लेस्ली हॉवर्थ द्वारा सुधार किया गया था। एक परिचित उदाहरण जहां हिमेन्ज़ प्रवाह लागू होता है वह आगे की स्थिरता रेखा है जो एक गोलाकार सिलेंडर पर प्रवाह में होती है।

ठोस सतह पर स्थित है $xy$. संभावित प्रवाह सिद्धांत के अनुसार, द्रव गति को धारा फ़ंक्शन के संदर्भ में वर्णित किया गया है $\psi$ और वेग घटक $(v_{x},0,v_{z})$ द्वारा दिए गए हैं

$\psi =kxz,\quad v_{x}=kx,\quad v_{z}=-kz.$

इस प्रवाह के लिए ठहराव रेखा है $(x,y,z)=(0,y,0)$. वेग घटक $v_{x}$ ठोस सतह पर गैर-शून्य है जो दर्शाता है कि उपरोक्त वेग क्षेत्र दीवार पर नो-स्लिप सीमा की स्थिति को पूरा नहीं करता है। वेग घटकों को खोजने के लिए जो नो-स्लिप सीमा स्थिति को संतुष्ट करते हैं, निम्नलिखित रूप धारण करते हैं

$\psi ={\sqrt {\nu k}}xF(\eta ),\quad \eta ={\frac {z}{\sqrt {\nu /k}}}$

कहाँ $\nu$ गतिज चिपचिपापन है और ${\sqrt {\nu /k}}$ वह विशिष्ट मोटाई है जहां चिपचिपा प्रभाव महत्वपूर्ण होता है। चिपचिपे प्रभाव की मोटाई के लिए स्थिर मूल्य का अस्तित्व द्रव संवहन के बीच प्रतिस्पर्धात्मक संतुलन के कारण होता है जो ठोस सतह की ओर निर्देशित होता है और चिपचिपा प्रसार जो सतह से दूर निर्देशित होता है। इस प्रकार ठोस सतह पर उत्पन्न भंवर केवल क्रम की दूरी तक ही फैल पाती है ${\sqrt {\nu /k}}$; इस व्यवहार से मिलती-जुलती अनुरूप स्थितियाँ ब्लासियस सीमा परत#ब्लासियस सीमा परत में सक्शन#एसिम्प्टोटिक सक्शन प्रोफ़ाइल और वॉन कार्मन घूमते प्रवाह के साथ होती हैं। वेग घटक, दबाव और नेवियर-स्टोक्स समीकरण तब बनते हैं

$v_{x}=kxF',\quad v_{z}=-{\sqrt {\nu k}}F,\quad {\frac {p_{o}-p}{\rho }}={\frac {1}{2}}k^{2}x^{2}+k\nu F'+{\frac {1}{2}}k\nu F^{2}$

$F'''+FF''-F'^{2}+1=0$

आवश्यकताएँ जो $(v_{x},v_{z})=(0,0)$ पर $z=0$ ओर वो $v_{x}\rightarrow kx$ जैसा $z\rightarrow \infty$ अनुवाद करने के लिए

$F(0)=0,\ F'(0)=0,F'(\infty )=1.$

के लिए शर्त $v_{z}$ जैसा $z\rightarrow \infty$ निर्धारित नहीं किया जा सकता है और इसे समाधान के एक भाग के रूप में प्राप्त किया जाता है। यहां तैयार की गई समस्या फाल्कनर-स्कैन सीमा परत का एक विशेष मामला है। समाधान संख्यात्मक एकीकरण से प्राप्त किया जा सकता है और चित्र में दिखाया गया है। बड़े पैमाने पर स्पर्शोन्मुख व्यवहार $\eta \rightarrow \infty$ हैं

$F\sim \eta -0.6479,\quad v_{x}\sim kx,\quad v_{z}\sim -k(z-\delta ^{*}),\quad \delta ^{*}=0.6479\delta$

कहाँ $\delta ^{*}$ विस्थापन मोटाई है.

एक अनुवाद दीवार के साथ ठहराव बिंदु प्रवाह

जब ठोस दीवार एक स्थिर वेग के साथ परिवर्तित होती है तो हीमेन्ज़ प्रवाह होता है $U$ साथ $x$ रॉट (1956) द्वारा हल किया गया था। यह समस्या एक घूर्णन सिलेंडर पर प्रवाह में होने वाली आगे की स्थिरता रेखा के पड़ोस में प्रवाह का वर्णन करती है। आवश्यक स्ट्रीम फ़ंक्शन है

$\psi ={\sqrt {\nu k}}xF(\eta )+U\delta \int _{0}^{\eta }G(\eta )d\eta$

जहां समारोह $G(\eta )$ संतुष्ट

$G''+FG'-F'G=0,\quad G(0)=1,\quad G(\infty )=0$

उपरोक्त समीकरण का हल इस प्रकार दिया गया है $G(\eta )=F''(\eta )/F''(0).$

तिरछा ठहराव बिंदु प्रवाह

यदि आने वाली धारा ठहराव रेखा के लंबवत है, लेकिन तिरछी पहुंचती है, तो बाहरी प्रवाह संभावित नहीं है, लेकिन इसमें निरंतर भंवर है $-\zeta _{o}$. तिरछे ठहराव बिंदु प्रवाह के लिए उपयुक्त धारा फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है

$\psi =kxz+{\frac {1}{2}}\zeta _{o}z^{2}$

एक ठोस दीवार की उपस्थिति के कारण होने वाले श्यान प्रभावों का अध्ययन स्टुअर्ट (1959) द्वारा किया गया था। तमाडा (1979) और डोर्रेपाल (1986)। उनके दृष्टिकोण में, स्ट्रीमफ़ंक्शन रूप लेता है

$\psi ={\sqrt {\nu k}}xF(\eta )+\zeta _{o}\delta ^{2}\int _{0}^{\eta }H(\eta )d\eta$

जहां समारोह $H(\eta )$ :$H''+FH'-F'H=0,\quad H(0)=0,\quad H'(\infty )=1$.

होमन प्रवाह

फ़ाइल:Stagnationaxi.pdf|thumb|200px फ़ाइल:Stagnationaxi2.pdf|thumb|200px एक ठोस दीवार की उपस्थिति में अक्षसममितीय ठहराव बिंदु प्रवाह का समाधान सबसे पहले होमन (1936) द्वारा प्राप्त किया गया था। इस प्रवाह का एक विशिष्ट उदाहरण एक गोले के पिछले प्रवाह में दिखाई देने वाला आगे का ठहराव बिंदु है। पॉल ए. लिब्बी (1974)(1976) ठोस दीवार को एक स्थिर गति के साथ अपने स्वयं के विमान में अनुवाद करने की अनुमति देकर और ठोस सतह पर निरंतर चूषण या इंजेक्शन की अनुमति देकर होमन के काम को बढ़ाया।

इस समस्या का समाधान बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली में प्राप्त होता है $(r,\theta ,z)$ परिचय देने से

$\eta ={\frac {z}{\sqrt {\nu /k}}},\quad \gamma =-{\frac {V}{2{\sqrt {k\nu }}}},\quad v_{r}=krF'(\eta )+U\cos \theta G(\eta ),\quad v_{\theta }=-U\sin \theta G(\eta ),\quad v_{z}=-2{\sqrt {k\nu }}F(\eta )$

कहाँ $U$ दीवार की अनुवादात्मक गति है और $V$ दीवार पर इंजेक्शन (या, सक्शन) वेग है। समस्या अक्षसममिति तभी होती है जब $U=0$. द्वारा दबाव दिया जाता है

${\frac {p-p_{o}}{\rho }}=-{\frac {1}{2}}k^{2}r^{2}-2k\nu (F^{2}+F')$

नेवियर-स्टोक्स समीकरण तब कम हो जाते हैं

${\begin{aligned}F'''+2FF''-F'^{2}+1&=0,\\G''+2FG'-F'G&=0\end{aligned}}$

सीमा शर्तों के साथ,

$F(0)=\gamma ,\quad F'(0)=0,\quad F'(\infty )=1,\quad G(0)=1,\quad G(\infty )=0.$

कब $U=V=0$, शास्त्रीय होमन समस्या ठीक हो गई है।

विमान प्रतिप्रवाह

संभावित सिद्धांत के अनुसार स्लॉट-जेट से निकलने वाले जेट बीच में ठहराव बिंदु बनाते हैं। स्व-समान समाधान का उपयोग करके ठहराव बिंदु के निकट प्रवाह का अध्ययन किया जा सकता है। दहन प्रयोगों में इस सेटअप का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। अवरोध प्रवाह का प्रारंभिक अध्ययन सी.वाई. के कारण होता है। वांग. स्थिर गुणों वाले दो द्रवों को प्रत्यय से निरूपित करें $1({\text{top}}),\ 2({\text{bottom}})$ विपरीत दिशा से बहते हुए टकराते हैं, और मान लेते हैं कि दो तरल पदार्थ अमिश्रणीय हैं और इंटरफ़ेस (पर स्थित है $y=0$) तलीय है। वेग द्वारा दिया गया है

$u_{1}=k_{1}x,\quad v_{1}=-k_{1}y,\quad u_{2}=k_{2}x,\quad v_{2}=-k_{2}y$

कहाँ $k_{1},\ k_{2}$ तरल पदार्थों की तनाव दर हैं। इंटरफ़ेस पर, वेग, स्पर्शरेखा तनाव और दबाव निरंतर होना चाहिए। स्व-समान परिवर्तन का परिचय,

$\eta _{1}={\sqrt {\frac {\nu _{1}}{k_{1}}}}y,\quad u_{1}=k_{1}xF_{1}',\quad v_{1}=-{\sqrt {\nu _{1}k_{1}}}F_{1}$

$\eta _{2}={\sqrt {\frac {\nu _{2}}{k_{2}}}}y,\quad u_{2}=k_{2}xF_{2}',\quad v_{2}=-{\sqrt {\nu _{2}k_{2}}}F_{2}$

परिणाम समीकरण,

$F_{1}'''+F_{1}F_{1}''-F_{1}'^{2}+1=0,\quad {\frac {p_{o1}-p_{1}}{\rho _{1}}}={\frac {1}{2}}k_{1}^{2}x^{2}+k_{1}\nu _{1}F_{1}'+{\frac {1}{2}}k_{1}\nu _{1}F_{1}^{2}$

$F_{2}'''+F_{2}F_{2}''-F_{2}'^{2}+1=0,\quad {\frac {p_{o2}-p_{2}}{\rho _{2}}}={\frac {1}{2}}k_{2}^{2}x^{2}+k_{2}\nu _{2}F_{2}'+{\frac {1}{2}}k_{2}\nu _{2}F_{2}^{2}.$

इंटरफ़ेस पर नो-पेनेट्रेशन स्थिति और ठहराव तल से दूर मुक्त स्ट्रीम स्थिति बन जाती है

$F_{1}(0)=0,\quad F_{1}'(\infty )=1,\quad F_{2}(0)=0,\quad F_{2}'(-\infty )=1.$

लेकिन समीकरणों के लिए दो और सीमा शर्तों की आवश्यकता होती है। पर $\eta =0$, स्पर्शरेखीय वेग $u_{1}=u_{2}$, स्पर्शरेखीय तनाव $\rho _{1}\nu _{1}\partial u_{1}/\partial y=\rho _{2}\nu _{2}\partial u_{2}/\partial y$ और दबाव $p_{1}=p_{2}$ निरंतर हैं. इसलिए,

${\begin{aligned}k_{1}F_{1}'(0)&=k_{2}F_{2}'(0),\\\rho _{1}{\sqrt {\nu _{1}k_{1}^{3}}}F_{1}''(0)&=\rho _{2}{\sqrt {\nu _{2}k_{2}^{3}}}F_{2}''(0),\\p_{o1}-\rho _{1}\nu _{1}k_{1}F_{1}'(0)&=p_{o2}-\rho _{2}\nu _{2}k_{2}F_{2}'(0).\end{aligned}}$

कहाँ $\rho _{1}k_{1}^{2}=\rho _{2}k_{2}^{2}$ (बाहरी अदृश्य समस्या से) का प्रयोग किया जाता है। दोनों $F_{i}'(0),F_{i}''(0)$ पूर्व ज्ञात नहीं हैं, लेकिन मिलान स्थितियों से प्राप्त हुए हैं। तीसरा समीकरण बाहरी दबाव की भिन्नता निर्धारित करता है $p_{o1}-p_{o2}$ चिपचिपाहट के प्रभाव के कारण. तो केवल दो पैरामीटर हैं, जो प्रवाह को नियंत्रित करते हैं, जो हैं

$\Lambda ={\frac {k_{1}}{k_{2}}}=\left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{1/2},\quad \Gamma ={\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}$

तब सीमा की स्थितियाँ बन जाती हैं

$F_{1}'(0)=\Lambda F_{2}'(0),\quad F_{1}''(0)={\sqrt {\frac {\Gamma }{\Lambda }}}F_{2}''(0)$.