प्रगतिरोध बिंदु प्रवाह

द्रव गतिशीलता में, एक प्रगतिरोध बिंदु प्रवाह एक प्रगतिरोध बिंदु (त्रि-आयामी प्रवाह में) या एक प्रगतिरोध रेखा (द्वि-आयामी प्रवाह में) के प्रतिवैस (गणित) में एक द्रव प्रवाह को संदर्भित करता है जिसके साथ प्रगतिरोध बिंदु/रेखा एक बिंदु/रेखा को संदर्भित करता है जहाँ अदृश्य सन्निकटन में वेग शून्य है। प्रवाह विशेष रूप से प्रगतिरोध बिंदुओं के एक वर्ग पर विचार करता है जिसे पल्याण बिन्दु के रूप में जाना जाता है, जिसमें आने वाली धारारेखा विक्षेपित हो जाती हैं और एक अलग दिशा में बाहर की ओर निर्देशित हो जाती हैं; सुव्यवस्थित विक्षेप पृथक्करणों द्वारा निर्देशित होते हैं। प्रगतिरोध बिंदु या रेखा के प्रतिवैस में प्रवाह को सामान्यतः संभावित प्रवाह सिद्धांत का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, हालांकि यदि प्रगतिरोध बिंदु एक घनाकृति सतह पर स्थित है तो श्यान प्रभाव को उपेक्षित नहीं किया जा सकता है।

घनाकृति सतहों के बिना प्रगतिरोध बिंदु प्रवाह

जब द्वि-आयामी या अक्षीय प्रकृति की दो धाराएँ एक-दूसरे से टकराती हैं, तो एक प्रगतिरोध तल बनता है, जहाँ आने वाली धाराएँ स्पर्शरेखीय रूप से बाहर की ओर मुड़ जाती हैं; इस प्रकार प्रगतिरोध तल पर, उस तल का सामान्य वेग घटक शून्य है, जबकि स्पर्शरेखीय घटक गैर-शून्य है। प्रगतिरोध बिंदु के प्रतिवैस में, वेग क्षेत्र के लिए एक स्थानीय विवरण वर्णित किया जा सकता है।

सामान्य त्रि-आयामी वेग क्षेत्र

प्रगतिरोध बिंदु प्रवाह निर्देशांक पर एक रैखिक निर्भरता से मेल खाता है, जिसे कार्टेशियन निर्देशांक $(x,y,z)$ में वेग घटकों $(v_{x},v_{y},v_{z})$ के साथ निम्नलिखित नुसार वर्णित किया जा सकता है

$v_{x}=\alpha x,\quad v_{y}=\beta y,\quad v_{z}=\gamma z$

जहाँ $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ स्थिरांक को विकृति दर के रूप में जाना जाता है; ये स्थिरांक पूरी तरह से स्वेच्छाचारी नहीं हैं क्योंकि निरंतरता समीकरण $\alpha +\beta +\gamma =0$ की आवश्यकता होती है, अर्थात्, तीन में से केवल दो स्थिरांक स्वतंत्र हैं। हम मान लेंगे कि $\gamma <0\leq \alpha$ ताकि प्रवाह $z$ दिशा में ठहराव बिंदु की ओर हो और $x$ दिशा में ठहराव बिंदु से दूर हो। व्यापकता की हानि के बिना, कोई यह मान सकता है कि $\beta \geq \alpha$ है। प्रवाह क्षेत्र को एक ही मापदण्ड के आधार पर विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है।

$\lambda ={\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}$

तलीय प्रगतिरोध-बिंदु प्रवाह

द्वि-आयामी प्रगतिरोध-बिंदु प्रवाह $\beta =0\,(\lambda =1)$ स्तिथि से संबंधित है। प्रवाह क्षेत्र का वर्णन इस प्रकार किया गया है

$v_{x}=kx,\quad v_{z}=-kz$

जहाँ हमने मान लिया कि $k=\alpha =-\gamma >0$ है। इस प्रवाह क्षेत्र की जांच 1934 में ही जी.आई. टेलर द्वारा की गई थी। प्रयोगशाला में, यह प्रवाह क्षेत्र चार-मिल उपकरण का उपयोग करके बनाया जाता है, हालांकि ये प्रवाह क्षेत्र अशांत प्रवाह में सर्वव्यापी होते हैं।

अक्षमितीय प्रगतिरोध-बिंदु प्रवाह

अक्षसममितीय प्रगतिरोध बिंदु प्रवाह $\alpha =\beta \,(\lambda =0)$ से मेल खाता है। प्रवाह क्षेत्र को बेलनाकार समन्वय प्रणाली $(r,\theta ,z)$ वेग घटकों के साथ $(v_{r},0,v_{z})$ निम्नलिखित नुसार सरलता से वर्णित किया जा सकता है

$v_{r}=kr,\quad v_{z}=-2kz$

जहाँ हमने मान लिया कि $k=\alpha =\beta =-\gamma /2>0$ है।

त्रिज्यीय प्रगतिरोध प्रवाह

त्रिज्यीय प्रगतिरोध प्रवाह में, प्रगतिरोध बिंदु के स्थान पर, हमारे पास एक प्रगतिरोध चक्र होता है और प्रगतिरोध तल को एक प्रगतिरोध बेलनाकार द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। त्रिज्यीय प्रगतिरोध प्रवाह को बेलनाकार समन्वय प्रणाली $(r,z)$ का उपयोग करके वेग घटक $(v_{r},v_{z})$ के साथ निम्नलिखित नुसार वर्णित किया गया है

$v_{r}=-k\left(r-{\frac {r_{s}^{2}}{r}}\right),\quad v_{z}=2kz$

जहाँ $r_{s}$ प्रगतिरोध बेलनाकार का स्थान है।

हिमेंज़ प्रवाह

फ़ाइल:Stagnation2D.pdf|thumb|200px| द्वि-आयामी प्रगतिरोध बिंदु प्रवाह$z=0$

समतलीय ठहराव-बिंदु प्रवाह में z=0 पर एक घनाकृति सतह की उपस्थिति के कारण प्रवाह का वर्णन सबसे पहले 1911 में कार्ल हिमेन्ज़ द्वारा किया गया था, जिसके समाधान के लिए संख्यात्मक गणनाओं में बाद में लेस्ली हॉवर्थ द्वारा सुधार किया गया था। एक परिचित उदाहरण जहां हिमेन्ज़ प्रवाह लागू होता है वह आगे की स्थिरता रेखा है जो एक गोलाकार बेलनाकार पर प्रवाह में होती है।

घनाकृति सतह पर स्थित $xy$ है। संभावित प्रवाह सिद्धांत के अनुसार, धारा फलन $\psi$ और वेग घटकों के संदर्भ में वर्णित द्रव गति $(v_{x},0,v_{z})$ द्वारा दी गई है

$\psi =kxz,\quad v_{x}=kx,\quad v_{z}=-kz.$

इस प्रवाह के लिए प्रगतिरोध रेखा $(x,y,z)=(0,y,0)$ है। वेग घटक $v_{x}$ घनाकृति सतह पर गैर-शून्य है जो दर्शाता है कि उपरोक्त वेग क्षेत्र बाधा पर असर्पण सीमा की स्थिति को पूरा नहीं करता है। वेग घटकों को खोजने के लिए जो असर्पण सीमा स्थिति को संतुष्ट करते हैं, निम्नलिखित रूप धारण करते हैं

$\psi ={\sqrt {\nu k}}xF(\eta ),\quad \eta ={\frac {z}{\sqrt {\nu /k}}}$

जहाँ $\nu$ गतिज श्यानपन है और ${\sqrt {\nu /k}}$ वह विशिष्ट मोटाई है जहां श्यान प्रभाव महत्वपूर्ण होता है। श्यान प्रभाव की मोटाई के लिए स्थिर मूल्य का अस्तित्व द्रव संवहन के बीच प्रतिस्पर्धात्मक संतुलन के कारण होता है जो घनाकृति सतह की ओर निर्देशित होता है और श्यान प्रसार जो सतह से दूर निर्देशित होता है। इस प्रकार घनाकृति सतह पर उत्पन्न भंवर केवल क्रम ${\sqrt {\nu /k}}$ की दूरी तक ही विस्तारित हो पाती है; इस व्यवहार से मिलती-जुलती अनुरूप स्थितियाँ अनंतस्पर्शी चूषण परिच्छेदिका और वॉन कार्मन घूर्णमान प्रवाह के साथ होती हैं। वेग घटक, दबाव और नेवियर-स्टोक्स समीकरण तब बनते हैं

$v_{x}=kxF',\quad v_{z}=-{\sqrt {\nu k}}F,\quad {\frac {p_{o}-p}{\rho }}={\frac {1}{2}}k^{2}x^{2}+k\nu F'+{\frac {1}{2}}k\nu F^{2}$

$F'''+FF''-F'^{2}+1=0$

आवश्यकताएँ जो $z=0$ पर $(v_{x},v_{z})=(0,0)$ और वह $z\rightarrow \infty$ के रूप में $v_{x}\rightarrow kx$ का निम्न रूप में अनुवाद करें

$F(0)=0,\ F'(0)=0,F'(\infty )=1.$

$v_{z}$ के लिए $z\rightarrow \infty$ के रूप में शर्त निर्धारित नहीं की जा सकती है और इसे समाधान के एक भाग के रूप में प्राप्त किया जाता है। यहां तैयार की गई समस्या फाल्कनर-स्कैन परिसीमा स्तर की एक विशेष स्तिथि है। समाधान संख्यात्मक एकीकरण से प्राप्त किया जा सकता है और चित्र में दिखाया गया है। बड़े मापक्रम पर स्पर्शोन्मुख व्यवहार $\eta \rightarrow \infty$ हैं

$F\sim \eta -0.6479,\quad v_{x}\sim kx,\quad v_{z}\sim -k(z-\delta ^{*}),\quad \delta ^{*}=0.6479\delta$

जहाँ $\delta ^{*}$ विस्थापन मोटाई है।

एक अनुवाद बाधा के साथ प्रगतिरोध बिंदु प्रवाह

जब घनाकृति बाधा x के अनुदिश एक स्थिर वेग U के साथ परिवर्तित होती है तो हीमेन्ज़ प्रवाह को रॉट (1956) द्वारा हल किया गया था। यह समस्या एक घूर्णन बेलनाकार पर प्रवाह में होने वाली आगे की स्थिरता रेखा के प्रतिवैस में प्रवाह का वर्णन करती है। आवश्यक वर्ग फलन निम्न है

$\psi ={\sqrt {\nu k}}xF(\eta )+U\delta \int _{0}^{\eta }G(\eta )d\eta$

जहां फलन $G(\eta )$ निम्नलिखित को संतुष्ट करता है

$G''+FG'-F'G=0,\quad G(0)=1,\quad G(\infty )=0$

उपरोक्त समीकरण का हल इस प्रकार दिया गया है कि $G(\eta )=F''(\eta )/F''(0)$ होता है।

तिर्यक प्रगतिरोध बिंदु प्रवाह

यदि आने वाली धारा प्रगतिरोध रेखा के लंबवत है, लेकिन तिर्यक पहुंचती है, तो बाहरी प्रवाह संभावित नहीं है, लेकिन इसमें निरंतर भंवर $-\zeta _{o}$ है। तिर्यक प्रगतिरोध बिंदु प्रवाह के लिए उपयुक्त धारा फलन द्वारा दिया गया है

$\psi =kxz+{\frac {1}{2}}\zeta _{o}z^{2}$

एक घनाकृति बाधा की उपस्थिति के कारण होने वाले श्यान प्रभावों का अध्ययन स्टुअर्ट (1959) तमाडा (1979) और डोर्रेपाल (1986) द्वारा किया गया था। उनके दृष्टिकोण में, स्ट्रीमफलन निम्न रूप लेता है

$\psi ={\sqrt {\nu k}}xF(\eta )+\zeta _{o}\delta ^{2}\int _{0}^{\eta }H(\eta )d\eta$

जहां फलन $H(\eta )$ निम्न है

$H''+FH'-F'H=0,\quad H(0)=0,\quad H'(\infty )=1$।

होमन प्रवाह

फ़ाइल:Stagnationaxi.pdf|thumb|200px

फ़ाइल:Stagnationaxi2.pdf|thumb|200px

एक घनाकृति बाधा की उपस्थिति में अक्षसममितीय प्रगतिरोध बिंदु प्रवाह का समाधान सबसे पहले होमन (1936) द्वारा प्राप्त किया गया था। इस प्रवाह का एक विशिष्ट उदाहरण एक गोले के पिछले प्रवाह में दिखाई देने वाला आगे का प्रगतिरोध बिंदु है। पॉल ए. लिब्बी (1974) (1976) घनाकृति बाधा को एक स्थिर गति के साथ अपने स्वयं के विमान में अनुवाद करने की अनुमति देकर और घनाकृति सतह पर निरंतर चूषण या अंतःक्षेपण की अनुमति देकर होमन के काम को बढ़ाया।

इस समस्या का समाधान बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली $(r,\theta ,z)$ में निम्न परिचय देने से प्राप्त होता है

$\eta ={\frac {z}{\sqrt {\nu /k}}},\quad \gamma =-{\frac {V}{2{\sqrt {k\nu }}}},\quad v_{r}=krF'(\eta )+U\cos \theta G(\eta ),\quad v_{\theta }=-U\sin \theta G(\eta ),\quad v_{z}=-2{\sqrt {k\nu }}F(\eta )$

जहाँ $U$ बाधा की अनुवादात्मक गति है और $V$ बाधा पर अंतःक्षेपण (या, चूषण) वेग है। समस्या अक्षसममिति तभी होती है जब $U=0$ है। निम्न द्वारा दबाव दिया जाता है

${\frac {p-p_{o}}{\rho }}=-{\frac {1}{2}}k^{2}r^{2}-2k\nu (F^{2}+F')$

नेवियर-स्टोक्स समीकरण तब कम हो जाते हैं

${\begin{aligned}F'''+2FF''-F'^{2}+1&=0,\\G''+2FG'-F'G&=0\end{aligned}}$

निम्न परिसीमा प्रतिबंध के साथ,

$F(0)=\gamma ,\quad F'(0)=0,\quad F'(\infty )=1,\quad G(0)=1,\quad G(\infty )=0.$

जब $U=V=0$, पारम्परिक होमन समस्या ठीक हो गई है।

विमान प्रतिप्रवाह

संभावित सिद्धांत के अनुसार स्लॉट-जेट से निकलने वाले जेट बीच में प्रगतिरोध बिंदु बनाते हैं। स्व-समान समाधान का उपयोग करके प्रगतिरोध बिंदु के निकट प्रवाह का अध्ययन किया जा सकता है। दहन प्रयोगों में इस व्यवस्थापन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। अवरोध प्रवाह का प्रारंभिक अध्ययन सी.वाई.वांग के कारण होता है। प्रत्यय $1({\text{top}}),\ 2({\text{bottom}})$ के साथ निरूपित स्थिर गुणों वाले दो तरल पदार्थों को विपरीत दिशा से बहने दें, और मान लें कि दोनों तरल पदार्थ अमिश्रणीय हैं और अंतरापृष्ठ ($y=0$ पर स्थित) समतलीय है। वेग निम्न द्वारा दिया गया है

$u_{1}=k_{1}x,\quad v_{1}=-k_{1}y,\quad u_{2}=k_{2}x,\quad v_{2}=-k_{2}y$

जहाँ $k_{1},\ k_{2}$ तरल पदार्थों की विकृति दर हैं। अंतरापृष्ठ पर, वेग, स्पर्शरेखा तनाव और दबाव निरंतर होना चाहिए।

निम्न स्व-समान परिवर्तन का परिचय,

$\eta _{1}={\sqrt {\frac {\nu _{1}}{k_{1}}}}y,\quad u_{1}=k_{1}xF_{1}',\quad v_{1}=-{\sqrt {\nu _{1}k_{1}}}F_{1}$

$\eta _{2}={\sqrt {\frac {\nu _{2}}{k_{2}}}}y,\quad u_{2}=k_{2}xF_{2}',\quad v_{2}=-{\sqrt {\nu _{2}k_{2}}}F_{2}$

निम्न परिणाम समीकरण,

$F_{1}'''+F_{1}F_{1}''-F_{1}'^{2}+1=0,\quad {\frac {p_{o1}-p_{1}}{\rho _{1}}}={\frac {1}{2}}k_{1}^{2}x^{2}+k_{1}\nu _{1}F_{1}'+{\frac {1}{2}}k_{1}\nu _{1}F_{1}^{2}$

$F_{2}'''+F_{2}F_{2}''-F_{2}'^{2}+1=0,\quad {\frac {p_{o2}-p_{2}}{\rho _{2}}}={\frac {1}{2}}k_{2}^{2}x^{2}+k_{2}\nu _{2}F_{2}'+{\frac {1}{2}}k_{2}\nu _{2}F_{2}^{2}.$

अंतरापृष्ठ पर अंतर्वेधन-विहीन स्थिति और प्रगतिरोध तल से दूर मुक्त धारा स्थिति बन जाती है

$F_{1}(0)=0,\quad F_{1}'(\infty )=1,\quad F_{2}(0)=0,\quad F_{2}'(-\infty )=1.$

लेकिन समीकरणों के लिए दो और परिसीमा प्रतिबंध की आवश्यकता होती है। $\eta =0$ पर, स्पर्शरेखीय वेग $u_{1}=u_{2}$, स्पर्शरेखीय तनाव $\rho _{1}\nu _{1}\partial u_{1}/\partial y=\rho _{2}\nu _{2}\partial u_{2}/\partial y$ और दबाव $p_{1}=p_{2}$ निरंतर हैं। इसलिए,

${\begin{aligned}k_{1}F_{1}'(0)&=k_{2}F_{2}'(0),\\\rho _{1}{\sqrt {\nu _{1}k_{1}^{3}}}F_{1}''(0)&=\rho _{2}{\sqrt {\nu _{2}k_{2}^{3}}}F_{2}''(0),\\p_{o1}-\rho _{1}\nu _{1}k_{1}F_{1}'(0)&=p_{o2}-\rho _{2}\nu _{2}k_{2}F_{2}'(0).\end{aligned}}$

जहाँ $\rho _{1}k_{1}^{2}=\rho _{2}k_{2}^{2}$ (बाहरी अदृश्य समस्या से) का प्रयोग किया जाता है। दोनों $F_{i}'(0),F_{i}''(0)$ पूर्व ज्ञात नहीं हैं, लेकिन मिलान स्थितियों से प्राप्त हुए हैं। तीसरा समीकरण श्यानता के प्रभाव के कारण बाहरी दबाव $p_{o1}-p_{o2}$ की भिन्नता निर्धारित करता है। तो केवल दो मापदण्ड हैं, जो प्रवाह को नियंत्रित करते हैं, जो हैं

$\Lambda ={\frac {k_{1}}{k_{2}}}=\left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{1/2},\quad \Gamma ={\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}$

तब निम्न परिसीमा प्रतिबंध बन जाती हैं

$F_{1}'(0)=\Lambda F_{2}'(0),\quad F_{1}''(0)={\sqrt {\frac {\Gamma }{\Lambda }}}F_{2}''(0)$.