रैखिक विस्तार

गणित में, रैखिक अवधि (जिसे रैखिक हल भी कहा जाता है या सिर्फ स्पैन) एक सेट (गणित) का S सदिश स्थान (एक सदिश स्थान से), निरूपित span(S), में वैक्टर के सभी रैखिक संयोजनों के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है S. इसे या तो सभी रेखीय उप-स्थानों के प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) के रूप में चित्रित किया जा सकता है S, या युक्त सबसे छोटे उप-स्थान के रूप में S. इसलिए सदिशों के समुच्चय का रैखिक फैलाव स्वयं एक सदिश समष्टि है। स्पैन को matroid और मॉड्यूल (गणित) के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

व्यक्त करने के लिए कि एक सदिश स्थान V एक उपसमुच्चय का एक रैखिक विस्तार है S, आमतौर पर निम्नलिखित वाक्यांशों का उपयोग किया जाता है—या तो: S फैला V, S का एक विस्तृत सेट है V, V द्वारा फैलाया/उत्पन्न किया जाता है S, या S एक जनरेटर (गणित) या का जनरेटर सेट है V.

परिभाषा

एक सदिश स्थान दिया गया है V एक क्षेत्र पर (गणित) K, एक सेट की अवधि (गणित) S सदिशों की संख्या (अनिवार्य रूप से अनंत नहीं) को प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया गया है W की सभी रैखिक उपसमष्टि का V जिसमें शामिल है S. W द्वारा फैलाए गए उप-स्थान के रूप में जाना जाता है S, या वैक्टर द्वारा S. इसके विपरीत, S का स्पैनिंग सेट कहा जाता है W, और हम कहते हैं S फैला W.

वैकल्पिक रूप से, की अवधि S के तत्वों (वैक्टर) के सभी परिमित रैखिक संयोजनों के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है S, जो उपरोक्त परिभाषा से अनुसरण करता है।

$$\operatorname {span} (S)=\left\{{\left.\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}\;\right|\;k\in \mathbb {N} ,\mathbf {v} _{i}\in S,\lambda _{i}\in K}\right\}.$$

अनंत के मामले में S, अनंत रैखिक संयोजन (अर्थात जहां एक संयोजन में एक अनंत राशि शामिल हो सकती है, यह मानते हुए कि इस तरह की रकम को किसी तरह से परिभाषित किया गया है, कहते हैं, एक बनच स्थान) को परिभाषा द्वारा बाहर रखा गया है; एक रैखिक संयोजन# सामान्यीकरण जो इन्हें अनुमति देता है समकक्ष नहीं है।

उदाहरण

क्रॉस-हैचड प्लेन आर में यू और वी की रैखिक अवधि है^{3</उप>।}

वास्तविक संख्या वेक्टर स्थान $\mathbb {R} ^{3}$ {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} एक फैले हुए सेट के रूप में है। यह विशेष रूप से फैला हुआ सेट भी एक आधार (रैखिक बीजगणित) है। अगर (-1, 0, 0) को (1, 0, 0) से बदल दिया जाए, तो यह मानक आधार भी बनेगा $\mathbb {R} ^{3}$.

उसी स्थान के लिए एक और फैलाव सेट {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (-1, 1⁄2, 3), (1, 1, 1)}, लेकिन यह सेट आधार नहीं है, क्योंकि यह रैखिक निर्भरता है।

सेट {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} का स्पैनिंग सेट नहीं है $\mathbb {R} ^{3}$, क्योंकि इसका फैलाव सभी सदिशों का स्थान है $\mathbb {R} ^{3}$ जिसका अंतिम घटक शून्य है। वह स्थान सेट {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} द्वारा भी फैला हुआ है, क्योंकि (1, 1, 0) (1, 0, 0) और (0, का रैखिक संयोजन है) 1, 0). हालाँकि, यह फैलता है $\mathbb {R} ^{3}$(जब एक सबसेट के रूप में व्याख्या की जाती है $\mathbb {R} ^{3}$).

खाली सेट {(0, 0, 0)} का एक फैला हुआ सेट है, क्योंकि खाली सेट सभी संभावित वेक्टर रिक्त स्थान का एक सबसेट है $\mathbb {R} ^{3}$, और {(0, 0, 0)} इन सभी सदिश स्थानों का प्रतिच्छेदन है।

कार्यों का सेट xⁿ, कहाँ पे n एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, बहुपदों के स्थान को फैलाता है।

प्रमेय

परिभाषाओं की समानता

एक सबसेट के सभी रैखिक संयोजनों का सेट S का V, एक सदिश स्थान खत्म K, की सबसे छोटी रैखिक उपसमष्टि है V युक्त S.

सबूत। हम पहले सिद्ध करते हैं span S की एक उपसमष्टि है V. तब से S का उपसमुच्चय है V, हमें केवल एक शून्य सदिश के अस्तित्व को सिद्ध करने की आवश्यकता है 0 में span S, वह span S अतिरिक्त के तहत बंद है, और वह span S अदिश गुणन के तहत बंद है। दे $S=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}$, यह तुच्छ है कि शून्य वेक्टर V में मौजूद है span S, जबसे $\mathbf {0} =0\mathbf {v} _{1}+0\mathbf {v} _{2}+\cdots +0\mathbf {v} _{n}$. के दो रैखिक संयोजनों को एक साथ जोड़ना S का एक रैखिक संयोजन भी उत्पन्न करता है S: $(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n}$, कहां कहां $\lambda _{i},\mu _{i}\in K$, और के एक रैखिक संयोजन को गुणा करना S एक अदिश द्वारा $c\in K$ का एक और रैखिक संयोजन उत्पन्न करेगा S: $c(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=c\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}$. इस प्रकार S की एक उपसमष्टि है V.

मान लो कि W की एक रेखीय उपसमष्टि है V युक्त S. यह इस प्रकार है कि $S\subseteq \operatorname {span} S$, प्रत्येक के बाद से v_i का एक रैखिक संयोजन है S (तुच्छ रूप से)। तब से W जोड़ और अदिश गुणन के तहत बंद है, फिर प्रत्येक रैखिक संयोजन $\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}$ में निहित होना चाहिए W. इस प्रकार, span S के प्रत्येक उपक्षेत्र में निहित है V युक्त S, और ऐसे सभी उप-स्थानों का प्रतिच्छेदन, या सबसे छोटा ऐसा उप-स्थान, सभी रैखिक संयोजनों के समुच्चय के बराबर है S.

=== फैले हुए सेट का आकार रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट === का कम से कम आकार है हर स्पैनिंग सेट S एक वेक्टर अंतरिक्ष की V कम से कम उतने तत्व होने चाहिए जितने कि सदिशों के किसी रैखिक स्वतंत्रता समुच्चय से हैं V.

सबूत। होने देना $S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}$ एक फैले हुए सेट हो और $W=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\}$ से सदिशों का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय हो V. हम वह दिखाना चाहते हैं $m\geq n$.

तब से S फैला V, फिर $S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}$ भी फैलाना चाहिए V, तथा w_1 का एक रैखिक संयोजन होना चाहिए S. इस प्रकार $S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}$ रैखिक रूप से निर्भर है, और हम इसमें से एक सदिश को हटा सकते हैं S यह अन्य तत्वों का एक रैखिक संयोजन है। यह वेक्टर इनमें से कोई भी नहीं हो सकता है w_i, जबसे W रैखिक रूप से स्वतंत्र है। परिणामी समुच्चय है $\{\mathbf {w} _{1},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1},\mathbf {v} _{i+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}$, जो कि एक विस्तृत सेट है V. हम इस चरण को दोहराते हैं n समय, जहां परिणामी सेट के बाद pचौथा चरण का मिलन है $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{p}\}$ तथा m - p के वैक्टर S.

तक सुनिश्चित किया जाता है nवह कदम जो हमेशा रहेगा v_i से निकालने के लिए S के हर जोड़ के लिए v, और इस प्रकार कम से कम उतने ही हैं v_iजैसे हैं w_iहमें- यानी $m\geq n$. इसे सत्यापित करने के लिए, हम विरोधाभास के माध्यम से मान लेते हैं कि $m<n$. फिर, पर mकदम, हमारे पास सेट है $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}$ और हम दूसरे वेक्टर को जोड़ सकते हैं $\mathbf {w} _{m+1}$. लेकिन जबसे $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}$ का एक विस्तृत सेट है V, $\mathbf {w} _{m+1}$ का एक रैखिक संयोजन है $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}$. यह एक विरोधाभास है, चूंकि W रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

=== स्पैनिंग सेट को === के आधार पर कम किया जा सकता है होने देना V एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष बनें। फैले हुए सदिशों का कोई भी समूह V के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) में घटाया जा सकता है V, यदि आवश्यक हो तो वैक्टर को हटाकर (यानी यदि सेट में रैखिक रूप से निर्भर वैक्टर हैं)। यदि पसंद का स्वयंसिद्ध धारण करता है, तो यह धारणा के बिना सत्य है V परिमित आयाम है। यह यह भी इंगित करता है कि एक आधार न्यूनतम फैलाव सेट है जब V परिमित-आयामी है।

सामान्यीकरण

अंतरिक्ष में बिंदुओं की अवधि की परिभाषा को सामान्य बनाना, एक सबसेट X मैट्रोइड के ग्राउंड सेट को स्पैनिंग सेट कहा जाता है यदि रैंक X पूरे ग्राउंड सेट के रैंक के बराबर है.

सदिश स्थान की परिभाषा को मॉड्यूल के लिए सामान्यीकृत भी किया जा सकता है। एक दिया R-मापांक A और तत्वों का संग्रह a₁, ..., a_n का A, का submodule A द्वारा फैलाया गया a₁, ..., a_n चक्रीय मॉड्यूल का योग है

$$Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}=\left\{\sum _{k=1}^{n}r_{k}a_{k}{\bigg |}r_{k}\in R\right\}$$

तत्वों के सभी आर-रैखिक संयोजनों से मिलकर a_i. वेक्टर रिक्त स्थान के मामले में, ए के किसी भी सबसेट द्वारा फैलाए गए ए के सबमॉड्यूल उस सबसेट वाले सभी सबमॉड्यूल का प्रतिच्छेदन है।

बंद रैखिक अवधि (कार्यात्मक विश्लेषण)

कार्यात्मक विश्लेषण में, सदिश स्थान के एक सेट (गणित) का एक बंद रैखिक विस्तार न्यूनतम बंद सेट होता है जिसमें उस सेट का रैखिक फैलाव होता है।

मान लो कि X एक आदर्श सदिश समष्टि है और मान लीजिए E का कोई गैर-रिक्त उपसमुच्चय हो X. की बंद रैखिक अवधि E, द्वारा चिह्नित ${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)$ या ${\overline {\operatorname {Span} }}(E)$, की सभी बंद रेखीय उपसमष्टियों का प्रतिच्छेदन है X किसमें है E.

इसका एक गणितीय सूत्रीकरण है

${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)=\{u\in X|\forall \varepsilon >0\,\exists x\in \operatorname {Sp} (E):\|x-u\|<\varepsilon \}.$

फ़ंक्शन x के सेट की बंद रैखिक अवधिⁿ अंतराल [0, 1] पर, जहाँ n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, प्रयुक्त मानदंड पर निर्भर करता है। अगर Lp स्पेस#Lp स्पेस और Lebesgue इंटीग्रल्स|L² मानदंड का उपयोग किया जाता है, तो बंद रैखिक फैलाव अंतराल पर वर्ग-अभिन्नीकरण कार्यों का हिल्बर्ट अंतरिक्ष है। लेकिन यदि अधिकतम मानदंड का उपयोग किया जाता है, तो बंद रैखिक फैलाव अंतराल पर निरंतर कार्यों का स्थान होगा। किसी भी मामले में, बंद रैखिक अवधि में ऐसे कार्य होते हैं जो बहुपद नहीं होते हैं, और इसलिए स्वयं रैखिक विस्तार में नहीं होते हैं। हालांकि, बंद रैखिक अवधि में कार्यों के सेट की प्रमुखता सातत्य की प्रमुखता है, जो कि बहुपदों के सेट के समान प्रमुखता है।

टिप्पणियाँ

The linear span of a set is dense in the closed linear span. Moreover, as stated in the lemma below, the closed linear span is indeed the closure of the linear span.

Closed linear spans are important when dealing with closed linear subspaces (which are themselves highly important, see Riesz's lemma).

एक उपयोगी लेम्मा

होने देना X एक आदर्श स्थान बनें और रहने दें E का कोई गैर-रिक्त उपसमुच्चय हो X. फिर

1. ${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)$ X की एक बंद रेखीय उपसमष्टि है जिसमें E है,
2. गणित>\overline{\operatorname{Sp

(E) = \overline{\operatorname{Sp}(E)}</math>, अर्थात। ${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)$ का समापन है $\operatorname {Sp} (E)$,

| $E^{\perp }=(\operatorname {Sp} (E))^{\perp }=\left({\overline {\operatorname {Sp} (E)}}\right)^{\perp }.$

}}

(इसलिए बंद लीनियर स्पैन को खोजने का सामान्य तरीका है कि पहले लीनियर स्पैन को खोजा जाए, और फिर उस लीनियर स्पैन को बंद किया जाए।)

यह भी देखें

• अफिन हल
• शंक्वाकार संयोजन
• उत्तल पतवार

स्रोत

पाठ्यपुस्तकें

• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
• Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (4th ed.). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4.
• Lane, Saunders Mac; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Algebra (3rd ed.). AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821816462.
• Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-24766-1.
• Rynne, Brian P.; Youngson, Martin A. (2008). Linear Functional Analysis. Springer. ISBN 978-1848000049.
• Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.

वेब

• Lankham, Isaiah; Nachtergaele, Bruno; Schilling, Anne (13 February 2010). "रेखीय बीजगणित - अमूर्त गणित के परिचय के रूप में" (PDF). University of California, Davis. Retrieved 27 September 2011.
• Weisstein, Eric Wolfgang. "वेक्टर स्पेस स्पैन". MathWorld. Retrieved 16 Feb 2021.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
• "रैखिक पतवार". Encyclopedia of Mathematics. 5 April 2020. Retrieved 16 Feb 2021.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• सदिश स्थल
• रैखिक उपक्षेत्र
• चौराहा (सेट सिद्धांत)
• क्षेत्र (गणित)
• स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन
• एफ़िन पतवार

बाहरी संबंध

• Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
• Sanderson, Grant (August 6, 2016). "Linear combinations, span, and basis vectors". Essence of Linear Algebra. Archived from the original on 2021-12-11 – via YouTube.