रैखिक विस्तार

गणित में, सदिशों के समुच्चय S (एक सदिश स्थान से) का रेखीय फैलाव (जिसे रेखीय हल या सिर्फ स्पैन भी कहा जाता है), span(S), को सभी रैखिक संयोजनों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है। S में वैक्टर की। इसे या तो सभी रेखीय उपसमष्टियों के प्रतिच्छेदन के रूप में चित्रित किया जा सकता है जिसमें S शामिल है, या S युक्त सबसे छोटी उपसमष्टि के रूप में। सदिशों के एक सेट का रैखिक विस्तार इसलिए एक सदिश स्थान है। स्पैन को मैट्रोइड्स और मॉड्यूल के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

यह व्यक्त करने के लिए कि एक सदिश स्थान V एक उपसमुच्चय S का एक रैखिक फैलाव है, आमतौर पर निम्नलिखित वाक्यांशों का उपयोग किया जाता है - या तो: S, V को फैलाता है, S, V का एक फैला हुआ सेट है, V को S द्वारा फैलाया / उत्पन्न किया जाता है, या S, V का एक जनरेटर या जनरेटर सेट है।

परिभाषा

एक फ़ील्ड K पर एक सदिश स्थान V दिया गया है, सदिशों के एक सेट S की अवधि (जरूरी नहीं कि अनंत हो) को V के सभी उपस्थानों के प्रतिच्छेदन W के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें S शामिल है। W को S द्वारा फैले हुए उपसमष्टि के रूप में संदर्भित किया जाता है, या S में सदिशों द्वारा। इसके विपरीत, S को W का विस्तार सेट कहा जाता है, और हम कहते हैं कि S, W को विस्तृत करता है।

वैकल्पिक रूप से, S की अवधि को S के तत्वों (वैक्टर) के सभी परिमित रैखिक संयोजनों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो उपरोक्त परिभाषा से अनुसरण करता है।

$$\operatorname {span} (S)=\left\{{\left.\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}\;\right|\;k\in \mathbb {N} ,\mathbf {v} _{i}\in S,\lambda _{i}\in K}\right\}.$$

अनंत S के मामले में, अनंत रैखिक संयोजन (अर्थात जहां एक संयोजन में एक अनंत राशि शामिल हो सकती है, यह मानते हुए कि इस तरह की रकम को किसी तरह परिभाषित किया गया है, कहते हैं, एक बनच स्थान) को परिभाषा से बाहर रखा गया है; एक सामान्यीकरण जो इन्हें अनुमति देता है वह समतुल्य नहीं है।

उदाहरण

क्रॉस-हैचड प्लेन आर में यू और वी की रैखिक अवधि है^{3</उप>।}

वास्तविक सदिश समष्टि $\mathbb {R} ^{3}$ में {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} एक विस्तृत सेट के रूप में है। यह विशेष रूप से फैला हुआ सेट भी एक आधार है। अगर (-1, 0, 0) को (1, 0, 0) से बदल दिया जाता है, तो यह $\mathbb {R} ^{3}$ का विहित आधार भी बन जाएगा।

उसी स्थान के लिए एक और फैलाव सेट {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (-1, 1⁄2, 3), (1, 1, 1)} द्वारा दिया जाता है, लेकिन यह सेट आधार नहीं है, क्योंकि यह रैखिक निर्भरता है।

समुच्चय {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} $\mathbb {R} ^{3}$ का विस्तृत समुच्चय नहीं है, चूँकि इसकी अवधि $\mathbb {R} ^{3}$ में सभी सदिशों का स्थान है जिसका अंतिम घटक शून्य है। वह स्थान सेट {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} द्वारा भी फैला हुआ है, क्योंकि (1, 1, 0) (1, 0, 0) और (0, 1, 0) का एक रैखिक संयोजन है। हालाँकि, यह $\mathbb {R} ^{3}$ तक फैला हुआ है। (जब इसे $\mathbb {R} ^{3}$ के उपसमुच्चय के रूप में समझा जाता है)।

खाली सेट {(0, 0, 0)} का एक फैला हुआ सेट है, क्योंकि खाली सेट $\mathbb {R} ^{3}$ में सभी संभावित वेक्टर रिक्त स्थान का एक सबसेट है, इन सभी वेक्टर रिक्त स्थान का प्रतिच्छेदन है।

फ़ंक्शन xⁿ का सेट, जहां n एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, बहुपदों के स्थान को फैलाता है।

प्रमेय

परिभाषाओं की समानता

V के एक उपसमुच्चय S के सभी रैखिक संयोजनों का समुच्चय, K के ऊपर एक सदिश स्थान, V युक्त S का सबसे छोटा रैखिक उपसमष्टि है।

प्रमाण। हम पहले सिद्ध करते हैं कि span S, V की एक उपसमष्टि है। चूँकि S, V का एक उपसमूह है, हमें केवल span S में एक शून्य वेक्टर 0 के अस्तित्व को साबित करने की आवश्यकता है, वह span S अतिरिक्त के तहत बंद है, और वह span S स्केलर गुणन के तहत बंद है। $S=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}$ को देखते हुए, यह तुच्छ है कि V का शून्य वेक्टर $\mathbf {0} =0\mathbf {v} _{1}+0\mathbf {v} _{2}+\cdots +0\mathbf {v} _{n}$ के बाद से S में मौजूद है। S के दो रैखिक संयोजनों को एक साथ जोड़ने से S का एक रैखिक संयोजन भी उत्पन्न होता है: $(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n}$, जहां सभी $\lambda _{i},\mu _{i}\in K$, और S के रैखिक संयोजन को स्केलर $c\in K$ से गुणा करने पर S: $c(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=c\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}$ का एक और रैखिक संयोजन प्राप्त होगा। इस प्रकार S, V की एक उपसमष्टि है।

मान लीजिए कि W, V युक्त S की एक रैखिक उपसमष्टि है। यह $S\subseteq \operatorname {span} S$ का अनुसरण करता है, क्योंकि प्रत्येक v_i S का एक रैखिक संयोजन है (त्रुटिपूर्ण)। चूँकि W जोड़ और अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत है, तो प्रत्येक रैखिक संयोजन $\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}$ को W में समाविष्ट होना चाहिए। इस प्रकार, span S V युक्त S के प्रत्येक उप-स्थान में समाहित है, और ऐसे सभी उप-स्थानों का प्रतिच्छेदन, या सबसे छोटा उप-स्थान, S के सभी रैखिक संयोजनों के सेट के बराबर है।

स्पैनिंग सेट का आकार रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट का कम से कम आकार है

सदिश समष्टि V के प्रत्येक फैले हुए समुच्चय S में कम से कम उतने अवयव होने चाहिए जितने कि V से सदिशों के किसी रैखिक स्वतंत्रता समुच्चय में होते हैं।

प्रमाण। $S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}$ को एक फैले हुए सेट होने दें और $W=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\}$ V से वैक्टरों का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट बनें। हम $m\geq n$ दिखाना चाहते हैं।

चूँकि S, V तक फैला है, तो $S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}$ को भी V तक फैलाना चाहिए, और w_1 को S का एक रैखिक संयोजन होना चाहिए। इस प्रकार $S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}$ रैखिक रूप से निर्भर है, और हम S से एक वेक्टर को हटा सकते हैं जो अन्य तत्वों का एक रैखिक संयोजन है। यह सदिश कोई भी w_i नहीं हो सकता है, क्योंकि W रैखिक रूप से स्वतंत्र है। परिणामी समुच्चय $\{\mathbf {w} _{1},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1},\mathbf {v} _{i+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}$ है, जो कि V का विस्तार समुच्चय है। हम इस चरण को n बार दोहराते हैं, जहाँ pवें चरण के बाद परिणामी समुच्चय $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{p}\}$ और S के m - p सदिशों का मिलन है।

यह nवें चरण तक सुनिश्चित किया जाता है कि v के प्रत्येक आसन्न के लिए S में से हमेशा कुछ v_i निकालना होगा, और इस प्रकार कम से कम उतने ही v_i हैं जितने कि w_i हैं—अर्थात् $m\geq n$ है। इसे सत्यापित करने के लिए, हम विरोधाभास के रूप में मान लेते हैं कि $m<n$ है। फिर, mवें चरण पर, हमारे पास समुच्चय $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}$ है और हम अन्य सदिश $\mathbf {w} _{m+1}$ को जोड़ सकते हैं। लेकिन, चूँकि $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}$ V का एक विस्तृत समुच्चय है, $\mathbf {w} _{m+1}$ $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}$ का एक रैखिक संयोजन है। यह एक विरोधाभास है, क्योंकि W रैखिकतः स्वतंत्र है।

स्पैनिंग सेट को आधार पर कम किया जा सकता है

चलो V एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष बनें। यदि आवश्यक हो तो वैक्टर को हटाकर (यानी यदि सेट में रैखिक रूप से निर्भर वैक्टर हैं) V को फैलाने वाले वैक्टरों का कोई भी सेट V के आधार पर कम किया जा सकता है। यदि पसंद का स्वयंसिद्ध धारण करता है, तो यह इस धारणा के बिना सच है कि V का परिमित आयाम है। यह यह भी इंगित करता है कि V परिमित-आयामी होने पर एक आधार न्यूनतम फैलाव सेट है।

सामान्यीकरण

अंतरिक्ष में बिंदुओं की अवधि की परिभाषा को सामान्यीकृत करते हुए, मैट्रॉइड के ग्राउंड सेट के एक उपसमुच्चय X को स्पैनिंग सेट कहा जाता है यदि X का रैंक पूरे ग्राउंड सेट के रैंक के बराबर है।

सदिश स्थान की परिभाषा को मॉड्यूल के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक R-मॉड्यूल A और तत्वों का एक संग्रह a₁, ..., a_n, A का दिया गया है, A का सबमॉड्यूल a₁, ..., a_n, चक्रीय मॉड्यूल का योग है

$$Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}=\left\{\sum _{k=1}^{n}r_{k}a_{k}{\bigg |}r_{k}\in R\right\}$$

तत्वों के सभी R-रैखिक संयोजनों से मिलकर a_i। वेक्टर रिक्त स्थान के मामले में, A के किसी भी सबसेट द्वारा फैलाए गए A के सबमॉड्यूल उस उपसमुच्चय वाले सभी सबमॉड्यूल्स का प्रतिच्छेदन है।

बंद रेखीय विस्तार (कार्यात्मक विश्लेषण)

कार्यात्मक विश्लेषण में, सदिश स्थान के एक सेट (गणित) का एक बंद रैखिक विस्तार न्यूनतम बंद सेट होता है जिसमें उस सेट का रैखिक फैलाव होता है।

मान लीजिए कि X एक मानक सदिश समष्टि है और मान लीजिए कि E, X का कोई गैर-रिक्त उपसमुच्चय है। E की बंद रैखिक अवधि, जिसे ${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)$ या ${\overline {\operatorname {Span} }}(E)$ द्वारा निरूपित किया जाता है, X की सभी बंद रेखीय उपसमष्टि का प्रतिच्छेदन है, जिसमें E शामिल है।

इसका एक गणितीय सूत्रीकरण है

${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)=\{u\in X|\forall \varepsilon >0\,\exists x\in \operatorname {Sp} (E):\|x-u\|<\varepsilon \}.$

अंतराल [0, 1] पर फ़ंक्शन xn के सेट का बंद रैखिक फैलाव, जहां n एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, उपयोग किए गए मानदंड पर निर्भर करता है। यदि L2 मानदंड का उपयोग किया जाता है, तो बंद रैखिक विस्तार अंतराल पर वर्ग-अभिन्नीकरण कार्यों का हिल्बर्ट स्थान है। लेकिन यदि अधिकतम मानदंड का उपयोग किया जाता है, तो बंद रैखिक अवधि अंतराल पर निरंतर कार्यों की जगह होगी। किसी भी मामले में, बंद रैखिक अवधि में ऐसे कार्य होते हैं जो बहुपद नहीं होते हैं, और इसलिए रैखिक विस्तार में ही नहीं होते हैं। हालांकि, बंद रैखिक अवधि में कार्यों के सेट की प्रमुखता सातत्य की प्रमुखता है, जो बहुपदों के सेट के लिए समान प्रमुखता है।

टिप्पणियाँ

बंद रैखिक अवधि में एक सेट का रैखिक विस्तार घना है। इसके अलावा, जैसा कि नीचे दी गई लेम्मा में बताया गया है, बंद रैखिक अवधि वास्तव में रैखिक अवधि का बंद होना है।

क्लोज्ड लीनियर सबस्पेस से निपटने के दौरान क्लोज्ड लीनियर स्पैन महत्वपूर्ण होते हैं (जो स्वयं अत्यधिक महत्वपूर्ण होते हैं, रिज़्ज़ लेम्मा देखें)।

एक उपयोगी लेम्मा

X को एक मानक स्थान होने दें और E को X का कोई गैर-खाली उपसमुच्चय होने दें। तब

1. ${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)$ X की एक बंद रैखिक उपसमष्टि है जिसमें E है,
2. गणित>\overline{\operatorname{Sp

$E^{\perp }=(\operatorname {Sp} (E))^{\perp }=\left({\overline {\operatorname {Sp} (E)}}\right)^{\perp }.$

(इसलिए बंद लीनियर स्पैन को खोजने का सामान्य तरीका पहले लीनियर स्पैन को ढूंढना है, और फिर उस लीनियर स्पैन को बंद करना है।)

यह भी देखें

• अफिन हल
• शंक्वाकार संयोजन
• उत्तल पतवार

स्रोत

पाठ्यपुस्तकें

• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
• Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (4th ed.). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4.
• Lane, Saunders Mac; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Algebra (3rd ed.). AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821816462.
• Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-24766-1.
• Rynne, Brian P.; Youngson, Martin A. (2008). Linear Functional Analysis. Springer. ISBN 978-1848000049.
• Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.

वेब

• Lankham, Isaiah; Nachtergaele, Bruno; Schilling, Anne (13 February 2010). "रेखीय बीजगणित - अमूर्त गणित के परिचय के रूप में" (PDF). University of California, Davis. Retrieved 27 September 2011.
• Weisstein, Eric Wolfgang. "वेक्टर स्पेस स्पैन". MathWorld. Retrieved 16 Feb 2021.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
• "रैखिक पतवार". Encyclopedia of Mathematics. 5 April 2020. Retrieved 16 Feb 2021.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

बाहरी संबंध

• Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
• Sanderson, Grant (August 6, 2016). "Linear combinations, span, and basis vectors". Essence of Linear Algebra. Archived from the original on 2021-12-11 – via YouTube.