एम्बेडिंग

"Isometric embedding" redirects here. For related concepts for metric spaces, see isometry.

For other uses, see एम्बेडिंग (disambiguation).

गणित में, एक एंबेडिंग (या इम्बेडिंग) कुछ गणितीय संरचना का एक उदाहरण है जो किसी अन्य उदाहरण में समाहित है, जैसे एक समूह (गणित) जो एक उपसमूह है।

जब कोई वस्तु $X$ अन्य वस्तु में सन्निहित कहा जाता है $Y$, एम्बेडिंग कुछ इंजेक्शन समारोह और संरचना-संरक्षण मानचित्र द्वारा दी गई है $f:X\rightarrow Y$. संरचना-संरक्षण का सटीक अर्थ किस प्रकार की गणितीय संरचना पर निर्भर करता है $X$ तथा $Y$ उदाहरण हैं। श्रेणी सिद्धांत की शब्दावली में, एक संरचना-संरक्षण मानचित्र को रूपवाद कहा जाता है।

तथ्य यह है कि एक नक्शा $f:X\rightarrow Y$ एक एम्बेडिंग है जिसे अक्सर हुक किए गए तीर के उपयोग द्वारा इंगित किया जाता है (U+21AA ↪ RIGHTWARDS ARROW WITH HOOK); इस प्रकार: $f:X\hookrightarrow Y.$ (दूसरी ओर, यह अंकन कभी-कभी समावेशन मानचित्रों के लिए आरक्षित होता है।)

दिया गया $X$ तथा $Y$, के कई अलग-अलग एम्बेडिंग $X$ में $Y$ शायद संभव है। ब्याज के कई मामलों में एक मानक (या विहित) एम्बेडिंग होता है, जैसे कि पूर्णांक ों में प्राकृतिक संख्या एँ, परिमेय संख्या ओं में पूर्णांक, वास्तविक संख्या ओं में परिमेय संख्याएँ और जटिल संख्या ओं में वास्तविक संख्याएँ। ऐसे मामलों में किसी फ़ंक्शन के डोमेन की पहचान करना आम बात है $X$ इसकी छवि (गणित) के साथ $f(X)$ इसमें रखा $Y$, ताकि $f(X)\subseteq Y$.

टोपोलॉजी और ज्यामिति

सामान्य टोपोलॉजी

सामान्य टोपोलॉजी में, एक एम्बेडिंग अपनी छवि पर एक होमियोमोर्फिज्म है। अधिक स्पष्ट रूप से, एक इंजेक्शन निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) मानचित्र $f:X\to Y$ टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच $X$ तथा $Y$ एक टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग है अगर $f$ के बीच एक होमोमोर्फिज्म पैदा करता है $X$ तथा $f(X)$ (कहाँ पे $f(X)$ से विरासत में मिली सबस्पेस टोपोलॉजी को वहन करता है $Y$). सहज रूप से, एम्बेडिंग $f:X\to Y$ चलो इलाज करते हैं $X$ एक उप-स्थान टोपोलॉजी के रूप में $Y$. प्रत्येक एम्बेडिंग इंजेक्शन और निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) है। प्रत्येक नक्शा जो इंजेक्शन, निरंतर और या तो खुला नक्शा या बंद नक्शा एक एम्बेडिंग है; हालांकि ऐसे एम्बेडिंग भी हैं जो न तो खुले हैं और न ही बंद हैं। बाद वाला तब होता है जब छवि $f(X)$ न तो खुला समुच्चय है और न ही बंद समुच्चय है $Y$.

किसी दिए गए स्थान के लिए $Y$, एक एम्बेडिंग का अस्तित्व $X\to Y$ का एक टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट है $X$. यह दो स्थानों को अलग करने की अनुमति देता है यदि एक स्थान में एम्बेडेड होने में सक्षम है जबकि दूसरा नहीं है।

संबंधित परिभाषाएँ

यदि किसी फ़ंक्शन का डोमेन $f:X\to Y$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है तो फंक्शन कहा जाता हैlocally injective at a pointअगर वहाँ कुछ पड़ोस मौजूद है (गणित) $U$ इस बिंदु पर ऐसा है कि प्रतिबंध $f{\big \vert }_{U}:U\to Y$ इंजेक्शन है। यह कहा जाता हैlocally injectiveअगर यह अपने डोमेन के हर बिंदु के आसपास स्थानीय रूप से इंजेक्शन है। इसी तरह, एlocal (topological, resp. smooth) embeddingएक ऐसा कार्य है जिसके लिए इसके डोमेन में प्रत्येक बिंदु के पास कुछ पड़ोस होता है जिसके लिए इसका प्रतिबंध एक (स्थलीय, सम्मान। चिकनी) एम्बेडिंग होता है।

प्रत्येक इंजेक्शन फ़ंक्शन स्थानीय रूप से इंजेक्शन होता है लेकिन इसके विपरीत नहीं। स्थानीय भिन्नता , स्थानीय होमोमोर्फिज्म , और चिकनी विसर्जन (गणित) सभी स्थानीय इंजेक्शन कार्य हैं जो आवश्यक रूप से इंजेक्शन नहीं हैं। व्युत्क्रम कार्य प्रमेय स्थानीय रूप से इंजेक्शन (अन्य बातों के अलावा) होने के लिए निरंतर भिन्न कार्य के लिए पर्याप्त स्थिति देता है। प्रत्येक फाइबर (गणित) एक स्थानीय रूप से इंजेक्शन का कार्य करता है $f:X\to Y$ अनिवार्य रूप से एक फ़ंक्शन के अपने डोमेन का असतत स्थान है $X.$

विभेदक टोपोलॉजी

विभेदक टोपोलॉजी में: होने देना $M$ तथा $N$ चिकनी कई गुना हो और $f:M\to N$ एक चिकना नक्शा हो। फिर $f$ एक विसर्जन (गणित) कहा जाता है अगर इसका पुशफॉर्वर्ड (अंतर) हर जगह इंजेक्शन है। एक एम्बेडिंग, या एक चिकनी एम्बेडिंग, एक विसर्जन के रूप में परिभाषित किया गया है जो कि ऊपर वर्णित टोपोलॉजिकल अर्थ में एक एम्बेडिंग है (यानी इसकी छवि पर होमोमोर्फिज्म)। दूसरे शब्दों में, एक एम्बेडिंग का डोमेन इसकी छवि के लिए अलग-अलग है, और विशेष रूप से एक एम्बेडिंग की छवि एक सबमनिफोल्ड होनी चाहिए। एक विसर्जन ठीक एक स्थानीय एम्बेडिंग है, अर्थात किसी भी बिंदु के लिए $x\in M$ एक पड़ोस है $x\in U\subset M$ ऐसा है कि $f:U\to N$ एक एम्बेडिंग है।

जब डोमेन मैनिफोल्ड कॉम्पैक्ट होता है, तो एक सहज एम्बेडिंग की धारणा एक इंजेक्शन विसर्जन के बराबर होती है।

अहम मामला है $N=\mathbb {R} ^{n}$. यहां रुचि कितनी बड़ी है $n$ आयाम के संदर्भ में, एम्बेडिंग के लिए होना चाहिए $m$ का $M$. व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय बताता है $n=2m$ पर्याप्त है, और सर्वोत्तम संभव रैखिक बाध्य है। उदाहरण के लिए, वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान $RP^{m}$ आयाम का $m$, कहाँ पे $m$ दो की शक्ति है, की आवश्यकता है $n=2m$ एक एम्बेडिंग के लिए। हालाँकि, यह विसर्जन पर लागू नहीं होता है; उदाहरण के लिए, $RP^{2}$ में डुबोया जा सकता है $\mathbb {R} ^{3}$ जैसा कि बॉयज़ सरफेस द्वारा स्पष्ट रूप से दिखाया गया है - जिसमें स्व-चौराहे हैं। रोमन सतह एक विसर्जन होने में विफल रहती है क्योंकि इसमें क्रॉस-कैप होते हैं।

एक एम्बेडिंग उचित है अगर यह टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड के संबंध में अच्छा व्यवहार करता है # सीमा के साथ मैनिफोल्ड: किसी को मानचित्र की आवश्यकता होती है $f:X\rightarrow Y$ ऐसा होना

• $f(\partial X)=f(X)\cap \partial Y$, तथा
• $f(X)$ ट्रांसवर्सलिटी (गणित) है $\partial Y$ के किसी भी बिंदु में $f(\partial X)$.

पहली शर्त होने के बराबर है $f(\partial X)\subseteq \partial Y$ तथा $f(X\setminus \partial X)\subseteq Y\setminus \partial Y$. दूसरी शर्त, मोटे तौर पर बोलना, यही कहती है $f(X)$ की सीमा के स्पर्शरेखा नहीं है $Y$.

रिमैनियन और स्यूडो-रिमैनियन ज्यामिति

रीमैनियन ज्यामिति और स्यूडो-रीमैनियन ज्यामिति में: होने देना $(M,g)$ तथा $(N,h)$ रीमैनियन कई गुना या अधिक सामान्यतः छद्म-रिमैनियन मैनिफोल्ड्स हों। एक आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग एक सहज एम्बेडिंग है $f:M\rightarrow N$ जो (छद्म-) रिमेंनियन मीट्रिक को इस अर्थ में संरक्षित करता है कि $g$ के पुलबैक (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) के बराबर है $h$ द्वारा $f$, अर्थात। $g=f*h$. स्पष्ट रूप से, किन्हीं दो स्पर्शरेखा सदिशों के लिए $v,w\in T_{x}(M)$ अपने पास

$g(v,w)=h(df(v),df(w)).$

समान रूप से, आइसोमेट्रिक विसर्जन (छद्म) -रिमैनियन मैनिफोल्ड्स के बीच एक विसर्जन है जो (छद्म) -रिमैनियन मेट्रिक्स को संरक्षित करता है।

समान रूप से, रीमैनियन ज्यामिति में, एक आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग (विसर्जन) एक चिकनी एम्बेडिंग (विसर्जन) है जो घटता की लंबाई (cf. नैश एम्बेडिंग प्रमेय ) को संरक्षित करता है।

बीजगणित

सामान्य तौर पर, एक किस्म के लिए (सार्वभौमिक बीजगणित) $C$, दो के बीच एक एम्बेडिंग $C$-बीजीय संरचनाएं $X$ तथा $Y$ एक है $C$-मोर्फिज्म $e:X\rightarrow Y$ वह इंजेक्शन है।

क्षेत्र सिद्धांत

फील्ड थ्योरी (गणित) में, एक फील्ड का एम्बेडिंग (गणित) $E$ मैदान मे $F$ एक वलय समरूपता है $\sigma :E\rightarrow F$.

का कर्नेल (बीजगणित) । $\sigma$ का एक आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) है $E$ जो पूरा क्षेत्र नहीं हो सकता $E$, हालत के कारण $1=\sigma (1)=1$. इसके अलावा, यह क्षेत्रों की एक प्रसिद्ध संपत्ति है कि उनका एकमात्र आदर्श शून्य आदर्श और संपूर्ण क्षेत्र ही है। इसलिए, कर्नेल है $0$, इसलिए फ़ील्ड का कोई भी एम्बेडिंग एक एकरूपता है। अत, $E$ क्षेत्र विस्तार के लिए समरूपी है $\sigma (E)$ का $F$. यह फ़ील्ड के एक मनमाना समरूपता के लिए एम्बेड किए गए नाम को सही ठहराता है।

सार्वभौमिक बीजगणित और मॉडल सिद्धांत

Further information: Substructure (mathematics) and Elementary equivalence

यदि $\sigma$ एक हस्ताक्षर (तर्क) है और $A,B$ हैं $\sigma$-संरचना (गणितीय तर्क) (जिसे भी कहा जाता है) $\sigma$-सार्वभौमिक बीजगणित में बीजगणित या मॉडल सिद्धांत में मॉडल), फिर एक नक्शा $h:A\to B$ एक है $\sigma$-एम्बेडिंग iff निम्नलिखित में से सभी धारण करते हैं:

• $h$ इंजेक्शन है,
• हरएक के लिए $n$-एरी फ़ंक्शन प्रतीक $f\in \sigma$ तथा $a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},$ अपने पास $h(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n}))$,
• हरएक के लिए $n$-एरी संबंध प्रतीक $R\in \sigma$ तथा $a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},$ अपने पास $A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})$ आईएफएफ $B\models R(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n})).$

यहां $A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})$ के समकक्ष एक मॉडल सैद्धांतिक संकेतन है $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in R^{A}$. मॉडल सिद्धांत में प्राथमिक एम्बेडिंग की एक मजबूत धारणा भी है।

ऑर्डर थ्योरी और डोमेन थ्योरी

आदेश सिद्धांत में, आंशिक रूप से आदेशित सेट ों का एक एम्बेडिंग एक फ़ंक्शन है $F$ आंशिक रूप से आदेशित सेटों के बीच $X$ तथा $Y$ ऐसा है कि

$\forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\leq x_{2}\iff F(x_{1})\leq F(x_{2}).$

की इंजेक्शन $F$ इस परिभाषा से शीघ्रता से अनुसरण करता है। डोमेन सिद्धांत में, एक अतिरिक्त आवश्यकता यह है कि

$\forall y\in Y:\{x\mid F(x)\leq y\}$ निर्देशित सेट है।

मीट्रिक रिक्त स्थान

एक मानचित्रण $\phi :X\to Y$ मीट्रिक रिक्त स्थान को एम्बेडिंग कहा जाता है (खिंचाव कारक के साथ $C>0$) यदि

$Ld_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\phi (x),\phi (y))\leq CLd_{X}(x,y)$

हरएक के लिए $x,y\in X$ और कुछ स्थिर $L>0$.

सामान्य स्थान

एक महत्वपूर्ण विशेष मामला आदर्श स्थान ों का है; इस मामले में रैखिक एम्बेडिंग पर विचार करना स्वाभाविक है।

मूलभूत प्रश्नों में से एक जिसे परिमित-आयामी आदर्श स्थान के बारे में पूछा जा सकता है $(X,\|\cdot \|)$ है, अधिकतम आयाम क्या है $k$ ऐसा है कि हिल्बर्ट अंतरिक्ष $\ell _{2}^{k}$ रैखिक रूप से एम्बेड किया जा सकता है $X$ निरंतर विकृति के साथ?

इसका उत्तर ड्वोरेट्स्की के प्रमेय द्वारा दिया गया है।

श्रेणी सिद्धांत

श्रेणी सिद्धांत में, एम्बेडिंग की कोई संतोषजनक और आम तौर पर स्वीकृत परिभाषा नहीं है जो सभी श्रेणियों में लागू हो। कोई उम्मीद करेगा कि सभी समरूपताएं और एम्बेडिंग की सभी रचनाएं एम्बेडिंग हैं, और यह कि सभी एम्बेडिंग मोनोमोर्फिज्म हैं। अन्य विशिष्ट आवश्यकताएं हैं: कोई भी मोनोमोर्फिज्म#संबंधित अवधारणा एक एम्बेडिंग है और पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) के तहत एम्बेडिंग स्थिर हैं।

आदर्श रूप से किसी दिए गए ऑब्जेक्ट के सभी एम्बेडेड subobject की कक्षा, आइसोमोर्फिज्म तक, छोटी कक्षा भी होनी चाहिए, और इस प्रकार एक आदेशित सेट होना चाहिए। इस मामले में, एम्बेडिंग के वर्ग के संबंध में श्रेणी को अच्छी तरह से संचालित कहा जाता है। यह श्रेणी में नई स्थानीय संरचनाओं को परिभाषित करने की अनुमति देता है (जैसे बंद करने वाला ऑपरेटर )।

एक ठोस श्रेणी में, एक एम्बेडिंग एक आकृतिवाद है $f:A\rightarrow B$ जो अंतर्निहित सेट से एक इंजेक्शन फ़ंक्शन है $A$ के अंतर्निहित सेट के लिए $B$ और निम्नलिखित अर्थों में एक प्रारंभिक रूपवाद भी है: यदि $g$ किसी वस्तु के अंतर्निहित सेट से एक कार्य है $C$ के अंतर्निहित सेट के लिए $A$, और अगर इसकी रचना के साथ $f$ एक रूपवाद है $fg:C\rightarrow B$, फिर $g$ स्वयं एक रूपवाद है।

किसी श्रेणी के लिए गुणनखंडन प्रणाली भी एम्बेडिंग की धारणा को जन्म देती है। यदि $(E,M)$ एक गुणनखंडन प्रणाली है, तो morphisms in $M$ एम्बेडिंग के रूप में माना जा सकता है, खासकर जब श्रेणी के संबंध में अच्छी तरह से संचालित हो $M$. ठोस सिद्धांतों में अक्सर एक गुणनखंड प्रणाली होती है जिसमें $M$ पिछले अर्थों में एम्बेडिंग शामिल हैं। यह इस आलेख में दिए गए अधिकांश उदाहरणों का मामला है।

श्रेणी सिद्धांत में हमेशा की तरह, एक दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) अवधारणा होती है, जिसे भागफल के रूप में जाना जाता है। सभी पूर्ववर्ती गुण दोहराए जा सकते हैं।

एक एम्बेडिंग एक उपश्रेणी # एंबेडिंग को भी संदर्भित कर सकता है।

यह भी देखें

• बंद विसर्जन
• कवर (बीजगणित)
• आयाम में कमी
• निमज्जन (गणित)
• जॉनसन-लिंडनस्ट्रॉस लेम्मा
• सबमेनिफोल्ड
• सबस्पेस (टोपोलॉजी)
• टोपोलॉजी और टोपोलॉजिकल डायनेमिक्स में यूनिवर्सल स्पेस

संदर्भ

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बाहरी संबंध

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George Strecker (2006). Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats).
• Embedding of manifolds on the Manifold Atlas