होलोमार्फिक फलन

For ज़रिस्की का बीजगणितीय विविधता पर होलोमोर्फिक कार्यों का सिद्धांत, see औपचारिक होलोमॉर्फिक फलन.

एक आयताकार ग्रिड (शीर्ष) और इसकी छवि एक अनुरूप मानचित्र के तहत f (नीचे)।

गणित में, एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन एक का एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन है या कई सम्मिश्र चर जटिल संख्या चर का कार्य है जो अलग-अलग कार्य है # फ़ंक्शन में डोमेन (गणितीय विश्लेषण) में प्रत्येक बिंदु के पड़ोस (गणित) में जटिल विश्लेषण में भिन्नता कई जटिल चरों का जटिल समन्वय स्थान Cⁿ. एक नेइबोरहुड में जटिल व्युत्पन्न का अस्तित्व एक बहुत ही मजबूत स्थिति है: इसका तात्पर्य है कि एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन असीम रूप से भिन्न कार्य है और स्थानीय रूप से अपनी टेलर श्रृंखला (विश्लेषणात्मक) के बराबर है। होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन जटिल विश्लेषण में अध्ययन की केंद्रीय वस्तुएं हैं।

हालांकि शब्द विश्लेषणात्मक कार्य अक्सर "होलोमोर्फिक फ़ंक्शन" के साथ एक दूसरे के रूप में प्रयोग किया जाता है, शब्द "विश्लेषणात्मक" को किसी भी फ़ंक्शन (वास्तविक, जटिल, या अधिक सामान्य प्रकार) को निरूपित करने के लिए व्यापक अर्थ में परिभाषित किया जाता है जिसे इसके डोमेन में प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में अभिसरण शक्ति श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है। कि सभी होलोमॉर्फिक कार्य जटिल विश्लेषणात्मक कार्य हैं, और इसके विपरीत, जटिल विश्लेषण में एक प्रमुख प्रमेय हैl

होलोमोर्फिक कार्यों को कभी-कभी नियमित कार्यों के रूप में भी जाना जाता है। एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन जिसका डोमेन संपूर्ण जटिल तल है, संपूर्ण फ़ंक्शन कहलाता है। वाक्यांश "होलोमॉर्फिक एट ए पॉइंट z₀ " का अर्थ न केवल z₀ पर अवकलनीय है, बल्कि जटिल तल में z₀ के कुछ पड़ोस के भीतर हर जगह अवकलनीय है।

परिभाषा

कार्यक्रम f(z) = z̅ शून्य पर जटिल अवकलनीय नहीं है, क्योंकि जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, का मान f(z) − f(0) / z − 0 उस दिशा के आधार पर भिन्न होता है जिससे शून्य तक पहुंचा जाता है। वास्तविक धुरी के साथ, f कार्य के बराबर है g(z) = z और सीमा है 1, जबकि काल्पनिक अक्ष के साथ, f बराबरी h(z) = −z और सीमा है −1. अन्य दिशाएँ और भी सीमाएँ उत्पन्न करती हैं।

जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन दिया गया f एकल जटिल चर का, का व्युत्पन्न f एक बिंदु पर z₀ इसके डोमेन में एक फ़ंक्शन की सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है

$f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.$

यह वही परिभाषा है जो किसी वास्तविक फलन के अवकलज के लिए है, सिवाय इसके कि सभी मात्राएँ जटिल होती हैं। विशेष रूप से, सीमा को तब लिया जाता है जब सम्मिश्र संख्या z z₀ ओर प्रवृत्त होती है, और इसका अर्थ यह है कि z के सम्मिश्र मानों के किसी अनुक्रम के लिए वही मान प्राप्त होता है जो z₀ की ओर प्रवृत्त होता है। यदि सीमा मौजूद है, f को z₀ पर जटिल अवकलनीय कहा जाता है। जटिल विभेदीकरण की यह अवधारणा वास्तविक भिन्नता के साथ कई गुण साझा करती है: यह रैखिक है और उत्पाद नियम, भागफल नियम और श्रृंखला नियम का पालन करता है।

एक खुले सेट पर एक समारोह होलोमोर्फिक है U यदि यह प्रत्येक बिंदु पर जटिल भिन्न है U. एक समारोह f एक बिंदु पर होलोमोर्फिक है z₀ अगर यह कुछ पड़ोस (गणित) पर होलोमोर्फिक है z₀. कुछ गैर-खुले सेट पर एक फ़ंक्शन होलोमोर्फिक होता है A अगर यह हर बिंदु पर होलोमोर्फिक है A.

एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन जटिल भिन्न हो सकता है लेकिन इस बिंदु पर होलोमोर्फिक नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, समारोह f(z) = |z|² पर जटिल अवकलनीय है 0, लेकिन अन्यत्र जटिल अवकलनीय नहीं है। तो, यह होलोमोर्फिक नहीं है 0.

वास्तविक अवकलनीयता और जटिल अवकलनीयता के बीच संबंध निम्नलिखित है: यदि कोई जटिल फलन f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) होलोमोर्फिक है, तो u तथा v के संबंध में पहले आंशिक डेरिवेटिव हैं x तथा y, और कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करें:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,$

या, समकक्ष, विर्टिंगर का व्युत्पन्न f इसके संबंध में z̅, का जटिल संयुग्म z, शून्य है:

${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,$

कहने का तात्पर्य यह है कि, मोटे तौर पर, f से कार्यात्मक रूप से स्वतंत्र है z̅, का जटिल संयुग्म z.

यदि निरंतरता नहीं दी गई है, तो इसका विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। एक साधारण बातचीत यह है कि अगर u तथा v निरंतर पहले आंशिक डेरिवेटिव हैं और कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करते हैं f होलोमॉर्फिक है। एक अधिक संतोषजनक बातचीत, जिसे सिद्ध करना बहुत कठिन है, लूमन-मेन्चॉफ प्रमेय है: यदि f निरंतर है, u तथा v पहले आंशिक डेरिवेटिव हैं (लेकिन जरूरी नहीं कि निरंतर), और फिर वे कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करते हैं f होलोमॉर्फिक है।

शब्दावली

होलोमोर्फिक शब्द 1875 में चार्ल्स अगस्टे ब्रियट और जीन क्लाउड गुलदस्ता, ऑगस्टिन-लुई कॉची के दो छात्रों द्वारा पेश किया गया था, और ग्रीक शब्द से निकला है: ὅλος|ὅλος (होलोस) जिसका अर्थ है संपूर्ण, और विक्ट:μορφή|μορφή (मॉर्फ) अर्थ रूप या रूप या प्रकार, विक्ट से प्राप्त मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन शब्द के विपरीत:μέρος|μέρος (मेरोस) जिसका अर्थ है भाग। एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन जटिल विमान के एक डोमेन (गणितीय विश्लेषण) में एक संपूर्ण फ़ंक्शन (संपूर्ण) जैसा दिखता है, जबकि एक मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन (कुछ पृथक शून्य और ध्रुवों को छोड़कर होलोमोर्फिक का अर्थ परिभाषित किया गया है), पूरे कार्यों के एक तर्कसंगत अंश (भाग) जैसा दिखता है। जटिल विमान का एक डोमेन। कॉची ने इसके बजाय सिनेक्टिक शब्द का इस्तेमाल किया था। आज, होलोमोर्फिक फ़ंक्शन शब्द को कभी-कभी विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के लिए पसंद किया जाता है। जटिल विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि प्रत्येक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन जटिल विश्लेषणात्मक है, एक ऐसा तथ्य जो परिभाषाओं से स्पष्ट रूप से अनुसरण नहीं करता है। हालांकि विश्लेषणात्मक शब्द भी व्यापक उपयोग में है।

गुण

क्योंकि जटिल भेदभाव रैखिक है और उत्पाद, भागफल और श्रृंखला नियमों का पालन करता है, होलोमोर्फिक कार्यों की रकम, उत्पाद और रचनाएं होलोमोर्फिक होती हैं, और दो होलोमोर्फिक कार्यों का अंश होलोमोर्फिक होता है जहां भाजक शून्य नहीं होता है। यानी अगर काम करता है f तथा g एक डोमेन में होलोमोर्फिक हैं U, तो हैं f + g, f − g, f g, तथा f ∘ g. आगे, f / g होलोमोर्फिक है अगर g में शून्य नहीं है U, या meromorphic अन्यथा है।

अगर कोई पहचान करता है C वास्तविक विमान (ज्यामिति) के साथ R², तब होलोमॉर्फिक फलन दो वास्तविक चरों के उन फलनों के साथ मेल खाते हैं जिनके साथ निरंतर प्रथम अवकलज होते हैं जो कौशी-रीमैन समीकरणों को हल करते हैं, जो दो आंशिक अवकल समीकरणों का एक समुच्चय है।

प्रत्येक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन को उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों में विभाजित किया जा सकता है f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y), और इनमें से प्रत्येक एक हार्मोनिक फ़ंक्शन है R² (प्रत्येक लैपलेस के समीकरण को संतुष्ट करता है ∇² u = ∇² v = 0), साथ v के हार्मोनिक संयुग्म u. इसके विपरीत, हर हार्मोनिक फ़ंक्शन u(x, y) साधारण रूप बस जुड़ा हुआ स्थान डोमेन पर Ω ⊂ R² होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का वास्तविक हिस्सा है: यदि v का हार्मोनिक संयुग्म है u, फिर एक स्थिरांक तक अद्वितीय f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) होलोमॉर्फिक है।

कौशी के अभिन्न प्रमेय का तात्पर्य है कि लूप (टोपोलॉजी) के साथ प्रत्येक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का समोच्च अभिन्न अंग गायब हो जाता है:

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.$

यहां γ सरलता से जुड़े डोमेन (गणितीय विश्लेषण) में सुधार योग्य पथ है U ⊂ C जिसका प्रारंभ बिंदु इसके अंत बिंदु के बराबर है, और f : U → C एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है।

कॉची के अभिन्न सूत्र में कहा गया है कि एक डिस्क (गणित) के अंदर होलोमोर्फिक प्रत्येक फ़ंक्शन डिस्क की सीमा पर इसके मूल्यों द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होता है।इसके अलावा: मान लीजिए U ⊂ C एक जटिल डोमेन है, f : U → C एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन और बंद डिस्क है D = { z : |z − z₀| ≤ r } पड़ोस (गणित) है # एक सेट का पड़ोस U. होने देना γ की सीमा (टोपोलॉजी) बनाने वाला वृत्त हो D. फिर प्रत्येक के लिए a के आंतरिक (टोपोलॉजी) में D:

$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$

जहां कंटूर इंटीग्रल लिया जाता है वक्र अभिविन्यास|वामावर्त।

व्युत्पन्न f′(a) समोच्च अभिन्न के रूप में लिखा जा सकता हैकॉची के विभेदीकरण सूत्र का उपयोग करना:

$f'(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{2}}\,dz,$

किसी भी साधारण पाश के लिए एक बार चारों ओर सकारात्मक रूप से घुमावदार a, तथा

$f'(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,d{\bar {z}},$

अनंत सकारात्मक छोरों के लिए γ चारों ओर a.

उन क्षेत्रों में जहां पहला व्युत्पन्न शून्य नहीं है, होलोमोर्फिक फ़ंक्शन अनुरूप मानचित्र हैं: वे छोटे आंकड़ों के कोण और आकार (लेकिन आकार नहीं) को संरक्षित करते हैं। प्रत्येक होलोमॉर्फिक कार्य विश्लेषणात्मक होते हैं। यानी एक होलोमॉर्फिक फंक्शन f प्रत्येक बिंदु पर प्रत्येक आदेश का डेरिवेटिव है a अपने डोमेन में, और यह अपनी टेलर श्रृंखला के साथ मेल खाता है a के पड़ोस में a. वास्तव में, f इसकी टेलर श्रृंखला के साथ मेल खाता है a किसी भी डिस्क में उस बिंदु पर केंद्रित है और फ़ंक्शन के डोमेन के भीतर स्थित है।

एक बीजगणितीय दृष्टिकोण से, खुले सेट पर होलोमोर्फिक कार्यों का सेट एक क्रमविनिमेय अंगूठी और एक जटिल वेक्टर स्पेस है। इसके अतिरिक्त, एक खुले सेट में होलोमोर्फिक कार्यों का सेट U एक अभिन्न डोमेन है अगर और केवल अगर खुला सेट U जुड़ा हुआ है। वास्तव में, यह एक स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है, जिसमें आदर्श (गणित) कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर सर्वोच्च है।

एक ज्यामितीय परिप्रेक्ष्य से, एक समारोह f पर होलोमॉर्फिक है z₀ अगर और केवल अगर इसका बाहरी व्युत्पन्न df एक पड़ोस में U का z₀ के बराबर है f′(z) dz कुछ निरंतर कार्य के लिए f′. यह इस प्रकार है

$\textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=df^{\prime }\wedge dz$

वह df′ के समानुपाती भी है dz, जिसका अर्थ है कि व्युत्पन्न f′ स्वयं होलोमोर्फिक है और इस प्रकार वह f असीम रूप से भिन्न है। इसी प्रकार, d(f dz) = f′ dz ∧ dz = 0 तात्पर्य यह है कि कोई भी कार्य f यह सरल रूप से जुड़े क्षेत्र पर होलोमोर्फिक है U पर भी समाकलनीय है U.

(एक पथ के लिए γ से z₀ प्रति z पूरी तरह से पड़ा हुआ U, परिभाषित करना ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ जॉर्डन वक्र प्रमेय और स्टोक्स प्रमेय|सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय के प्रकाश में, F_γ(z) पथ की विशेष पसंद से स्वतंत्र है γ, और इस तरह F(z) पर एक अच्छी तरह से परिभाषित कार्य है U रखना F(z₀) = F₀ तथा dF = f dz.)

उदाहरण

में सभी बहुपद कार्य z जटिल गुणांक वाले पूरे कार्य हैं (पूरे जटिल विमान में होलोमोर्फिक C), और इसी तरह एक्सपोनेंशियल फंक्शन#कॉम्प्लेक्स प्लेन भी हैं exp z और त्रिकोणमितीय कार्य ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ तथा ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ (cf. यूलर का सूत्र)। जटिल लघुगणक फ़ंक्शन की मुख्य शाखा log z डोमेन पर होलोमोर्फिक है C \ { z ∈ R : z ≤ 0 }. किसी सम्मिश्र संख्या फलन के वर्गमूल#मुख्य वर्गमूल को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$ और इसलिए जहां भी लघुगणक होलोमोर्फिक है log z है। गुणक प्रतिलोम#जटिल संख्याएँ 1 / z होलोमॉर्फिक चालू है C \ { 0 }. (पारस्परिक कार्य, और कोई अन्य तर्कसंगत कार्य, मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन है C.)

कॉची-रीमैन समीकरणों के परिणामस्वरूप, किसी भी वास्तविक-मूल्यवान होलोमोर्फिक फ़ंक्शन को निरंतर फ़ंक्शन होना चाहिए। इसलिए, निरपेक्ष मान#जटिल संख्याएँ | z |, तर्क (जटिल विश्लेषण) arg (z), कॉम्प्लेक्स नंबर # नोटेशन Re (z) और कॉम्प्लेक्स नंबर # नोटेशन Im (z) होलोमॉर्फिक नहीं हैं। एक निरंतर कार्य का एक और विशिष्ट उदाहरण जो होलोमोर्फिक नहीं है, जटिल संयुग्म है z̅. (जटिल संयुग्म एंटीहोलोमॉर्फिक फ़ंक्शन है।)

कई चर

एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन की परिभाषा कई जटिल चरों को सीधे तरीके से सामान्यीकृत करती है। होने देना D पॉलीडिस्क होना और भी, एक खुले उपसमुच्चय को निरूपित करना Cⁿ, और जाने f : D → C. कार्यक्रम f एक बिंदु पर विश्लेषणात्मक है p में D यदि कोई खुला पड़ोस मौजूद है p जिसमें f में एक अभिसरण शक्ति श्रृंखला के बराबर है n जटिल चर। परिभाषित करना f होलोमॉर्फिक होना यदि यह अपने डोमेन में प्रत्येक बिंदु पर विश्लेषणात्मक है। ऑसगूड का लेम्मा दिखाता है (बहुभिन्नरूपी कॉची अभिन्न सूत्र का उपयोग करके) कि, एक सतत कार्य के लिए f, यह इसके बराबर है f अलग-अलग प्रत्येक चर में होलोमोर्फिक होना (जिसका अर्थ है कि यदि कोई हो n − 1 निर्देशांक निश्चित हैं, फिर का प्रतिबंध f शेष निर्देशांक का एक होलोमोर्फिक कार्य है)। बहुत गहरा हार्टोग्स प्रमेय साबित करता है कि निरंतरता धारणा अनावश्यक है: f होलोमोर्फिक है अगर और केवल अगर यह प्रत्येक चर में अलग-अलग होलोमोर्फिक है।

अधिक आम तौर पर, कई जटिल चरों का एक कार्य जो अपने डोमेन के प्रत्येक कॉम्पैक्ट सेट पर चौकोर पूर्णांक होता है, विश्लेषणात्मक होता है और केवल अगर यह वितरण के अर्थ में कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करता है।

एक जटिल चर के कार्यों की तुलना में कई जटिल चर के कार्य कुछ बुनियादी तरीकों से अधिक जटिल हैं। उदाहरण के लिए, घात श्रृंखला का अभिसरण का क्षेत्र आवश्यक रूप से एक खुली गेंद नहीं है; ये क्षेत्र लघुगणकीय-उत्तल रेनहार्ड्ट डोमेन हैं, जिसका सबसे सरल उदाहरण एक polydisk है। हालाँकि, वे कुछ मूलभूत प्रतिबंधों के साथ भी आते हैं। एकल जटिल चर के कार्यों के विपरीत, संभावित डोमेन जिनमें होलोमोर्फिक फ़ंक्शन होते हैं जिन्हें बड़े डोमेन तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, वे अत्यधिक सीमित हैं। ऐसे सेट को होलोमॉर्फी का डोमेन कहा जाता है।

एक जटिल विभेदक रूप#होलोमोर्फिक रूप|जटिल अंतर (p,0)-प्रपत्र α होलोमॉर्फिक है अगर और केवल अगर इसका एंटीहोलोमॉर्फिक कॉम्प्लेक्स डिफरेंशियल फॉर्म#डॉल्बियॉल्ट ऑपरेटर शून्य है, ∂̅α = 0.

कार्यात्मक विश्लेषण का विस्तार

Main article: infinite-dimensional holomorphy

होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन की अवधारणा को कार्यात्मक विश्लेषण के अनंत-आयामी स्थानों तक बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, फ्रेचेट व्युत्पन्न | फ्रेचेट या गेटॉक्स व्युत्पन्न का उपयोग जटिल संख्याओं के क्षेत्र में बनच स्थान पर एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन की धारणा को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

यह भी देखें

• एंटीडेरिवेटिव (जटिल विश्लेषण)
• एंटीहोलोमॉर्फिक फ़ंक्शन
• बिहोलोमॉर्फी
• होलोमॉर्फिक पृथक्करण
• मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन
• चतुर्भुज डोमेन

हार्मोनिक नक्शा मानचित्र

• हार्मोनिक morphisms
• विर्टिंगर डेरिवेटिव

अग्रिम पठन

• Blakey, Joseph (1958). University Mathematics (2nd ed.). London: Blackie and Sons. OCLC 2370110.

बाहरी संबंध

• "Analytic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]