होलोमार्फिक फलन

For ज़रिस्की का बीजगणितीय विविधता पर होलोमोर्फिक कार्यों का सिद्धांत, see औपचारिक होलोमॉर्फिक फलन.

एक आयताकार ग्रिड (शीर्ष) और इसकी छवि एक अनुरूप मानचित्र के तहत f (नीचे)।

गणित में, एक होलोमॉर्फिक फलन एक या एक से अधिक सम्मिश्र-मूल्यवान फलन है या विविध सम्मिश्र चर सम्मिश्र संख्या चर का कार्य है जो अलग-अलग कार्य है, फलन में प्रभावक्षेत्र (गणितीय विश्लेषण) में प्रत्येक बिंदु के नेइबोरहुड (गणित) में सम्मिश्र विश्लेषण में भिन्नता विविध सम्मिश्र चरों का सम्मिश्र समन्वय स्थान Cⁿ. एक नेइबोरहुड में सम्मिश्र व्युत्पन्न का अस्तित्व एक बहुत ही मजबूत स्थिति है: इसका तात्पर्य है कि एक होलोमोर्फिक फलन असीम रूप से भिन्न कार्य है और स्थानीय रूप से अपनी टेलर श्रेणी (विश्लेषणात्मक) के बराबर है। होलोमॉर्फिक फलन सम्मिश्र विश्लेषण में अध्ययन की केंद्रीय वस्तुएं हैं।

हालांकि शब्द विश्लेषणात्मक कार्य अक्सर "होलोमोर्फिक फलन" के साथ एक दूसरे के रूप में प्रयोग किया जाता है, शब्द "विश्लेषणात्मक" को किसी भी फलन (वास्तविक, सम्मिश्र, या अधिक सामान्य प्रकार) को निरूपित करने के लिए व्यापक अर्थ में परिभाषित किया जाता है जिसे इसके प्रभावक्षेत्र में प्रत्येक बिंदु के नेइबोरहुड में अभिसरण शक्ति श्रेणी के रूप में लिखा जा सकता है कि सभी होलोमॉर्फिक कार्य सम्मिश्र विश्लेषणात्मक कार्य हैं, और इसके विपरीत, सम्मिश्र विश्लेषण में एक प्रमुख प्रमेय हैl

होलोमोर्फिक कार्यों को कभी-कभी नियमित कार्यों के रूप में भी जाना जाता है। एक होलोमॉर्फिक फलन जिसका प्रभावक्षेत्र संपूर्ण सम्मिश्र तल है, संपूर्ण फलन कहलाता है। वाक्यांश "होलोमॉर्फिक एट ए पॉइंट z₀" का अर्थ न केवल z₀ पर अवकलनीय है, बल्कि सम्मिश्र तल में z₀ के कुछ नेइबोरहुड के भीतर हर जगह अवकलनीय है।

परिभाषा

कार्यक्रम f(z) = z̅ शून्य पर सम्मिश्र अवकलनीय नहीं है, क्योंकि जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, का मान f(z) − f(0) / z − 0 उस दिशा के आधार पर भिन्न होता है जिससे शून्य तक पहुंचा जाता है। वास्तविक धुरी के साथ, f कार्य के बराबर है g(z) = z और सीमा है 1, जबकि काल्पनिक अक्ष के साथ, f बराबरी h(z) = −z और सीमा है −1. अन्य दिशाएँ और भी सीमाएँ उत्पन्न करती हैं।

सम्मिश्र-मूल्यवान फलन दिया गया f एकल सम्मिश्र चर का, का व्युत्पन्न f एक बिंदु पर z₀ इसके प्रभावक्षेत्र में एक फलन की सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है

$f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.$

यह वही परिभाषा है जो किसी वास्तविक फलन के अवकलज के लिए है, सिवाय इसके कि सभी मात्राएँ सम्मिश्र होती हैं। विशेष रूप से, सीमा को तब लिया जाता है जब सम्मिश्र संख्या z z₀ ओर प्रवृत्त होती है, और इसका अर्थ यह है कि z के सम्मिश्र मानों के किसी अनुक्रम के लिए वही मान प्राप्त होता है जो z₀ की ओर प्रवृत्त होता है। यदि सीमा उपस्थित है, f को z₀ पर सम्मिश्र अवकलनीय कहा जाता है। सम्मिश्र विभेदीकरण की यह अवधारणा वास्तविक भिन्नता के साथ विविध गुण साझा करती है: यह रैखिक है और उत्पाद नियम, भागफल नियम और श्रेणी नियम का पालन करता है।

एक खुले समुच्चय पर एक समारोह होलोमोर्फिक है U यदि यह प्रत्येक बिंदु पर सम्मिश्र भिन्न है U. एक समारोह f एक बिंदु पर होलोमोर्फिक है z₀ अगर यह कुछ नेइबोरहुड (गणित) पर होलोमोर्फिक है z₀. कुछ गैर-खुले समुच्चय पर एक फलन होलोमोर्फिक होता है A अगर यह हर बिंदु पर होलोमोर्फिक है A.

एक बिंदु पर एक फलन सम्मिश्र भिन्न हो सकता है लेकिन इस बिंदु पर होलोमोर्फिक नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, समारोह f(z) = |z|² पर सम्मिश्र अवकलनीय है 0, लेकिन अन्यत्र सम्मिश्र अवकलनीय नहीं है। तो, यह होलोमोर्फिक नहीं है 0.

वास्तविक अवकलनीयता और सम्मिश्र अवकलनीयता के बीच संबंध निम्नलिखित है: यदि कोई सम्मिश्र फलन f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) होलोमोर्फिक है, तो u तथा v के संबंध में पहले आंशिक डेरिवेटिव हैं x तथा y, और कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करें:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,$

या, समकक्ष, विर्टिंगर का व्युत्पन्न f इसके संबंध में z̅, का सम्मिश्र संयुग्म z, शून्य है:

${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,$

कहने का तात्पर्य यह है कि, मोटे तौर पर, f से कार्यात्मक रूप से स्वतंत्र है z̅, का सम्मिश्र संयुग्म z.

यदि निरंतरता नहीं दी गई है, तो इसका विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। एक साधारण बातचीत यह है कि अगर u तथा v निरंतर पहले आंशिक डेरिवेटिव हैं और कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करते हैं f होलोमॉर्फिक है। एक अधिक संतोषजनक बातचीत, जिसे सिद्ध करना बहुत कठिन है, लूमन-मेन्चॉफ प्रमेय है: यदि f निरंतर है, u तथा v पहले आंशिक डेरिवेटिव हैं (लेकिन जरूरी नहीं कि निरंतर), और फिर वे कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करते हैं f होलोमॉर्फिक है।

शब्दावली

होलोमोर्फिक शब्द 1875 में चार्ल्स ब्रियट और जीन-क्लाउड बाउक्वेट, ऑगस्टिन-लुई कॉची के दो छात्रों द्वारा पेश किया गया था, और ग्रीक ὅλος ( होलोस ) से निकला है जिसका अर्थ है "संपूर्ण", और μορφή (मोर्फ) जिसका अर्थ है "रूप" या "उपस्थिति" या "प्रकार", शब्द मेरोमोर्फिक के विपरीत μέρος (मेरोस ) से लिया गया है जिसका अर्थ है "भाग"। एक होलोमोर्फिक फलन सम्मिश्र समतल के प्रभावक्षेत्र में एक संपूर्ण फलन ("संपूर्ण") जैसा दिखता है, जबकि एक मेरोमॉर्फिक फलन (कुछ पृथक ध्रुवों को छोड़कर होलोमोर्फिक का अर्थ परिभाषित किया गया है), सम्मिश्र समतल के एक प्रभावक्षेत्र में संपूर्ण कार्यों के एक तर्कसंगत अंश जैसा दिखता है। कॉची ने इसके बजाय सिनेक्टिक शब्द का प्रयोग किया था।

गुण

क्योंकि सम्मिश्र भेदभाव रैखिक है और उत्पाद, भागफल और श्रेणी नियमों का पालन करता है, होलोमोर्फिक कार्यों की रकम, उत्पाद और रचनाएं होलोमोर्फिक होती हैं, और दो होलोमोर्फिक कार्यों का अंश होलोमोर्फिक होता है जहां हर शून्य नहीं होता है। अर्थात्, यदि फलन f और g प्रभावक्षेत्र U में होलोमॉर्फिक हैं, तो f + g, f − g, f g भी हैं।f g, और f ∘ g । इसके अलावा, f / g होलोमॉर्फिक है यदि g का U में कोई शून्य नहीं है, या अन्यथा मेरोमोर्फिक है।

यदि कोई वास्तविक समतल R² साथ C की पहचान करता है, तो होलोमोर्फिक फलन दो वास्तविक चरों के उन कार्यों के साथ मेल खाते हैं जिनमें निरंतर पहला डेरिवेटिव होता है, जो कौशी-रीमैन समीकरणों को हल करते हैं, जो दो आंशिक अंतर समीकरणों का एक समुच्चय है।

प्रत्येक होलोमॉर्फिक फलन को उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) में अलग किया जा सकता हैf(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y), और इनमें से प्रत्येक R² पर एक हार्मोनिक फलन है (प्रत्येक लैपलेस के समीकरण ∇² u = ∇² v = 0 को संतुष्ट करता है∇² u = ∇² v = 0 ), v के साथ u का हार्मोनिक संयुग्म । इसके विपरीत, सरलता से जुड़े प्रभावक्षेत्र Ω ⊂ R² पर प्रत्येक हार्मोनिक फलन u(x, y) एक होलोमोर्फिक फलन का वास्तविक हिस्सा है: यदि v u का हार्मोनिक संयुग्म है, जो एक स्थिरांक तक अद्वितीय है, तो f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) होलोमोर्फिक है।

कॉची के अभिन्न प्रमेय का अर्थ है कि लूप के साथ प्रत्येक होलोमोर्फिक फलन का समोच्च अभिन्न अंग लुप्त हो जाता है:

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.$

यहां γ सरलता से जुड़े प्रभावक्षेत्र (गणितीय विश्लेषण) में सुधार योग्य पथ है U ⊂ C जिसका प्रारंभ बिंदु इसके अंत बिंदु के बराबर है, और f : U → C एक होलोमोर्फिक फलन है।

कॉची के अभिन्न सूत्र में कहा गया है कि एक डिस्क (गणित) के अंदर होलोमोर्फिक प्रत्येक फलन डिस्क की सीमा पर इसके मूल्यों द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होता है।इसके अलावा: मान लीजिए U ⊂ C एक सम्मिश्र प्रभावक्षेत्र है, f : U → C एक होलोमॉर्फिक फलन और बंद डिस्क है D = { z : |z − z₀| ≤ r } नेइबोरहुड (गणित) है # एक समुच्चय का नेइबोरहुड U. होने देना γ की सीमा (टोपोलॉजी) बनाने वाला वृत्त हो D. फिर प्रत्येक के लिए a के आंतरिक (टोपोलॉजी) में D:

$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$

जहां कंटूर इंटीग्रल लिया जाता है वक्र अभिविन्यास|वामावर्त।

व्युत्पन्न f′(a) समोच्च अभिन्न के रूप में लिखा जा सकता है कॉची के विभेदीकरण सूत्र का उपयोग करना:

$f'(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{2}}\,dz,$

किसी भी साधारण पाश के लिए एक बार चारों ओर सकारात्मक रूप से घुमावदार a, तथा

$f'(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,d{\bar {z}},$

अनंत सकारात्मक छोरों के लिए γ चारों ओर a.

उन क्षेत्रों में जहां पहला व्युत्पन्न शून्य नहीं है, होलोमोर्फिक फलन अनुरूप मानचित्र हैं: वे छोटे आंकड़ों के कोण और आकार (लेकिन आकार नहीं) को संरक्षित करते हैं। प्रत्येक होलोमॉर्फिक कार्य विश्लेषणात्मक होते हैं। यानी एक होलोमॉर्फिक फंक्शन f प्रत्येक बिंदु पर प्रत्येक आदेश का डेरिवेटिव है a अपने प्रभावक्षेत्र में, और यह अपनी टेलर श्रेणी के साथ मेल खाता है a के नेइबोरहुड में a. वास्तव में, f इसकी टेलर श्रेणी के साथ मेल खाता है a किसी भी डिस्क में उस बिंदु पर केंद्रित है और फलन के प्रभावक्षेत्र के भीतर स्थित है।

एक बीजगणितीय दृष्टिकोण से, खुले समुच्चय पर होलोमोर्फिक कार्यों का समुच्चय एक क्रमविनिमेय वलय और एक सम्मिश्र दिष्‍ट (वेक्टर) स्पेस है। इसके अतिरिक्त, एक खुले समुच्चय में होलोमोर्फिक कार्यों का समुच्चय U एक अभिन्न प्रभावक्षेत्र है अगर और केवल अगर खुला समुच्चय U जुड़ा हुआ है। वास्तव में, यह एक स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल दिष्‍ट स्पेस है, जिसमें आदर्श (गणित) कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर सर्वोच्च है।

ज्यामितीय परिप्रेक्ष्य से, एक समारोह f पर होलोमॉर्फिक है z₀ अगर और केवल अगर इसका बाहरी व्युत्पन्न df एक नेइबोरहुड में U का z₀ के बराबर है f′(z) dz कुछ निरंतर कार्य के लिए f′. यह इस प्रकार है

$\textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=df^{\prime }\wedge dz$

वह df′ के समानुपाती भी है dz, जिसका अर्थ है कि व्युत्पन्न f′ स्वयं होलोमोर्फिक है और इस प्रकार वह f असीम रूप से भिन्न है। इसी प्रकार, d(f dz) = f′ dz ∧ dz = 0 तात्पर्य यह है कि कोई भी कार्य f यह सरल रूप से जुड़े क्षेत्र पर होलोमोर्फिक है U पर भी समाकलनीय है U.

(एक पथ के लिए γ से z₀ प्रति z पूरी तरह से पड़ा हुआ U, परिभाषित करना ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ जॉर्डन वक्र प्रमेय और स्टोक्स प्रमेय हैl सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय के प्रकाश में, F_γ(z) पथ की विशेष पसंद से स्वतंत्र है γ, और इस तरह F(z) पर एक अच्छी तरह से परिभाषित कार्य है U रखना F(z₀) = F₀ तथा dF = f dz.)

उदाहरण

सम्मिश्र गुणांक वाले z में सभी बहुपद कार्य संपूर्ण कार्य हैं (संपूर्ण सम्मिश्र तल C में होलोमोर्फिक), और इसलिए घातीय फलन exp z और त्रिकोणमितीय फलन हैं ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ तथा ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ (सीएफ। यूलर का सूत्र )। सम्मिश्र लघुगणक फलन log z की प्रधान शाखा डोमेन C \ { z ∈ R : z ≤ 0 }. पर होलोमॉर्फिक हैC \ { z ∈ R : z ≤ 0 }. वर्गमूल फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$ और इसलिए जहाँ भी लघुगणक log z है, होलोमोर्फिक है। पारस्परिक कार्य 1 / z C \ { 0 }. पर होलोमॉर्फिक हैC \ { 0 }. (पारस्परिक कार्य, और कोई अन्य तर्कसंगत कार्य, C पर मेरोमोर्फिक है।)

कॉची-रीमैन समीकरणों के परिणामस्वरूप, कोई भी वास्तविक-मूल्यवान होलोमोर्फिक फ़ंक्शन स्थिर होना चाहिए। इसलिए, निरपेक्ष मान | z |, तर्क arg (z), असली हिस्सा Re (z) और काल्पनिक भाग Im (z) होलोमॉर्फिक नहीं हैं। एक निरंतर कार्य का एक और विशिष्ट उदाहरण जो होलोमोर्फिक नहीं है, सम्मिश्र संयुग्म z̅. (सम्मिश्र संयुग्म एंटीहोलोमॉर्फिक है। )

विविध चर

होलोमोर्फिक फलन की परिभाषा विविध सम्मिश्र चरों को सीधे तरीके से सामान्यीकृत करती है। होने देना D पॉलीडिस्क होना और भी, एक खुले उपसमुच्चय को निरूपित करना Cⁿ, और जाने f : D → C. कार्यक्रम f एक बिंदु पर विश्लेषणात्मक है p में D यदि कोई खुला नेइबोरहुड उपस्थित है p जिसमें f में एक अभिसरण शक्ति श्रेणी के बराबर है n सम्मिश्र चर। परिभाषित करना f होलोमॉर्फिक होना यदि यह अपने प्रभावक्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर विश्लेषणात्मक है। ऑसगूड का लेम्मा दिखाता है (बहुभिन्नरूपी कॉची अभिन्न सूत्र का उपयोग करके) कि, एक सतत कार्य के लिए f, यह इसके बराबर है f अलग-अलग प्रत्येक चर में होलोमोर्फिक होना (जिसका अर्थ है कि यदि कोई हो n − 1 निर्देशांक निश्चित हैं, फिर का प्रतिबंध f शेष निर्देशांक का एक होलोमोर्फिक कार्य है)। बहुत गहरा हार्टोग्स प्रमेय साबित करता है कि निरंतरता धारणा अनावश्यक है: f होलोमोर्फिक है अगर और केवल अगर यह प्रत्येक चर में अलग-अलग होलोमोर्फिक है।

अधिक आम तौर पर, विविध सम्मिश्र चरों का एक कार्य जो अपने प्रभावक्षेत्र के प्रत्येक कॉम्पैक्ट समुच्चय पर चौकोर पूर्णांक होता है, विश्लेषणात्मक होता है और केवल अगर यह वितरण के अर्थ में कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करता है।

एक सम्मिश्र चर के कार्यों की तुलना में विविध सम्मिश्र चर के कार्य कुछ बुनियादी तरीकों से अधिक सम्मिश्र हैं। उदाहरण के लिए, घात श्रेणी का अभिसरण का क्षेत्र आवश्यक रूप से एक खुली गेंद नहीं है; ये क्षेत्र लघुगणकीय-उत्तल रेनहार्ड्ट प्रभावक्षेत्र हैं, जिसका सबसे सरल उदाहरण एक पॉलीडिस्क है। हालाँकि, वे कुछ मूलभूत प्रतिबंधों के साथ भी आते हैं। एकल सम्मिश्र चर के कार्यों के विपरीत, संभावित प्रभावक्षेत्र जिनमें होलोमोर्फिक फलन होते हैं जिन्हें बड़े प्रभावक्षेत्र तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, वे अत्यधिक सीमित हैं। ऐसे समुच्चय को होलोमॉर्फी का प्रभावक्षेत्र कहा जाता है।

एक सम्मिश्र विभेदक रूप होलोमोर्फिक रूप|सम्मिश्र अंतर (p,0)-प्रपत्र α होलोमॉर्फिक है अगर और केवल अगर इसका एंटीहोलोमॉर्फिक कॉम्प्लेक्स डिफरेंशियल फॉर्म#डॉल्बियॉल्ट ऑपरेटर शून्य है, ∂̅α = 0.

कार्यात्मक विश्लेषण का विस्तार

Main article: अपरिमित-आयामी होलोमॉर्फी

होलोमॉर्फिक फलन की अवधारणा को कार्यात्मक विश्लेषण के अनंत-आयामी स्थानों तक बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, फ्रेचेट व्युत्पन्न | फ्रेचेट या गेटॉक्स व्युत्पन्न का उपयोग सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में बनच स्थान पर एक होलोमोर्फिक फलन की धारणा को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

यह भी देखें

• एंटीडेरिवेटिव (सम्मिश्र विश्लेषण)
• एंटीहोलोमॉर्फिक फलन
• बिहोलोमॉर्फी
• होलोमॉर्फिक पृथक्करण
• मेरोमॉर्फिक फलन
• चतुर्भुज प्रभावक्षेत्र

• हार्मोनिक मानचित्र
• हार्मोनिक morphisms
• विर्टिंगर डेरिवेटिव

अग्रिम पठन

• Blakey, Joseph (1958). University Mathematics (2nd ed.). London: Blackie and Sons. OCLC 2370110.

बाहरी संबंध

• "Analytic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]