चक्रवृद्धि ब्याज

प्रभावी ब्याज दरें

विभिन्न चक्रवृद्धि आवृत्तियों पर प्रारंभिक $1,000 निवेश पर 20% वार्षिक ब्याज अर्जित करने का प्रभाव

चक्रवृद्धि ब्याज एक ऋण या जमा की मूल राशि में ब्याज का योग है, या दूसरे शब्दों में, मूलधन पर ब्याज के साथ ब्याज। यह ब्याज को फिर से निवेश करने या इसे चुकाने के बजाय उधार ली गई पूंजी में जोड़ने, या उधारकर्ता से भुगतान की आवश्यकता का परिणाम है, ताकि अगली अवधि में ब्याज मूल राशि और पहले से संचित ब्याज पर अर्जित हो। वित्त और अर्थशास्त्र में चक्रवृद्धि ब्याज मानक है।

चक्रवृद्धि ब्याज की तुलना साधारण ब्याज से की जाती है, जहां पहले से जमा हुआ ब्याज वर्तमान अवधि की मूल राशि में नहीं जोड़ा जाता है, इसलिए कोई चक्रवृद्धि नहीं होती है। साधारण वार्षिक ब्याज दर प्रति वर्ष अवधियों की संख्या से गुणा की जाने वाली ब्याज राशि है। साधारण वार्षिक ब्याज दर को मामूली ब्याज दर के रूप में भी जाना जाता है (मुद्रास्फीति के लिए समायोजित नहीं की जाने वाली ब्याज दर के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो उसी नाम से जाती है)।

कंपाउंडिंग फ्रीक्वेंसी (यौगिक आवृत्ति)

चक्रवृद्धि आवृत्ति प्रति वर्ष (या शायद ही कभी, समय की एक और इकाई) की संख्या है, जो नियमित आधार पर संचित ब्याज का भुगतान या पूंजीकरण (खाते में जमा) किया जाता है। बारंबारता वार्षिक, अर्धवार्षिक, त्रैमासिक, मासिक, साप्ताहिक, दैनिक या लगातार (या परिपक्वता तक बिल्कुल नहीं) हो सकती है।

उदाहरण के लिए, वार्षिक दर के रूप में अभिव्यक्त ब्याज के साथ मासिक पूंजीकरण का मतलब है कि चक्रवृद्धि आवृत्ति 12 है, जिसकी समय अवधि महीनों में मापी जाती है।

संयोजन का प्रभाव निम्न पर निर्भर करता है:

1. नाममात्र की ब्याज दर जो लागू की जाती है और
2. आवृत्ति ब्याज चक्रवृद्धि है।

वार्षिक समतुल्य दर

अलग-अलग चक्रवृद्धि आवृत्तियों वाले ऋणों के बीच मामूली दर की सीधे तुलना नहीं की जा सकती। ब्याज देने वाले वित्तीय साधनों की तुलना करने के लिए नाममात्र ब्याज दर और चक्रवृद्धि आवृत्ति दोनों की आवश्यकता होती है।

उपभोक्ताओं को खुदरा वित्तीय उत्पादों की अधिक निष्पक्ष और आसानी से तुलना करने में मदद करने के लिए, कई देशों को वित्तीय संस्थानों को जमा या अग्रिम पर वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज दर को तुलनीय आधार पर प्रकट करने की आवश्यकता होती है। वार्षिक समतुल्य आधार पर ब्याज दर को विभिन्न बाजारों में प्रभावी वार्षिक प्रतिशत दर (ईएपीआर), वार्षिक समतुल्य दर (एईआर), प्रभावी ब्याज दर, प्रभावी वार्षिक दर, वार्षिक प्रतिशत उपज और अन्य शर्तों के रूप में विभिन्न रूप से संदर्भित किया जा सकता है। प्रभावी वार्षिक दर कुल संचित ब्याज है जो एक वर्ष के अंत तक देय होगा, जिसे मूल राशि से विभाजित किया जाता है।

आमतौर पर इन दरों को परिभाषित करने वाले नियमों के दो पहलू हैं:

1. दर वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज दर है, और
2. ब्याज के अलावा अन्य प्रभार भी हो सकते हैं। शुल्क या करों का प्रभाव जो ग्राहक से वसूला जाता है, और जो सीधे उत्पाद से संबंधित हैं, शामिल हो सकते हैं। वास्तव में कौन से शुल्क और कर सम्मिलित या बहिष्कृत किए गए हैं, यह देश के अनुसार भिन्न होता है, और विभिन्न न्यायालयों के बीच तुलनीय हो भी सकता है और नहीं भी, क्योंकि ऐसी शर्तों का उपयोग असंगत हो सकता है, और स्थानीय अभ्यास के अनुसार भिन्न हो सकता है।

उदाहरण

Compound interest of 15% on initial $10,000 investment over 40 years

Annual dividend of 1.5% on initial $10,000 investment
$266,864 in total dividend payments over 40 years
Dividends were not reinvested in this scenario

मुद्रास्फीति 40 वर्षों में विभिन्न दरों पर मिश्रित हुई

  8%

  7%

  6%

  5%

  4%

  3%

  2%

  1%

• 1,000 ब्राज़ीलियाई रियल (बीआरएल) को एक ब्राज़ीलियाई बचत खाते में जमा किया जाता है, जिसमें सालाना 20% का भुगतान किया जाता है, जिसे सालाना संयोजित किया जाता है। एक वर्ष के अंत में, 1,000 × 20% = 200 बीआरएल ब्याज खाते में जमा किया जाता है। खाते को दूसरे वर्ष में 1,200 × 20% = 240 बीआरएल की कमाई होती है।
• प्रति माह 1% की दर 12% की साधारण वार्षिक ब्याज दर (नाममात्र दर) के बराबर है, लेकिन चक्रवृद्धि के प्रभाव की अनुमति देते हुए, वार्षिक समतुल्य चक्रवृद्धि दर 12.68% प्रति वर्ष (1.01¹² − 1) है।
• कॉर्पोरेट बॉन्ड और सरकारी बॉन्ड पर ब्याज आमतौर पर साल में दो बार देय होता है। भुगतान की गई ब्याज की राशि (हर छह महीने में) मूल राशि से दो गुणा करके व्यक्त की गई ब्याज दर है। वार्षिक चक्रवृद्धि दर स्पष्ट दर से अधिक है।
• कनाडा के गिरवी ऋण आमतौर पर मासिक (या अधिक लगातार) भुगतानों के साथ अर्ध-वार्षिक रूप से मिश्रित होते हैं।
• अमेरिकी गिरवी एक परिशोधन ऋण का उपयोग करते हैं, न कि चक्रवृद्धि ब्याज का। इन ऋणों के साथ, एक परिशोधन अनुसूची का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि मूलधन और ब्याज के लिए भुगतान कैसे लागू किया जाए। इन ऋणों पर उत्पन्न ब्याज मूलधन में नहीं जोड़ा जाता है, लेकिन मासिक भुगतान किया जाता है क्योंकि भुगतान देय होते हैं।
• यह कभी-कभी गणितीय रूप से सरल होता है, उदाहरण के लिए डेरिवेटिव के मूल्यांकन में, निरंतर कंपाउंडिंग का उपयोग करने के लिए, जो कि कंपाउंडिंग टर्म के दृष्टिकोण की सीमा शून्य है। इन उपकरणों के मूल्य निर्धारण में निरंतर कंपाउंडिंग आईटीओ कैलकुलस का एक स्वाभाविक परिणाम है, जहां वित्तीय डेरिवेटिव की कीमत एक सीमा तक पहुंचने तक बढ़ती आवृत्ति पर होती है और डेरिवेटिव की कीमत निरंतर समय में होती है।

डिस्काउंट इंस्ट्रूमेंट्स (छूट के साधन)

• यूएस और कैनेडियन टी-बिल्स (लघु अवधि के सरकारी ऋण) का एक अलग सम्मेलन है। उसके ब्याज की गणना (100 - पी)/पीबीएनएम के रूप में छूट के आधार पर की जाती है, जहां पी कीमत का भुगतान है। इसे सामान्य करने के बजाय एक वर्ष के लिए, ब्याज दिनों की संख्या t: (365/t)×100 के अनुपात में होता है। (दिन गणना सम्मेलन देखें)।

गणना (हिसाब)

See also: धन का सामयिक मूल्य and ब्याज गणना

आवधिक कंपाउंडिंग (आवधिक संयोजन)

मूल राशि $P$ और चक्रवृद्धि ब्याज सहित कुल संचित मूल्य $I$, सूत्र द्वारा दिया गया है:

$$A=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}$$

जहां पे:

• A अंतिम राशि है
• P मूल मूल राशि है
• r सांकेतिक वार्षिक ब्याज दर है
• n कंपाउंडिंग फ्रीक्वेंसी है
• t ब्याज लागू होने की कुल अवधि है (r के रूप में एक ही समय इकाइयों का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है, आमतौर पर वर्ष)।

उत्पन्न कुल चक्रवृद्धि ब्याज अंतिम मूल्य घटा प्रारंभिक मूलधन है:

$$I=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}-P$$

उदाहरण 1

मान लीजिए कि 1,500 डॉलर की मूल राशि एक बैंक में जमा की जाती है, जो त्रैमासिक रूप से चक्रवृद्धि 4.3% की वार्षिक ब्याज दर का भुगतान करती है।
फिर 6 वर्षों के बाद शेष राशि P = 1500, r = 0.043 (4.3%), n = 4, और t = 6 के साथ ऊपर दिए गए सूत्र का उपयोग करके पाई जाती है:

$$A=1500\times \left(1+{\frac {0.043}{4}}\right)^{4\times 6}\approx 1938.84$$

तो 6 साल बाद राशि A लगभग 1,938.84 डॉलर है।

मूल मूलधन को इस राशि से घटाकर प्राप्त ब्याज की राशि प्राप्त की जाती है:

$$1938.84-1500=438.84$$

उदाहरण 2

मान लीजिए कि 1,500 डॉलर की समान राशि द्विवार्षिक रूप से (प्रत्येक 2 वर्ष) में संयोजित होती है। (यह अभ्यास में बहुत असामान्य है।)। फिर ऊपर दिए गए सूत्र का उपयोग करके 6 वर्षों के बाद शेष राशि पाई जाती है, जिसमें P = 1500, r = 0.043 (4.3%), n = 1/2 (ब्याज हर दो साल में संयोजित होता है), और t = 6 :

$$A=1500\times (1+(0.043\times 2))^{\frac {6}{2}}\approx 1921.24$$

तो, 6 साल बाद शेष राशि लगभग 1,921.24 डॉलर है।

प्राप्त ब्याज की राशि की गणना इस राशि से मूल राशि घटाकर की जा सकती है।

$$1921.24-1500=421.24$$

कंपाउंडिंग फ्रीक्वेंसी (चक्रवृद्धि आवृत्ति) कम होने के कारण ब्याज पिछले मामले की तुलना में कम है।

संचय समारोह

चूंकि प्रिंसिपल पी केवल एक गुणांक है, इसे अक्सर सादगी के लिए छोड़ दिया जाता है, और परिणामी संचय समारोह का उपयोग इसके बजाय किया जाता है। संचय समारोह दिखाता है कि किसी भी लम्बाई के बाद $1 कितना बढ़ता है।

सरल और चक्रवृद्धि ब्याज के लिए संचय कार्य हैं

$$a(t)=1+rt$$

$$a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}$$

यदि $nt=1$, तो ये दोनों कार्य समान हैं।

निरंतर चक्रवृद्धि

See also: Logarithmic return

n के रूप में, प्रति वर्ष चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या बिना किसी सीमा के बढ़ जाती है, मामले को निरंतर चक्रवृद्धि के रूप में जाना जाता है, जिस स्थिति में प्रभावी वार्षिक दर की ऊपरी सीमा तक पहुंच जाती है e^r − 1, कहाँ पे e एक गणितीय स्थिरांक है जो प्राकृतिक लघुगणक का आधार है।

कंटीन्यूअस कंपाउंडिंग को कंपाउंडिंग पीरियड को असीम रूप से छोटा बनाने के बारे में सोचा जा सकता है, जिसे लिमिट (गणित) के रूप में हासिल किया जाता है क्योंकि n अनंत तक जाता है। इस सीमा के गणितीय प्रमाण के लिए घातीय फलन की परिभाषाएँ देखें। निरंतर कंपाउंडिंग की टी अवधि के बाद की राशि को प्रारंभिक राशि पी के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है₀ जैसा

$$P(t)=P_{0}e^{rt}.$$

ब्याज का बल

कंपाउंडिंग पीरियड्स की संख्या के रूप में $n$ निरंतर चक्रवृद्धि में अनंतता की ओर जाता है, निरंतर चक्रवृद्धि ब्याज दर को ब्याज की शक्ति कहा जाता है $\delta$.

गणित में, संचय कार्यों को अक्सर ई (गणितीय स्थिरांक) के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो प्राकृतिक लघुगणक का आधार है। यह ब्याज सूत्रों में हेरफेर करने के लिए कलन के उपयोग की सुविधा प्रदान करता है।

किसी भी सतत अवकलनीय संचय फलन के लिए a(t), ब्याज की शक्ति, या अधिक आम तौर पर वापसी की दर#लघुगणकीय या निरंतर चक्रवृद्धि रिटर्न समय का एक कार्य है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$$\delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}={\frac {d}{dt}}\ln a(t)$$

यह संचयन फलन का लघुगणक व्युत्पन्न है।

इसके विपरीत:

$$a(t)=e^{\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds}\,,$$

(जबसे $a(0)=1$; इसे उत्पाद अभिन्न के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है।)

जब उपरोक्त सूत्र अंतर समीकरण प्रारूप में लिखा जाता है, तो ब्याज की शक्ति केवल परिवर्तन की मात्रा का गुणांक है:

$$da(t)=\delta _{t}a(t)\,dt$$

एक स्थिर वार्षिक ब्याज दर आर के साथ चक्रवृद्धि ब्याज के लिए, ब्याज की शक्ति एक स्थिर है, और ब्याज की शक्ति के संदर्भ में चक्रवृद्धि ब्याज का संचय कार्य ई की एक साधारण शक्ति है:

$$\delta =\ln(1+r)$$

या

$$a(t)=e^{t\delta }$$

ब्याज की शक्ति वार्षिक प्रभावी ब्याज दर से कम है, लेकिन वार्षिक प्रभावी छूट दर से अधिक है। यह ई-फोल्डिंग | ई-फोल्डिंग टाइम का व्युत्क्रम है। एक्चुरियल नोटेशन#ब्याज दरें भी देखें।

स्फीति के बल को मॉडलिंग करने का एक तरीका स्टूडली के फार्मूले के साथ है:$\delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}$ जहां पी, आर और एस का अनुमान है।

कंपाउंडिंग आधार

See also: Day count convention

ब्याज दर को एक चक्रवृद्धि आधार से दूसरे चक्रवृद्धि आधार में परिवर्तित करने के लिए उपयोग करें

$$r_{2}=\left[\left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right]{n_{2}},$$

कहाँ पे आर₁ चक्रवृद्धि आवृत्ति n के साथ ब्याज दर है₁, तथा आर₂ चक्रवृद्धि आवृत्ति n के साथ ब्याज दर है₂.

जब ब्याज #सतत चक्रवृद्धि हो, तो उपयोग करें

$$\delta =n\ln {\left(1+{\frac {r}{n}}\right)},$$

कहाँ पे $\delta$ निरंतर चक्रवृद्धि आधार पर ब्याज दर है, और आर चक्रवृद्धि आवृत्ति n के साथ बताई गई ब्याज दर है।

मासिक परिशोधित ऋण या गिरवी भुगतान

See also: Mortgage calculator § Monthly payment formula

परिशोधित किए गए ऋणों और गिरवी पर ब्याज—अर्थात्, जब तक ऋण चुकाया नहीं जाता—अक्सर मासिक रूप से संयोजित किया जाता है, तब तक मासिक भुगतान सुचारू रूप से किया जाता है। भुगतान का सूत्र निम्नलिखित तर्क से पाया जाता है।

मासिक भुगतान का सटीक सूत्र

मासिक भुगतान के लिए एक सटीक सूत्र ($c$) है

$$c={\frac {rP}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}$$

या समकक्ष

$$c={\frac {rP}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}$$

कहाँ पे:

• $c$ = मासिक भुगतान
• $P$ = प्रिंसिपल
• $r$ = मासिक ब्याज दर
• $n$ = भुगतान अवधि की संख्या

यह इस बात पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है कि प्रत्येक माह के बाद कितना चुकाना बाकी है।
प्रिंसिपल पहले महीने के बाद शेष है

$$P_{1}=(1+r)P-c,$$

यानी, प्रारंभिक राशि और ब्याज घटा भुगतान।
अगर पूरा कर्ज एक महीने के बाद चुकाया जाता है तो

$$P_{1}=0,$$

इसलिए

$$P={\frac {c}{1+r}}$$

दूसरे महीने के बाद $P_{2}=(1+r)P_{1}-c$ रह गया है, इसलिए

$$P_{2}=(1+r)((1+r)P-c)-c$$

यदि पूरा ऋण दो महीने के बाद चुकाया गया था,

$$P_{2}=0,$$

इसलिए

$$P={\frac {c}{1+r}}+{\frac {c}{(1+r)^{2}}}$$

यह समीकरण n महीने की अवधि के लिए सामान्यीकृत होता है, ${\textstyle P=c\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+r)^{j}}}}$. यह एक ज्यामितीय श्रृंखला है जिसका योग है

$$P={\frac {c}{r}}\left(1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}\right)$$

जिसे देने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है

$$c={\frac {Pr}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}={\frac {Pr}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}$$

स्प्रेडशीट सूत्र

स्प्रैडशीट्स में, पीएमटी () फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है। वाक्य रचना है:

पीएमटी (ब्याज_दर, संख्या_भुगतान, वर्तमान_मूल्य, भविष्य_मूल्य, [प्रकार])

देखें एक्सेल, /compatibility/functions.html#financial Mac Numbers, LibreOffice, _PMT_function Open Office, Google पत्रक अधिक विवरण के लिए।

उदाहरण के लिए, 6% (0.06/12) की ब्याज दर के लिए, 25 वर्ष * 12 प्रति वर्ष, $150,000 का PV, 0 का FV, प्रकार 0 देता है:

= पीएमटी (0.06/12, 25 * 12, -150000, 0, 0)
= $966.45

मासिक भुगतान के लिए अनुमानित सूत्र

एक सूत्र जो कुछ प्रतिशत के भीतर सटीक होता है, द्वारा पाया जा सकता है यह देखते हुए कि विशिष्ट यू.एस. नोट दरों के लिए ($I<8\%$ और शर्तें $T$=10–30 वर्ष), मासिक नोट दर 1 की तुलना में छोटी है: $r<<1$ ताकि $\ln(1+r)\approx r$ जो एक सरलीकरण पैदा करता है ताकि

$$c\approx {\frac {Pr}{1-e^{-nr}}}={\frac {P}{n}}{\frac {nr}{1-e^{-nr}}}$$

जो सहायक चर को परिभाषित करने का सुझाव देता है

$$Y\equiv nr=IT$$

$$c_{0}\equiv {\frac {P}{n}}.$$

यहां $c_{0}$ शून्य-ब्याज ऋण के भुगतान के लिए आवश्यक मासिक भुगतान है $n$ किस्त। इन चरों के संदर्भ में सन्निकटन लिखा जा सकता है

$$c\approx c_{0}{\frac {Y}{1-e^{-Y}}},$$

कार्यक्रम ${\textstyle f(Y)\equiv {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}-{\frac {Y}{2}}}$ सम है:

$$f(Y)=f(-Y)$$

इसका अर्थ यह है कि इसे की शक्तियों में भी विस्तारित किया जा सकता है $Y$.

यह तुरंत अनुसरण करता है ${\textstyle {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}}$ की शक्तियों में भी विस्तारित किया जा सकता है $Y$ साथ ही एकल शब्द: $Y/2.$ परिभाषित करना तब सुविधाजनक सिद्ध होगा

$$X={\frac {1}{2}}Y={\frac {1}{2}}IT$$

ताकि

$$c\approx c_{0}{\frac {2X}{1-e^{-2X}}}$$

जिसका विस्तार किया जा सकता है:

$$c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}-{\frac {1}{45}}X^{4}+\cdots \right)$$

जहां दीर्घवृत्त उन शब्दों को इंगित करते हैं जो समान घातों में उच्च क्रम के होते हैं $X$. विस्तार

$$P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}\right)$$

प्रदान की गई 1% से बेहतर के लिए मान्य है $X\leq 1$.

बंधक भुगतान का उदाहरण

30 साल की अवधि के साथ $10,000 बंधक के लिए और वार्षिक देय 4.5% की नोट दर के लिए, हम पाते हैं:

$$T=30$$

$$I=0.045$$

जो देता है

$$X={\frac {1}{2}}IT=.675$$

ताकि

$$P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {1}{3}}X^{2}\right)=\$333.33(1+.675+.675^{2}/3)=\$608.96$$

सटीक भुगतान राशि है $P=\$608.02$ इसलिए सन्निकटन एक प्रतिशत के लगभग छठे हिस्से का अनुमान है।

निवेश: मासिक जमा

एक मूल (प्रारंभिक) जमा और आवर्ती जमा को देखते हुए, निवेश की कुल वापसी की गणना समय की प्रति यूनिट प्राप्त चक्रवृद्धि ब्याज के माध्यम से की जा सकती है। यदि आवश्यक हो, तो अतिरिक्त गैर-आवर्ती और आवर्ती जमा पर ब्याज भी इसी सूत्र के अंतर्गत परिभाषित किया जा सकता है (नीचे देखें)।

• $P$ = मूलधन जमा
• $r$ = वापसी की दर (मासिक)
• $M$ = मासिक जमा, और
• $t$ = समय, महीनों में

प्रत्येक जमा के लिए चक्रवृद्धि ब्याज है:

$$M'=M(1+r)^{t}$$

और कुल अवधि t में सभी आवर्ती जमाओं को जोड़ना (i 0 से शुरू होता है यदि जमा राशि मूलधन के निवेश से शुरू होती है; i 1 से शुरू होती है यदि जमा अगले महीने से शुरू होती है):

$$M'=\sum _{i=0}^{t-1}{M(1+r)^{t-i}}$$

ज्यामितीय श्रृंखला को पहचानना: $M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}$ और ज्यामितीय श्रृंखला#क्लोज्ड-फॉर्म फॉर्मूला|क्लोज्ड-फॉर्म फॉर्मूला (सामान्य अनुपात) को लागू करना:$1/(1+r)$) हमने प्राप्त किया:

$$P'=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}$$

यदि दो या दो से अधिक प्रकार के डिपॉजिट (या तो आवर्ती या गैर-आवर्ती) होते हैं, तो अर्जित चक्रवृद्धि मूल्य को इस रूप में दर्शाया जा सकता है

$${\text{Value}}=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}+k{\frac {(1+r)^{t-x}-1}{r}}+C(1+r)^{t-y}$$

जहां C प्रत्येक एकमुश्त राशि है और k क्रमशः गैर-मासिक आवर्ती जमा है, और x और y एक नए जमा के बीच के समय के अंतर हैं और कुल अवधि t मॉडलिंग है।

प्रत्येक आवर्ती जमा की सटीक तिथि और राशि ज्ञात नहीं होने पर वापसी की दर की रिवर्स गणना के लिए एक व्यावहारिक अनुमान है, एक सूत्र जो अवधि के दौरान एक समान आवर्ती मासिक जमा मानता है:

$$r=\left({\frac {P'-P-\sum {M}}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}$$

या

$$r=\left({\frac {P'-\sum {M}/2}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}-1$$

इतिहास

Further information: Interest § History

उधारदाताओं द्वारा लगाया जाने वाला चक्रवृद्धि ब्याज एक बार सबसे खराब प्रकार का सूदखोरी माना जाता था और रोमन कानून और कई अन्य देशों के सामान्य कानूनों द्वारा इसकी कड़ी निंदा की जाती थी। फ़्लोरेंटाइन व्यापारी फ्रांसेस्को बाल्डुची पेगोलोटी ने अपनी लगभग 1340 की पुस्तक Pratica della mercatura में एक चक्रवृद्धि ब्याज की तालिका प्रदान की। यह पर ब्याज देता है 100 लीयर, 1% से 8% की दरों के लिए, 20 वर्षों तक। लुका पैसिओली (1494) का अंकगणित का सारांश 72 का नियम देता है, जिसमें कहा गया है कि चक्रवृद्धि ब्याज पर निवेश को दोगुना करने के लिए वर्षों की संख्या का पता लगाने के लिए, ब्याज दर को 72 में विभाजित करना चाहिए।

1613 में प्रकाशित रिचर्ड विट की पुस्तक अंकगणितीय प्रश्न, चक्रवृद्धि ब्याज के इतिहास में एक मील का पत्थर थी। यह पूरी तरह से इस विषय के प्रति समर्पित था (जिसे पहले विक्ट:एनाटोकिज्म#एटीमोलॉजी कहा जाता था), जबकि पिछले लेखकों ने आम तौर पर गणितीय पाठ्यपुस्तक में केवल एक अध्याय में संक्षेप में चक्रवृद्धि ब्याज का इलाज किया था। विट की पुस्तक ने 10% (ऋण पर स्वीकार्य ब्याज की अधिकतम दर) और विभिन्न उद्देश्यों के लिए अन्य दरों पर, जैसे कि संपत्ति के पट्टों के मूल्यांकन के आधार पर तालिकाएँ दी हैं। विट एक लंदन गणितीय व्यवसायी थे और उनकी पुस्तक अभिव्यक्ति की स्पष्टता, अंतर्दृष्टि की गहराई और गणना की सटीकता के लिए उल्लेखनीय है, जिसमें 124 काम किए गए उदाहरण हैं। जैकब बर्नौली ने स्थिरांक e (गणितीय स्थिरांक)#चक्रवृद्धि ब्याज| की खोज की$e$1683 में चक्रवृद्धि ब्याज के बारे में एक प्रश्न का अध्ययन करके।

19वीं शताब्दी में, और संभवतः पहले, फारसी व्यापारियों ने मासिक भुगतान सूत्र के लिए थोड़ा संशोधित रैखिक टेलर सन्निकटन का उपयोग किया था जिसे उनके सिर में आसानी से गणना की जा सकती थी।

यह भी देखें

• क्रेडिट कार्ड ब्याज
• घातीय वृद्धि
• फिशर समीकरण
• रुचि
• ब्याज दर
• प्रतिफल दर
• निवेश पर वापसी की दर
• वास्तविक बनाम नाममात्र मूल्य (अर्थशास्त्र)
• यील्ड कर्व

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• रुचि
• मैं प्रिंसिपल हूं
• निरंतर कंपाउंडिंग
• सालाना दर फीसदी में
• सालाना प्रतिशत आय
• गिरवी ऋण
• ऋणमुक्ति शेड्युल
• व्युत्पन्न (वित्त)
• एक समारोह की सीमा
• दिन गिनती सम्मेलन
• नाममात्र वार्षिक ब्याज दर
• सीमा (गणित)
• अनंतता
• घातीय समारोह की परिभाषा
• जियोमीट्रिक श्रंखला
• प्रतिफल दर
• रोम का कानून
• सामान्य विधि