ट्रेस ऑपरेटर

एक आयत पर परिभाषित एक फ़ंक्शन (शीर्ष आकृति, लाल रंग में), और इसका निशान (निचला आंकड़ा, लाल रंग में)।

गणित में, ट्रेस ऑपरेटर फ़ंक्शन प्रतिबंध की धारणा को उसके डोमेन की सीमा तक सोबोलेव स्पेस में सामान्यीकृत फ़ंक्शंस तक बढ़ाता है। यह विशेष रूप से निर्धारित सीमा स्थितियों (सीमा मूल्य समस्याओं) के साथ आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण है, जहां कमजोर समाधान नियमित रूप से कार्यों के शास्त्रीय अर्थों में सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए पर्याप्त नहीं हो सकते हैं।

प्रेरणा

एक सीमित, चिकने डोमेन पर (गणितीय विश्लेषण) ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$, विषम डिरिचलेट सीमा शर्तों के साथ पोइसन के समीकरण को हल करने की समस्या पर विचार करें:

${\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}$

दिए गए कार्यों के साथ ${\textstyle f}$ तथा ${\textstyle g}$ ट्रेस ऑपरेटर # नीचे दिए गए आवेदन में चर्चा की गई नियमितता के साथ। कमजोर उपाय ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ इस समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x$ सभी के लिए ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$. ${\textstyle H^{1}(\Omega )}$वें>- की नियमितता ${\textstyle u}$ इस अभिन्न समीकरण की अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है। हालाँकि, यह स्पष्ट नहीं है कि किस अर्थ में ${\textstyle u}$ सीमा शर्त को पूरा कर सकते हैं ${\textstyle u=g}$ पर ${\textstyle \partial \Omega }$: परिभाषा से, ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}$ फलनों का एक तुल्यता वर्ग है जिस पर मनमाना मान हो सकता है ${\textstyle \partial \Omega }$ चूंकि यह एन-आयामी लेबेस्गु माप के संबंध में एक शून्य सेट है।

यदि ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{1}}$ वहाँ रखती है ${\textstyle H^{1}(\Omega )\hookrightarrow C^{0}({\bar {\Omega }})}$ सोबोलेव असमानता द्वारा | सोबोलेव का एम्बेडिंग प्रमेय, जैसे कि ${\textstyle u}$ शास्त्रीय अर्थों में सीमा की स्थिति को संतुष्ट कर सकता है, अर्थात का प्रतिबंध ${\textstyle u}$ प्रति ${\textstyle \partial \Omega }$ समारोह से सहमत हैं ${\textstyle g}$ (अधिक सटीक: का एक प्रतिनिधि मौजूद है ${\textstyle u}$ में ${\textstyle C({\bar {\Omega }})}$ इस संपत्ति के साथ)। के लिये ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ साथ ${\textstyle n>1}$ ऐसा एम्बेडिंग मौजूद नहीं है और ट्रेस ऑपरेटर ${\textstyle T}$ यहाँ प्रस्तुत अर्थ देने के लिए इस्तेमाल किया जाना चाहिए ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$. फिर ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ साथ ${\textstyle Tu=g}$ सीमा मूल्य समस्या का एक कमजोर समाधान कहा जाता है यदि उपरोक्त अभिन्न समीकरण संतुष्ट हो। ट्रेस ऑपरेटर की परिभाषा उचित होने के लिए, वहाँ होना चाहिए ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$ पर्याप्त नियमित के लिए ${\textstyle u}$.

ट्रेस प्रमेय

ट्रेस ऑपरेटर को सोबोलेव स्पेस में कार्यों के लिए परिभाषित किया जा सकता है ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ साथ ${\textstyle 1\leq p<\infty }$, अन्य स्थानों पर ट्रेस के संभावित विस्तार के लिए नीचे दिया गया अनुभाग देखें। होने देना ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ के लिये ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ Lipschitz सीमा के साथ एक परिबद्ध डोमेन हो। फिरवहाँ एक परिबद्ध रेखीय ट्रेस ऑपरेटर मौजूद है

$T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )$

ऐसा है कि ${\textstyle T}$ शास्त्रीय ट्रेस का विस्तार करता है, अर्थात

$Tu=u|_{\partial \Omega }$ सभी के लिए ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$.

की निरंतरता ${\textstyle T}$ इसका आशय है

$\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}$ सभी के लिए ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ निरंतर के साथ ही निर्भर करता है ${\textstyle p}$ तथा ${\textstyle \Omega }$. कार्यक्रम ${\textstyle Tu}$ का निशान कहा जाता है ${\textstyle u}$ और अक्सर इसे केवल द्वारा निरूपित किया जाता है ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$. के लिए अन्य सामान्य प्रतीक ${\textstyle T}$ शामिल ${\textstyle tr}$ तथा ${\textstyle \gamma }$.

निर्माण

यह पैराग्राफ इवांस का अनुसरण करता है,जहां अधिक विवरण मिल सकता है, और यह मान लेता है ${\textstyle \Omega }$ एक ${\textstyle C^{1}}$-सीमा। लिप्सचिट्ज़ डोमेन के लिए ट्रेस प्रमेय का एक प्रमाण (एक मजबूत संस्करण का) गगलियार्डो में पाया जा सकता है।एक पर ${\textstyle C^{1}}$-डोमेन, ट्रेस ऑपरेटर को ऑपरेटर के निरंतर रैखिक विस्तार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$T:C^{\infty }({\bar {\Omega }})\to L^{p}(\partial \Omega )$

अंतरिक्ष के लिए ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$. के घने सेट द्वारा ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ में ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ऐसा विस्तार संभव है यदि ${\textstyle T}$ के संबंध में निरंतर है ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$-आदर्श। इसका प्रमाण, यानी कि मौजूद है ${\textstyle C>0}$ (इस पर निर्भर करते हुए ${\textstyle \Omega }$ तथा ${\textstyle p}$) ऐसा है कि

$\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}$ सभी के लिए $u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }}).$

ट्रेस ऑपरेटर के निर्माण में केंद्रीय घटक है। के लिए इस अनुमान का एक स्थानीय संस्करण ${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$विचलन प्रमेय का उपयोग करते हुए स्थानीय रूप से सपाट सीमा के लिए -फंक्शन पहले सिद्ध होते हैं। परिवर्तन द्वारा, एक सामान्य ${\textstyle C^{1}}$-इस मामले को कम करने के लिए सीमा को स्थानीय रूप से सीधा किया जा सकता है, जहां ${\textstyle C^{1}}$-रूपांतरण की नियमितता के लिए आवश्यक है कि स्थानीय अनुमान धारण करे ${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$-कार्य।

ट्रेस ऑपरेटर की इस निरंतरता के साथ ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ के लिए एक विस्तार ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ सार तर्कों से मौजूद है और ${\textstyle Tu}$ के लिये ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ निम्नानुसार चित्रित किया जा सकता है। होने देना ${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ अनुमानित अनुक्रम हो ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ घनत्व से। की सिद्ध निरंतरता से ${\textstyle T}$ में ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ क्रम ${\textstyle u_{k}|_{\partial \Omega }}$ में एक कॉची क्रम है ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ तथा ${\textstyle Tu=\lim _{k\to \infty }u_{k}|_{\partial \Omega }}$ सीमा में लिया गया ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$.

एक्सटेंशन संपत्ति ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$ के लिए रखता है ${\textstyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ निर्माण द्वारा, लेकिन किसी के लिए ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$ एक क्रम होता है ${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ जो समान रूप से अभिसरण करता है ${\textstyle {\bar {\Omega }}}$ प्रति ${\textstyle u}$, बड़े सेट पर एक्सटेंशन प्रॉपर्टी की पुष्टि करना ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$.

मामला पी = ∞

यदि ${\textstyle \Omega }$ घिरा हुआ है और एक है ${\textstyle C^{1}}$-सीमा तब मोरे की असमानता से एक सतत एम्बेडिंग मौजूद है ${\textstyle W^{1,\infty }(\Omega )\hookrightarrow C^{0,1}(\Omega )}$, कहाँ पे ${\textstyle C^{0,1}(\Omega )}$ Lipschitz निरंतरता कार्यों के स्थान को दर्शाता है। विशेष रूप से, कोई समारोह ${\textstyle u\in W^{1,\infty }(\Omega )}$ एक शास्त्रीय निशान है ${\textstyle u|_{\partial \Omega }\in C(\partial \Omega )}$ और वहाँ रखती है

$\|u|_{\partial \Omega }\|_{C(\partial \Omega )}\leq \|u\|_{C^{0,1}(\Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,\infty }(\Omega )}.$

ट्रेस शून्य के साथ कार्य

सोबोलेव रिक्त स्थान ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ के लिये ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ क्लोजर (टोपोलॉजी) के रूप में परिभाषित किया गया है # कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित परीक्षण कार्यों के सेट के सेट का क्लोजर ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ के प्रति सम्मान के साथ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$-आदर्श। निम्नलिखित वैकल्पिक लक्षण वर्णन धारण करता है:

$W_{0}^{1,p}(\Omega )=\{u\in W^{1,p}(\Omega )\mid Tu=0\}=\ker(T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )),$

कहाँ पे ${\textstyle \ker(T)}$ का कर्नेल (रैखिक बीजगणित) है ${\textstyle T}$, अर्थात। ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ में कार्यों का उप-स्थान है ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ट्रेस जीरो के साथ।

ट्रेस ऑपरेटर की छवि

=== पी> 1 === के लिए

ट्रेस ऑपरेटर पर विशेषण नहीं है ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ यदि ${\textstyle p>1}$, यानी हर समारोह में नहीं ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ में एक समारोह का निशान है ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$. जैसा कि नीचे दी गई छवि में ऐसे कार्य शामिल हैं जो एक को संतुष्ट करते हैं ${\textstyle L^{p}}$-होल्डर स्थिति का संस्करण|होल्डर निरंतरता।

सार लक्षण वर्णन

की छवि (गणित) का एक सार लक्षण वर्णन ${\textstyle T}$ निम्नानुसार व्युत्पन्न किया जा सकता है। समरूपता प्रमेयों द्वारा वहाँ धारण किया जाता है

$T(W^{1,p}(\Omega ))\cong W^{1,p}(\Omega )/\ker(T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega ))=W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )$

कहाँ पे ${\textstyle X/N}$ बानाच स्थान के भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) को दर्शाता है ${\textstyle X}$ उपक्षेत्र द्वारा ${\textstyle N\subset X}$ और अंतिम पहचान के लक्षण वर्णन से होती है ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ ऊपर से। द्वारा परिभाषित भागफल स्थान को भागफल मानदंड से लैस करना

$\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )}=\inf _{u_{0}\in W_{0}^{1,p}(\Omega )}\|u-u_{0}\|_{W^{1,p}(\Omega )}$

ट्रेस ऑपरेटर ${\textstyle T}$ तब एक विशेषण, परिबद्ध रैखिक संकारक है

$T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )$.

सोबोलेव-स्लोबोडेकिज रिक्त स्थान का उपयोग करते हुए अभिलक्षणन

की छवि का अधिक ठोस प्रतिनिधित्व ${\textstyle T}$ सोबोलेव स्पेस#सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेस का उपयोग करके दिया जा सकता है|सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेस जो धारक के निरंतर कार्यों की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है ${\textstyle L^{p}}$-स्थापना। तब से ${\textstyle \partial \Omega }$ एक (n-1)-आयामी लिप्सचिट्ज़ टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड में एम्बेडेड है ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ इन स्थानों का एक स्पष्ट लक्षण वर्णन तकनीकी रूप से शामिल है। सरलता के लिए पहले एक समतलीय डोमेन पर विचार करें ${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$. के लिये ${\textstyle v\in L^{p}(\Omega ')}$ (संभवतः अनंत) मानक को परिभाषित करें

$\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\Omega ')}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega ')}^{p}+\int _{\Omega '\times \Omega '}{\frac {|v(x)-v(y)|^{p}}{|x-y|^{(1-1/p)p+(n-1)}}}\,\mathrm {d} (x,y)\right)^{1/p}$

जो होल्डर की स्थिति को सामान्य करता है ${\textstyle |v(x)-v(y)|\leq C|x-y|^{1-1/p}}$. फिर

$W^{1-1/p,p}(\Omega ')=\left\{v\in L^{p}(\Omega ')\;\mid \;\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\Omega ')}<\infty \right\}$

पिछले मानदंड से लैस एक बनच स्पेस है (एक सामान्य परिभाषा ${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$ गैर-पूर्णांक के लिए ${\textstyle s>0}$ सोबोलेव स्पेस#सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेसेस|सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेसेस के लिए आलेख में पाया जा सकता है। (N-1)-आयामी लिप्सचिट्ज़ मैनिफोल्ड के लिए ${\textstyle \partial \Omega }$ परिभाषित करना ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$ स्थानीय रूप से सीधा करके ${\textstyle \partial \Omega }$ और की परिभाषा के अनुसार आगे बढ़ना ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\Omega ')}$.

अंतरिक्ष ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$ तब ट्रेस ऑपरेटर की छवि के रूप में पहचाना जा सकता है और वहां होल्ड करता हैवह

$T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )$

एक विशेषण, परिबद्ध रैखिक संकारक है।

=== पी = 1 === के लिए

के लिये ${\textstyle p=1}$ ट्रेस ऑपरेटर की छवि है ${\textstyle L^{1}(\partial \Omega )}$ और वहाँ रखती हैवह

$T\colon W^{1,1}(\Omega )\to L^{1}(\partial \Omega )$

एक विशेषण, परिबद्ध रैखिक संकारक है।

राइट-इनवर्स: ट्रेस एक्सटेंशन ऑपरेटर

ट्रेस ऑपरेटर कई कार्यों के बाद से इंजेक्शन नहीं है ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ एक ही निशान हो सकता है (या समकक्ष, ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )\neq 0}$). हालांकि ट्रेस ऑपरेटर के पास एक अच्छी तरह से व्यवहार करने वाला राइट-इनवर्स है, जो सीमा पर परिभाषित फ़ंक्शन को पूरे डोमेन तक बढ़ाता है। विशेष तौर पर ${\textstyle 1<p<\infty }$ एक परिबद्ध, रैखिक ट्रेस एक्सटेंशन ऑपरेटर मौजूद है

$E\colon W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{1,p}(\Omega )$,

पिछले अनुभाग से ट्रेस ऑपरेटर की छवि के सोबोलेव-स्लोबोडेकिज लक्षण वर्णन का उपयोग करते हुए, जैसे कि

$T(Ev)=v$ सभी के लिए ${\textstyle v\in W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$

और, निरंतरता से, मौजूद है ${\textstyle C>0}$ साथ

$\|Ev\|_{W^{1,p}(\Omega )}\leq C\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$.

उल्लेखनीय मात्र अस्तित्व नहीं है बल्कि सही व्युत्क्रम की रैखिकता और निरंतरता है। इस ट्रेस एक्सटेंशन ऑपरेटर को सोबोलेव स्पेस # एक्सटेंशन ऑपरेटर | होल-स्पेस एक्सटेंशन ऑपरेटर के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ जो सोबोलेव रिक्त स्थान के सिद्धांत में मौलिक भूमिका निभाते हैं।

अन्य रिक्त स्थान का विस्तार

उच्च डेरिवेटिव

पिछले कई परिणामों को बढ़ाया जा सकता है ${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$ उच्च भिन्नता के साथ ${\textstyle m=2,3,\ldots }$ यदि डोमेन पर्याप्त रूप से नियमित है। होने देना ${\textstyle N}$ बाहरी इकाई सामान्य क्षेत्र को निरूपित करें ${\textstyle \partial \Omega }$. तब से ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ केवल सामान्य व्युत्पन्न स्पर्शरेखा दिशा में विभेदीकरण गुणों को सांकेतिक शब्दों में बदल सकते हैं ${\textstyle \partial _{N}u|_{\partial \Omega }}$ ट्रेस थ्योरी के लिए अतिरिक्त रुचि है ${\textstyle m=2}$. इसी तरह के तर्क उच्च-क्रम के डेरिवेटिव के लिए लागू होते हैं ${\textstyle m>2}$.

होने देना ${\textstyle 1<p<\infty }$ तथा ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ के साथ एक परिबद्ध डोमेन हो ${\textstyle C^{m,1}}$-सीमा। फिरवहाँ एक विशेषण, परिबद्ध रैखिक उच्च-क्रम ट्रेस ऑपरेटर मौजूद है

$T_{m}\colon W^{m,p}(\Omega )\to \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )$

सोबोलेव-स्लोबोडेकिज रिक्त स्थान के साथ ${\textstyle W^{s,p}(\partial \Omega )}$ गैर-पूर्णांक के लिए ${\textstyle s>0}$ पर परिभाषित ${\textstyle \partial \Omega }$ प्लानर मामले में परिवर्तन के माध्यम से ${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$ के लिये ${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$, जिसकी परिभाषा सोबोलेव स्पेस#सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेसेस|सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेसेस पर लेख में विस्तार से दी गई है। परिचालक ${\textstyle T_{m}}$ इस अर्थ में शास्त्रीय सामान्य निशान का विस्तार करता है

$T_{m}u=\left(u|_{\partial \Omega },\partial _{N}u|_{\partial \Omega },\ldots ,\partial _{N}^{m-1}u|_{\partial \Omega }\right)$ सभी के लिए ${\textstyle u\in W^{m,p}(\Omega )\cap C^{m-1}({\bar {\Omega }}).}$

इसके अलावा, का एक परिबद्ध, रैखिक दाएँ-प्रतिलोम मौजूद है ${\textstyle T_{m}}$, एक उच्च-क्रम ट्रेस एक्सटेंशन ऑपरेटर

$E_{m}\colon \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{m,p}(\Omega )$.

अंत में, रिक्त स्थान ${\textstyle W_{0}^{m,p}(\Omega )}$, का पूरा होना ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ में ${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$-नॉर्म, के कर्नेल के रूप में वर्णित किया जा सकता है ${\textstyle T_{m}}$,अर्थात।

$W_{0}^{m,p}(\Omega )=\{u\in W^{m,p}(\Omega )\mid T_{m}u=0\}$.

कम नियमित स्थान

एल में कोई निशान नहीं^{पी </सुप>}

निशान की अवधारणा का कोई समझदार विस्तार नहीं है ${\textstyle L^{p}(\Omega )}$ के लिये ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ चूँकि क्लासिकल ट्रेस का विस्तार करने वाला कोई भी परिबद्ध रेखीय संचालिका परीक्षण कार्यों के स्थान पर शून्य होना चाहिए ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$, जो का सघन उपसमुच्चय है ${\textstyle L^{p}(\Omega )}$, जिसका अर्थ है कि ऐसा ऑपरेटर हर जगह शून्य होगा।

सामान्यीकृत सामान्य ट्रेस

होने देना ${\textstyle \operatorname {div} v}$ एक वेक्टर क्षेत्र के वितरण विचलन को निरूपित करें ${\textstyle v}$. के लिये ${\textstyle 1<p<\infty }$ और बाउंडेड लिपशिट्ज डोमेन ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ परिभाषित करना

$E_{p}(\Omega )=\{v\in (L^{p}(\Omega ))^{n}\mid \operatorname {div} v\in L^{p}(\Omega )\}$

जो आदर्श के साथ एक बनच स्थान है

$\|v\|_{E_{p}(\Omega )}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}+\|\operatorname {div} v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}$.

होने देना ${\textstyle N}$ बाहरी इकाई सामान्य क्षेत्र को निरूपित करें ${\textstyle \partial \Omega }$. फिरवहाँ एक परिबद्ध रैखिक संचालिका मौजूद है

$T_{N}\colon E_{p}(\Omega )\to (W^{1-1/q,q}(\partial \Omega ))'$,

कहाँ पे ${\textstyle q=p/(p-1)}$ का संयुग्मी घातांक है ${\textstyle p}$ तथा ${\textstyle X'}$ बनच स्थान के लिए निरंतर दोहरे स्थान को दर्शाता है ${\textstyle X}$, ऐसा है कि ${\textstyle T_{N}}$ सामान्य निशान बढ़ाता है ${\textstyle (v\cdot N)|_{\partial \Omega }}$ के लिये ${\textstyle v\in (C^{\infty }({\bar {\Omega }}))^{n}}$ इस अर्थ में कि

$T_{N}v={\bigl \{}\varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )\mapsto \int _{\partial \Omega }\varphi v\cdot N\,\mathrm {d} S{\bigr \}}$.

सामान्य ट्रेस ऑपरेटर का मान ${\textstyle (T_{N}v)(\varphi )}$ के लिये ${\textstyle \varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )}$ सदिश क्षेत्र में विचलन प्रमेय के अनुप्रयोग द्वारा परिभाषित किया गया है ${\textstyle w=E\varphi \,v}$ कहाँ पे ${\textstyle E}$ ऊपर से ट्रेस एक्सटेंशन ऑपरेटर है।

आवेदन पत्र। कोई कमजोर उपाय ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ प्रति ${\textstyle -\Delta u=f\in L^{2}(\Omega )}$ एक सीमित लिप्सचिट्ज़ डोमेन में ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ के अर्थ में एक सामान्य व्युत्पन्न है ${\textstyle T_{N}\nabla u\in (W^{1/2,2}(\partial \Omega ))^{*}}$. यह इस प्रकार है ${\textstyle \nabla u\in E_{2}(\Omega )}$ जबसे ${\textstyle \nabla u\in L^{2}(\Omega )}$ तथा ${\textstyle \operatorname {div} (\nabla u)=\Delta u=-f\in L^{2}(\Omega )}$. यह परिणाम सामान्य रूप से लिप्सचिट्ज़ डोमेन के बाद से उल्लेखनीय है ${\textstyle u\not \in H^{2}(\Omega )}$, ऐसा है कि ${\textstyle \nabla u}$ ट्रेस ऑपरेटर के डोमेन में नहीं हो सकता है ${\textstyle T}$.

आवेदन

ऊपर प्रस्तुत प्रमेय सीमा मान समस्या की बारीकी से जांच की अनुमति देते हैं

${\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}$

लिप्सचिट्ज़ डोमेन पर ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ प्रेरणा से। केवल हिल्बर्ट स्पेस केस के बाद से ${\textstyle p=2}$ यहां जांच की जाती है, नोटेशन ${\textstyle H^{1}(\Omega )}$ निरूपित करने के लिए प्रयोग किया जाता है ${\textstyle W^{1,2}(\Omega )}$ आदि। जैसा कि प्रेरणा में कहा गया है, एक कमजोर समाधान ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ इस समीकरण को संतुष्ट होना चाहिए ${\textstyle Tu=g}$ तथा

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x$ सभी के लिए ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$,

जहां दाहिने हाथ की ओर व्याख्या की जानी चाहिए ${\textstyle f\in H^{-1}(\Omega )=(H_{0}^{1}(\Omega ))'}$ मूल्य के साथ एक द्वैत उत्पाद के रूप में ${\textstyle f(\varphi )}$.

कमजोर समाधानों का अस्तित्व और विशिष्टता

की सीमा का लक्षण वर्णन ${\textstyle T}$ तात्पर्य है कि के लिए ${\textstyle Tu=g}$ नियमितता धारण करना ${\textstyle g\in H^{1/2}(\partial \Omega )}$ आवश्यक है। यह नियमितता एक दुर्बल विलयन के अस्तित्व के लिए भी पर्याप्त है, जिसे निम्न प्रकार से देखा जा सकता है। ट्रेस एक्सटेंशन प्रमेय द्वारा मौजूद है ${\textstyle Eg\in H^{1}(\Omega )}$ ऐसा है कि ${\textstyle T(Eg)=g}$. परिभाषित ${\textstyle u_{0}}$ द्वारा ${\textstyle u_{0}=u-Eg}$ हमारे पास वह है ${\textstyle Tu_{0}=Tu-T(Eg)=0}$ और इस तरह ${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ के लक्षण वर्णन से ${\textstyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ ट्रेस शून्य के स्थान के रूप में। कार्यक्रम ${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ फिर अभिन्न समीकरण को संतुष्ट करता है

$\int _{\Omega }\nabla u_{0}\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }\nabla (u-Eg)\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x-\int _{\Omega }\nabla Eg\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x$ सभी के लिए ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$.

इस प्रकार विषम सीमा मूल्यों के साथ समस्या ${\textstyle u}$ सजातीय सीमा मूल्यों के साथ एक समस्या के लिए कम किया जा सकता है ${\textstyle u_{0}}$, एक तकनीक जिसे किसी रैखिक अंतर समीकरण पर लागू किया जा सकता है। रिज प्रतिनिधित्व प्रमेय के अनुसार एक अनूठा समाधान मौजूद है ${\textstyle u_{0}}$ इस समस्या के लिए। अपघटन की विशिष्टता से ${\textstyle u=u_{0}+Eg}$, यह एक अद्वितीय कमजोर समाधान के अस्तित्व के बराबर है ${\textstyle u}$ विषम सीमा मान समस्या के लिए।

डेटा पर निरंतर निर्भरता

की निर्भरता की जांच करना बाकी है ${\textstyle u}$ पर ${\textstyle f}$ तथा ${\textstyle g}$. होने देना ${\textstyle c_{1},c_{2},\ldots >0}$ से स्वतंत्र स्थिरांक निरूपित करें ${\textstyle f}$ तथा ${\textstyle g}$. की निरंतर निर्भरता से ${\textstyle u_{0}}$ इसके अभिन्न समीकरण के दाईं ओर, वहाँ है

$\|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}\leq c_{1}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\right)$

और इस प्रकार, उसका उपयोग करना ${\textstyle \|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}\leq c_{2}\|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}}$ तथा ${\textstyle \|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{3}\|g\|_{H^{1/2}(\Omega )}}$ ट्रेस एक्सटेंशन ऑपरेटर की निरंतरता से, यह इस प्रकार है

${\begin{aligned}\|u\|_{H^{1}(\Omega )}&\leq \|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{1}c_{2}\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+(1+c_{1}c_{2})\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\\&\leq c_{4}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|g\|_{H^{1/2}(\partial \Omega )}\right)\end{aligned}}$

और समाधान मानचित्र

$H^{-1}(\Omega )\times H^{1/2}(\partial \Omega )\ni (f,g)\mapsto u\in H^{1}(\Omega )$

इसलिए निरंतर है।

यह भी देखें

• ट्रेस क्लास
• बनच स्थानों के बीच परमाणु संचालक

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• आंशिक विभेदक समीकरण
• समारोह प्रतिबंध
• डोमेन (गणितीय विश्लेषण)
• घना सेट
• लिपशिट्ज निरंतरता
• परीक्षण समारोह
• संयुग्मी प्रतिपादक
• निरंतर दोहरी जगह

संदर्भ

• Leoni, Giovanni (2017). A First Course in Sobolev Spaces: Second Edition. Graduate Studies in Mathematics. 181. American Mathematical Society. pp. 734. ISBN 978-1-4704-2921-8