समय अवकलन

एक समय अवकलज समय के संबंध में एक फलन का अवकलज है, जिसकी आमतौर पर फलन के मान के परिवर्तन की दर के रूप में व्याख्या कि जाती है। चर निरूपण समय को आमतौर पर $t$ के रूप में लिखा जाता है।

संकेतन

समय अवकलज को निरूपित करने के लिए विभिन्न प्रकार के संकेतन का उपयोग किया जाता है। सामान्य (लीबनिज संकेतन) संकेतन के अतिरिक्त,

${\frac {dx}{dt}}$

विशेष रूप से भौतिकी में उपयोग किया जाने वाला एक बहुत ही सामान्य शॉर्ट-हैंड संकेतन 'ओवर-डॉट' है। अर्थात।

${\dot {x}}$

(इसे न्यूटन का संकेतन कहते हैं)

उच्च समय के अवकलज का भी उपयोग किया जाता है, तथा समय के संबंध में दूसरा अवकलज ${\ddot {x}}$ के संगत आशुलिपि के साथ

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

के रूप में लिखा जाता है।

इसे एक सामान्यीकरण के रूप में, सदिश का समय अवकलज,कहते हैं,

$\mathbf {v} =\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\ldots \right]$

इस समीकरण को सदिश के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके घटक मूल सदिश के घटकों के अवकलज हैं। जोकि है,

${\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\ldots \right].$

भौतिकी में प्रयोग करें

भौतिक विज्ञान में समय अवकलज एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। उदाहरण के लिए, बदलती स्थिति $x$ (सदिश) के लिए , इसका समय अवकलज ${\dot {x}}$ इसका वेग है, और समय के संबंध में इसका दूसरा अवकलज, ${\ddot {x}}$ इसका त्वरण है। यहां तक ​​कि कभी-कभी उच्च अवकलज स्थिति का भी उपयोग किया जाता है, और समय के संबंध में का तीसरे अवकलज को जर्क (भौतिकी) के रूप में जाना जाता है। जिसके लिए गति रेखांकन और अवकलज देखें।

भौतिकी में बड़ी संख्या में मौलिक समीकरणों में मात्राओं का पहली या दूसरी बार अवकलज शामिल होता है। विज्ञान में कई अन्य मौलिक मात्राएँ एक दूसरे की समय अवकलज हैं,

• बल संवेग का समय अवकलज है
• शक्ति (भौतिकी) ऊर्जा का समय अवकलज है
• और इसी तरह, विद्युत धारा विद्युत आवेश का समय अवकलज है।

वेग या विस्थापन जैसी सामान्य घटनाए, भौतिकी में एक सामान्य घटनाओ की तरह एक सदिश (ज्यामितीय) का समय अवकलज है। इस तरह के अवकलज से निपटने में परिमाण और अभिविन्यास दोनों समय पर निर्भर हो सकते हैं।

उदाहरण, वृत्तीय गति

See also: एकसमान वृत्तीय गति and केन्द्राभिमुख शक्ति

कार्तीय निर्देशांक (x, y) और ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) के बीच संबंध।

उदाहरण के लिए, एक कण को ​​एक वृत्ताकार पथ में गतिमान माना जाता है। इसकी स्थिति विस्थापन सदिश $r=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}$ द्वारा दी गई है , जो कोण, θ, और त्रिज्यीय दूरी, r से संबंधित है, जैसा कि चित्र में परिभाषित किया गया है,

${\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )\end{aligned}}$

इस उदाहरण के लिए, हम मानते हैं कि θ = t । इसलिए, किसी समय t पर विस्थापन (स्थिति)

$\mathbf {r} (t)=r\cos(t){\hat {\imath }}+r\sin(t){\hat {\jmath }}$

द्वारा दिया जाता है।

यह रूप दर्शाता है कि r(t) द्वारा वर्णित गति त्रिज्या r के एक वृत्त में है क्योंकि r(t) का परिमाण नीचे दिए गए समीकरण द्वारा दिया गया है

$|\mathbf {r} (t)|={\sqrt {\mathbf {r} (t)\cdot \mathbf {r} (t)}}={\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}=r\,{\sqrt {\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)}}=r$

जहाँ पर त्रिकोणमितीय पहचान sin²(t) + cos²(t) = 1 का उपयोग किया गया है, और जहाँ $\cdot$ (बिन्दु) सामान्य यूक्लिडियन बिन्दु उत्पाद है।

विस्थापन के इस रूप से अब वेग को ज्ञात किया जा सकता है। विस्थापन सदिश का समय अवकलज वेग सदिश है। सामान्य तौर पर, एक सदिश का अवकलज एक सदिश होता है जो घटकों से बना होता है, जिनमें से प्रत्येक मूल सदिश के संबंधित घटक का अवकलज होता है। इस प्रकार, इस मामले में वेग सदिश है,

${\begin{aligned}\mathbf {v} (t)={\frac {d\,\mathbf {r} (t)}{dt}}&=r\left[{\frac {d\,\cos(t)}{dt}},{\frac {d\,\sin(t)}{dt}}\right]\\&=r\ [-\sin(t),\ \cos(t)]\\&=[-y(t),x(t)].\end{aligned}}$

इस प्रकार स्थिति का परिमाण (अर्थात् पथ की त्रिज्या) स्थिर होने पर भी कण का वेग अशून्य है। वेग को विस्थापन के लंबवत निर्देशित किया जाता है, जैसा कि बिन्दु उत्पाद का उपयोग करके स्थापित किया जा सकता है,

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} =[-y,x]\cdot [x,y]=-yx+xy=0\,$।

तथा त्वरण तो वेग का समय-अवकलज है,

$\mathbf {a} (t)={\frac {d\,\mathbf {v} (t)}{dt}}=[-x(t),-y(t)]=-\mathbf {r} (t)\,.$

त्वरण को अंदर की ओर, यानि घूर्णन के अक्ष की ओर निर्देशित किया जाता है । यह स्थिति सदिश के विपरीत और वेग सदिश के लंबवत होती है। इस अंतर्मुखी त्वरण को अभिकेन्द्री बल कहते हैं।

विभेदक ज्यामिति में

विभेदक ज्यामिति में, मात्राएँ अक्सर स्थानीय सहसंयोजक आधारों के संबंध में व्यक्त की जाती हैं, $\mathbf {e} _{i}$, जहां i आयामों की संख्या से अधिक होती है। एक सदिश $\mathbf {U}$ के घटक इस प्रकार अभिव्यक्ति होते हैं जो एक प्रतिपरिवर्ती टेन्सर क्षेत्र के रूप में रूपांतरित होते हैं, जैसा कि आइंस्टीन योग सम्मेलन का आह्वान करते हुए, अभिव्यक्ति $\mathbf {U} =U^{i}\mathbf {e} _{i}$ में दिखाया गया है। यदि हम एक प्रक्षेपवक्र के साथ इन घटकों के समय के अवकलज की गणना करना चाहते हैं, ताकि हमारे पास $\mathbf {U} (t)=U^{i}(t)\mathbf {e} _{i}(t)$ हो, तो हम एक नए प्रचालक ,$\delta$ अपरिवर्तनीय अवकलज को परिभाषित कर सकते हैं , जो कि प्रतिपरिवर्ती प्रदिश देना जारी रखेगा,

${\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}={\frac {dU^{i}}{dt}}+V^{j}\Gamma _{jk}^{i}U^{k}\\\end{aligned}}$

जहां $V^{j}={\frac {dx^{j}}{dt}}$ ($x^{j}$ के साथ jवाँ निर्देशांक है)

स्थानीय सहसंयोजक आधार में वेग के घटकों को पकड़ता है, और $\Gamma _{jk}^{i}$ समन्वय प्रणाली के लिए क्रिस्टोफेल प्रतीक हैं। ध्यान दें कि संकेतन में t पर स्पष्ट निर्भरता को दबा दिया गया है। तब हम लिख सकते हैं,

${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {U} }{dt}}={\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}$

साथ ही,

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {U} }{dt^{2}}}={\frac {\delta ^{2}U^{i}}{\delta t^{2}}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}$

सहपरिवर्ती अवकलज के संदर्भ में, $\nabla _{j}$, अपने पास है,

${\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}=V^{j}\nabla _{j}U^{i}\\\end{aligned}}$

अर्थशास्त्र में प्रयोग

अर्थशास्त्र में, विभिन्न आर्थिक चरों के विकास के कई सैद्धांतिक मॉडल निरंतर समय में निर्मित होते हैं और इसलिए समय अवकलजों को नियोजित करते हैं। एक स्थिति में एक स्टॉक और प्रवाह और उसका समय अवकलज, एक स्टॉक और प्रवाह शामिल है। उदाहरणों में शामिल:

• शुद्ध निश्चित निवेश का प्रवाह पूंजीगत स्टॉक का समय अवकलज है।
• माल निवेश का प्रवाह इन्वेंटरी के स्टॉक का समय अवकलज है।
• पैसे की आपूर्ति की वृद्धि दर पैसे की आपूर्ति से विभाजित पैसे की आपूर्ति का समय अवकलज है।

कभी-कभी एक प्रवाह चर का समय अवकलज एक मॉडल में प्रकट हो सकता है:

• आउटपुट (अर्थशास्त्र) की विकास दर आउटपुट के प्रवाह का समय अवकलज है जो आउटपुट से ही विभाजित होता है।
• श्रम बल की वृद्धि दर श्रम बल द्वारा विभाजित श्रम बल का समय अवकलज है।

और कभी-कभी एक चर का समय अवकलज दिखाई देता है, जो ऊपर के उदाहरणों के विपरीत, मुद्रा की इकाइयों में नहीं मापा जाता है:

• एक प्रमुख ब्याज दर का समय अवकलज दिखाई दे सकता है।
• मुद्रास्फीति की दर मूल्य स्तर की वृद्धि दर है - अर्थात, मूल्य स्तर के अवकलज को मूल्य स्तर से विभाजित करके।

यह भी देखें

• अंतर कलन
• विभेदीकरण के लिए संकेतन
• घूर्नन गति
• केन्द्राभिमुख शक्ति
• स्थानिक अवकलज
• लौकिक दर