आदर्श बहुफलक

अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के पॉइनकेयर बॉल मॉडल में एक आदर्श नियमित ऑक्टाहेड्रॉन (अनंत पर गोला नहीं दिखाया गया है)। इस आकृति के सभी द्वितल कोण समकोण होते हैं।

हाइपरबोलिक स्पेस के छोटा मॉडल में एक आदर्श विंशतिफलक का एनिमेशन

त्रि-आयामी अतिपरवलयिक ज्यामिति में, एक आदर्श बहुफलक एक उत्तल बहुफलक होता है जिसके सभी शीर्ष (ज्यामिति) आदर्श बिंदु होते हैं, आंतरिक से त्रि-आयामी अतिपरवलयिक स्थान के बजाय अनंत पर बिंदु होते हैं। इसे आदर्श बिंदुओं के परिमित सेट के उत्तल पतवार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन में इसके चेहरे (ज्यामिति) के रूप में आदर्श बहुभुज होते हैं, जो अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान की रेखाओं के साथ मिलते हैं।

प्लेटोनिक ठोस और आर्किमिडीयन सॉलिड्स के आदर्श संस्करण हैं, उनके अधिक परिचित यूक्लिडियन संस्करणों के समान कॉम्बीनेटरियल संरचना के साथ। कई समान हाइपरबोलिक मधुकोश हाइपरबोलिक स्पेस को इन आकृतियों की कोशिकाओं में विभाजित करते हैं, बहुत कुछ यूक्लिडियन स्पेस के क्यूब्स में परिचित विभाजन की तरह। हालांकि, सभी पॉलीहेड्रा को आदर्श पॉलीहेड्रा के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है - एक पॉलीहेड्रॉन केवल तभी आदर्श हो सकता है जब इसे यूक्लिडियन ज्यामिति में एक परिचालित क्षेत्र पर इसके सभी शीर्षों के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग करके, बहुपद समय में यह परीक्षण करना संभव है कि दिए गए पॉलीहेड्रॉन का एक आदर्श संस्करण है या नहीं।

प्रत्येक दो आदर्श पॉलीहेड्रा में समान संख्या में समान सतह क्षेत्र होते हैं, और लोबचेव्स्की समारोह का उपयोग करके एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन की मात्रा की गणना करना संभव है। एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन की सतह एक अतिशयोक्तिपूर्ण कई गुना बनाती है, जो एक पंचर वाले क्षेत्र के समान है, और इस तरह के कई गुना एक अद्वितीय आदर्श पॉलीहेड्रॉन की सतह बनाते हैं।

उदाहरण और प्रति उदाहरण

एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन को अतिपरवलयिक स्थान के आदर्श बिंदुओं के परिमित सेट के उत्तल पतवार के रूप में बनाया जा सकता है, जब भी बिंदु एक ही विमान पर नहीं होते हैं। परिणामी आकृति सभी बंद अर्ध-स्थान (ज्यामिति) | अर्ध-स्थानों का प्रतिच्छेदन है जिसमें दिए गए आदर्श बिंदु सीमा बिंदुओं के रूप में हैं। वैकल्पिक रूप से, किसी भी यूक्लिडियन उत्तल पॉलीहेड्रोन जिसमें एक परिचालित क्षेत्र है, को हाइपरबॉलिक स्पेस के लिए क्लेन मॉडल के रूप में गोले के इंटीरियर की व्याख्या करके एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन के रूप में पुनर्व्याख्या की जा सकती है। क्लेन मॉडल में, गोले से घिरा प्रत्येक यूक्लिडियन पॉलीहेड्रॉन एक अतिशयोक्तिपूर्ण पॉलीहेड्रॉन का प्रतिनिधित्व करता है, और प्रत्येक यूक्लिडियन पॉलीहेड्रॉन, जिसके कोने गोले पर होते हैं, एक आदर्श हाइपरबोलिक पॉलीहेड्रॉन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक आइसोगोनल आकृति उत्तल पॉलीहेड्रॉन (प्रत्येक शीर्ष को हर दूसरे शीर्ष पर ले जाने वाली समरूपता के साथ) को एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, जो इसकी समरूपता का सम्मान करता है, क्योंकि इसमें पॉलीहेड्रॉन के समरूपता के केंद्र में केंद्रित गोलाकार क्षेत्र होता है। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि प्लेटोनिक ठोस और आर्किमिडीयन ठोस सभी के आदर्श रूप हैं। हालांकि, पॉलीहेड्रा का एक और अत्यधिक सममित वर्ग, कैटलन ठोस, सभी के पास आदर्श रूप नहीं हैं। आर्किमिडीयन ठोसों के लिए कैटलन ठोस दोहरे पॉलीहेड्रा हैं, और किसी भी चेहरे को किसी अन्य चेहरे पर ले जाने वाली समरूपता है। कैटलन ठोस जो आदर्श नहीं हो सकते हैं उनमें समचतुर्भुज द्वादशफ़लक और त्रिकिस चतुष्फलक शामिल हैं। ट्राईकिस टेट्राहेड्रॉन से वर्टिकल के कुछ ट्रिपल्स को हटाने से शेष वर्टिकल कई कनेक्टेड कंपोनेंट्स में अलग हो जाते हैं। जब ऐसा कोई तीन-शीर्ष पृथक्करण मौजूद नहीं होता है, तो एक बहुफलक को k-शीर्ष-जुड़ा हुआ ग्राफ़|4-जुड़ा हुआ कहा जाता है। प्रत्येक 4-कनेक्टेड पॉलीहेड्रॉन का एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन के रूप में प्रतिनिधित्व होता है; उदाहरण के लिए यह टेट्राकिस हेक्साहेड्रोन के लिए सही है, एक और कैटलन ठोस। ट्रंकेशन (ज्यामिति) एक क्यूब से एक एकल शीर्ष एक साधारण पॉलीटॉप पॉलीहेड्रॉन (प्रति शीर्ष तीन किनारों वाला एक) उत्पन्न करता है जिसे एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन के रूप में महसूस नहीं किया जा सकता है: मिकेल के छह सर्किल प्रमेय द्वारा, यदि क्यूब के आठ में से सात कोने आदर्श हैं, आठवां शीर्ष भी आदर्श है, और इसलिए इसे छोटा करके बनाए गए शीर्ष आदर्श नहीं हो सकते। प्रति शीर्ष चार किनारों वाले पॉलीहेड्रा भी मौजूद हैं जिन्हें आदर्श पॉलीहेड्रा के रूप में महसूस नहीं किया जा सकता है। यदि एक साधारण पॉलीटॉप पॉलीहेड्रॉन (सभी चेहरों वाले त्रिकोणों के साथ) में चार और छह (सम्मिलित) के बीच सभी चरम डिग्री हैं, तो इसका एक आदर्श प्रतिनिधित्व है, लेकिन त्रिकिस टेट्राहेड्रॉन सरल और गैर-आदर्श है, और 4-नियमित गैर-आदर्श उदाहरण ऊपर से पता चलता है कि गैर-सरल पॉलीहेड्रा के लिए, इस सीमा में सभी डिग्री होने से आदर्श प्राप्ति की गारंटी नहीं होती है।

गुण

माप

प्रत्येक आदर्श बहुफलक के साथ $n$ कोने में एक सतह होती है जिसे उप-विभाजित किया जा सकता है $2n-4$ आदर्श त्रिकोण, प्रत्येक क्षेत्र के साथ $\pi$. इसलिए, सतह क्षेत्र बिल्कुल है $(2n-4)\pi$.

एक आदर्श बहुफलक में, सभी फलक कोण और शीर्ष पर सभी ठोस कोण शून्य होते हैं। हालांकि, एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन के किनारों पर डायहेड्रल कोण गैर-शून्य हैं। प्रत्येक शीर्ष पर, डायहेड्रल कोणों के पूरक कोण उस शीर्ष पर आपतित होते हैं जो बिल्कुल बराबर होते हैं $2\pi$. इस तथ्य का उपयोग एक नियमित या आइसोटॉक्सल आंकड़ा के लिए खुद डायहेड्रल कोणों की गणना करने के लिए किया जा सकता है। किनारा-सममित आदर्श पॉलीहेड्रॉन (जिसमें ये सभी कोण समान हैं), यह गणना करके कि प्रत्येक शीर्ष पर कितने किनारे मिलते हैं: एक आदर्श नियमित टेट्राहेड्रॉन, घन या डोडेकाहेड्रॉन, प्रति शीर्ष तीन किनारों के साथ, डायहेड्रल कोण हैं $60^{\circ }=\pi /3=\pi (1-{\tfrac {2}{3}})$, एक आदर्श नियमित ऑक्टाहेड्रॉन या cuboctahedron, चार किनारों के प्रति शीर्ष के साथ, डायहेड्रल कोण हैं $90^{\circ }=\pi /2=\pi (1-{\tfrac {2}{4}})$, और एक आदर्श नियमित आईकोसाहेड्रॉन, प्रति शीर्ष पांच किनारों के साथ, डायहेड्रल कोण हैं $108^{\circ }=3\pi /5=\pi (1-{\tfrac {2}{5}})$. एक आदर्श चतुर्पाश्वीय का आयतन क्लॉसन समारोह या इसके डायहेड्रल कोणों के लोबचेवस्की फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और एक मनमाना आदर्श पॉलीहेड्रॉन का आयतन तब इसे टेट्राहेड्रा में विभाजित करके और टेट्राहेड्रा के संस्करणों को जोड़ कर पाया जा सकता है। पॉलीहेड्रॉन का डीएचएन इनवेरिएंट आमतौर पर पॉलीहेड्रॉन के किनारों की लंबाई और डायहेड्रल कोणों को मिलाकर पाया जाता है, लेकिन एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन के मामले में किनारों की लंबाई अनंत होती है। इस कठिनाई से प्रत्येक शीर्ष पर ट्रंकेशन (ज्यामिति) के लिए राशिफल का उपयोग करके, प्रत्येक किनारे के साथ एक परिमित लंबाई छोड़कर बचा जा सकता है। परिणामी आकृति अपने आप में एक पॉलीहेड्रॉन नहीं है क्योंकि काटे गए चेहरे सपाट नहीं होते हैं, लेकिन इसके किनारे की लंबाई सीमित होती है, और इसके डीएचएन इनवेरिएंट की गणना सामान्य तरीके से की जा सकती है, नए किनारों की अनदेखी करते हुए जहां काटे गए चेहरे पॉलीहेड्रॉन के मूल चेहरों से मिलते हैं . जिस तरह से Dehn invariant को परिभाषित किया गया है, और एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन के एक शीर्ष पर मिलने वाले डायहेड्रल कोणों की बाधाओं के कारण, इस गणना का परिणाम वर्टिकल को छोटा करने के लिए उपयोग किए जाने वाले होरोस्फीयर की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

संयोजन संरचना

जैसा Ernst Steinitz (1928) सिद्ध किया गया है, किसी भी आदर्श पॉलीहेड्रॉन का अधिकतम स्वतंत्र सेट (गैर-निकटवर्ती शीर्षों का सबसे बड़ा संभव उपसमुच्चय) में पॉलीहेड्रॉन के अधिकतम आधे कोने होने चाहिए। यह ठीक आधा ही हो सकता है जब कोने को दो समान आकार के स्वतंत्र सेटों में विभाजित किया जा सकता है, ताकि पॉलीहेड्रॉन का ग्राफ एक संतुलित द्विदलीय ग्राफ हो, क्योंकि यह एक आदर्श घन के लिए है। अधिक दृढ़ता से, किसी भी आदर्श पॉलीहेड्रॉन का ग्राफ ग्राफ क्रूरता है|1-कठिन, जिसका अर्थ है, किसी के लिए भी $k$, हटाना $k$ ग्राफ़ से शिखर सबसे अधिक निकलते हैं $k$ जुड़े घटक। उदाहरण के लिए, समचतुर्भुज द्वादशफलक द्विदलीय है, लेकिन इसके आधे से अधिक शीर्षों के साथ एक स्वतंत्र समुच्चय है, और त्रियाकिस चतुष्फलक के ठीक आधे शीर्षों का एक स्वतंत्र समुच्चय है, लेकिन यह द्विदलीय नहीं है, इसलिए न तो एक आदर्श बहुतल के रूप में महसूस किया जा सकता है।

लक्षण वर्णन और पहचान

सभी उत्तल पॉलीहेड्रा दहनशील रूप से आदर्श पॉलीहेड्रा के समकक्ष नहीं हैं। रेने डेसकार्टेस ने अपनी c.1630 पांडुलिपि डी सोलिडोरम एलिमेंटिस में अंकित पॉलीहेड्रा के ज्यामितीय लक्षण वर्णन का असफल प्रयास किया था। यूक्लिडियन उत्तल पॉलीहेड्रा की विशेषता वाले स्टीनिट्ज़ के प्रमेय के अनुरूप, आदर्श पॉलीहेड्रा के संयोजन के लक्षण वर्णन को खोजने का प्रश्न किसके द्वारा उठाया गया था? Jakob Steiner (1832); द्वारा एक संख्यात्मक (संयोजन के बजाय) लक्षण वर्णन प्रदान किया गया था Hodgson, Rivin & Smith (1992). उनका लक्षण वर्णन इस तथ्य पर आधारित है कि एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन के डायहेड्रल कोण, एक आदर्श शीर्ष के लिए घटना, पूरक कोण होना चाहिए जो कि सटीक रूप से योग हो $2\pi$, जबकि पॉलीहेड्रॉन की सतह पर किसी भी जॉर्डन वक्र द्वारा पार किए गए पूरक कोण, जिसके दोनों किनारों पर एक से अधिक शीर्ष हैं, बड़ा होना चाहिए। उदाहरण के लिए, आदर्श घन के लिए, डायहेड्रल कोण हैं $\pi /3$ और उनके पूरक हैं $2\pi /3$. एक शीर्ष पर तीन पूरक कोणों का योग होता है $2\pi$ लेकिन दो विपरीत चेहरों के बीच एक वक्र द्वारा पार किए गए चार कोणों का योग होता है $8\pi /3>2\pi$, और अन्य वक्र इन कोणों को और भी बड़े योगों के साथ पार करते हैं। Hodgson, Rivin & Smith (1992) दिखाएँ कि एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन के बराबर है अगर और केवल अगर समान गुणों के साथ इसके किनारों पर संख्याएँ निर्दिष्ट करना संभव है: ये संख्याएँ सभी के बीच में हैं $0$ तथा $\pi$, वे यहां तक ​​पहुंचते हैं $2\pi$ प्रत्येक शीर्ष पर, और वे अधिक से अधिक जोड़ते हैं $2\pi$ दोहरे ग्राफ के प्रत्येक गैर-चेहरे चक्र पर। जब ऐसा असाइनमेंट मौजूद होता है, तो एक अद्वितीय आदर्श पॉलीहेड्रॉन होता है, जिसके डायहेड्रल कोण इन संख्याओं के पूरक होते हैं। इस लक्षण वर्णन के परिणामस्वरूप, एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन के रूप में प्राप्ति को एक रेखीय कार्यक्रम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसमें घातीय रूप से कई बाधाएं होती हैं (प्रत्येक गैर-चेहरे के चक्र के लिए एक), और दीर्घवृत्त एल्गोरिथम का उपयोग करके बहुपद समय में परीक्षण किया जाता है। द्वारा एक अधिक मिश्रित लक्षण वर्णन प्रदान किया गया था Dillencourt & Smith (1995) साधारण पॉलीटॉप के विशेष मामले के लिए, पॉलीहेड्रा केवल तीन चेहरों और तीन किनारों के साथ प्रत्येक (आदर्श) शीर्ष पर मिलते हैं। उनके चरित्र-चित्रण के अनुसार, एक साधारण पॉलीहेड्रॉन आदर्श या अवर्णनीय है यदि और केवल अगर दो स्थितियों में से एक मिलता है: या तो पॉलीहेड्रॉन का ग्राफ एक द्विदलीय ग्राफ है और इसका दोहरा ग्राफ k-वर्टेक्स-कनेक्टेड ग्राफ है। 4-कनेक्टेड, या यह 1-सुपरटफ ग्राफ है। इस स्थिति में, 1-सुपरटफ होना ग्राफ की कठोरता का एक प्रकार है; इसका मतलब है कि, हर सेट के लिए $S$ ग्राफ के एक से अधिक शीर्षों को हटाना $S$ ग्राफ से कई जुड़े हुए घटक निकलते हैं जो कड़ाई से छोटे होते हैं $|S|$. इस लक्षण वर्णन के आधार पर उन्हें आदर्श पॉलीहेड्रा के रूप में सरल पॉलीहेड्रा की वास्तविकता का परीक्षण करने के लिए एक रैखिक समय दहनशील एल्गोरिदम मिला।

मधुकोश

Honeycombs of ideal regular polyhedra

order-6 tetrahedral

order-6 cubic

order-4 octahedral

order-6 dodecahedral

क्योंकि आदर्श नियमित टेट्राहेड्रॉन, क्यूब, ऑक्टाहेड्रॉन और डोडेकाहेड्रॉन सभी में डायहेड्रल कोण होते हैं जो पूर्णांक अंश होते हैं $2\pi$, वे सभी नियमित मधुकोश (ज्यामिति) बनाते हुए, अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान को टाइल कर सकते हैं।इसमें वे यूक्लिडियन नियमित ठोसों से भिन्न होते हैं, जिनमें से केवल घन ही स्थान खाली कर सकता है।आदर्श टेट्राहेड्रॉन, क्यूब, ऑक्टाहेड्रॉन और डोडेकाहेड्रॉन क्रमशः गण - 6 चतुष्फलकीय मधुकोश, क्रम - 6 घन मधुकोष, क्रम - 4 अष्टफलकीय मधुकोश और क्रम-6 डोडेकाहेड्रल मधुकोश बनाते हैं; यहाँ क्रम प्रत्येक किनारे पर मिलने वाली कोशिकाओं की संख्या को संदर्भित करता है। हालांकि, आदर्श आईकोसाहेड्रॉन उसी तरह से अंतरिक्ष को टाइल नहीं करता है। एपस्टीन-पेननर अपघटन, का निर्माण D. B. A. Epstein and R. C. Penner (1988), किसी भी अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना|कस्पेड हाइपरबोलिक 3-मैनिफ़ोल्ड को आदर्श पॉलीहेड्रा में विघटित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, और इन आदर्श पॉलीहेड्रा को एक साथ चिपकाने के परिणाम के रूप में कई गुना प्रतिनिधित्व करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। प्रत्येक कई गुना जिसे इस तरह से दर्शाया जा सकता है, में प्रतिनिधित्व की एक सीमित संख्या होती है। कई गुना का सार्वभौमिक आवरण उसी अपघटन को प्राप्त करता है, जो आदर्श पॉलीहेड्रा का मधुकोश बनाता है। पुच्छल कई गुना के उदाहरण, इस तरह से मधुकोश की ओर अग्रसर होते हैं, स्वाभाविक रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण लिंक के गाँठ पूरक के रूप में उत्पन्न होते हैं, जिसमें लिंक के प्रत्येक घटक के लिए एक पुच्छ होता है। उदाहरण के लिए, आकृति-आठ गाँठ का पूरक क्रम-6 टेट्राहेड्रल मधुकोश के साथ इस प्रकार जुड़ा हुआ है, और बोरोमियन बजता है का पूरक उसी तरह से ऑर्डर -4 ऑक्टाहेड्रल हनीकॉम्ब के साथ जुड़ा हुआ है। ये दो मधुकोश, और तीन अन्य आदर्श क्यूबोक्टाहेड्रोन, त्रिकोणीय प्रिज्म और कटा हुआ टेट्राहेड्रॉन का उपयोग करते हुए, बियांची समूहों के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं, और बियांची समूहों के उपसमूहों द्वारा अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के भागफल के रूप में गठित पुच्छल मैनिफोल्ड से आते हैं। समान मैनिफोल्ड की व्याख्या लिंक पूरक के रूप में भी की जा सकती है।

भूतल कई गुना

एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन की सतह (इसके कोने शामिल नहीं हैं) एक समान द्वि-आयामी अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के साथ, कई गुना, स्थलीय रूप से एक छिद्रित क्षेत्र के बराबर होती है; हाइपरबोलिक स्पेस में इसकी एम्बेडिंग में सतह की तहें सतह की आंतरिक ज्यामिति में सिलवटों के रूप में पता लगाने योग्य नहीं हैं। क्योंकि इस सतह को आदर्श त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है, इसका कुल क्षेत्रफल परिमित है। इसके विपरीत, और अलेक्जेंड्रोव की विशिष्टता प्रमेय के अनुरूप, एक समान अतिपरवलयिक ज्यामिति और परिमित क्षेत्र के साथ हर द्वि-आयामी कई गुना, जो कि एक अति-छिद्रित क्षेत्र के संयोजन के बराबर है, को एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन की सतह के रूप में महसूस किया जा सकता है। (अलेक्जेंड्रोव के प्रमेय के साथ, ऐसी सतहों को आदर्श डायहेड्रॉन को शामिल करने की अनुमति दी जानी चाहिए।) इस दृष्टिकोण से, आदर्श पॉलीहेड्रा के सिद्धांत के अनुरूप मानचित्रों के असतत अनुमानों के साथ घनिष्ठ संबंध हैं। आदर्श पॉलीहेड्रा की सतहों को अधिक सारगर्भित रूप से भी माना जा सकता है क्योंकि उनके किनारों के साथ आइसोमेट्री द्वारा आदर्श त्रिकोणों को एक साथ जोड़कर टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान बनाए जाते हैं। ऐसी हर सतह के लिए, और हर बंद वक्र जो किसी अन्य को अलग किए बिना पॉलीहेड्रॉन (एक या अधिक बार) के एक शीर्ष के चारों ओर लपेटता नहीं है, सतह पर एक अद्वितीय geodesic होता है जो दिए गए वक्र के लिए होमोटोपिक होता है। इस संबंध में, आदर्श पॉलीहेड्रा यूक्लिडियन पॉलीहेड्रा (और उनके यूक्लिडियन क्लेन मॉडल से) से भिन्न होते हैं: उदाहरण के लिए, एक यूक्लिडियन क्यूब पर, कोई भी जियोडेसिक एक गैर-घटना वाले किनारे को पार करने से पहले, अधिकतम दो किनारों को एक ही शीर्ष पर लगातार पार कर सकता है। , लेकिन आदर्श घन पर भूगर्भ विज्ञान इस तरह सीमित नहीं है।

यह भी देखें

• कैनोनिकल पॉलीहेड्रॉन, एक पॉलीहेड्रॉन जिसमें प्रत्येक किनारा एक आम क्षेत्र के लिए स्पर्शरेखा है

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• नियमित अष्टफलक
• आर्किमिडीज़ ठोस
• बहुपदी समय फलन
• परिबद्ध क्षेत्र
• अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति
• वर्टेक्स (ज्यामिति)
• चेहरा (ज्यामिति)
• अतिशयोक्तिपूर्ण मधुकोश
• आधा स्थान (ज्यामिति)
• टर्नरी टेट्राहेड्रा की
• समचतुर्भुज द्वादशफलक
• के-वर्टेक्स-कनेक्टेड ग्राफ
• द्विपक्षीय ग्राफ
• अधिक कोण
• रैखिक कार्यक्रम
• दीर्घवृत्त एल्गोरिथ्म
• दोहरा ग्राफ
• आंकड़ा-आठ गाँठ
• विविध

संदर्भ

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