सांख्यिकीय यांत्रिकी

भौतिकी में, सांख्यिकीय यांत्रिकी एक गणितीय रूपरेखा है जो सूक्ष्म संस्थाओं की बड़े समुच्चयो के लिए सांख्यिकी और प्रायिकता सिद्धांत को लागू करता है। यह किसी भी प्राकृतिक नियम को ग्रहण या अभिगृहीत नहीं करता है, बल्कि इस तरह के समुच्चय की प्रतिक्रिया से प्रकृति के स्थूल गतिविधि की व्याख्या करता है।

उत्कृष्ट ऊष्मप्रवैगिकी के विकास से सांख्यिकीय यांत्रिकी उत्पन्न हुई, एक ऐसा क्षेत्र जिसके लिए यह स्थूल भौतिक गुणों की व्याख्या करने में सफल रहा - जैसे तापमान, दबाव और ताप क्षमता - सूक्ष्म मापदंडों के संदर्भ में जो औसत मूल्यों के बारे में रूपांतरित करते हैं और प्रायिकता विभाजन की विशेषता है। उन्होंने सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी और सांख्यिकीय भौतिकी के क्षेत्र की स्थापना की।

सांख्यिकीय यांत्रिकी के क्षेत्र की स्थापना का श्रेय सामान्यतः तीन भौतिकविदों को दिया जाता है:

• लुडविग बोल्ट्जमैन, जिन्होंने सूक्ष्मवस्था के संग्रह के संदर्भ में एन्ट्रापी की मौलिक व्याख्या विकसित की।
• जेम्स क्लर्क मैक्सवेल, जिन्होंने सदृश अवस्थाओ के प्रायिकता विभाजन के मॉडल विकसित किए।
• योशिय्याह विलार्ड गिब्स, जिन्होंने 1884 में क्षेत्र का नाम परिणत किया।

जबकि उत्कृष्ट ऊष्मप्रवैगिकी मुख्य रूप से ऊष्मप्रवैगिकी समतुल्यता से संबंधित है, सांख्यिकीय यांत्रिकी को गैर-समतुल्यता सांख्यिकीय यांत्रिकी में सूक्ष्म रूप से अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं की गति के विषयों पर लागू किया गया है जो असमतुल्यता से प्रेरित हैं। ऐसी प्रक्रियाओं के उदाहरणों में रासायनिक प्रतिक्रियाएं और कणों और ऊष्मा का प्रवाह सम्मिलित है। अस्थिरता-अपव्यय प्रमेय गैर-समतुल्यता सांख्यिकीय यांत्रिकी को लागू करने से प्राप्त मौलिक ज्ञान है जो कई कणों की प्रणाली में स्थिर अवस्था प्रवाह की सरलतम गैर-समतुल्यता स्थिति का अध्ययन करता है।

सिद्धांत: यांत्रिकी और समुच्चय

मुख्य लेख ːयांत्रिकी और सांख्यिकीय समुच्चय

भौतिकी में, सामान्यतः दो प्रकार के यांत्रिकी की जांच की जाती है:उत्कृष्ट यांत्रिकी और क्वांटम यांत्रिकी। दोनों प्रकार के यांत्रिकी के लिए, मानक गणितीय दृष्टिकोण दो अवधारणाओं पर विचार करना है:

• एक निश्चित समय पर यांत्रिक प्रणाली की पूर्ण स्थिति, गणितीय रूप से एक चरण बिन्दु (उत्कृष्ट यांत्रिकी) या एक शुद्ध क्वांटम अवस्था वेक्टर (क्वांटम यांत्रिकी) के रूप में कूटबद्ध है।
• गति का एक समीकरण जो अवस्था को समय में आगे बढ़ाता है: हैमिल्टन के समीकरण या श्रोडिंगर समीकरण (क्वांटम यांत्रिकी)।

इन दो अवधारणाओं का उपयोग करके, किसी अन्य समय, अतीत या भविष्य में अवस्था की गणना सैद्धांतिक रूप से की जा सकती है। हालांकि, इन सिद्धांतों और दैनिक जीवन के अनुभवों के बीच एक संबंध नहीं है, क्योंकि हमें यह आवश्यक नहीं लगता (न ही सैद्धांतिक रूप से संभव है) सूक्ष्म स्तर पर समुचित रूप से जानने के लिए कि मानव स्तर पर प्रक्रियाओं को पूरा करते समय प्रत्येक अणु की एक साथ स्थिति और वेग (उदाहरण के लिए, रासायनिक प्रतिक्रिया करते समय)। सांख्यिकीय यांत्रिकी यांत्रिकी के नियमों और अपूर्ण ज्ञान के व्यावहारिक अनुभव के बीच इस वियोजन को पूर्ण करती है, इस बारे में कुछ अनिश्चितता जोड़कर कि प्रणाली किस स्थिति में है।

जबकि सामान्य यांत्रिकी केवल एक अवस्था के गतिविधि पर विचार करता है, सांख्यिकीय यांत्रिकी सांख्यिकीय समेकन (गणितीय भौतिकी) का परिचय देता है, जो विभिन्न अवस्थाों में प्रणाली की आभासी, स्वतंत्र प्रतियों का एक बड़ा संग्रह है। सांख्यिकीय समुच्चय प्रणाली के सभी संभावित अवस्थाों पर एक प्रायिकता विभाजन है। उत्कृष्ट सांख्यिकीय यांत्रिकी में, समुच्चय चरण बिंदुओं पर एक प्रायिकता विभाजन है (साधारण यांत्रिकी में एकल चरण बिंदु के विपरीत), सामान्यतः विहित निर्देशांक अक्षों के साथ एक चरण बिन्दु में विभाजन के रूप में दर्शाया जाता है। क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी में, समुच्चय शुद्ध अवस्थाों पर प्रायिकता विभाजन है, और घनत्व मैट्रिक्स के रूप में संक्षिप्त रूप से संक्षेपित किया जा सकता है।

प्रायिकताओं के लिए सदैव की तरह, समुच्चय की अलग-अलग तरीकों से व्याख्या किया जा सकता है:

• विभिन्न संभावित अवस्थाों का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक समुच्चय लिया जा सकता है जो एक प्रणाली में हो सकता है ज्ञानात्मक प्रायिकता, ज्ञान का एक रूप), या

• समुच्चय के भाग को स्वतंत्र प्रणालियों पर दोहराए गए प्रयोगों में प्रणालियों की अवस्थाओं के रूप में समझा जा सकता है जो एक समान लेकिन अपूर्ण रूप से नियंत्रित तरीके (अनुभवजन्य प्रायिकता) में तैयार किए गए हैं, अनंत संख्या में परीक्षणों की सीमा में।

ये दो अर्थ कई उद्देश्यों के लिए समान हैं, और इस लेख में एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जाएंगे।

हालांकि प्रायिकता की व्याख्या की जाती है, समेकन में प्रत्येक अवस्था गति के समीकरण के अनुसार समय के साथ विकसित होता है। इस प्रकार, समेकन स्वयं (अवस्थाों पर प्रायिकताविभाजन) भी विकसित होता है, क्योंकि समेकन में आभासी प्रणाली निरन्तर एक अवस्था छोड़ देती है और दूसरे में प्रवेश करता है। समुच्चय विकास लिउविले के प्रमेय (उत्कृष्ट यांत्रिकी) या वॉन न्यूमैन समीकरण (क्वांटम यांत्रिकी) द्वारा दिया गया है। इन समीकरणों को केवल गति के यांत्रिक समीकरण के अनुप्रयोग द्वारा अलग-अलग प्रत्येक आभासी प्रणाली में सम्मिलित किया जाता है, जिसमें आभासी प्रणाली की प्रायिकता समय के साथ संरक्षित होती है क्योंकि यह एक अवस्था से दूसरे अवस्था में विकसित होती है।

समुच्चय का एक विशेष वर्ग वे समूह हैं जो समय के साथ विकसित नहीं होते हैं। इन समूहों को समतुल्यता समुच्चय के रूप में जाना जाता है और उनकी स्थिति को सांख्यिकीय समतुल्यता के रूप में जाना जाता है। सांख्यिकीय समतुल्यता तब होता है, जब समुच्चय में प्रत्येक अवस्था के लिए, समुच्चय में उसके भविष्य और पूर्व की सभी अवस्था सम्मिलित होती हैं, जिसमें उस अवस्था में होने की प्रायिकता के बराबर प्रायिकताएं होती हैं। पृथक प्रणालियों के समतुल्यता समेकन का अध्ययन सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी का केंद्र है। गैर-समतुल्यता सांख्यिकीय यांत्रिकी समेकन के अधिक सामान्य स्थितियो को संबोधित करती है जो समय के साथ बदलती है, और/या गैर-पृथक प्रणालियों के समेकन।

सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी

सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी (जिसे समतुल्यता सांख्यिकीय यांत्रिकी के रूप में भी जाना जाता है) का प्राथमिक लक्ष्य सामग्री के उत्कृष्ट ऊष्मप्रवैगिकी को उनके घटक कणों के गुणों और उनके बीच की परस्पर क्रिया के संदर्भ में प्राप्त करना है। दूसरे शब्दों में, सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी ऊष्मागतिक समतुल्यता में सामग्री के स्थूल गुणों और सामग्री के अंदर होने वाले सूक्ष्म गतिविधि और गति के बीच एक संबंध प्रदान करती है।

जबकि सांख्यिकीय यांत्रिकी में गतिशीलता सम्मिलित है, यहाँ ध्यान सांख्यिकीय समतुल्यता (स्थिर अवस्था) पर केंद्रित है। सांख्यिकीय समतुल्यता का तात्पर्य यह नहीं है कि कणों ने गति करना बंद कर दिया है (यांत्रिक समतुल्यता), बल्कि, केवल यह कि समुच्चय विकसित नहीं हो रहा है।

मौलिक अभिधारणा

एक पृथक प्रणाली के साथ सांख्यिकीय समतुल्यता के लिए एक पर्याप्त स्थिति (लेकिन आवश्यक नहीं) स्थिति यह है कि प्रायिकता विभाजन केवल संरक्षित गुणों (कुल ऊर्जा, कुल कण संख्या, आदि) का एक कार्य है। ऐसे कई अलग-अलग समतुल्यता समुच्चय हैं जिन पर विचार किया जा सकता है, और उनमें से केवल कुछ ऊष्मागतिक के अनुरूप हैं। यह प्रेरित करने के लिए अतिरिक्त अवधारणाएँ आवश्यक हैं कि किसी दिए गए प्रणाली के समुच्चय का एक या दूसरा रूप क्यों होना चाहिए।

कई पाठ्यपुस्तकों में पाया जाने वाला एक सामान्य तरीका यह है कि समरूप को प्राथमिकता प्रायिकता अभिधारणा के रूप में लिया जाए। यह अभिधारणा बताती है कि

समुचित ज्ञात ऊर्जा और समुचित ज्ञात संरचना के साथ एक पृथक प्रणाली के लिए, प्रणाली को उस ज्ञान के अनुरूप किसी भी सूक्ष्मवस्था (सांख्यिकीय यांत्रिकी) में समान प्रायिकता के साथ पाया जा सकता है।

इसलिए समान प्राथमिकता प्रायिकता अभिधारणा नीचे वर्णित सूक्ष्म-विहित समेकन के लिए एक प्रेरणा प्रदान करती है। समान प्राथमिकता प्रायिकता अभिधारणा के पक्ष में विभिन्न तर्क हैं:

• एर्गोडिक परिकल्पना: एक एर्गोडिक प्रणाली वह है जो समय के साथ सभी अभिगम्य अवस्थाओं का पता लगाने के लिए विकसित होती है: वे सभी जिनमें समान ऊर्जा और संरचना होती है। एक एर्गोडिक प्रणाली में, सूक्ष्म-विहित समुच्चय निश्चित ऊर्जा के साथ एकमात्र संभव समतुल्यता है। इस दृष्टिकोण की सीमित प्रयोज्यता है, क्योंकि अधिकांश प्रणालियाँ एर्गोडिक नहीं हैं।
• उदासीनता का सिद्धांत: किसी और जानकारी के अभाव में, हम प्रत्येक संगत स्थिति को केवल समान प्रायिकताएँ प्रदान कर सकते हैं।
• अधिकतम एन्ट्रापी ऊष्मप्रवैगिकी: उदासीनता के सिद्धांत का एक अधिक विस्तृत विवरण बताता है कि सही समुच्चय वह समुच्चय है जो ज्ञात जानकारी के अनुकूल है और जिसमें सबसे बड़ा गिब्स एंट्रॉपी (सूचना एन्ट्रापी) है।

सांख्यिकीय यांत्रिकी के लिए अन्य मौलिक सिद्धांत भी प्रस्तावित किए गए हैं। उदाहरण के लिए, हाल के अध्ययनों से पता चलता है कि सांख्यिकीय यांत्रिकी के सिद्धांत को समान प्राथमिकता प्रायिकता अभिधारणा के बिना बनाया जा सकता है। इस तरह की एक औपचारिकता मौलिक उष्मागतिकीय संबंध पर आधारित है, साथ ही निम्नलिखित अभिधारणाओं के समूह के साथ:

1. प्रायिकता घनत्व फलन समुच्चय पैरामीटर और यादृच्छिक चर के कुछ फलन के समानुपाती होता है।
2. थर्मोडायनामिक अवस्था फलन को यादृच्छिक चर के समुच्चय औसत द्वारा वर्णित किया गया है।
3. गिब्स एंट्रॉपी विधि द्वारा परिभाषित एंट्रॉपी उत्कृष्ट थर्मोडायनामिक में परिभाषित एन्ट्रॉपी के साथ अनुरूप होता है।

जहां तीसरे अभिधारणा को निम्नलिखित द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

3. अनंत तापमान पर, सभी सूक्ष्म-अवस्था की समान प्रायिकता होती है।

तीन ऊष्मागतिक समुच्चय

मुख्य लेख: समुच्चय (गणितीय भौतिकी), सूक्ष्म-विहित समुच्चय, कैननिकल समुच्चय और बृहत समुच्चय

साधारण रूप के साथ तीन समतुल्यता समेकन होते हैं जिन्हें परिमित मात्रा के अंदर बंधे किसी भी पृथक प्रणाली के लिए परिभाषित किया जा सकता है। ये सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी में सबसे अधिक बार चर्चित समूह हैं। स्थूल सीमा (नीचे परिभाषित) में वे सभी उत्कृष्ट ऊष्मप्रवैगिकी के अनुरूप हैं।

सूक्ष्म-विहित समुच्चय

समुचित रूप से दी गई ऊर्जा और निश्चित संरचना (कणों की समुचित संख्या) के साथ एक प्रणाली का वर्णन करता है। सूक्ष्म-विहित समुच्चय में प्रत्येक संभावित स्थिति की समान प्रायिकता होती है जो उस ऊर्जा और संरचना के अनुरूप होती है।

कैननिकल समुच्चय

निश्चित संरचना की एक प्रणाली का वर्णन करता है जो एक समुचित ऊष्मागतिक तापमान के ऊष्मा प्रक्षालन के साथ तापीय समतुल्यता में है। विहित समुच्चय में अलग-अलग ऊर्जा लेकिन समान संरचना वाली अवस्था मे होते हैं; समुच्चय में अलग-अलग अवस्थाओ को उनकी कुल ऊर्जा के आधार पर अलग-अलग प्रायिकताएँ दी जाती हैं।

बृहत विहित समुच्चय

गैर-निश्चित संरचना (अनिश्चित कण संख्या) वाली एक प्रणाली का वर्णन करता है जो ऊष्मागतिक संग्रह के साथ ऊष्मीय और रासायनिक समतुल्यता में है। संग्रह में विभिन्न प्रकार के कणों के लिए समुचित तापमान और समुचित रासायनिक क्षमता होती है। बृहत विहित समुच्चय में अलग-अलग ऊर्जा और अलग-अलग कणों की संख्या होती है; समुच्चय में अलग-अलग अवस्थाों को उनकी कुल ऊर्जा और कुल कण संख्या के आधार पर अलग-अलग प्रायिकताएं दी जाती हैं।

कई कणों (ऊष्मागतिक सीमा) वाले प्रणाली के लिए, ऊपर सूचीबद्ध सभी तीन समेकन समान गतिविधि देते हैं। यह तो केवल गणितीय योग्यता की बात है जो समुच्चय प्रयोग किया जाता है। समुच्चय की समानता के बारे में गिब्स प्रमेय माप संवृति की संकेन्द्रण के सिद्धांत में विकसित किया गया था, जिसमें कार्यात्मक विश्लेषण से लेकर कृत्रिम प्रज्ञान और बड़ी डेटा प्रौद्योगिकी के तरीकों तक विज्ञान के कई क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं।

महत्वपूर्ण स्थितियाँ जहां ऊष्मागतिक समुच्चय समान परिणाम नहीं देते हैं उनमें सम्मिलित हैं:

• सूक्ष्म प्रणाली।
• एक चरण संक्रमण पर बड़ी प्रणालियाँ।
• दीर्घकालिक की परस्पर क्रिया के साथ बड़ी प्रणाली।

इन स्थितियो में सही ऊष्मप्रवैगिकी समुच्चय चुना जाना चाहिए क्योंकि न केवल अस्थिरता के आकार में, बल्कि कणों के विभाजन जैसे औसत मात्रा में भी इन समुच्चयओं के बीच देखने योग्य अंतर हैं। सही समुच्चय वह है जो उस तरीके से अनुरूप है जिस तरह से प्रणाली को तैयार किया गया है और इसकी विशेषता है- दूसरे शब्दों में, समुच्चय जो उस प्रणाली के बारे में ज्ञान को दर्शाता है।

ऊष्मागतिक समुच्चय

	सूक्ष्म-विहित	कैनोनिकल	बृहत् विहित
निश्चित चर	$E,N,V$	$T,N,V$	$T,\mu ,V$
सूक्ष्म विशेषताएं	सूक्ष्म अवस्था की संख्या	विहित विभाजन फलन	बृहत विभाजन फलन
	$W$	$Z=\sum _{k}e^{-E_{k}/k_{B}T}$	${\mathcal {Z}}=\sum _{k}e^{-(E_{k}-\mu N_{k})/k_{B}T}$
स्थूल फलन	बोल्ट्जमैन एन्ट्रॉपी̈	हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा	बृहत क्षमता
	$S=k_{B}\log W$	$F=-k_{B}T\log Z$	$\Omega =-k_{B}T\log {\mathcal {Z}}$

गणना के तरीके

एक बार किसी समुच्चय के लिए विशिष्ट अवस्था फलन की गणना किसी दिए गए प्रणाली के लिए की जाती है, तो वह प्रणाली 'समाधित' हो जाता है (स्थूल वेधशालाओं को विशेषता अवस्था फलन से निकाला जा सकता है)। एक ऊष्मागतिक समुच्चय के विशिष्ट अवस्था फलन की गणना करना एक सरल कार्य नहीं है, हालांकि, इसमें प्रणाली की प्रत्येक संभव स्थिति पर विचार करना सम्मिलित है। हालांकि कुछ काल्पनिक प्रणालियां समग्र रूप से समाधित हो गई हैं, सबसे सामान्य (और यथार्थवादी) स्थिति एक समुचित समाधान के लिए बहुत जटिल है। वास्तविक समुच्चय का अनुमान लगाने और औसत मात्रा की गणना करने के लिए विभिन्न दृष्टिकोण सम्मिलित हैं।

समुचित

ऐसे कुछ स्थितियाँ हैं जो समुचित समाधान की स्वीकृति देते हैं।

• बहुत छोटे सूक्ष्म प्रणालियों के लिए, प्रणाली के सभी संभावित अवस्थाओ (क्वांटम यांत्रिकी में समुचित विकर्णीकरण का उपयोग करके, या उत्कृष्ट यांत्रिकी में सभी चरण स्थान पर अभिन्न) की गणना करके स्पष्टता समुच्चय की गणना की जा सकती है।
• कुछ बड़ी प्रणालियों में कई वियोज्य सूक्ष्मदर्शी प्रणालियाँ होती हैं, और प्रत्येक उपप्रणाली का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण किया जा सकता है। विशेष रूप से, गैर-अंतःक्रियात्मक कणों के आदर्श गैसों में यह गुण होता है, जिससे मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी, फर्मी-डिराक सांख्यिकी और बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी की समुचित व्युत्पत्ति की स्वीकृति मिलती है।
• सहभागिता वाली कुछ बड़ी प्रणालियाँ हल की गई हैं। सूक्ष्म गणितीय तकनीकों के उपयोग से, कुछ खिलौनों के मॉडल के लिए समुचित समाधान खोजे गए हैं। कुछ उदाहरणों बेथे एंसटज, शून्य क्षेत्र में वर्ग जालक आइसिंग निदर्श कठोर षट्भुज मॉडल में सम्मिलित हैं।

मोंटे कार्लो

मुख्य लेखː मोंटे कार्लो मॉडल

एक अनुमानित दृष्टिकोण जो कंप्यूटर के लिए विशेष रूप से अच्छी तरह से अनुकूल , मोंटे कार्लो विधि है, जो प्रणाली के संभावित अवस्थाों में से कुछ की जांच करता है, अवस्थाों को यादृच्छिक रूप से (उचित वजन के साथ) चुना जाता है। जब तक ये अवस्था प्रणाली के अवस्थाों के पूरे समुच्चय का एक प्रतिनिधि नमूना बनाते हैं, तब तक अनुमानित विशेषता फलन प्राप्त होता है। जैसे-जैसे अधिक से अधिक यादृच्छिक नमूने सम्मिलित किए जाते हैं, त्रुटियाँ अव्यवस्थित रूप से निम्न स्तर तक कम हो जाती हैं।

• मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स कलन विधि एक उत्कृष्ट मोंटे कार्लो पद्धति है जिसका उपयोग प्रारंभ में कैनोनिकल समुच्चय का नमूना लेने के लिए किया गया था।
• क्रम अभिन्न मोंटे कार्लो, कैनोनिकल समुच्चय का नमूना लेने के लिए भी उपयोग किया जाता है।

अन्य

• दुर्लभ गैर-आदर्श गैसों के लिए, समूह विस्तार जैसे दृष्टिकोण कमजोर अंतःक्रियाओं के प्रभाव को सम्मिलित करने के लिए विचलन सिद्धांत का उपयोग करते हैं, जिससे वायरियल विस्तार होता है।
• सघन तरल पदार्थों के लिए, एक और अनुमानित दृष्टिकोण कम विभाजन फलन पर आधारित है, विशेष रूप से त्रिज्यीय विभाजन फलन ।
• आणविक गतिशीलता कंप्यूटर अनुकृति का उपयोग एर्गोडिक प्रणाली में सूक्ष्म-विहित समेकन औसत की गणना के लिए किया जा सकता है। प्रसंभाव्य ऊष्मा प्रक्षालन के लिए एक संयोजन को सम्मिलित करने के साथ, वे विहित और बृहत विहित स्थितियों को भी निदर्श कर सकते हैं।
• गैर-समतुल्यता सांख्यिकीय यांत्रिक परिणामों (नीचे देखें) से जुड़े मिश्रित तरीके उपयोगी हो सकते हैं।

गैर-समतुल्यता सांख्यिकीय यांत्रिकी

यह भी देखें: असंतुलन ऊष्मप्रवैगिकी

कई भौतिक घटनाओं में समतुल्यता से बाहर अर्ध-ऊष्मागतिक प्रक्रियाएं सम्मिलित होती हैं, उदाहरण के लिए:

• तापमान असंतुलन द्वारा संचालित सामग्री में आंतरिक गतियों द्वारा ऊष्मा वाहक,
• एक विद्युत दाब असंतुलन द्वारा संचालित एक संचालक में आवेशों की गति से होने वाली विद्युत धाराएँ,
• मुक्त ऊर्जा में कमी से प्रेरित सहज रासायनिक प्रतिक्रियाएँ,
• घर्षण, अपव्यय, क्वांटम विकृति,
• प्रणाली को बाहरी बलों द्वारा पंप किया जा रहा है (प्रकाशीय पंपन, आदि),
• और सामान्य रूप से अपरिवर्तनीय प्रक्रियाएं।

ये सभी प्रक्रियाएं समय के साथ विशिष्ट मूल्यों के साथ होती हैं। अभियांत्रिकी में ये मूल्य महत्वपूर्ण हैं। गैर-समतुल्यता सांख्यिकीय यांत्रिकी का क्षेत्र इन गैर-समतुल्यता प्रक्रियाओं को सूक्ष्म स्तर पर समझने से संबंधित है। (सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी का उपयोग केवल अंतिम परिणाम की गणना के लिए किया जा सकता है, बाहरी असमतुल्यता को हटा दिए जाने के बाद और समुच्चय वापस समतुल्यता में आ गया है।)

सिद्धांत रूप में, गैर-समतुल्यता सांख्यिकीय यांत्रिकी गणितीय रूप से समुचित हो सकती है: लिउविले के समीकरण या इसके क्वांटम समकक्ष, वॉन न्यूमैन समीकरण जैसे नियतात्मक समीकरणों के अनुसार समय के साथ एक पृथक प्रणाली के लिए समुच्चय विकसित होता है। ये समीकरण प्रत्येक अवस्था में गति के यांत्रिक समीकरणों को स्वतंत्र रूप से लागू करने का परिणाम हैं। असामान्य रूप से, इन समुच्चय विकास समीकरणों में अंतर्निहित यांत्रिक गति की जटिलता का बहुत अधिक भाग होता है, और इसलिए समुचित समाधान प्राप्त करना अधिक मुश्किल होता है। इसके अतिरिक्त, समुच्चय विकास समीकरण पूरी तरह से प्रतिवर्ती हैं और जानकारी को नष्ट नहीं करते हैं (समुच्चय की गिब्स एंट्रॉपी संरक्षित है)। मॉडलिंग अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं में आगे बढ़ने के लिए, प्रायिकता और प्रतिवर्ती यांत्रिकी के अतिरिक्त कारकों पर विचार करना आवश्यक है।

गैर-समतुल्यता यांत्रिकी इसलिए सैद्धांतिक अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है क्योंकि इन अतिरिक्त अभिधारणा की वैधता की सीमा का अन्वेषण करना जारी है। निम्नलिखित उपखंडों में कुछ दृष्टिकोणों का वर्णन किया गया है।

प्रसंभाव्य तरीके

गैर-समतुल्यता सांख्यिकीय यांत्रिकी के लिए एक दृष्टिकोण प्रणाली में प्रसंभाव्य (यादृच्छिक) गतिविधि को सम्मिलित करना है। प्रसंभाव्य गतिविधि समुच्चय में निहित जानकारी को नष्ट कर देता है। हालांकि यह तकनीकी रूप से गलत है (ब्लैक होल से जुड़ी काल्पनिक स्थितियों को छोड़कर, प्रणाली स्वयं में सूचना की हानि का कारण नहीं बन सकती है), यादृच्छिकता को यह दर्शाने के लिए जोड़ा जाता है कि ब्याज की जानकारी समय के साथ प्रणाली के अंदर सूक्ष्म सहसंबंधों, या बीच के सहसंबंधों के बीच प्रणाली और पर्यावरण में परिवर्तित हो जाती है। ये सहसंबंध प्रभाव के चर पर अव्यवस्थित या छद्म यादृच्छिक प्रभाव के रूप में दिखाई देते हैं। इन सहसंबंधों को यादृच्छिकता के साथ बदलकर, गणनाओं को बहुत आसान बनाया जा सकता है।

• बोल्ट्जमैन वाहक समीकरण: गतिज सिद्धांत के अध्ययन में "सांख्यिकीय यांत्रिकी" शब्द विकसित किए जाने से पहले ही प्रसंभाव्य यांत्रिकी का एक प्रारंभिक रूप सामने आया था। जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने प्रदर्शित किया था कि आणविक संघट्टन से गैस के अंदर स्पष्ट रूप से अराजक गति होगी। लुडविग बोल्ट्जमैन ने बाद में दिखाया कि, इस आणविक अराजकता को एक पूर्ण यादृच्छिकता के रूप में लेने से, गैस में कणों की गति एक सरल बोल्ट्जमान वाहक समीकरण का अनुसरण करेगी जो एक गैस को एक साम्य स्थिति में शीघ्रता पूर्वक प्रत्यावतित करेगी (H-प्रमेय देखें)।

बोल्ट्ज़मैन वाहक समीकरण और संबंधित दृष्टिकोण असंतुलन सांख्यिकीय यांत्रिकी में उनकी अत्यधिक सरलता के कारण महत्वपूर्ण उपकरण हैं। ये सन्निकटन उन प्रणालियों में अच्छी तरह से काम करते हैं जहां "रोचक" जानकारी शीघ्र (सिर्फ एक संघट्टन के बाद) सूक्ष्म सहसंबंधों में मिश्रित हो जाती है, जो अनिवार्य रूप से उन्हें दुर्लभ गैसों तक सीमित कर देती है। बोल्टजमैन वाहक समीकरण सरलता पूर्वक उन्मादित अर्धचालकों (ट्रांजिस्टरों में) में इलेक्ट्रॉन वाहक के अनुकरण में बहुत उपयोगी पाया गया है, जहां इलेक्ट्रॉन निːसन्देह दुर्लभ गैस के अनुरूप होते हैं। विषय से संबंधित एक क्वांटम तकनीक यादृच्छिक चरण सन्निकटन है।

• BBGKY पदानुक्रम: तरल और सघन गैसों में, संघट्टन के बाद कणों के बीच सहसंबंधों को शीघ्र त्यागना मान्य नहीं है। BBGKY पदानुक्रम (बोगोलीबॉव-बॉर्न-ग्रीन-किर्कवुड-यवोन पदानुक्रम) बोल्ट्ज़मैन-प्रकार के समीकरणों को प्राप्त करने के लिए एक विधि देता है, लेकिन कुछ संघर्षों के बाद सहसंबंधों को सम्मिलित करने के लिए उन्हें तनु गैस की स्थिति से अधिक भी विस्तारित करता है।

• केल्डीश औपचारिकता ((a.k.a. NEGF—असंतुलन ग्रीन फलन): कल्डीश औपचारिकता में प्रसंभाव्य गतिशीलता को सम्मिलित करने के लिए एक क्वांटम दृष्टिकोण पाया जाता है। यह दृष्टिकोण प्रायः इलेक्ट्रॉनिक क्वांटम वाहक गणनाओं में प्रयोग किया जाता है।

• प्रसंभाव्य लिउविल समीकरण।

सदृश-साम्यावस्था के तरीके

गैर-समतुल्यता सांख्यिकीय यांत्रिक मॉडल का एक अन्य महत्वपूर्ण वर्ग उन प्रणालियों से संबंधित है जो समतुल्यता से बहुत कम उद्विग्न हैं। अल्प क्षोभ के साथ, प्रतिक्रिया का विश्लेषण रैखिक प्रतिक्रिया सिद्धांत में किया जा सकता है। एक उल्लेखनीय परिणाम, अस्थिरता-अपव्यय प्रमेय द्वारा औपचारिक रूप से, यह है कि एक प्रणाली की प्रतिक्रिया जब समतुल्यता के सदृश होती है, तो यह सांख्यिकीय अस्थिरता से ठीक से संबंधित होता है, जब प्रणाली पूर्ण साम्यावस्था में होती है। अनिवार्य रूप से, एक प्रणाली जो समतुल्यता से दुर्बलता अनुपस्थित है - यदि वह बाहरी सामर्थ्य द्वारा या अस्थिरता से हो - उसी भांति समतुल्यता की ओर शिथिल करती है, क्योंकि प्रणाली अंतर नहीं बता सकती है या यह नहीं ''पहचान'' सकती है कि यह समतुल्यता से बाहर कैसे हो गया।

यह समतुल्यता सांख्यिकीय यांत्रिकी से परिणाम निकालकर ओम के नियम और तापीय चालकता जैसी संख्याएँ प्राप्त करने के लिए एक अप्रत्यक्ष अवसर प्रदान करता है। चूंकि समतुल्यता सांख्यिकीय यांत्रिकी गणितीय रूप से अच्छी तरह से परिभाषित है और (कुछ स्थितियो में) गणना के लिए अधिक अधीन है, अस्थिरता-अपव्यय संयोजनसदृश-समतुल्यता सांख्यिकीय यांत्रिकी में गणना के लिए एक उपयुक्त क्षुद्र रूप हो सकता है।

इस संबंध को बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले कुछ सैद्धांतिक उपकरणों में सम्मिलित हैं:

• अस्थिरता-अपव्यय प्रमेय
• ऑनसेगर पारस्परिक संबंध
• ग्रीन-कुबो संबंध
• लैंडौएर-बट्टिकर औपचारिकता
• मोरी-ज़्वानज़िग औपचारिकता

मिश्र तरीके

एक उन्नत दृष्टिकोण प्रसंभाव्य विधियों और रैखिक प्रतिक्रिया सिद्धांत के संयोजन का उपयोग करता है। एक उदाहरण के रूप में, एक इलेक्ट्रॉनिक प्रणाली के प्रवाहकत्त्व में क्वांटम सुसंगतता प्रभाव (कमजोर स्थानीयकरण, चालन में अस्थिरता) की गणना करने के लिए एक दृष्टिकोण ग्रीन-कुबो संबंधों का उपयोग है, जिसमें क्लेडीश विधि के साथ उपयोग के द्वारा विभिन्न इलेक्ट्रॉनों के बीच परस्पर क्रिया द्वारा प्रसंभाव्य चरण को सम्मिलित किया गया है।

ऊष्मप्रवैगिकी के बाहर अनुप्रयोग

एक प्रणाली की स्थिति के बारे में ज्ञान में अनिश्चितता के साथ सामान्य यांत्रिक प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए समुच्चय औपचारिकता का भी उपयोग किया जा सकता है। समष्टि का भी उपयोग किया जाता है:

• समय के साथ अनिश्चितता का प्रसार,
• गुरुत्वाकर्षण कक्षाओं का प्रतिगमन विश्लेषण,
• मौसम की समष्टि भविष्यवाणी,
• तंत्रिकीय नेटवर्क की गतिशीलता,
• खेल सिद्धांत और अर्थशास्त्र में परिबद्ध-तर्कसंगत संभावित खेल।

इतिहास

1738 में, स्विस भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ डेनियल बर्नौली ने हाइड्रो गति बोधक को प्रकाशित किया जिसने गैसों के गतिज सिद्धांत का आधार रखा। इस कार्य में, बर्नौली ने उस तर्क को प्रस्तुत किया, जो आज भी प्रयोग किया जाता है, कि गैसों में बड़ी संख्या में अणु सभी दिशाओं में चलते हैं, कि सतह पर उनका प्रभाव गैस के दबाव का कारण बनता है जिसे हम महसूस करते हैं, और जिसे हम ऊष्मा के रूप में अनुभव करते हैं वह केवल उनकी गति की गतिज ऊर्जा है।

1859 में, रुडोल्फ क्लॉसियस द्वारा अणुओं के प्रसार पर एक लेख पढ़ने के बाद, स्कॉटिश भौतिक विज्ञानी जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने आणविक वेगों का मैक्सवेलविभाजन तैयार किया, जिसने एक विशिष्ट श्रेणी में एक निश्चित वेग वाले अणुओं का अनुपात दिया। यह भौतिकी मे अब तक का पहला सांख्यिकीय नियम था। मैक्सवेल ने पहला यांत्रिक तर्क भी दिया कि आण्विक संघट्टों के लिए तापमान की समानता आवश्यक है और इसलिए समतुल्यता की ओर एक प्रवृत्ति है। पांच वर्ष बाद, 1864 में, लुडविग बोल्ट्जमैन, वियना में एक युवा छात्र, मैक्सवेल के लेख के संपर्क मे आए और उन्होंने अपने जीवन का अधिकांश समय इस विषय को विकसित करने में बिताया।

सांख्यिकीय यांत्रिकी का प्रारंभ 1870 के दशक में बोल्ट्जमैन के कार्य से हुई थी, जिनमें से अधिकांश सामूहिक रूप से गैस थ्योरी पर उनके 1896 के व्याख्यान में प्रकाशित हुए थे। ऊष्मप्रवैगिकी, एच-प्रमेय, वाहक सिद्धांत (सांख्यिकीय भौतिकी), ऊष्म समतुल्यता, गैसों की स्थिति का समीकरण, और इसी तरह के विषयों की सांख्यिकीय व्याख्या पर बोल्ट्जमैन के मूल लेख, वियना अकादमी और अन्य समाजों की कार्यवाही में लगभग 2,000 पृष्ठों पर हैं। . बोल्ट्जमैन ने एक समतुल्यता सांख्यिकीय समुच्चय की अवधारणा पेश की और अपने H-प्रमेय के साथ पहली बार गैर-समतुल्यता सांख्यिकीय यांत्रिकी की जांच भी की।

शब्द "सांख्यिकीय यांत्रिकी" 1884 में अमेरिकी गणितीय भौतिक विज्ञानी जे. विलार्ड गिब्स द्वारा दिया गया था। "संभाव्य यांत्रिकी" आज एक अधिक उपयुक्त शब्द लग सकता है, लेकिन "सांख्यिकीय यांत्रिकी" दृढ़ता से स्थापित है। अपनी मृत्यु के कुछ समय पहले, गिब्स ने 1902 में सांख्यिकीय यांत्रिकी में प्राथमिक सिद्धांत को प्रकाशित किया, एक पुस्तक जिसने सांख्यिकीय यांत्रिकी को सभी यांत्रिक प्रणालियों-स्थूल या सूक्ष्म, गैसीय या गैर-गैसीय को संबोधित करने के लिए एक पूरी तरह से सामान्य दृष्टिकोण के रूप में औपचारिक रूप दिया। गिब्स के तरीकों को प्रारंभ में उत्कृष्ट यांत्रिकी के रूपरेखा में प्राप्त किया गया था, हालांकि वे इस तरह की सामान्यता के थे कि वे बाद के क्वांटम यांत्रिकी के लिए आसानी से अनुकूल पाए गए, और आज भी सांख्यिकीय यांत्रिकी की नींव बनाते हैं।

यह भी देखें

• ऊष्मप्रवैगिकी: गैर-संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी | गैर-संतुलन, रासायनिक ऊष्मप्रवैगिकी
• यांत्रिकी: शास्त्रीय यांत्रिकी, क्वांटम यांत्रिकी
• संभावना, सांख्यिकीय पहनावा (गणितीय भौतिकी)
• संख्यात्मक तरीके: मोंटे कार्लो विधि, आणविक गतिकी
• सांख्यिकीय भौतिकी
• क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी
• सांख्यिकीय यांत्रिकी में उल्लेखनीय पाठ्यपुस्तकों की सूची
• भौतिकी#सांख्यिकीय यांत्रिकी में प्रकाशनों की सूची
• लाप्लास_ट्रांसफ़ॉर्म#सांख्यिकीय_यांत्रिकी

बाहरी संबंध

• Philosophy of Statistical Mechanics article by Lawrence Sklar for the Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Sklogwiki - Thermodynamics, statistical mechanics, and the computer simulation of materials. SklogWiki is particularly orientated towards liquids and soft condensed matter.
• Thermodynamics and Statistical Mechanics by Richard Fitzpatrick
• Lecture Notes in Statistical Mechanics and Mesoscopics by Doron Cohen
• Videos of lecture series in statistical mechanics on YouTube taught by Leonard Susskind.
• Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics), 2008. this wiki site is down; see this article in the web archive on 2012 April 28.