सन्निकटन

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एक सन्निकटन कुछ भी है जो जानबूझकर समान है लेकिन किसी और चीज़ के लिए बिल्कुल समानता (गणित) नहीं है।

व्युत्पत्ति और उपयोग

सन्निकटन शब्द लैटिन सन्निकटन से लिया गया है, प्रॉक्सिमस से जिसका अर्थ है बहुत निकट और उपसर्ग विज्ञापन- (विज्ञापन- इससे पहले कि पी एपी बन जाता है- आत्मसात (फोनोलॉजी) द्वारा) जिसका अर्थ है। अनुमानित, लगभग और सन्निकटन जैसे शब्द विशेष रूप से तकनीकी या वैज्ञानिक संदर्भों में उपयोग किए जाते हैं। रोजमर्रा की अंग्रेजी में, मोटे तौर पर या आसपास जैसे शब्दों का समान अर्थ के साथ उपयोग किया जाता है। यह अक्सर संक्षिप्त रूप में लगभग पाया जाता है।

शब्द को विभिन्न गुणों (जैसे, मूल्य, मात्रा, छवि, विवरण) पर लागू किया जा सकता है जो लगभग हैं, लेकिन बिल्कुल सही नहीं हैं; समान, लेकिन बिल्कुल समान नहीं (उदाहरण के लिए, अनुमानित समय 10 बजे था)।

हालाँकि सन्निकटन को अक्सर संख्याओं पर लागू किया जाता है, यह अक्सर फ़ंक्शन (गणित), आकृतियों और भौतिक नियमों जैसी चीज़ों पर भी लागू होता है।

विज्ञान में, सही मॉडल का उपयोग करना मुश्किल होने पर सन्निकटन एक सरल प्रक्रिया या मॉडल का उपयोग करने का उल्लेख कर सकता है। गणना को आसान बनाने के लिए अनुमानित मॉडल का उपयोग किया जाता है। यदि अधूरी जानकारी सटीक अभ्यावेदन के उपयोग को रोकती है तो सन्निकटन का भी उपयोग किया जा सकता है।

उपयोग किए गए सन्निकटन का प्रकार उपलब्ध जानकारी, सन्निकटन के क्रम, इस डेटा के प्रति समस्या की संवेदनशीलता और सन्निकटन द्वारा प्राप्त की जा सकने वाली बचत (आमतौर पर समय और प्रयास में) पर निर्भर करता है।

गणित

सन्निकटन सिद्धांत गणित की एक शाखा है, कार्यात्मक विश्लेषण का एक मात्रात्मक हिस्सा है। डायोफैंटाइन सन्निकटन परिमेय संख्याओं द्वारा वास्तविक संख्याओं के सन्निकटन से संबंधित है।

सन्निकटन आमतौर पर तब होता है जब सटीक रूप या सटीक संख्यात्मक संख्या अज्ञात होती है या प्राप्त करना मुश्किल होता है। हालाँकि कुछ ज्ञात रूप मौजूद हो सकते हैं और वास्तविक रूप का प्रतिनिधित्व करने में सक्षम हो सकते हैं ताकि कोई महत्वपूर्ण विचलन न पाया जा सके। उदाहरण के लिए, 1.5 × 10⁶ का अर्थ है कि सन्निकटन 1,500,000 को निकटतम सौ हजार तक मापा गया है (वास्तविक मूल्य कहीं 1,450,000 और 1,550,000 के बीच है), यह संकेतन 1.500 × 10 के विपरीत है⁶ जो 1,500,000 को निकटतम हजार तक मापता है (इसलिए 1,499,500 और 1,500,500 के बीच कहीं सही मान देता है)।

इसका उपयोग तब भी किया जाता है जब कोई संख्या अपरिमेय संख्या होती है, जैसे कि संख्या पाई | π, जिसे अक्सर 3.14159 तक छोटा किया जाता है, या 1.414 को छोटा रूप दिया जाता है √2.

संख्यात्मक सन्निकटन कभी-कभी महत्वपूर्ण अंकों की एक छोटी संख्या का उपयोग करने के परिणामस्वरूप होता है। गणना में राउंड-ऑफ़ त्रुटि और अन्य सन्निकटन त्रुटियाँ शामिल होने की संभावना है। लघुगणक, स्लाइड नियम और कैलकुलेटर सरल गणनाओं को छोड़कर सभी के अनुमानित उत्तर देते हैं। कंप्यूटर गणना के परिणाम आम तौर पर एक सीमित संख्या में महत्वपूर्ण अंकों में व्यक्त किए जाते हैं, हालांकि उन्हें अधिक सटीक परिणाम देने के लिए प्रोग्राम किया जा सकता है। सन्निकटन तब हो सकता है जब दशमलव संख्या को बाइनरी अंकों की सीमित संख्या में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

कार्यों के सन्निकटन से संबंधित एक फ़ंक्शन का एसिम्प्टोटिक विश्लेषण मूल्य है, अर्थात फ़ंक्शन के एक या अधिक पैरामीटर के रूप में मूल्य मनमाने ढंग से बड़ा हो जाता है। उदाहरण के लिए, योग (k/2)+(k/4)+(k/8)+...(k/2^n) असमान रूप से k के बराबर है। पूरे गणित में कोई सुसंगत संकेतन का उपयोग नहीं किया जाता है और कुछ पाठ ≈ का उपयोग लगभग बराबर और ~ का अर्थ असमान रूप से बराबर करने के लिए करते हैं जबकि अन्य पाठ इसके विपरीत प्रतीकों का उपयोग करते हैं।

टाइपोग्राफी

≅ ≈
Approximately equal to Almost equal to
In Unicode	U+2245 ≅ APPROXIMATELY EQUAL TO (≅, ≅) U+2248 ≈ ALMOST EQUAL TO (≈, ≈, ≈, ≈, ≈, ≈)
Different from
Different from	U+2242 ≂ MINUS TILDE
Related
See also	U+2249 ≉ NOT ALMOST EQUAL TO U+003D = EQUALS SIGN U+2243 ≃ ASYMPTOTICALLY EQUAL TO

See also: Glossary of mathematical symbols § Equality, equivalence and similarity

लगभग बराबर चिह्न, ≈, ब्रिटिश गणितज्ञ अल्फ्रेड ग्रीनहिल द्वारा पेश किया गया था।

लाटेकस प्रतीक

LaTeX मार्कअप में प्रयुक्त प्रतीक।

• $\approx$ (\approx), आमतौर पर संख्याओं के बीच सन्निकटन को इंगित करने के लिए, जैसे $\pi \approx 3.14$.
• $\not \approx$ (\not\approx), आमतौर पर यह इंगित करने के लिए कि संख्याएं लगभग बराबर नहीं हैं (1 $\not \approx$ 2).
• $\simeq$ (\simeq), आमतौर पर कार्यों के बीच स्पर्शोन्मुख तुल्यता को इंगित करने के लिए, जैसे $f(n)\simeq 3n^{2}$. सो लिख रहा हूँ $\pi \simeq 3.14$ व्यापक उपयोग के बावजूद इस परिभाषा के तहत गलत होगा।
• $\sim$ (\sim), आमतौर पर कार्यों के बीच आनुपातिकता को इंगित करने के लिए, वही $f(n)$ ऊपर की रेखा होगी $f(n)\sim n^{2}$.
• $\cong$ (\cong), आमतौर पर आंकड़ों के बीच समानता को इंगित करने के लिए, जैसे $\Delta ABC\cong \Delta A'B'C'$.
• $\eqsim$ (\eqsim), आमतौर पर यह इंगित करने के लिए कि दो मात्राएं स्थिरांक के बराबर हैं।
• $\lessapprox$ (\lessapprox) तथा $\gtrapprox$ (\gtrapprox), आमतौर पर यह इंगित करने के लिए कि या तो असमानता बरकरार है या दोनों मान लगभग बराबर हैं।

यूनिकोड

See also: Unicode mathematical operators

लगभग बराबर वस्तुओं को इंगित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीक लहरदार या बिंदीदार बराबर चिह्न होते हैं।

• U+223C ∼ TILDE OPERATOR: जो कभी-कभी आनुपातिकता (गणित) को इंगित करने के लिए भी प्रयोग किया जाता है
• U+223D ∽ REVERSED TILDE: जो कभी-कभी आनुपातिकता को इंगित करने के लिए भी प्रयोग किया जाता है
• U+2245 ≅ APPROXIMATELY EQUAL TO: ≈ और = का एक अन्य संयोजन, जिसका उपयोग तुल्याकारिता या सर्वांगसमता संबंध को दर्शाने के लिए किया जाता है
• U+2246 ≆ APPROXIMATELY BUT NOT ACTUALLY EQUAL TO
• U+2247 ≇ NEITHER APPROXIMATELY NOR ACTUALLY EQUAL TO
• U+2248 ≈ ALMOST EQUAL TO
• U+2249 ≉ NOT ALMOST EQUAL TO
• U+224A ≊ ALMOST EQUAL OR EQUAL TO: अभी तक ≈ और = का एक और संयोजन, तुल्यता या अनुमानित तुल्यता को इंगित करने के लिए उपयोग किया जाता है
• U+2250 ≐ APPROACHES THE LIMIT: जिसका उपयोग एक चर के दृष्टिकोण का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है, y, एक सीमा तक (गणित); सामान्य सिंटैक्स की तरह, $\scriptstyle \lim _{x\to \infty }y(x)$ <छोटा>≐ 0</छोटा>
• U+2252 ≒ APPROXIMATELY EQUAL TO OR THE IMAGE OF: जिसका प्रयोग ≈ या ≃ की तरह जापानी भाषा, ताइवानी मंदारिन और कोरियाई भाषा में किया जाता है
• U+2253 ≓ IMAGE OF OR APPROXIMATELY EQUAL TO: का उलटा रूपांतर U+2252 ≒
• U+225F ≟ QUESTIONED EQUAL TO
• U+2A85 ⪅ LESS-THAN OR APPROXIMATE
• U+2A86 ⪆ GREATER-THAN OR APPROXIMATE

विज्ञान

वैज्ञानिक प्रयोगों में सन्निकटन स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। एक वैज्ञानिक सिद्धांत की भविष्यवाणियां वास्तविक माप से भिन्न हो सकती हैं। ऐसा इसलिए हो सकता है क्योंकि वास्तविक स्थिति में ऐसे कारक हैं जो सिद्धांत में शामिल नहीं हैं। उदाहरण के लिए, साधारण गणनाओं में वायु प्रतिरोध का प्रभाव शामिल नहीं हो सकता है। इन परिस्थितियों में, सिद्धांत वास्तविकता का एक अनुमान है। मापने की तकनीक में सीमाओं के कारण भी अंतर उत्पन्न हो सकता है। इस मामले में, माप वास्तविक मूल्य का एक अनुमान है।

विज्ञान के इतिहास से पता चलता है कि पहले के सिद्धांत और कानून कानूनों के कुछ गहरे सेट के सन्निकटन हो सकते हैं। पत्राचार सिद्धांत के तहत, एक नए वैज्ञानिक सिद्धांत को उन डोमेन में पुराने, अच्छी तरह से स्थापित सिद्धांतों के परिणामों को पुन: पेश करना चाहिए जहां पुराने सिद्धांत काम करते हैं। पुराना सिद्धांत नए सिद्धांत का एक अनुमान बन जाता है।

प्रत्यक्ष विश्लेषण द्वारा हल करने के लिए भौतिकी में कुछ समस्याएं बहुत जटिल हैं, या उपलब्ध विश्लेषणात्मक उपकरणों द्वारा प्रगति को सीमित किया जा सकता है। इस प्रकार, भले ही सटीक प्रतिनिधित्व ज्ञात हो, एक सन्निकटन समस्या की जटिलता को महत्वपूर्ण रूप से कम करते हुए एक पर्याप्त सटीक समाधान प्रदान कर सकता है। भौतिक विज्ञानी अक्सर पृथ्वी के आकार को एक गोले के रूप में अनुमानित करते हैं, भले ही अधिक सटीक प्रतिनिधित्व संभव हो, क्योंकि कई भौतिक विशेषताओं (जैसे, गुरुत्वाकर्षण) को अन्य आकृतियों की तुलना में एक गोले के लिए गणना करना बहुत आसान है।

एक तारे की परिक्रमा करने वाले कई ग्रहों की गति का विश्लेषण करने के लिए भी सन्निकटन का उपयोग किया जाता है। यह एक दूसरे पर ग्रहों के गुरुत्वाकर्षण प्रभावों की जटिल अंतःक्रियाओं के कारण अत्यंत कठिन है। पुनरावृत्तियों के प्रदर्शन से एक अनुमानित समाधान प्रभावित होता है। पहले पुनरावृत्ति में, ग्रहों के गुरुत्वीय संबंधों को अनदेखा कर दिया जाता है, और तारे को स्थिर मान लिया जाता है। यदि एक अधिक सटीक समाधान वांछित है, तो पहले पुनरावृत्ति में पहचाने गए ग्रहों की स्थिति और गति का उपयोग करते हुए एक और पुनरावृत्ति की जाती है, लेकिन प्रत्येक ग्रह से दूसरों पर पहले-क्रम के गुरुत्वाकर्षण की बातचीत को जोड़ा जाता है। संतोषजनक ढंग से सटीक समाधान प्राप्त होने तक इस प्रक्रिया को दोहराया जा सकता है।

त्रुटियों को ठीक करने के लिए गड़बड़ी सिद्धांत का उपयोग अधिक सटीक समाधान प्राप्त कर सकता है। ग्रहों और तारों की गतियों के अनुकरण से भी अधिक सटीक समाधान प्राप्त होते हैं।

विज्ञान के दर्शन के सबसे सामान्य संस्करण स्वीकार करते हैं कि अनुभवजन्य माप हमेशा सन्निकटन होते हैं - वे पूरी तरह से प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं कि क्या मापा जा रहा है।

कानून

यूरोपीय संघ (ईयू) के भीतर, सन्निकटन एक ऐसी प्रक्रिया को संदर्भित करता है जिसके माध्यम से प्रत्येक देश में मौजूदा कानूनी ढांचे में भिन्नता के बावजूद यूरोपीय संघ के राष्ट्रीय कानूनों के सदस्य राज्य के भीतर यूरोपीय संघ के कानून को लागू और शामिल किया जाता है। ईयू परिग्रहण के भाग के रूप में सन्निकटन आवश्यक है | नए सदस्य राज्यों के लिए पूर्व-परिग्रहण प्रक्रिया, और एक निर्देश (यूरोपीय संघ) द्वारा आवश्यक होने पर एक सतत प्रक्रिया के रूप में। सन्निकटन एक प्रमुख शब्द है जो आम तौर पर एक निर्देश के शीर्षक के भीतर नियोजित होता है, उदाहरण के लिए 16 दिसंबर 2015 का ट्रेड मार्क निर्देश व्यापार चिह्नों से संबंधित सदस्य राज्यों के कानूनों का अनुमान लगाता है। यूरोपीय आयोग यूरोपीय संघ में सदस्यता के एक अद्वितीय दायित्व के रूप में कानून के सन्निकटन का वर्णन करता है।

यह भी देखें

• Approximation algorithm
• Approximate computing
• Approximate inequality
• Binomial approximation
• Congruence relation
• डबल टिल्ड (बहुविकल्पी) – ~~ या ≈ के विभिन्न अर्थ
• Estimation
• Fermi problem
• Idealization (philosophy of science)
• Least squares
• Linear approximation
• Newton's method
• Order of approximation
• Rough set
• Runge–Kutta methods
• Significant figures
• Small-angle approximation
• Successive-approximation ADC
• Taylor series
• Tolerance relation

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• आत्मसात (स्वर विज्ञान)
• सन्निकटन का क्रम
• समारोह (गणित)
• शारीरिक कानून
• आकार
• लोगारित्म
• महत्वपूर्ण आंकड़े
• राउंड-ऑफ त्रुटि
• स्पर्शोन्मुख विश्लेषण
• समाकृतिकता
• सीमा (गणित)
• विज्ञान का इतिहास
• पृथ्वी का आकार
• वृत्त
• भौतिकविदों
• विज्ञान का दर्शन
• यात्रा
• यूरोपीय संघ का परिग्रहण
• यूरोपीय संघ के सदस्य राज्य

बाहरी संबंध

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