मेन्जर स्पंज

M₄ का एक उदाहरण, निर्माण प्रक्रिया के चार पुनरावृत्तियों के बाद स्पंज

गणित में, मेन्जर स्पंज (जिसे मेन्जर घन, मेन्जर सार्वभौमिक वक्र, सीरपिंस्की घन, या सीरपिंस्की स्पंज के नाम से भी जाना जाता है) एक फ्रैक्टल वक्र होता है। यह एकल-विमीय कैन्टर समुच्चय और द्वि-विमीय सिएरपिन्स्की परत या सतह का त्रि-विमीय सामान्यीकरण है। इसे पहली बार 1926 में सामयिक विमा की अवधारणा के अपने अध्ययन में कार्ल मेन्जर द्वारा वर्णित किया गया था।

निर्माण

मेन्जर स्पंज के निर्माण का वर्णन इस प्रकार किया जा सकता है:

1. घन से आरम्भ करें।
2. रूबिक के घन की तरह, घन के प्रत्येक फलक को नौ वर्गों में विभाजित करें। यह घन को 27 छोटे घनों में विभाजित करता है।
3. प्रत्येक फलक के बीच में से छोटे घन को हटा दें, और छोटे घन को अधिक विशाल घन के केंद्र से हटा दें, जिससे 20 छोटे घन निकल जायेंगे। यह एक स्तर -1 मेन्जर स्पंज (किसी रिक्त घन जैसा दिखता है) है।
4. शेष छोटे घनों में से प्रत्येक के लिए चरण दो और तीन को पुनरावर्तित करें, और अनंत कल तक पुनरावर्तन निरंतर करते रहें।

दूसरा पुनरावृत्ति एक स्तर-2 स्पंज देता है, तीसरा पुनरावृत्ति एक स्तर-3 स्पंज देता है, और इसी तरह आगे भी। अनंत संख्या में पुनरावृत्तियों के बाद मेन्जर स्पंज ही इस प्रक्रिया की सीमा है।

M₃ तक मेन्जर स्पंज के पुनरावृत्त निर्माण का एक उदाहरण, तीसरा पुनरावृत्ति

गुण

मेन्जर स्पंज के अनुप्रस्थ काट को दर्शाने वाला एनिमेशन

मेन्जर स्पंज का $n$वां चरण, $M_{n}$, $20^{n}$ छोटे घनों से बना है, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई (1/3)ⁿ है। $M_{n}$ का कुल आयतन इस प्रकार ${\textstyle \left({\frac {20}{27}}\right)^{n}}$ है। $M_{n}$ का कुल सतह क्षेत्र व्यंजक $2(20/9)^{n}+4(8/9)^{n}$ द्वारा दिया गया है। इसलिए निर्माण की मात्रा शून्य तक पहुंच जाती है जबकि इसकी सतह का क्षेत्रफल बिना किसी सीमा के बढ़ जाता है। फिर भी निर्माण में किसी भी चयन की हुई सतह को पूरी तरह से वेधित कर दिया जाएगा क्योंकि निर्माण सतत होता है ताकि सीमा न तो ठोस हो और न ही सतह; इसका टोपोलॉजिकल विमा 1 है और तदनुसार इसे एक वक्र के रूप में पहचाना जाता है।

निर्माण का प्रत्येक फलक एक सिएरपिन्स्की परत या सतह बन जाता है, और घन के किसी भी विकर्ण या फलकों की किसी भी मध्य रेखा के साथ स्पंज का उभयनिष्ठ एक कैंटर समुच्चय है। स्पॉन्ज का अनुप्रस्थ काट इसके केन्द्रक से होते हुए और अंतरिक्ष विकर्ण के लम्बवत् एक नियमित षट्भुज होता है जिसे छह गुना सममिति में व्यवस्थित षट्कोण के साथ वेधित जाता है। अवरोही आकार में इन हेक्साग्रामों की संख्या $a_{0}=1,\ a_{1}=6$ के साथ $a_{n}=9a_{n-1}-12a_{n-2}$ से दी गई है।

स्पंज का हॉसडॉर्फ विमा log 20/log 3 ≅ 2.727 है। मेन्जर स्पंज का लेबेस्ग्यू समुपयोग विमा एक है, जो किसी भी वक्र के समान है। मेन्जर ने 1926 के निर्माण में दिखाया, कि स्पंज एक सार्वभौमिक वक्र है, जिसमें प्रत्येक वक्र मेन्जर स्पंज के एक उपसमुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक है, जहां एक वक्र का अर्थ लेबेस्ग्यू के किसी भी सुसंहत मीट्रिक स्थान को समुपयोग करना है जो पहले विमा को समुपयोग करता है; इसमें यादृच्छिक तरीके से जुड़े हुए किनारों, शीर्षों और संवृत लूपों की यादृच्छिक गणनीय संख्या के साथ ट्री और ग्राफ सम्मिलित हैं। इसी तरह, सिएरपिन्स्की परत या सतह सभी वक्रों के लिए एक सार्वभौमिक वक्र है जो द्वि-विमीय समतल पर खींचा जा सकता है। तीन विमाओं में निर्मित मेन्जर स्पंज इस विचार को उन ग्राफ़ों तक विस्तारित करता है जो समतल नहीं हैं और किसी भी संख्या में विमाओं में एम्बेड किए जा सकते हैं।

मेंगर स्पंज एक संवृत समुच्चय है; चूँकि यह परिबद्ध भी है, हेइन-बोरेल प्रमेय का अर्थ है कि यह सघन है। इसमें लेबेस्ग्यू माप 0 है। क्योंकि इसमें निरंतर पथ सम्मिलित हैं, यह एक असंख्य समुच्चय है।

प्रयोगों से यह भी पता चला है कि मेन्जर स्पंज संरचना वाले घनों बिना किसी छिद्र वाले घन की तुलना में एक ही सामग्री के लिए पांच गुना बेहतर शॉक्स दे सकते हैं।

औपचारिक परिभाषा

औपचारिक रूप से, मेन्जर स्पंज को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

$M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$

जहाँ $M_{0}$ इकाई घन है और

$M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\{\mbox{and at most one of }}i,j,k{\mbox{ is equal to 1}}\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}.$

मेगामेन्जर

मेगामेन्जर सबसे बड़ा फ्रैक्टल मॉडल बनाने का लक्ष्य रखने वाली एक परियोजना थी, जिसका नेतृत्व लंदन के क्वीन मैरी विश्वविद्यालय के मैट पार्कर और जेम्स मैडिसन विश्वविद्यालय के लौरा तलमन ने किया था। प्रत्येक छोटे घन  को छह इंटरलॉकिंग फोल्डिंग बिजनेस कार्ड से बनाया जाता है, जो चरण-चार स्पंज के लिए कुल 960 000 प्रदान करता है। इसके बाद बाहरी सतहों को पेपर या कार्डबोर्ड पैनल से कवर किया जाता है, जो सीरपिंस्की कालीन डिजाइन के साथ मुद्रित होता है, ताकि यह सौंदर्य की दृष्टि से अधिक आकर्षक हो। 2014 में, बीस स्तर-तीन मेन्जर स्पंज का निर्माण किया गया था, जो संयुक्त रूप से एक वितरित स्तर-चार मेन्जर स्पंज का निर्माण करेगा।

• 

  मेगामेंजर्स में से एक, पर बाथ विश्वविद्यालय

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  मॉडल टेट्रिक्स 2015 में कैंब्रिज लेवल-3 मेगामेंजर के केंद्र के माध्यम से देखा गया कैम्ब्रिज साइंस फेस्टिवल

समरूप फ्रैक्टल्स

जेरूसलम घन

जेरूसलम घन 2011 में एरिक बेयर्ड द्वारा वर्णित एक फ्रैक्टल वस्तु है। इसे घन में ग्रीक क्रॉस-आकार के छिद्रों को पुनरावर्ती रूप से ड्रिल करके बनाया गया है। निर्माण मेन्जर स्पंज के समान है लेकिन दो अलग-अलग आकार के घनो के साथ है। यह नाम जेरूसलम क्रॉस पैटर्न के सदृश घन के मुख से आया है।

जेरूसलम घन के निर्माण को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

1. घन से आरम्भ करें।
2. घन के प्रत्येक पक्ष के माध्यम से एक क्रॉस काटें, मूल घन के कोनों पर आठ घनों (रैंक +1 की) को छोड़ दें, साथ ही साथ बारह छोटे घनों (रैंक +2 के) रैंक +1 के घनों के बीच मूल घन के किनारों पर केंद्रित हों।
3. इस प्रक्रिया को रैंक 1 और 2 के घनों पर पुनरावर्तित करें।

जेरूसलम घन में अनंत तक पुनरावृत्ति का परिणाम होता है।

चूँकि रैंक N के एक घन के किनारे की लंबाई रैंक N+1 के 2 घनों और रैंक N+2 के एक घन के बराबर है, यह इस प्रकार है कि स्केलिंग कारक को ${\displaystyle k^{2}+2k=1}$ को पूरा करना चाहिए, इसलिए ${\displaystyle k={\sqrt {2}}-1}$ जिसका अर्थ है कि फ्रैक्टल को तर्कसंगत ग्रिड पर नहीं बनाया जा सकता है।

चूँकि रैंक N का एक घन, रैंक N+1 के 8 घनों और रैंक N+2 के 12 में उप-विभाजित हो जाता है, इसलिए हॉसडॉर्फ आयाम को ${\displaystyle 8k^{d}+12(k^{2})^{d}=1}$ को संतुष्ट करना चाहिए। यथार्थ हल निम्नलिखित है

${\displaystyle d={\frac {\log \left({\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {1}{3}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}}$

जो लगभग 2.529 है

मेन्जर स्पंज की तरह, जेरूसलम घन के फलक समान स्केलिंग कारक के साथ फ्रैक्टल्स होते हैं। इस स्थिति में, हौसडॉर्फ आयाम को ${\displaystyle 4k^{d}+4(k^{2})^{d}=1}$ को संतुष्ट करना चाहिए। यथार्थ हल निम्नलिखित है

${\displaystyle d={\frac {\log \left({\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}}$

जो लगभग 1.786 है

• 

  तीसरा पुनरावृति जेरूसलम क्यूब

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  3डी-मुद्रित मॉडल जेरूसलम घन

अन्य

• एक मोसली स्नोफ्लेक एक घन-आधारित फ्रैक्टल है जिसके कोनों को पुनरावर्ती रूप से हटा दिया जाता है।
• एक टेट्रिक्स एक टेट्राहेड्रॉन-आधारित फ्रैक्टल है जो एक टेट्राहेड्रोन में व्यवस्थित चार छोटी प्रतियों से बना है।
• सीरपिंस्की-मेन्जर स्नोफ्लेक एक घन-आधारित फ्रैक्टल है जिसमें आठ कोने वाले घनों और एक केंद्रीय घन को हर बार निम्न और निम्न पुनरावर्तन चरणों में रखा जाता है। इस विचित्र त्रि-विमीय फ्रैक्टल में समतल की तरह मूल रूप से दो-विमीय वस्तु का हॉसडॉर्फ विमा होती है उदाहरण के लिए log 9/log 3=2

यह भी देखें

• अपोलोनियन गैसकेट
• कैंटर घन
• कोच हिमकण
• सीरपिन्स्की टेट्राहेड्रॉन
• सीरपिन्स्की त्रिभुज
• हॉसडॉर्फ विमा द्वारा फ्रैक्टल्स की सूची

अग्रिम पठन

• Iwaniec, Tadeusz; Martin, Gaven (2001), Geometric function theory and non-linear analysis, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850929-5, MR 1859913.
• Zhou, Li (2007), "Problem 11208: Chromatic numbers of the Menger sponges", American Mathematical Monthly, 114 (9): 842, JSTOR 27642353

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• सीरपिंस्की कालीन
• टोपोलॉजिकल विमा
• अनन्त तक
• लेबेस्ग उपाय
• कॉम्पैक्ट समुच्चय
• गणनीय
• उरीसोहन यूनिवर्सल स्पेस
• कोच स्नोफ्लेक्स

बाहरी कड़ियाँ

• Menger sponge at Wolfram MathWorld
• The 'Business Card Menger Sponge' by Dr. Jeannine Mosely – an online exhibit about this giant origami fractal at the Institute For Figuring
• An interactive Menger sponge
• Interactive Java models
• Puzzle Hunt — Video explaining Zeno's paradoxes using Menger–Sierpinski sponge
• Menger sphere, rendered in SunFlow
• Post-It Menger Sponge – a level-3 Menger sponge being built from Post-its
• The Mystery of the Menger Sponge. Sliced diagonally to reveal stars
• OEIS sequence A212596 (Number of cards required to build a Menger sponge of level n in origami)
• Woolly Thoughts Level 2 Menger Sponge by two "Mathekniticians"
• Dickau, R.: Jerusalem Cube Further discussion.