पाउली समीकरण

क्वांटम यांत्रिकी में, पाउली समीकरण या श्रोडिंगर-पाउली समीकरण स्पिन-½ कणों के लिए श्रोडिंगर समीकरण का सूत्रीकरण है, जो बाहरी विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ कण के स्पिन (भौतिकी) की बातचीत को ध्यान में रखता है। यह डिराक समीकरण की गैर-विशेष सापेक्षता सीमा है और इसका उपयोग वहां किया जा सकता है जहां कण प्रकाश की गति से बहुत कम गति से गति कर रहे हैं, ताकि सापेक्षतावादी प्रभावों की उपेक्षा की जा सके। इसे 1927 में वोल्फगैंग पाउली द्वारा तैयार किया गया था।

समीकरण

द्रव्यमान के एक कण के लिए $m$ और इलेक्ट्रिक चार्ज $q$, चुंबकीय वेक्टर क्षमता द्वारा वर्णित विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में $\mathbf {A}$ और विद्युत क्षमता $\phi$, पाउली समीकरण पढ़ता है:

Pauli equation (general)

$\left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

यहां गणित> \boldsymbol{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)</math> सुविधा के लिए पॉल मैट्रिसेस को सदिश में एकत्रित किया जाता है, और गणित>\mathbf{\hat{p}} = -i\hbar \nabla</math> स्थिति प्रतिनिधित्व में संवेग संचालक है। सिस्टम की स्थिति, math>|\psi\rangle</math> (डायराक संकेतन में लिखा गया), दो-घटक spinor तरंग क्रिया , या कॉलम वेक्टर (आधार की पसंद के बाद) के रूप में माना जा सकता है:

गणित> |\psi\rangle = \psi_+ |\mathord\uparrow\rangle + \psi_-|\mathord\downarrow\rangle \,\stackrel{\cdot}{=}\, \begin{bmatrix}

\psi_+ \\ \psi_- \end{bmatrix}</math>.

पाउली मैट्रिक्स के कारण हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) एक 2 × 2 मैट्रिक्स है।

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )\right]^{2}+q\phi$

श्रोडिंगर समीकरण में प्रतिस्थापन पाउली समीकरण देता है। यह हैमिल्टन एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ परस्पर क्रिया करने वाले आवेशित कण के लिए शास्त्रीय हैमिल्टनियन के समान है। इस शास्त्रीय मामले के विवरण के लिए लोरेंत्ज़ बल # लोरेंत्ज़ बल और विश्लेषणात्मक यांत्रिकी देखें। विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की अनुपस्थिति में एक मुक्त कण के लिए गतिज ऊर्जा शब्द न्यायसंगत है ${\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}$ कहां $\mathbf {p}$ एक क्षेत्र में संवेग#कण है, जबकि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की उपस्थिति में इसमें न्यूनतम युग्मन शामिल होता है $\mathbf {\Pi } =\mathbf {p} -q\mathbf {A}$, कहाँ हैं $\mathbf {\Pi }$ गतिज गति है और $\mathbf {p}$ विहित गति है।

पाउली मैट्रिसेस#रिलेशन टू डॉट एंड क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करके पाउली ऑपरेटरों को गतिज ऊर्जा शब्द से हटाया जा सकता है:

$({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)$

ध्यान दें कि वेक्टर के विपरीत, अवकल संकारक $\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$ गैर-शून्य क्रॉस उत्पाद स्वयं के साथ है। इसे स्केलर फ़ंक्शन पर लागू क्रॉस उत्पाद पर विचार करके देखा जा सकता है $\psi$:

$\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\times \left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\right]\psi =-q\left[\mathbf {\hat {p}} \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\mathbf {\hat {p}} \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\nabla \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\psi \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \mathbf {B} \psi$

कहां $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$ चुंबकीय क्षेत्र है।

पूर्ण पाउली समीकरण के लिए, एक तब प्राप्त होता है

Pauli equation (standard form)

${\hat {H}}|\psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

कमजोर चुंबकीय क्षेत्र

ऐसे मामले के लिए जहां चुंबकीय क्षेत्र स्थिर और समरूप है, कोई विस्तार कर सकता है ${\textstyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )^{2}}$ लैंडौ क्वांटिज़ेशन का उपयोग#In_the_symmetric_gauge ${\textstyle \mathbf {\hat {A}} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} }$, कहां ${\textstyle \mathbf {r} }$ स्थिति ऑपरेटर है और A अब एक ऑपरेटर है। हमने प्राप्त किया

$(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {\hat {A}} )^{2}=|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\hat {p}} )\cdot \mathbf {B} +{\frac {1}{4}}q^{2}\left(|\mathbf {B} |^{2}|\mathbf {\hat {r}} |^{2}-|\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {r}} |^{2}\right)\approx \mathbf {\hat {p}} ^{2}-q\mathbf {\hat {L}} \cdot \mathbf {B} \,,$

कहां ${\textstyle \mathbf {\hat {L}} }$ कण कोणीय संवेग संचालक है और हमने चुंबकीय क्षेत्र वर्ग में शब्दों की उपेक्षा की है ${\textstyle B^{2}}$. इसलिए हम प्राप्त करते हैं {{Equation box 1 |title=Pauli equation (weak magnetic fields) |indent =: |equation = $\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {L}} +2\mathbf {\hat {S}} )\cdot \mathbf {B} \right)\right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$ |सेलपैडिंग |बॉर्डर |बॉर्डर का रंग = #50C878 |पृष्ठभूमि का रंग = #ECFCF4}
कहां गणित प्रदर्शन = इनलाइन >\mathbf{S}=\hbar\boldsymbol{\sigma}/2</math> कण का स्पिन (भौतिकी) है। स्पिन के सामने कारक 2 को डायराक जी-फैक्टर (भौतिकी) | जी-फैक्टर के रूप में जाना जाता है। में पद मैथ डिस्प्ले = इनलाइन > \mathbf{B}</math>, फॉर्म का है ${\textstyle -{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$ जो एक चुंबकीय क्षण के बीच सामान्य बातचीत है ${\textstyle {\boldsymbol {\mu }}}$ और एक चुंबकीय क्षेत्र, जैसे Zeeman प्रभाव में।

आवेश के एक इलेक्ट्रॉन के लिए ${\textstyle -e}$ एक आइसोटोपिक निरंतर चुंबकीय क्षेत्र में, कुल कोणीय गति का उपयोग करके समीकरण को और कम किया जा सकता है ${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$ और विग्नर-एकार्ट प्रमेय । इस प्रकार हम पाते हैं

$\left[{\frac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}}+\mu _{\rm {B}}g_{J}m_{j}|\mathbf {B} |-e\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

कहां ${\textstyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2m}}}$ बोहर चुंबक है और ${\textstyle m_{j}}$ से संबंधित चुंबकीय क्वांटम संख्या है ${\textstyle \mathbf {J} }$. अवधि ${\textstyle g_{J}}$ लैंडे जी-फैक्टर के रूप में जाना जाता है, और यहां द्वारा दिया गया है

$g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {{\frac {3}{4}}-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}},$

कहां $\ell$ कक्षीय क्वांटम संख्या से संबंधित है $L^{2}$ और $j$ से संबंधित कुल कक्षीय क्वांटम संख्या है $J^{2}$.

डायराक समीकरण से

पाउली समीकरण डायराक समीकरण की गैर-सापेक्षतावादी सीमा है, स्पिन-½ कणों के लिए सापेक्षतावादी क्वांटम गति का समीकरण।

व्युत्पत्ति

डायराक समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$i\hbar \,\partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{2}\\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{1}\end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}+mc^{2}\,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\-\psi _{2}\end{pmatrix}},$$

कहां ${\textstyle \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ और $\psi _{1},\psi _{2}$ द्वि-घटक स्पिनर हैं, एक बिस्पिनर|बिस्पिनर बनाते हैं।

निम्नलिखित ansatz का उपयोग करना:

$${\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=e^{-i{\tfrac {mc^{2}t}{\hbar }}}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}},$$

दो नए स्पिनरों के साथ $\psi ,\chi$, समीकरण बन जाता है

$$i\hbar \partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\chi \\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi \end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-2\,mc^{2}\,\chi \end{pmatrix}}.$$

गैर-सापेक्षतावादी सीमा में, $\partial _{t}\chi$ और बाकी ऊर्जा के संबंध में गतिज और इलेक्ट्रोस्टैटिक ऊर्जा छोटी होती है $mc^{2}$.

इस प्रकार

$$\chi \approx {\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi }{2\,mc}}\,.$$

डायराक समीकरण के ऊपरी घटक में सम्मिलित, हम पाउली समीकरण (सामान्य रूप) पाते हैं:

$$i\hbar \,\partial _{t}\,\psi =\left[{\frac {({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right]\psi .$$

फोल्डी-वौथुइसेन परिवर्तन से

एक बाहरी क्षेत्र में डायराक समीकरण से शुरू होने और फोल्डी-वाउथ्यूसेन परिवर्तन करने से पाउली समीकरण को सख्ती से प्राप्त किया जा सकता है।

पाउली कपलिंग

पाउली का समीकरण न्यूनतम युग्मन की आवश्यकता के द्वारा प्राप्त किया गया है, जो जी-कारक जी = 2 प्रदान करता है। अधिकांश प्राथमिक कणों में विषम जी-कारक होते हैं, जो 2 से भिन्न होते हैं। सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के क्षेत्र में, एक गैर-न्यूनतम युग्मन को परिभाषित करता है, जिसे कभी-कभी पाउली युग्मन कहा जाता है, ताकि एक विषम कारक जोड़ा जा सके।

$\gamma ^{\mu }p_{\mu }\to \gamma ^{\mu }p_{\mu }-q\gamma ^{\mu }A_{\mu }+a\sigma _{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

कहां $p_{\mu }$ चार गति ऑपरेटर है, $A_{\mu }$ विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता है, $a$ विषम चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण के समानुपाती होता है, $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$ विद्युत चुम्बकीय टेंसर है, और ${\textstyle \sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]}$ लोरेंट्ज़ियन स्पिन मैट्रिसेस और गामा मैट्रिक्स के कम्यूटेटर हैं $\gamma ^{\mu }$. गैर-सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में, श्रोडिंगर समीकरण के साथ काम करने के बजाय, पाउली युग्मन पाउली समीकरण (या ज़िमन ऊर्जा को पोस्ट करने) के लिए मनमाने ढंग से जी-फैक्टर का उपयोग करने के बराबर है।

यह भी देखें

• अर्धशास्त्रीय भौतिकी
• परमाणु, आणविक और ऑप्टिकल भौतिकी
• समूह संकुचन
• गॉर्डन अपघटन

संदर्भ

पुस्तकें

• Schwabl, Franz (2004). क्वांटम यांत्रिकी I. Springer. ISBN 978-3540431060.
• Schwabl, Franz (2005). उन्नत शिक्षार्थियों के लिए क्वांटम यांत्रिकी. Springer. ISBN 978-3540259046.
• Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Frank Laloe (2006). क्वांटम यांत्रिकी 2. Wiley, J. ISBN 978-0471569527.

श्रेणी:क्वांटम यांत्रिकी