सर्वांगसमता (ज्यामिति)

समरूपता का उदाहरण। बायीं ओर दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं, जबकि तीसरा उनसे समानता (ज्यामिति) है। अंतिम त्रिभुज न तो सर्वांगसम है और न ही किसी अन्य के समान। सर्वांगसमता कुछ गुणों में परिवर्तन की अनुमति देती है, जैसे स्थान और अभिविन्यास, लेकिन दूसरों को अपरिवर्तित छोड़ देती है, जैसे दूरी और कोण। अपरिवर्तित गुणों को अपरिवर्तनीय (गणित) कहा जाता है।

ज्यामिति में, दो आकृतियाँ या वस्तुएँ सर्वांगसम होती हैं यदि उनका आकार और आकार समान हो, या यदि एक का आकार और आकार दूसरे की दर्पण छवि के समान हो।^[1]

अधिक औपचारिक रूप से, बिंदु के दो समूह (ज्यामिति) को सर्वांगसम कहा जाता है, और केवल अगर, एक आइसोमेट्री द्वारा दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है, अर्थात, कठोर गति का एक संयोजन, अर्थात् एक अनुवाद (ज्यामिति), एक रोटेशन, और एक प्रतिबिंब (गणित)। इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी वस्तु को दूसरी वस्तु के साथ सटीक रूप से मेल खाने के लिए पुनर्स्थापित किया जा सकता है और प्रतिबिंबित किया जा सकता है (लेकिन आकार नहीं बदला जा सकता है)। तो कागज के एक टुकड़े पर दो भिन्न -भिन्न समतल आकृतियाँ सर्वांगसम होती हैं यदि हम उन्हें काट कर पूरी तरह से मिला सकते हैं। कागज को पलटने की अनुमति है।

यह आरेख कोण-कोण-भुजा त्रिभुज सर्वांगसमता के ज्यामितीय सिद्धांत को दर्शाता है: त्रिभुज ABC और त्रिभुज A'B'C' दिया गया है, त्रिभुज ABC त्रिभुज A'B'C' के सर्वांगसम है यदि और केवल यदि: कोण CAB कोण के सर्वांगसम है C'A'B', और कोण ABC, कोण A'B'C' के सर्वांगसम है, और BC, B'C' के सर्वांगसम है। नोट हैच_मार्क#Congruency_notation का उपयोग यहाँ कोण और भुजाओं की समानता दिखाने के लिए किया गया है।

प्रारंभिक ज्यामिति में सर्वांगसम शब्द का प्रयोग प्रायः इस प्रकार किया जाता है।^[2] समान शब्द का प्रयोग प्रायः इन वस्तुओं के लिए सर्वांगसम के स्थान पर किया जाता है।

दो रेखाखंड सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी लंबाई समान हो।
दो कोण सर्वांगसम होते हैं यदि उनका माप समान हो।
दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं यदि उनका व्यास समान हो।

इस अर्थ में, दो समतल आकृतियाँ सर्वांगसम हैं इसका तात्पर्य है कि उनकी संगत विशेषताएँ न केवल उनकी संगत भुजाओं और कोणों सहित अपितु उनके संगत विकर्णों, परिमापों और क्षेत्रफलों सहित सर्वांगसम या समान हैं।

समरूपता (ज्यामिति) की संबंधित अवधारणा लागू होती है यदि वस्तुओं का आकार समान हो लेकिन आवश्यक रूप से समान आकार न हो। (अधिकांश परिभाषाएँ सर्वांगसमता को समानता का एक रूप मानती हैं, यद्यपि कुछ अल्पसंख्यकों के लिए यह आवश्यक है कि समान के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए वस्तुओं के भिन्न -भिन्न आकार हों।)

बहुभुजों की सर्वांगसमता ज्ञात करना

नारंगी और हरे चतुर्भुज सर्वांगसम हैं; नीला उनके अनुरूप नहीं है। तीनों का परिमाप और क्षेत्रफल समान है। (नीले चतुर्भुज की भुजाओं का क्रम मिश्रित होता है जिसके परिणामस्वरूप दो आंतरिक कोण और एक विकर्ण सर्वांगसम नहीं होता है।)

दो बहुभुजों के सर्वांगसम होने के लिए, उनकी भुजाओं की संख्या समान होनी चाहिए (और इसलिए एक समान संख्या—समान संख्या—शीर्षों की)। n भुजाओं वाले दो बहुभुज सर्वांगसम होते हैं यदि और केवल यदि उनमें से प्रत्येक में संख्यात्मक रूप से समान अनुक्रम होते हैं (भले ही एक बहुभुज के लिए दक्षिणावर्त और दूसरे के लिए वामावर्त) पक्ष-कोण-पक्ष-कोण -... n भुजाओं और n कोणों के लिए।

बहुभुजों की सर्वांगसमता को आलेखीय रूप से निम्नानुसार स्थापित किया जा सकता है:

पहले, दो आकृतियों के संबंधित शीर्षों का मिलान करें और उन्हें नामित करें।
दूसरा, किसी एक आकृति के किसी एक शीर्ष से दूसरी आकृति के संगत शीर्ष तक एक सदिश आरेखित करें। इस सदिश द्वारा पहली आकृति का अनुवाद करें जिससे ये दो कोने मेल खा सकें।
तीसरा, मिलान किए गए शीर्ष के बारे में अनुवादित आकृति को तब तक घुमाएँ जब कि तक संगत भुजाओं का एक जोड़ा मेल न खा जाए।
चौथा, इस मिलान की गई भुजा के बारे में तब तक घुमाई गई आकृति को तब तक प्रतिबिंबित करें जब तक कि आंकड़े मेल नहीं खाते।

यदि किसी समय चरण को पूरा नहीं किया जा सकता है, तो बहुभुज सर्वांगसम नहीं होते हैं।

त्रिभुजों की सर्वांगसमता

दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी संगत भुजाएँ (ज्यामिति) लंबाई में बराबर हों, और उनके संगत कोण माप में बराबर हों।

प्रतीकात्मक रूप से, हम दो त्रिभुजों की सर्वांगसमता और असंगति लिखते हैं $△ ABC$ तथा $△ A'B'C'$ निम्नलिखित नुसार:

ABC\cong A'B'C'

ABC\ncong A'B'C'

कई मामलों में तीन संगत भागों की समानता स्थापित करना और दो त्रिभुजों की सर्वांगसमता निकालने के लिए निम्नलिखित परिणामों में से किसी एक का उपयोग करना पर्याप्त होता है।

एक त्रिभुज का आकार दो भुजाओं और उनके बीच के कोण (एसएएस), दो कोणों और उनके बीच की भुजा (एएसए) या दो कोणों और एक संगत आसन्न भुजा (एएएस) को निर्दिष्ट करके सर्वांगसमता तक निर्धारित किया जाता है। यद्यपि , दो पक्षों और आसन्न कोण (एसएसए) को निर्दिष्ट करने से दो अलग-अलग संभावित त्रिकोण प्राप्त हो सकते हैं।

सर्वांगसमता का निर्धारण

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में दो त्रिभुजों के बीच सर्वांगसमता के लिए पर्याप्त प्रमाण निम्नलिखित तुलनाओं के माध्यम से दिखाए जा सकते हैं:

एसएएस (भुजा-कोण-भुजा): यदि दो त्रिभुजों की भुजाओं के दो युग्म लंबाई में समान हैं, और सम्मिलित कोण माप में समान हैं, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
एसएसएस (साइड-साइड-साइड): यदि दो त्रिभुजों की भुजाओं के तीन युग्म लंबाई में समान हैं, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
एएसए (कोण-भुजा-कोण): यदि दो त्रिभुजों के कोणों के दो जोड़े माप में समान हैं, और सम्मिलित भुजाएँ लंबाई में समान हैं, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

एएसए अभिधारणा का योगदान मिलेटस के थेल्स (ग्रीक) द्वारा किया गया था। स्वयंसिद्धों की अधिकांश प्रणालियों में, तीन मानदंड - एसएएस, एसएसएस और एएसए - प्रमेय के रूप में स्थापित हैं। स्कूल गणित अध्ययन समूह प्रणाली में एसएएस को 22 अभिधारणाओं में से एक (#15) के रूप में लिया जाता है।

एएएस (कोण-कोण-भुजा): यदि दो त्रिभुजों के कोणों के दो जोड़े माप में समान हैं, और संबंधित गैर-शामिल भुजाओं की एक जोड़ी लंबाई में समान है, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं। एएएस एक एएसए स्थिति के समतुल्य है, और इस तथ्य से कि यदि कोई दो कोण दिए गए हैं, तो तीसरा कोण भी दिया गया है, क्योंकि उनका योग 180° होना चाहिए। एएसए और एएएस को कभी-कभी एक ही स्थिति में संयोजित किया जाता है, AAcorrS - कोई भी दो कोण और एक संगत भुजा।^[3]
आरएचएस (समकोण-कर्ण-पक्ष), जिसे एचएल (कर्ण-पैर) के रूप में भी जाना जाता है: यदि दो समकोण त्रिभुजों के कर्ण लंबाई में बराबर हैं, और अन्य भुजाओं की एक जोड़ी लंबाई में बराबर है, तो त्रिकोण हैं सर्वांगसम।

साइड-साइड-एंगल

एसएसए स्थिति (साइड-साइड-एंगल) जो दो पक्षों को निर्दिष्ट करती है और एक गैर-शामिल कोण (जिसे एएसएस , या कोण-साइड-साइड के रूप में भी जाना जाता है) अपने आप में सर्वांगसमता सिद्ध नहीं करती है। सर्वांगसमता दिखाने के लिए, अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता होती है जैसे संगत कोणों का माप और कुछ मामलों में संगत भुजाओं के दो युग्मों की लंबाई। कुछ संभावित मामले हैं:

यदि दो त्रिभुज एसएसए शर्त को पूरा करते हैं और कोण के विपरीत भुजा की लंबाई आसन्न भुजा (एसएसए , या लंबी भुजा-लघु भुजा-कोण) की लंबाई से अधिक या उसके बराबर है, तो दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं। विपरीत पक्ष कभी-कभी लंबा होता है जब संबंधित कोण तीव्र होते हैं, लेकिन यह हमेशा लंबा होता है जब संबंधित कोण समकोण या अधिक होते हैं। जहाँ कोण एक समकोण है, जिसे कर्ण-पैर (एचएल) अभिधारणा या समकोण-कर्ण-पक्ष (आरएचएस ) स्थिति के रूप में भी जाना जाता है, तीसरे पक्ष की गणना पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है, इस प्रकार एसएसएस अभिधारणा की अनुमति देता है लागू।

यदि दो त्रिभुज एसएसए शर्त को पूरा करते हैं और संगत कोण तीव्र हैं और कोण के विपरीत भुजा की लंबाई कोण की ज्या से गुणा की गई सन्निकट भुजा की लंबाई के बराबर है, तो दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

यदि दो त्रिभुज एसएसए शर्त को पूरा करते हैं और संगत कोण तीव्र हैं और कोण के विपरीत भुजा की लंबाई कोण की ज्या से गुणा की गई सन्निकट भुजा की लंबाई से अधिक है (लेकिन आसन्न भुजा की लंबाई से कम है), तो दो त्रिभुजों को सर्वांगसम नहीं दिखाया जा सकता है। यह अस्पष्ट मामला है और दी गई जानकारी से दो भिन्न -भिन्न त्रिकोण बनाए जा सकते हैं, लेकिन उन्हें भिन्न करने वाली अतिरिक्त जानकारी से सर्वांगसमता का प्रमाण मिल सकता है।

कोण-कोण-कोण

यूक्लिडियन ज्यामिति में, एएए (कोण-कोण-कोण) (या केवल एए, चूंकि यूक्लिडियन ज्यामिति में त्रिभुज के कोणों का जोड़ 180° तक होता है) दो त्रिभुजों के आकार के बारे में जानकारी प्रदान नहीं करता है और इसलिए केवल समानता (ज्यामिति) सिद्ध करता है ) और यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सर्वांगसमता नहीं।

यद्यपि , गोलाकार ज्यामिति और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में (जहां त्रिकोण के कोणों का योग आकार के साथ भिन्न होता है) एएए सतह के दिए गए वक्रता पर सर्वांगसमता के लिए पर्याप्त है।^[4]

सीपीसीटीसी

यह परिवर्णी शब्द सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग सर्वांगसम हैं, जो सर्वांगसम त्रिभुजों की परिभाषा का संक्षिप्त रूप है।^[5]^[6] अधिक विस्तार से, यह कहने का एक संक्षिप्त तरीका है कि यदि त्रिभुज $ABC$ तथा $DEF$ सर्वांगसम हैं, अर्थात्

\triangle ABC\cong \triangle DEF,

शीर्षों पर संगत कोणों के युग्मों के साथ $A$ तथा $D$ ; $B$ तथा $E$ ; तथा $C$ तथा $F$ , और भुजाओं के संगत युग्मों के साथ $AB$ तथा $DE$ ; $BC$ तथा $EF$ ; तथा $CA$ तथा $FD$ , तो निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

{\overline {AB}}\cong {\overline {DE}}

{\overline {BC}}\cong {\overline {EF}}

{\overline {AC}}\cong {\overline {DF}}

\angle BAC\cong \angle EDF

\angle ABC\cong \angle DEF

\angle BCA\cong \angle EFD.

इस कथन का उपयोग प्रायः प्रारंभिक ज्यामिति के प्रमाणों में औचित्य के रूप में किया जाता है, जब त्रिभुजों की सर्वांगसमता स्थापित होने के बाद दो त्रिभुजों के भागों की सर्वांगसमता के निष्कर्ष की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, यदि दो त्रिभुजों को SSS मानदंड द्वारा सर्वांगसम दिखाया गया है और प्रमाण में संगत कोणों के सर्वांगसम होने का कथन आवश्यक है, तो इस कथन के औचित्य के रूप में CPCTC का उपयोग किया जा सकता है।

एक संबंधित प्रमेय 'CPCFC' है, जिसमें त्रिभुजों को अंकों से बदल दिया जाता है ताकि प्रमेय बहुभुज या बहुफलक के किसी भी युग्म पर लागू हो जो सर्वांगसम हो।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में सर्वांगसमता की परिभाषा

यूक्लिडियन ज्यामिति में, सर्वांगसमता मौलिक है; यह संख्या के लिए समानता का प्रतिरूप है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, सर्वांगसमता को सहज रूप से परिभाषित किया जा सकता है: एक कार्तीय समन्वय प्रणाली पर आंकड़ों के दो मानचित्रण सर्वांगसम होते हैं यदि और केवल यदि, पहले मानचित्रण में किन्हीं दो बिंदुओं के लिए, उनके बीच की यूक्लिडियन दूरी संगत के बीच यूक्लिडियन दूरी के बराबर है दूसरी मैपिंग में अंक।

एक अधिक औपचारिक परिभाषा में कहा गया है कि यूक्लिडियन स्पेस 'R' के दो उपसमुच्चय A और Bⁿ सर्वांगसम कहलाते हैं यदि वहाँ एक समरूपता f : 'R' मौजूद होⁿ → 'आर'ⁿ (यूक्लिडियन समूह E(n) का एक तत्व) f(A) = B के साथ। सर्वांगसमता एक तुल्यता संबंध है।

सर्वांगसम शंकु खंड

दो शांकव खंड सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी विलक्षणता (गणित) और एक अन्य विशिष्ट पैरामीटर जो उन्हें चिह्नित करता है, समान हैं। उनकी विलक्षणता उनके आकार को स्थापित करती है, जिसकी समानता समानता स्थापित करने के लिए पर्याप्त है, और दूसरा पैरामीटर तब आकार स्थापित करता है। चूँकि दो वृत्त, परवलय, या आयताकार अतिपरवलय हमेशा एक ही उत्केन्द्रता रखते हैं (विशेष रूप से वृत्त के मामले में 0, परवलय के मामले में 1, और ${\sqrt {2}}$ आयताकार अतिपरवलय के मामले में), दो वृत्त, परवलय, या आयताकार अतिपरवलय में केवल एक अन्य सामान्य पैरामीटर मान होना चाहिए, जिससे उनका आकार स्थापित हो सके, ताकि वे सर्वांगसम हों।

सर्वांगसम बहुकोणीय आकृति

समान संयोजी प्रकार वाले दो बहुफलकों के लिए (अर्थात, समान किनारों की संख्या ई, चेहरे की समान संख्या (ज्यामिति), और संबंधित चेहरों पर समान संख्या में), ई माप का एक समूह मौजूद है जो यह स्थापित कर सकता है कि पॉलीहेड्रा सर्वांगसम हैं या नहीं।^[7]^[8] संख्या तंग है, जिसका अर्थ है कि ई माप से कम पर्याप्त नहीं है यदि पॉलीहेड्रा उनके संयोजी प्रकार के बीच सामान्य हैं। लेकिन कम माप विशेष मामलों के लिए काम कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, घनों के 12 किनारे होते हैं, लेकिन 9 माप यह तय करने के लिए पर्याप्त हैं कि क्या उस संयोजी प्रकार का बहुफलक किसी दिए गए नियमित घन के सर्वांगसम है।

गोले पर सर्वांगसम त्रिभुज

समतल त्रिभुजों की तरह, एक गोले पर कोण-भुजा-कोण (ASA) के समान अनुक्रम को साझा करने वाले दो त्रिभुज आवश्यक रूप से सर्वांगसम होते हैं (अर्थात, उनके तीन समान पक्ष और तीन समान कोण होते हैं)।^[9] इसे निम्न प्रकार से देखा जा सकता है: दक्षिणी ध्रुव पर एक दिए गए कोण के साथ एक शीर्ष स्थित हो सकता है और दी गई लंबाई के साथ प्रमुख मध्याह्न तक चला सकता है। निश्चित लंबाई के खंड के किसी भी छोर पर दोनों कोणों को जानने से यह सुनिश्चित होता है कि अन्य दो पक्ष विशिष्ट रूप से निर्धारित प्रक्षेपवक्र के साथ निकलते हैं, और इस प्रकार एक दूसरे से विशिष्ट रूप से निर्धारित बिंदु पर मिलेंगे; इस प्रकार एएसए मान्य है।

सर्वांगसमता प्रमेय पार्श्व-कोण-पक्ष (SAS) और पार्श्व-पक्ष-पक्ष (SSS) भी एक गोले पर टिके रहते हैं; इसके अलावा, यदि दो गोलाकार त्रिभुजों में एक समान कोण-कोण-कोण (AAA) अनुक्रम होता है, तो वे सर्वांगसम होते हैं (समतल त्रिभुजों के विपरीत)।^[9]

समतल-त्रिकोण सर्वांगसमता प्रमेय कोण-कोण-पक्ष (AAS) गोलीय त्रिभुजों के लिए मान्य नहीं है।^[10] जैसा कि समतल ज्यामिति में, साइड-साइड-एंगल (SSA) का तात्पर्य सर्वांगसमता नहीं है।

नोटेशन

आमतौर पर सर्वांगसमता के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला प्रतीक एक बराबर का प्रतीक होता है जिसके ऊपर एक टिल्ड होता है, ≅, जो यूनिकोड वर्ण 'लगभग बराबर' (U+2245) के अनुरूप होता है। यूके में, कभी-कभी तीन-बार समान चिह्न ≡ (U+2261) का उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

यूक्लिडियन प्लेन आइसोमेट्री
आइसोमेट्री

संदर्भ

↑ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). "गणित का ऑक्सफोर्ड संक्षिप्त शब्दकोश, सर्वांगसम आंकड़े" (PDF). Addison-Wesley. p. 167. Archived from the original on 29 October 2013. Retrieved 2 June 2017.{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
↑ "अनुरूपता". Math Open Reference. 2009. Retrieved 2 June 2017.
↑ Parr, H. E. (1970). स्कूल गणित में संशोधन पाठ्यक्रम. Mathematics Textbooks Second Edition. G Bell and Sons Ltd. ISBN 0-7135-1717-4.
↑ Cornel, Antonio (2002). माध्यमिक विद्यालयों के लिए ज्यामिति. Mathematics Textbooks Second Edition. Bookmark Inc. ISBN 971-569-441-1.
↑ Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W.H. Freeman, p. 160, ISBN 0-7167-0456-0 Jacobs uses a slight variation of the phrase
↑ "सर्वांगसम त्रिभुज". Cliff's Notes. Retrieved 2014-02-04.
↑ Borisov, Alexander; Dickinson, Mark; Hastings, Stuart (March 2010). "पॉलीहेड्रा के लिए एक सर्वांगसमता समस्या". American Mathematical Monthly. 117 (3): 232–249. arXiv:0811.4197. doi:10.4169/000298910X480081. S2CID 8166476.
↑ Creech, Alexa. "एक संगति समस्या" (PDF). Archived from the original (PDF) on November 11, 2013.
↑ ^9.0 ^9.1 Bolin, Michael (September 9, 2003). "गोलाकार ज्यामिति की खोज" (PDF). pp. 6–7. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09.
↑ Hollyer, L. "112 की स्लाइड 89".

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

बिंदु (ज्यामिति)
घेरा
रेखा खंड
संगत पक्ष
किनारा (ज्यामिति)
त्रिकोण
पाइथागोरस प्रमेय
बहुतल
सबसेट
आयताकार हाइपरबोला
चेहरा (ज्यामिति)
घनक्षेत्र

बाहरी संबंध

The SSS at Cut-the-Knot
The SSA at Cut-the-Knot
Interactive animations demonstrating Congruent polygons, Congruent angles, Congruent line segments, Congruent triangles at Math Open Reference

[1] Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). "गणित का ऑक्सफोर्ड संक्षिप्त शब्दकोश, सर्वांगसम आंकड़े" (PDF). Addison-Wesley. p. 167. Archived from the original on 29 October 2013. Retrieved 2 June 2017.{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)

[2] "अनुरूपता". Math Open Reference. 2009. Retrieved 2 June 2017.

[3] Parr, H. E. (1970). स्कूल गणित में संशोधन पाठ्यक्रम. Mathematics Textbooks Second Edition. G Bell and Sons Ltd. ISBN 0-7135-1717-4.

[4] Cornel, Antonio (2002). माध्यमिक विद्यालयों के लिए ज्यामिति. Mathematics Textbooks Second Edition. Bookmark Inc. ISBN 971-569-441-1.

[5] Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W.H. Freeman, p. 160, ISBN 0-7167-0456-0 Jacobs uses a slight variation of the phrase

[6] "सर्वांगसम त्रिभुज". Cliff's Notes. Retrieved 2014-02-04.

[7] Borisov, Alexander; Dickinson, Mark; Hastings, Stuart (March 2010). "पॉलीहेड्रा के लिए एक सर्वांगसमता समस्या". American Mathematical Monthly. 117 (3): 232–249. arXiv:0811.4197. doi:10.4169/000298910X480081. S2CID 8166476.

[8] Creech, Alexa. "एक संगति समस्या" (PDF). Archived from the original (PDF) on November 11, 2013.

[Bolin-9] 9.0 ^9.1 Bolin, Michael (September 9, 2003). "गोलाकार ज्यामिति की खोज" (PDF). pp. 6–7. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09.

[10] Hollyer, L. "112 की स्लाइड 89".

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