द्वितीय अवकलज

द्विघात फलन का द्वितीय अवकलज नियत होता है।

कलन में, किसी फलन f का द्वितीय अवकलज, या द्वितीय कोटि का अवकलज, f के अवकलज का अवकलज होता है। मोटे तौर पर, द्वितीय अवकलज यह मापता है कि मात्रा के परिवर्तन की दर स्वयं कैसे बदल रही है; उदाहरण के लिए, समय के संबंध में किसी वस्तु की स्थिति का द्वितीय अवकलज वस्तु का तात्कालिक त्वरण है, या वह दर जिस पर समय के संबंध में वस्तु का वेग बदल रहा है। लीबनिज संकेतन में:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}},$

जहाँ a त्वरण है, v वेग है, t समय है, x स्थिति है, और d तात्क्षणिक डेल्टा या परिवर्तन है। अंतिम अभिव्यक्ति ${\tfrac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}$ समय के संबंध में स्थिति (x) का द्वितीय अवकलज है।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर, द्वितीय अवकलज ग्राफ़ की वक्रता या समतलता से मेल खाता है। एक सकारात्मक द्वितीय अवकलज के साथ एक फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपर की ओर अवतल होता है, जबकि एक नकारात्मक द्वितीय अवकलज के साथ एक फ़ंक्शन का ग्राफ विपरीत तरीके से घटता है।

द्वितीय अवकलज घात नियम

पहले अवकलज के लिए घात नियम, यदि दो बार लागू किया जाता है, तो द्वितीय अवकलज शक्ति नियम निम्नानुसार उत्पन्न होगा:

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {d}{dx}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.$

संकेतन

Further information: अवकलन के लिए संकेतन

किसी फ़ंक्शन का द्वितीय अवकलज $f(x)$ सामान्यतया निरूपित किया जाता है $f''(x)$. वह है:

$f''=\left(f'\right)'$

अवकलज के लिए लीबनिज़ के संकेतन का उपयोग करते समय, एक स्वतंत्र चर x के संबंध में एक आश्रित चर y का द्वितीय अवकलज लिखा जाता है

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$

यह संकेतन निम्नलिखित सूत्र से लिया गया है:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).$

वैकल्पिक संकेतन

जैसा कि पिछले खंड नोट करता है, द्वितीय अवकलज के लिए मानक लीबनिज़ संकेतन है${\textstyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$। हालाँकि, यह रूप बीजगणितीय रूप से हेरफेर करने योग्य नहीं है। अर्थात्, हालांकि यह अंतर के एक अंश की तरह बनता है, अंश को टुकड़ों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, शर्तों को रद्द नहीं किया जा सकता है, आदि। हालांकि, द्वितीय अवकलज के लिए एक वैकल्पिक सूत्र का उपयोग करके इस सीमा को दूर किया जा सकता है। यह भागफल नियम को पहले अवकलज पर लागू करने से प्राप्त होता है। ऐसा करने से सूत्र प्राप्त होता है:

$y''(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)={\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}x}{dx^{2}}}$

इस सूत्र में, $du$ लागू अंतर ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है $u$, अर्थात।, $d(u)$, $d^{2}u$ अंतर ऑपरेटर को दो बार लागू करने का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात, $d(d(u))$, और $du^{2}$ लागू किए गए अंतर ऑपरेटर के वर्ग को संदर्भित करता है $u$, अर्थात।, $(d(u))^{2}$.

जब इस तरह से लिखा जाता है (और ऊपर दिए गए अंकन के अर्थ को ध्यान में रखते हुए), द्वितीय अवकलज की शर्तों को किसी अन्य बीजगणितीय शब्द के रूप में स्वतंत्र रूप से जोड़-तोड़ किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, द्वितीय अवकलज के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन सूत्र को उपरोक्त सूत्र के बीजगणितीय जोड़-तोड़ के साथ-साथ द्वितीय अवकलज के लिए श्रृंखला नियम से भी निकाला जा सकता है। क्या अंकन में इस तरह का बदलाव करना मुसीबत के लायक होने के लिए पर्याप्त रूप से मददगार है, इस पर अभी भी बहस चल रही है।

उदाहरण

समारोह दिया

$f(x)=x^{3},$

का अवकलज f कार्य है

$f^{\prime }(x)=3x^{2}.$

का द्वितीय अवकलज f का अवकलज है $f^{\prime }$, अर्थात्

$f^{\prime \prime }(x)=6x.$

ग्राफ से संबंध

$f(x)=\sin(2x)$ का $-\pi /4$ से $5\pi /4$ तक का एक आलेख। यहाँ स्पर्श रेखा का रंग नीला (जहाँ वक्र ऊपर की ओर अवतल है), हरा (जहाँ वक्र नीचे की ओर अवतल है) और नतिपरिवर्तन बिंदुओं (0, $\pi$/2, और $\pi$) पर लाल है।

अवतलता

फ़ंक्शन f के द्वितीय अवकलज का उपयोग f के ग्राफ की अवतलता को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। एक फ़ंक्शन जिसका द्वितीय अवकलज धनात्मक है अवतल होगा (जिसे उत्तल भी कहा जाता है), जिसका अर्थ है कि स्पर्शरेखा रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ के नीचे स्थित होगी। इसी तरह, एक फ़ंक्शन जिसका द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है, अवतल होगा (जिसे केवल अवतल भी कहा जाता है), और इसकी स्पर्शरेखाएँ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के ऊपर स्थित होंगी।

नतिपरिवर्तन बिंदु

Main article: नतिपरिवर्तन बिंदु

यदि किसी फ़ंक्शन का द्वितीय अवकलज चिह्न बदलता है, तो फ़ंक्शन का ग्राफ़ अवतल से अवतल से ऊपर या इसके विपरीत स्विच करेगा। एक बिंदु जहां यह होता है एक विभक्ति बिंदु कहा जाता है। मान लें कि द्वितीय अवकलज निरंतर है, इसे किसी भी मोड़ बिंदु पर शून्य का मान लेना चाहिए, हालांकि हर बिंदु जहां द्वितीय अवकलज शून्य है, अनिवार्य रूप से मोड़ का बिंदु नहीं है।

द्वितीय अवकलज परीक्षण

Main article: द्वितीय अवकलज परीक्षण

द्वितीय अवकलज और ग्राफ के बीच के संबंध का परीक्षण करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि क्या फ़ंक्शन के लिए एक स्थिर बिंदु (यानी, एक बिंदु जहां $f'(x)=0$) स्थानीय अधिकतम या स्थानीय न्यूनतम है। विशेष रूप से,

• अगर $f^{\prime \prime }(x)<0$, तब $f$ पर स्थानीय अधिकतम है $x$.
• अगर $f^{\prime \prime }(x)>0$, तब $f$ स्थानीय न्यूनतम है $x$.
• अगर $f^{\prime \prime }(x)=0$, द्वितीय अवकलज परीक्षण बिंदु के बारे में कुछ नहीं कहता है $x$, एक संभावित विभक्ति बिंदु।

द्वितीय अवकलज इन परिणामों को उत्पन्न करने का कारण एक वास्तविक दुनिया सादृश्य के माध्यम से देखा जा सकता है। एक वाहन पर विचार करें जो पहले एक बड़े वेग से आगे बढ़ रहा है, लेकिन नकारात्मक त्वरण के साथ। स्पष्ट रूप से, उस बिंदु पर वाहन की स्थिति जहाँ वेग शून्य तक पहुँचता है, प्रारंभिक स्थिति से अधिकतम दूरी होगी - इस समय के बाद, वेग ऋणात्मक हो जाएगा और वाहन उल्टा हो जाएगा। न्यूनतम के लिए भी यही सच है, एक वाहन के साथ जिसमें पहले तो बहुत नकारात्मक वेग होता है लेकिन सकारात्मक त्वरण होता है।

सीमा

द्वितीय अवकलज के लिए एकल सीमा (गणित) लिखना संभव है:

$f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.$

सीमा को द्वितीय सममित अवकलज कहा जाता है। ध्यान दें कि द्वितीय सममित अवकलज तब भी मौजूद हो सकता है जब (सामान्य) द्वितीय अवकलज नहीं होता है।

दाईं ओर की अभिव्यक्ति को अंतर भागफलों के अंतर भागफल के रूप में लिखा जा सकता है:

${\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.$

इस सीमा को अनुक्रमों (गणित) के द्वितीय अंतर के निरंतर संस्करण के रूप में देखा जा सकता है।

हालाँकि, उपरोक्त सीमा के अस्तित्व का अर्थ यह नहीं है कि फलन$f$ का द्वितीय अवकलज है। ऊपर दी गई सीमा सिर्फ द्वितीय अवकलज की गणना करने की संभावना देती है - लेकिन परिभाषा प्रदान नहीं करती है। एक प्रति उदाहरण चिह्न फलन है $\operatorname {sgn}(x)$, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}$

साइन फ़ंक्शन शून्य पर निरंतर नहीं है, और इसलिए द्वितीय अवकलज है$x=0$ मौजूद नहीं है। लेकिन उपरोक्त सीमा के लिए मौजूद है$x=0$

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}$

द्विघात सन्निकटन

जिस प्रकार पहला अवकलज रेखीय सन्निकटन से संबंधित है, उसी प्रकार द्वितीय अवकलज एक फलन f के लिए सर्वोत्तम द्विघात सन्निकटन से संबंधित है। यह द्विघात फलन है जिसका पहला और द्वितीय अवकलज वही है जो दिए गए बिंदु पर f का है। बिंदु x = a के आस-पास किसी फ़ंक्शन f के लिए सर्वोत्तम द्विघात सन्निकटन का सूत्र है

$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.$

यह द्विघात सन्निकटन x = a पर केन्द्रित फलन के लिए द्वितीय क्रम का टेलर बहुपद है।

द्वितीय अवकलज के आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर

सीमा शर्तों के कई संयोजनों के लिए द्वितीय अवकलज के eigenvalues ​​​​और eigenvectors के लिए स्पष्ट सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए मान लेना $x\in [0,L]$ और सजातीय डिरिचलेट सीमा की स्थिति (यानी, $v(0)=v(L)=0$), eigenvalues ​​​​हैं $\lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}$ और संबंधित eigenvectors (जिसे eigenfunctions भी कहा जाता है) हैं $v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)$. यहाँ, $v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x),\,j=1,\ldots ,\infty .$ अन्य प्रसिद्ध मामलों के लिए, द्वितीय अवकलज के आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर देखें।

उच्च आयामों का सामान्यीकरण

हेसियन

Main article: हेसियन आव्यूह

द्वितीय अवकलज द्वितीय आंशिक अवकलज की धारणा के माध्यम से उच्च आयामों को सामान्य करता है। एक फ़ंक्शन f: R³ → R के लिए, इनमें तीन सेकंड-ऑर्डर आंशिक शामिल हैं

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

और मिश्रित आंशिक

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.$

यदि फ़ंक्शन की छवि और डोमेन दोनों में क्षमता है, तो ये एक साथ एक सममित मैट्रिक्स में फिट होते हैं जिसे हेसियन के रूप में जाना जाता है। इस मैट्रिक्स के eigenvalues ​​द्वितीय अवकलज परीक्षण के एक बहुभिन्नरूपी एनालॉग को लागू करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। (द्वितीय आंशिक अवकलज परीक्षण भी देखें।)

लाप्लासियन

Main article: लाप्लास संकारक

द्वितीय अवकलज का एक अन्य सामान्य सामान्यीकरण लाप्लासियन है। यह डिफरेंशियल ऑपरेटर है $\nabla ^{2}$ (या $\Delta$) द्वारा परिभाषित

$\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.$

किसी फ़ंक्शन का लाप्लासियन ग्रेडियेंट के विचलन और हेस्सियन मैट्रिक्स के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के बराबर है।

यह भी देखें

• चपलता, तात्क्षणिक चरण का द्वितीय अवकलज
• परिमित अंतर, इसका उपयोग द्वितीय अवकलज के सन्निकटन के लिए किया जाता है
• द्वितीय आंशिक अवकलज परीक्षण
• द्वितीय अवकलज की समरूपता

अग्रिम पठन

प्रिंट

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Apostol, Tom M. (June 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
• Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4th ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Spivak, Michael (September 1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
• Stewart, James (December 24, 2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), Calculus Made Easy (Revised, Updated, Expanded ed.), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

ऑनलाइन किताबें

• Crowell, Benjamin (2003), Calculus
• Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus
• Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus
• Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
• Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, archived from the original on 2006-04-15
• Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations
• Strang, Gilbert (1991), Calculus
• Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, archived from the original on 2005-09-11
• Wikibooks, Calculus

बाहरी संबंध

• Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points