अवमंदन (डैम्पिंग)

This article is about damping in oscillatory systems. For other uses, see अवमंदन (डैम्पिंग) (disambiguation).

के साथ वसंत -मास प्रणाली को कम कर दिया ζ < 1

भिगोना एक थरथरानवाला के भीतर या उसके भीतर एक प्रभाव है जो इसके दोलन को कम करने या रोकने का प्रभाव है।भौतिक प्रणालियों में, भिगोना उन प्रक्रियाओं द्वारा निर्मित होता है जो दोलन में संग्रहीत ऊर्जा को भंग करते हैं। उदाहरणों में चिपचिपापन ड्रैग (भौतिकी) शामिल हैं (एक तरल की चिपचिपाहट एक ऑसिलेटरी सिस्टम में बाधा डाल सकती है, जिससे यह धीमा हो जाता है; यांत्रिक प्रणालियों में चिपचिपा भिगोना देखें), इलेक्ट्रॉनिक दोलक में विद्युत प्रतिरोध और चालन, और ऑप्टिकल थरथरानवाला में प्रकाश के अवशोषण और बिखरने।ऊर्जा हानि के आधार पर भिगोना अन्य दोलन प्रणालियों में महत्वपूर्ण नहीं हो सकता है जैसे कि पारिस्थितिकी और साइकिल में होने वाले लोगों में। (पूर्व निलंबन (यांत्रिकी))।घर्षण के साथ भ्रमित नहीं होना, जो एक प्रणाली पर अभिनय करने वाला एक विघटनकारी बल है।घर्षण भिगोने का एक कारक हो सकता है या हो सकता है।

भिगोना अनुपात एक आयाम रहित उपाय है जिसमें बताया गया है कि एक गड़बड़ी के बाद लयबद्ध दोलक कैसे क्षय होता है।कई प्रणालियां जब वे स्थिर संतुलन की अपनी स्थिति से परेशान होते हैं, तो वे ऑसिलेटरी व्यवहार का प्रदर्शन करते हैं।एक वसंत से निलंबित एक द्रव्यमान, उदाहरण के लिए, यदि खींचा और जारी किया जा सकता है, तो ऊपर और नीचे उछाल दिया जा सकता है।प्रत्येक उछाल पर, सिस्टम अपनी संतुलन की स्थिति में लौटता है, लेकिन इसे ओवरशूट करता है।कभी -कभी नुकसान (जैसे घर्षण) प्रणाली को नम कर देता है और दोलनों को धीरे -धीरे शून्य या क्षीणन की ओर आयाम में क्षय करने का कारण बन सकता है।भिगोना अनुपात एक उपाय है जो बताता है कि दोलन एक उछाल से अगले तक कितनी तेजी से क्षय करते हैं।

भिगोना अनुपात एक सिस्टम पैरामीटर है, जिसे द्वारा निरूपित किया गया है ζ (ज़ेटा), जो कि अनडैम्पेड से भिन्न हो सकता है (ζ = 0), अंडरडैम्पेड (ζ < 1) गंभीर रूप से नम (ζ = 1) ओवरडैम्पेड करने के लिए (ζ > 1)।

ऑसिलेटिंग सिस्टम का व्यवहार अक्सर विभिन्न प्रकार के विषयों में रुचि रखता है जिसमें नियंत्रण इंजीनियरिंग, केमिकल इंजीनियरिंग, मैकेनिकल इंजीनियरिंग, संरचनागत वास्तुविद्या और विद्युत अभियन्त्रण शामिल हैं।भौतिक मात्रा जो दोलन कर रही है, बहुत भिन्न होती है, और हवा में एक लंबी इमारत, या एक बिजली की मोटर की गति का बोलबाला हो सकता है, लेकिन व्यवहार के सामान्य पहलुओं का वर्णन करने में एक सामान्यीकृत, या गैर-आयामी दृष्टिकोण सुविधाजनक हो सकता है।

दोलन मामले

वर्तमान में भिगोना की मात्रा के आधार पर, एक प्रणाली विभिन्न दोलन व्यवहार और गति को प्रदर्शित करती है।

• जहां स्प्रिंग -मास सिस्टम पूरी तरह से दोषरहित है, द्रव्यमान अनिश्चित काल के लिए अनिश्चित काल तक दोलन करेगा, प्रत्येक ऊँचाई के प्रत्येक उछाल के साथ।इस काल्पनिक मामले को अनचाहे कहा जाता है।
• यदि सिस्टम में उच्च नुकसान होता है, उदाहरण के लिए, यदि वसंत -मास प्रयोग एक चिपचिपा तरल पदार्थ में आयोजित किया गया था, तो द्रव्यमान धीरे -धीरे कभी भी ओवरशूट किए बिना अपनी आराम की स्थिति में वापस आ सकता है।इस मामले को ओवरडैम्प कहा जाता है।
• आमतौर पर, द्रव्यमान अपनी शुरुआती स्थिति को देखकर जाता है, और फिर वापस लौटता है, फिर से ओवरशूटिंग करता है।प्रत्येक ओवरशूट के साथ, सिस्टम में कुछ ऊर्जा विघटित हो जाती है, और दोलन शून्य की ओर मर जाते हैं।इस मामले को अंडरडैम्प कहा जाता है।
• ओवरडैम्प किए गए और अंडरडैम्प किए गए मामलों के बीच, एक निश्चित स्तर की भिगोना मौजूद है, जिस पर सिस्टम बस ओवरशूट करने में विफल रहेगा और एक भी दोलन नहीं करेगा।इस मामले को क्रिटिकल डंपिंग कहा जाता है।महत्वपूर्ण भिगोना और ओवरडैम्पिंग के बीच महत्वपूर्ण अंतर यह है कि, महत्वपूर्ण भिगोना में, सिस्टम न्यूनतम समय में संतुलन में लौटता है।

नम साइन वेव

Not to be confused with Damped wave (radio transmission).

एक नम साइनसोइडल तरंग का प्लॉट फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया गया है $y(t)=e^{-t}\cos(2\pi t)$

एक नम साइन लहर या नम साइनसॉइड एक साइन लहर है जिसका आयाम समय बढ़ने के साथ शून्य पर पहुंचता है।यह नम सेकंड-ऑर्डर सिस्टम के अंडरडैम्पेड मामले से मेल खाता है, या दूसरे क्रम के अंतर के समीकरणों को कम कर दिया गया है।

नम साइन तरंगों को आमतौर पर विज्ञान और अभियांत्रिकी में देखा जाता है, जहां भी एक हार्मोनिक थरथरानवाला ऊर्जा को तेजी से खो रहा है, क्योंकि यह आपूर्ति की जा रही है। समय पर शुरू होने वाली एक सच्ची साइन लहर = 0 मूल (आयाम = 0) से शुरू होती है।साइन वेव से अपने चरण अंतर के कारण एक कोसाइन लहर अपने अधिकतम मूल्य पर शुरू होती है।एक दिया गया साइनसोइडल तरंग मध्यवर्ती चरण का हो सकता है, जिसमें साइन और कोसाइन घटक दोनों होते हैं।साइन लहर शब्द शब्द इस तरह के सभी नम तरंगों का वर्णन करता है, जो भी उनके प्रारंभिक चरण में।

भिगोना का सबसे आम रूप, जो आमतौर पर ग्रहण किया जाता है, रैखिक प्रणालियों में पाया जाने वाला रूप है।यह रूप घातीय भिगोना है, जिसमें क्रमिक चोटियों का बाहरी लिफाफा एक घातीय क्षय वक्र है।यही है, जब आप प्रत्येक क्रमिक वक्र के अधिकतम बिंदु को जोड़ते हैं, तो परिणाम एक घातीय क्षय फ़ंक्शन जैसा दिखता है।एक घातीय रूप से नम साइनसॉइड के लिए सामान्य समीकरण का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

$$y(t)=Ae^{-\lambda t}\cos(\omega t-\phi )$$

कहाँ पे:

• $y(t)$ समय पर तात्कालिक आयाम है t;
• $A$ लिफाफे का प्रारंभिक आयाम है;
• $\lambda$ स्वतंत्र चर की समय इकाइयों के पारस्परिक में क्षय दर है t;
• $\phi$ पर चरण कोण है t = 0;
• $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।

अन्य महत्वपूर्ण मापदंडों में शामिल हैं:

• आवृत्ति: $f=\omega /(2\pi )$, प्रति समय इकाई चक्रों की संख्या।यह व्युत्क्रम समय इकाइयों में व्यक्त किया जाता है $t^{-1}$, या हेटर्स।
• स्थिर समय: $\tau =1/\lambda$, ई (गणितीय स्थिरांक) के कारक द्वारा कम होने के आयाम के लिए समय।
• आधा जीवन वह समय है जब यह घातीय आयाम लिफाफे के लिए एक कारक से घटने के लिए लेता है। यह बराबर है $\ln(2)/\lambda$ जो लगभग है $0.693/\lambda$।
• अवमंदन अनुपात: $\zeta$ आवृत्ति के सापेक्ष क्षय दर का एक गैर-आयामी लक्षण वर्णन है, लगभग $\zeta =\lambda /\omega$, या बिल्कुल $\zeta =\lambda /{\sqrt {\lambda ^{2}+\omega ^{2}}}<1$।
• क्यू फैक्टर: $Q=1/(2\zeta )$ भिगोना की मात्रा का एक और गैर-आयामी लक्षण वर्णन है;उच्च क्यू दोलन के सापेक्ष धीमी गति से भिगोना इंगित करता है।

भिगोना अनुपात परिभाषा

दूसरे क्रम की प्रणाली पर अलग-अलग भिगोना अनुपात का प्रभाव।

भिगोना अनुपात एक पैरामीटर है, जिसे आमतौर पर ot (ग्रीक पत्र ज़ेटा) द्वारा निरूपित किया जाता है, यह एक दूसरे क्रम के अंतर समीकरण की आवृत्ति प्रतिक्रिया की विशेषता है। दूसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरण।यह नियंत्रण सिद्धांत के अध्ययन में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है।यह हार्मोनिक ऑसिलेटर में भी महत्वपूर्ण है।सामान्य तौर पर, उच्च भिगोना अनुपात (एक या अधिक) वाले सिस्टम एक भिगोना प्रभाव का अधिक प्रदर्शन करेंगे।अंडरडैम्प्ड सिस्टम का मूल्य एक से कम है।गंभीर रूप से नम प्रणालियों में बिल्कुल 1 का भिगोना अनुपात होता है, या कम से कम इसके बहुत करीब होता है।

भिगोना अनुपात महत्वपूर्ण भिगोना के सापेक्ष एक प्रणाली में भिगोना के स्तर को व्यक्त करने का एक गणितीय साधन प्रदान करता है।मास एम, डंपिंग गुणांक सी, और स्प्रिंग कॉन्स्टेंट के साथ एक नम हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए, इसे महत्वपूर्ण डंपिंग गुणांक के लिए सिस्टम के अंतर समीकरण में भिगोना गुणांक के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

$\zeta ={\frac {c}{c_{c}}}={\frac {\text{actual damping}}{\text{critical damping}}},$

जहां सिस्टम का समीकरण गति का समीकरण है

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+c{\frac {dx}{dt}}+kx=0$

और इसी महत्वपूर्ण भिगोना गुणांक है

$c_{c}=2{\sqrt {km}}$

या

$c_{c}=2m{\sqrt {\frac {k}{m}}}=2m\omega _{n}$

कहाँ पे

$\omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति है।

भिगोना अनुपात आयामहीन है, समान इकाइयों के दो गुणांक का अनुपात है।

व्युत्पत्ति

एक हार्मोनिक थरथरानवाला की प्राकृतिक आवृत्ति का उपयोग करना ${\textstyle \omega _{n}={\sqrt {{k}/{m}}}}$ और ऊपर भिगोना अनुपात की परिभाषा, हम इसे फिर से लिख सकते हैं:

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{n}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{n}^{2}x=0.$

यह समीकरण केवल द्रव्यमान -विभाजन प्रणाली की तुलना में अधिक सामान्य है, और विद्युत सर्किट और अन्य डोमेन पर भी लागू होता है।इसे दृष्टिकोण के साथ हल किया जा सकता है

$x(t)=Ce^{st},$

जहां सी और एस दोनों जटिल संख्या स्थिरांक हैं, एस संतोषजनक के साथ

$s=-\omega _{n}\left(\zeta \pm i{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right).$

समीकरण को संतुष्ट करने वाले एस के दो मूल्यों के लिए दो ऐसे समाधान, सामान्य वास्तविक समाधान बनाने के लिए जोड़े जा सकते हैं, कई शासनों में दोलन और क्षय गुणों के साथ:

Undamped

वह मामला है जहां $\zeta =0$ अनिर्दिष्ट सरल हार्मोनिक थरथरानवाला के अनुरूप है, और उस स्थिति में समाधान जैसा दिखता है $\exp(i\omega _{n}t)$, आशा के अनुसार।यह मामला प्राकृतिक दुनिया में बेहद दुर्लभ है, जिसमें निकटतम उदाहरण ऐसे मामले हैं जहां घर्षण उद्देश्यपूर्ण रूप से न्यूनतम मूल्यों को कम कर दिया गया था।

अंडरडैम्पेड

यदि एस जटिल मूल्यों की एक जोड़ी है, तो प्रत्येक जटिल समाधान शब्द एक दोलन वाले हिस्से के साथ संयुक्त रूप से एक क्षयकारी घातीय है जो दिखता है ${\textstyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}$।यह मामला होता है $\ 0\leq \zeta <1$, और अंडरडैम्पेड (जैसे, बंजी केबल) के रूप में संदर्भित किया जाता है।

ओवरडैम्पेड

यदि एस वास्तविक मूल्यों की एक जोड़ी है, तो समाधान केवल दो क्षयकारी घातीय का एक योग है जिसमें कोई दोलन नहीं है।यह मामला होता है $\zeta >1$, और इसे ओवरडैम्प के रूप में संदर्भित किया जाता है।ऐसी परिस्थितियाँ जहां ओवरडैम्पिंग व्यावहारिक होती है, अगर ओवरशूटिंग होती है, तो आमतौर पर यांत्रिक के बजाय इलेक्ट्रिकल होता है।उदाहरण के लिए, ऑटोपायलट में एक विमान को उतरना: यदि सिस्टम ओवरशूट करता है और लैंडिंग गियर को बहुत देर से जारी करता है, तो परिणाम एक आपदा होगा।

गंभीर रूप से नम

वह मामला जहां $\zeta =1$ ओवरडैम्प किए गए और अंडरडैम्प किए गए मामलों के बीच की सीमा है, और इसे गंभीर रूप से नम करने के लिए संदर्भित किया जाता है।यह कई मामलों में एक वांछनीय परिणाम है जहां एक नम ऑसिलेटर के इंजीनियरिंग डिजाइन की आवश्यकता होती है (जैसे, एक दरवाजा बंद तंत्र)।

क्यू कारक और क्षय दर

क्यू कारक, भिगोना अनुपात ζ, और घातीय क्षय दर α ऐसे संबंधित हैं

$\zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{n}}.$

जब एक दूसरे क्रम की प्रणाली होती है $\zeta <1$ (यानी, जब सिस्टम को कम करके आंका जाता है), इसमें दो जटिल संयुग्म डंडे होते हैं, जिनमें से प्रत्येक का एक वास्तविक हिस्सा होता है $-\alpha$;अर्थात्, क्षय दर पैरामीटर $\alpha$ दोलनों के घातीय क्षय की दर का प्रतिनिधित्व करता है।एक कम भिगोना अनुपात एक कम क्षय दर का अर्थ है, और इसलिए बहुत कम समय के लिए बहुत कम समय के लिए दोलन करता है। उदाहरण के लिए, एक उच्च गुणवत्ता वाले ट्यूनिंग कांटा, जिसमें बहुत कम भिगोना अनुपात होता है, में एक दोलन होता है जो एक लंबे समय तक रहता है, एक हथौड़ा द्वारा मारा जाने के बाद बहुत धीरे -धीरे क्षय होता है।

लॉगरिदमिक घटाव

अंडरडैम्पेड कंपन के लिए, भिगोना अनुपात भी लॉगरिदमिक घटाव से संबंधित है $\delta$।भिगोना अनुपात किसी भी दो चोटियों के लिए पाया जा सकता है, भले ही वे आसन्न न हों। आसन्न चोटियों के लिए:

$\zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+\left(2\pi \right)^{2}}}}$ कहाँ पे $\delta =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}$

जहां एक्स₀ और एक्स₁ किसी भी दो क्रमिक चोटियों के आयाम हैं।

जैसा कि सही आंकड़े में दिखाया गया है:

$\delta =\ln {\frac {x_{1}}{x_{3}}}=\ln {\frac {x_{2}}{x_{4}}}=\ln {\frac {x_{1}-x_{2}}{x_{3}-x_{4}}}$

कहाँ पे $x_{1}$, $x_{3}$ दो क्रमिक सकारात्मक चोटियों के आयाम हैं और $x_{2}$, $x_{4}$ दो क्रमिक नकारात्मक चोटियों के आयाम हैं।

प्रतिशत ओवरशूट

नियंत्रण सिद्धांत में, ओवरशूट (संकेत) एक आउटपुट को संदर्भित करता है जो इसके अंतिम, स्थिर-राज्य मूल्य से अधिक है। एक कदम प्रतिक्रिया के लिए, प्रतिशत ओवरशूट (पीओ) चरण मूल्य से विभाजित चरण मूल्य का अधिकतम मूल्य माइनस है।यूनिट स्टेप के मामले में, ओवरशूट कदम की प्रतिक्रिया माइनस वन का अधिकतम मूल्य है।

प्रतिशत ओवरशूट (पीओ) भिगोना अनुपात ( ') से संबंधित है:

$\mathrm {PO} =100\exp \left({-{\frac {\zeta \pi }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\right)$

इसके विपरीत, भिगोना अनुपात (ζ) जो किसी दिए गए प्रतिशत ओवरशूट की उपज देता है: द्वारा दिया जाता है:

$\zeta ={\frac {-\ln \left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}{\sqrt {\pi ^{2}+\ln ^{2}\left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}}}$

उदाहरण और अनुप्रयोग

विस्कोस ड्रैग

जब कोई वस्तु हवा के माध्यम से गिर रही है, तो इसके फ्रीफॉल का विरोध करने वाला एकमात्र बल वायु प्रतिरोध है।पानी या तेल के माध्यम से गिरने वाली एक वस्तु अधिक से अधिक दर से धीमी हो जाएगी, जब तक कि अंततः एक स्थिर-राज्य वेग तक नहीं पहुंच जाए क्योंकि ड्रैग बल गुरुत्वाकर्षण से बल के साथ संतुलन में आता है।यह चिपचिपा ड्रैग की अवधारणा है, जो उदाहरण के लिए स्वचालित दरवाजों या एंटी-स्लैम दरवाजों में लागू होता है।

विद्युत प्रणालियों में भिगोना / प्रतिरोध

इलेक्ट्रिकल सिस्टम जो वैकल्पिक वर्तमान (एसी) के साथ काम करते हैं, विद्युत प्रवाह को नम करने के लिए प्रतिरोधों का उपयोग करते हैं, क्योंकि वे आवधिक हैं।डिमर स्विच या वॉल्यूम नॉब्स एक विद्युत प्रणाली में भिगोना के उदाहरण हैं।

चुंबकीय भिगोना

काइनेटिक ऊर्जा जो दोलनों का कारण बनती है, इलेक्ट्रिक एडी धाराओं द्वारा गर्मी के रूप में विघटित हो जाती है जो एक चुंबक के ध्रुवों से गुजरने से प्रेरित होती है, या तो एक कॉइल या एल्यूमीनियम प्लेट द्वारा।दूसरे शब्दों में, चुंबकीय बलों के कारण होने वाला प्रतिरोध एक प्रणाली को धीमा कर देता है।इस अवधारणा का एक उदाहरण लागू किया जा रहा है रोलर कोस्टर पर ब्रेक है।

संदर्भ

11. Britannica, Encyclopædia. “Damping.” Encyclopædia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc., www.britannica.com/science/damping.

12. OpenStax, College. “Physics.” Lumen, courses.lumenlearning.com/physics/chapter/23-4-eddy-currents-and-magnetic-damping/.