अतिशयोक्तिपूर्ण मीट्रिक स्थान

गणित में, अतिशयोक्तिपूर्ण मीट्रिक स्थान होता है जो बिंदुओं के बीच कुछ मीट्रिक संबंधों (मात्रात्मक रूप से गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या δ पर निर्भर करता है) को संतुष्ट करता है। मिखाइल लियोनिदोविच ग्रोमोव द्वारा प्रस्तुत की गई परिभाषा, मौलिक अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति और ट्री (ग्राफ सिद्धांत) के मीट्रिक गुणों का सामान्यीकरण करती है। अतिशयोक्ति बड़े मापदंड की संपत्ति है, और कुछ अनंत समूह (गणित) के अध्ययन के लिए बहुत उपयोगी है जिसे ग्रोमोव-अतिशयोक्तिपूर्ण समूह कहा जाता है।

परिभाषाएँ

इस अनुच्छेद में हम $\delta$ -अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान की विभिन्न परिभाषाएँ देते हैं। एक मीट्रिक स्थान को (ग्रोमोव-) अतिशयोक्तिपूर्ण कहा जाता है यदि यह कुछ $\delta >0$ के लिए $\delta$ -अतिशयोक्तिपूर्ण है।

ग्रोमोव उत्पाद का उपयोग करके परिभाषा

Main article: ग्रोमोव उत्पाद

होने देना $(X,d)$ मीट्रिक स्थान बनें। दो बिंदुओं का ग्रोमोव उत्पाद $y,z\in X$ किसी तीसरे के संबंध में $x\in X$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

$(y,z)_{x}={\frac {1}{2}}\left(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z)\right).$

अतिशयोक्तिपूर्ण मीट्रिक स्थान की ग्रोमोव की परिभाषा इस प्रकार है: $X$ $\delta$-अतिशयोक्तिपूर्ण है यदि और केवल यदि सभी $x,y,z,w\in X$ चार-बिंदु की स्थिति को संतुष्ट करते हैं

$(x,z)_{w}\geq \min \left((x,y)_{w},(y,z)_{w}\right)-\delta$

ध्यान दें कि यदि यह स्थिति सभी $x,y,z\in X$ और एक निश्चित आधार बिंदु $w_{0}$, के लिए संतुष्ट है तो यह स्थिर $2\delta$ के साथ सभी Failed to parse (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle } के लिए संतुष्ट है. इस प्रकार अतिशयोक्ति की स्थिति को केवल निश्चित आधार बिंदु के लिए सत्यापित करने की आवश्यकता है; इस कारण से, आधार बिंदु के लिए उपलेख को अधिकांशतः ग्रोमोव उत्पाद से हटा दिया जाता है।

त्रिकोणों का उपयोग करके परिभाषाएँ

See also: आदर्श त्रिकोण and अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोण

$\delta$ को एक स्थिर बहु द्वारा बदलने तक, एक समतुल्य ज्यामितीय परिभाषा होती है जिसमें त्रिकोण सम्मिलित होते हैं जब मीट्रिक स्थान $X$ जियोडेसिक होता है, अर्थात कोई भी दो बिंदु $x,y\in X$ एक जियोडेसिक सेगमेंट $[x,y]$ के अंत बिंदु होते हैं (एक वास्तविक के एक कॉम्पैक्ट सबइंटरवल $[a,b]$ की आइसोमेट्रिक छवि)। ध्यान दें कि ग्रोमोव उत्पादों के माध्यम से परिभाषा के लिए अंतरिक्ष को जियोडेसिक होने की आवश्यकता नहीं है।

मान लीजिए $x,y,z\in X$. कोने $x,y,z$ वाला एक भूगणितीय त्रिभुज तीन भूगणित खंडों का मिलन है $[x,y],[y,z],[z,x]$ (जहां $[p,q]$ समापन बिंदु $p$ और $q$ वाले सेगमेंट को दर्शाता है)।

δ-पतली त्रिकोण स्थिति

$x$

$y$

$z$

$B_{\delta }([x,y])$

$B_{\delta }([z,x])$

$B_{\delta }([y,z])$

File:डेल्टा पतली त्रिकोण स्थिति.एसवीजी

δ-पतली त्रिकोण स्थिति

यदि किसी बिंदु $m\in [x,y]$ के लिए $[y,z]\cup [z,x]$ में $m$ के $\delta$ से कम दूरी पर एक बिंदु है, और इसी तरह बिंदुओं के लिए दूसरे किनारों पर, और $\delta \geq 0$ तो त्रिकोण को $\delta$ कहा जाता है।

$\delta$ -अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान की परिभाषा तब एक जियोडेसिक मेट्रिक स्थान है जिसके सभी जियोडेसिक त्रिकोण $\delta$ -अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान हैं, फिर एक जियोडेसिक मेट्रिक स्थान है जिसके सभी जियोडेसिक त्रिकोण हैं

एक जियोडेसिक त्रिकोण के $C$-अनुमानित केंद्र की धारणा का उपयोग करके एक और परिभाषा दी जा सकती है: यह एक बिंदु है जो त्रिकोण के किसी भी किनारे के अधिकांश $C$ (केंद्र का "अनुमानित" संस्करण) की दूरी पर है। एक स्थान $\delta$ -अतिशयोक्तिपूर्ण है यदि प्रत्येक भूगर्भीय त्रिभुज में $\delta$ -केंद्र है।

ए की ये दो परिभाषाएँ $\delta$-अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान जियोडेसिक त्रिकोण का उपयोग बिल्कुल समकक्ष नहीं है, किन्तु उपस्थित है $k>1$ ऐसा कि ए $\delta$-अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान पहले अर्थ में है $k\cdot \delta$-अतिशयोक्तिपूर्ण दूसरे में, और इसके विपरीत। इस प्रकार अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान की धारणा चुनी हुई परिभाषा से स्वतंत्र है।

$\delta$ -अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान की ये दो परिभाषाएँ जियोडेसिक त्रिकोण का उपयोग करते हुए बिल्कुल समान नहीं हैं, किन्तु वहाँ $k>1$ उपस्थित है जैसे कि $\delta$ -अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान पहले अर्थ में $k\cdot \delta$-अतिशयोक्तिपूर्ण है दूसरा, और इसके विपरीत इस प्रकार अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान की धारणा चुनी हुई परिभाषा से स्वतंत्र है।

उदाहरण

अतिशयोक्तिपूर्ण तल अतिशयोक्तिपूर्ण है: वास्तव में भूगर्भीय त्रिभुज का अंतःवृत्त त्रिभुज में समाहित सबसे बड़े व्यास का चक्र है और प्रत्येक भूगर्भीय त्रिभुज आदर्श त्रिभुज के आंतरिक भाग में स्थित है, जो सभी व्यास 2 लॉग 3 के अंतःवृत्त के साथ सममितीय हैं। ध्यान दें कि इस स्थितियों में ग्रोमोव उत्पाद की भूगर्भीय त्रिभुज के अंतर्वृत्त के संदर्भ में सरल व्याख्या भी है। वास्तव में मात्रा (A,B)_C केवल अतिशयोक्तिपूर्ण दूरी है p से C आसन्न पक्षों के साथ अंतर्वृत्त के संपर्क के बिंदुओं में से किसी के लिए: आरेख से c = (a – p) + (b – p), जिससे

p = (a + b – c)/2 = (A,B)C.

यूक्लिडियन स्थान अतिशयोक्तिपूर्ण नहीं है, उदाहरण के लिए होमोथेटिक परिवर्तन के अस्तित्व के कारण।

अतिशयोक्तिपूर्ण रिक्त स्थान के दो विकृत उदाहरण परिबद्ध व्यास वाले स्थान हैं (उदाहरण के लिए परिमित या कॉम्पैक्ट स्थान) और वास्तविक रेखा।

मेट्रिक ट्री (ग्राफ थ्योरी) और अधिक सामान्यतः वास्तविक पेड़ अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के सबसे सरल रोचक उदाहरण हैं क्योंकि वे 0-अतिशयोक्तिपूर्ण हैं (अर्थात सभी त्रिकोण तिपाई हैं)।

यूक्लिडियन समबाहु त्रिभुजों द्वारा त्रिभुज का 1-कंकाल अतिशयोक्तिपूर्ण नहीं है (यह वास्तव में यूक्लिडियन तल के लिए अर्ध-सममितीय है)। स्थान का त्रिभुज $\mathbb {R} ^{2}$ अतिशयोक्तिपूर्ण 1-कंकाल है यदि प्रत्येक शीर्ष की डिग्री 7 या अधिक है।

द्वि-आयामी ग्रिड अतिशयोक्तिपूर्ण नहीं है (यह यूक्लिडियन स्थान के लिए अर्ध-सममितीय है)। यह टोरस्र्स के मौलिक समूह का केली ग्राफ है; उच्च जीनस की सतह के मौलिक समूहों के केली ग्राफ अतिशयोक्तिपूर्ण हैं (यह वास्तव में अतिशयोक्तिपूर्ण तल के लिए अर्ध-सममितीय है)।

अतिशयोक्ति और वक्रता

अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान (और अधिक सामान्यतः अनुभागीय वक्रता $\leq -1$ के किसी भी हैडमार्ड कई गुना ) $2$-अतिपरवलिक है यदि हम एक कारक $\lambda >0$ द्वारा रिमेंनियन मीट्रिक को मापते हैं तो दूरियों को $\lambda$ से गुणा किया जाता है और इस प्रकार हमें एक स्थान मिलता है जो $\lambda \cdot \delta$-अतिपरवलिक है। चूँकि वक्रता को $\lambda ^{-1}$ से गुणा किया जाता है, हम देखते हैं कि इस उदाहरण में स्थान जितना अधिक (ऋणात्मक रूप से) वक्रित होता है, अतिपरवलयिकता स्थिरांक उतना ही कम होता है।

इसी प्रकार के उदाहरण ऋणात्मक वक्रता के सीएटी स्थान हैं। वक्रता और अतिशयोक्ति के संबंध में यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि चूंकि वक्रता संपत्ति है जो अनिवार्य रूप से स्थानीय है, अतिशयोक्ति बड़े मापदंड की संपत्ति है जो स्थानीय (अर्थात बंधे हुए क्षेत्र में हो रही) मीट्रिक घटना को नहीं देखती है। उदाहरण के लिए, अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान का कॉम्पेक्ट स्थान के साथ किसी भी मेट्रिक के साथ मूल का विस्तार अतिशयोक्तिपूर्ण रहता है।

महत्वपूर्ण गुण

अर्ध आइसोमेट्री के अनुसार इनवेरियन

बड़े मापदंड के अर्थ को स्पष्ट करने का विधि अर्ध-आइसोमेट्री के अनुसार अपरिवर्तनीयता की आवश्यकता है। यह अतिशयोक्ति का सच है।

यदि जियोडेसिक मीट्रिक स्थान $Y$ a के लिए अर्ध-सममितीय है $\delta$-अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान $X$ तो वहाँ उपस्थित है $\delta '$ ऐसा है कि $Y$ है $\delta '$-अतिपरवलिक।

अटल $\delta '$ पर निर्भर करता है $\delta$ और क्वैसी-आइसोमेट्री के लिए गुणक और योज्य स्थिरांक पर।

अतिशयोक्तिपूर्ण रिक्त स्थान में अनुमानित पेड़

ग्रोमोव उत्पाद के संदर्भ में अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान की परिभाषा को यह कहते हुए देखा जा सकता है कि किसी भी चार बिंदुओं के बीच मीट्रिक संबंध समान हैं जैसे वे पेड़ में होंगे, योगात्मक स्थिरांक तक $\delta$. सामान्यतः निम्नलिखित संपत्ति से पता चलता है कि अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान का कोई परिमित उपसमुच्चय परिमित वृक्ष की तरह दिखता है।

किसी भी $n,\delta$ के लिए एक स्थिरांक $C$ होता है जैसे कि निम्नलिखित धारण करता है: यदि $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $\delta$-हाइपरबोलिक स्थान $X$ में बिंदु हैं तो एक परिमित वृक्ष $T$ है और एक एम्बेडिंग $f:T\to X$ जैसे कि $x_{i}\in f(T)$ सभी के लिए $i=1,\ldots ,n$ और

$\forall i,j:d(f^{-1}(x_{i}),f^{-1}(x_{j}))\leq d(x_{i},x_{j})\leq d(f^{-1}(x_{i}),f^{-1}(x_{j}))+C$

निरंतर $C$ को $\delta \cdot h(n)$$h(n)=O(\log n)$} के साथ लिया जा सकता है और यह इष्टतम है।

दूरी और समपरिमितीय असमानताओं की घातीय वृद्धि

अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान में $X$ हमारे पास निम्नलिखित संपत्ति है:

$\mu ,K>0$ ऐसे हैं कि सभी $p,x,y\in X$ के साथ $d(p,x)=d(p,y)=:r$, हर पथ $\alpha$ $x$ से $y$ को मिलाने और $p$ की कम से कम $r$ दूरी पर रहने की लंबाई कम से कम $e^{\mu \cdot d(x,y)}-K$ है ।

अनौपचारिक रूप से इसका अर्थ है कि त्रिज्या के वृत्त की परिधि $r$ के साथ चरघातांकी रूप से बढ़ता है $r$ यह आइसोपेरिमेट्रिक असमानता स्थान में आइसोपेरिमेट्रिक समस्या की याद दिलाता है। यहाँ इस आशय का अधिक विशिष्ट कथन है।

मान लीजिए कि $X$आयाम 2 का एक कोशिका परिसर है, जैसे कि इसका 1-कंकाल अतिशयोक्तिपूर्ण है, और वहाँ $C$ उपस्थित है जैसे कि किसी भी 2-कोशिका की सीमा में अधिकतम $C$ 1-कोशिकाएँ होती हैं। फिर एक स्थिर $\lambda >0$ ऐसा है कि किसी भी परिमित उपसमुच्चय $Y\subset X$ के लिए हमारे पास है

$\operatorname {area} (Y)\leq \lambda \cdot \operatorname {length(\partial Y)}$

यहां 2-कॉम्प्लेक्स का क्षेत्रफल 2-कोशिकाओं की संख्या है और 1-कॉम्प्लेक्स की लंबाई 1-कोशिकाओं की संख्या है। उपरोक्त कथन रेखीय समपरिमितीय असमानता है; यह पता चला है कि ऐसी आइसोपेरिमेट्रिक असमानता ग्रोमोव-अतिशयोक्तिपूर्ण रिक्त स्थान की विशेषता है। रेखीय समपरिमितीय असमानताएं संयोजी समूह सिद्धांत से लघु निरस्तीकरण सिद्धांत की स्थितियों से प्रेरित थीं।

क्वासिकोनवेक्स सबस्पेस

जियोडेसिक मेट्रिक स्थान $X$ के एक सबस्पेस $Y$ को क्वासिकोनवेक्स कहा जाता है यदि कोई स्थिर $C$ ऐसा है कि $Y$ के दो बिंदुओं के बीच $x$ में कोई भी जियोडेसिक 0 की दूरी $C$ के अंदर रहता है।

अतिपरवलयिक स्थान का अर्ध-उत्तल उपस्थान अतिशयोक्तिपूर्ण है।

स्पर्शोन्मुख शंकु

अतिपरवलयिक स्थान के सभी अल्ट्रालिमिटअसिम्प्टोटिक शंकु वास्तविक वृक्ष हैं। यह संपत्ति अतिशयोक्तिपूर्ण रिक्त स्थान की विशेषता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान की सीमा

साधारण पेड़ के अंत (ग्राफ सिद्धांत) के निर्माण को सामान्यीकृत करना अतिपरवलयिक रिक्त स्थान के लिए अनंत पर सीमा की प्राकृतिक धारणा है, जो समूह क्रियाओं का विश्लेषण करने के लिए बहुत उपयोगी सिद्ध हुई है।

इस पैराग्राफ में $X$ जियोडेसिक मीट्रिक स्थान है जो अतिशयोक्तिपूर्ण है।

ग्रोमोव उत्पाद का उपयोग करके परिभाषा

एक अनुक्रम $(x_{n})\in X^{\mathbb {N} }$ को अनंत तक अभिसरण कहा जाता है यदि कुछ (या किसी भी) बिंदु $p$ के लिए हमारे पास$(x_{n},x_{m})_{p}\rightarrow \infty$ क्योंकि $n$ और $m$ दोनों अनंत तक जाते हैं। दो अनुक्रमों $(x_{n}),(y_{n})$ अनंत तक अभिसरण को समतुल्य माना जाता है जब $\lim _{n\to +\infty }(x_{n},y_{n})_{p}=+\infty$ (कुछ या किसी $p$ के लिए) $X$ की सीमा अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों का समूह है जो अनंत तक अभिसरित होते हैं, जिसे $\partial X$ के रूप में दर्शाया गया है।

यदि $\xi ,\eta$ सीमा पर दो बिंदु हैं तो उनके ग्रोमोव उत्पाद को परिभाषित किया गया है:

$(\xi ,\eta )_{p}=\sup _{(x_{n})=\xi ,(y_{n})=\eta }\left(\liminf _{n,m\to +\infty }(x_{n},y_{m})_{p}\right)$

जो परिमित iff है $\xi \neq \eta$. इसके बाद टोपोलॉजी को परिभाषित किया जा सकता है $\partial X$ कार्यों का उपयोग करना $(\cdot ,\xi )$. यह टोपोलॉजी चालू है $\partial X$ मेट्रिसेबल है और ग्रोमोव उत्पाद का उपयोग करके परिभाषित मेट्रिक्स का विशिष्ट परिवार है।

किरणों का उपयोग कर उचित रिक्त स्थान के लिए परिभाषा

होने देना $\alpha ,\beta$ दो क्वैसी-आइसोमेट्री|क्वासी-आइसोमेट्रिक एंबेडिंग हो $[0,+\infty [$ में $X$ (अर्ध-जियोडेसिक किरणें)। यदि और केवल कार्य करते हैं तो उन्हें समतुल्य माना जाता है $t\mapsto d(\alpha (t),\beta (t))$ पर आबद्ध है $[0,+\infty [$. यदि अंतरिक्ष $X$ उचित है तो इस तरह के सभी एम्बेडिंग मॉडुलो समतुल्यता का समुच्चय अपनी प्राकृतिक टोपोलॉजी के साथ होमियोमॉर्फिक है $\partial X$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।

समान अहसास आधार बिंदु को ठीक करना है और केवल इस बिंदु से उत्पन्न होने वाली अर्ध-जियोडेसिक किरणों पर विचार करना है। यदि $X$ जियोडेसिक है और उचित भी वास्तविक जियोडेसिक किरणों तक सीमित हो सकता है।

उदाहरण

जब $X=T$ एक साधारण नियमित पेड़ होता है तो सीमा केवल सिरों का स्थान होता है, जो एक कैंटर समूह है। एक बिंदु$x\in T$ को ठीक करने से $\partial T$ पर एक प्राकृतिक दूरी मिलती है, $\alpha ,\beta$ पर एक प्राकृतिक दूरी मिलती है, $x$ पर एक प्राकृतिक दूरी $\exp(-\operatorname {Length} (\alpha \cap \beta ))$ होती है।

जब $X$ इकाई डिस्क है, अर्थात अतिशयोक्तिपूर्ण समतल के लिए पॉइंकेयर डिस्क मॉडल, डिस्क पर अतिशयोक्तिपूर्ण मेट्रिक है

$ds^{2}={4|dz|^{2} \over (1-|z|^{2})^{2}}$

और ग्रोमोव सीमा को इकाई सर्कल से पहचाना जा सकता है।

की सीमा $n$-आयाम अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान होमियोमॉर्फिक है $n-1$-आयामी क्षेत्र और मेट्रिक्स उपरोक्त के समान हैं।

बुसेमैन फ़ंक्शन

यदि $X$ उचित है तो इसकी सीमा बुसेमैन कार्यों के स्थान के लिए होमियोमॉर्फिक है $X$ मॉड्यूलो अनुवाद।

सीमा पर आइसोमेट्री की क्रिया और उनका वर्गीकरण

दो अतिशयोक्तिपूर्ण स्थानों के बीच अर्ध-सममिति $X,Y$ सीमाओं के बीच होमियोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है।

विशेष रूप से आइसोमेट्री का समूह $X$ होमोमोर्फिज्म द्वारा कार्य करता है $\partial X$. इस क्रिया का उपयोग किया जा सकता है सीमा पर उनके गतिशील व्यवहार के अनुसार आइसोमेट्री को वर्गीकृत करने के लिए, पेड़ों और मौलिक अतिशयोक्तिपूर्ण स्थानों के लिए सामान्यीकरण करना। होने देना $g$ की आइसोमेट्री हो $X$, तब निम्न में से कोई स्थिति उत्पन्न होती है:

• पहला मामला: $g$ पर परिबद्ध कक्षा है $X$ (यदि $X$ उचित है इसका तात्पर्य है $g$ में निश्चित बिंदु है $X$). तब इसे अण्डाकार आइसोमेट्री कहा जाता है।
• दूसरा मामला: $g$ ठीक दो निश्चित बिंदु हैं $\xi _{+},\xi _{-}$ पर $\partial X$ और हर सकारात्मक कक्षा $\{g^{n}\xi :n\geq 0\},\xi \not =\xi _{-}$ पर ही जमा होता है $\xi _{+}$. तब $g$ अतिशयोक्तिपूर्ण आइसोमेट्री कहा जाता है।
• तीसरा मामला: $g$ सीमा पर ठीक निश्चित बिंदु है और इस बिंदु पर सभी कक्षाएँ जमा होती हैं। तब इसे परवलयिक आइसोमेट्री कहा जाता है।

अधिक उदाहरण

अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के सिद्धांत के सबसेट का उपयोग अतिपरवलयिक रिक्त स्थान के अधिक उदाहरण देने के लिए किया जा सकता है, उदाहरण के लिए लघु रद्दीकरण सिद्धांत के केली ग्राफ। यह भी ज्ञात है कि यादृच्छिक समूहों के कुछ मॉडलों के केली ग्राफ़ (जो वास्तव में यादृच्छिक रूप से उत्पन्न अनंत नियमित ग्राफ़ हैं) अधिकांशतः अतिशयोक्तिपूर्ण होते हैं।

यह सिद्ध करना कठिनाई और रोचक हो सकता है कि कुछ स्थान अतिशयोक्तिपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अतिशयोक्तिपूर्ण परिणामों ने उन पर कार्य करने वाले समूहों के लिए नई घटनाओं की खोज की है।

• वक्र परिसर की अतिशयोक्ति मैपिंग वर्ग समूह पर नए परिणाम दिए हैं।
• इसी प्रकार, कुछ ग्राफों की अतिशयोक्ति बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह आउट (एफएन) से जुड़े इस समूह पर नए परिणाम आए हैं।

यह भी देखें

• ऋणात्मक रूप से घुमावदार समूह
• आदर्श त्रिकोण

संदर्भ

• Bowditch, Brian (2006), A course on geometric group theory (PDF), Mat. soc. Japan
• Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999), Metric spaces of non-positive curvature, Springer
• Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov, Lecture Notes in Mathematics (in français), vol. 1441, Springer-Verlag, ISBN 3-540-52977-2
• de la Harpe, Pierre; Ghys, Etienne (1990), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (in français), Birkhäuser
• Gromov, Mikhael (1987), "Hyperbolic groups", in Gersten, S.M. (ed.), Essays in group theory, Springer, pp. 75–264
• Roe, John (2003), Lectures on Coarse Geometry, University Lecture Series, vol. 31, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3332-2
• Väisälä, Jussi (2005), "Gromov hyperbolic spaces", Expositiones Mathematicae, 23 (3): 187–231, doi:10.1016/j.exmath.2005.01.010, MR 2164775.