अनुकूली जाल शोधन
संख्यात्मक विश्लेषण में, अनुकूली मेष शोधन (एएमआर) सिमुलेशन के कुछ संवेदनशील या अशांत क्षेत्रों के अन्दर गतिशील रूप से और समाधान की गणना के समय समाधान की स्पष्टता को अनुकूलित करने की विधि कहलाती है। किन्तु समाधानों की गणना संख्यात्मक रूप से की जाती है, तो वे सदैव कार्टेशियन विमान की तरह पूर्व-निर्धारित मात्रात्मक ग्रिड तक सीमित होते हैं जोकी कम्प्यूटेशनल ग्रिड या 'मेष' का निर्माण करते हैं। चूंकि , संख्यात्मक विश्लेषण में कई समस्याओं के लिए ग्राफ़ प्लॉटिंग या कम्प्यूटेशनल सिमुलेशन के लिए उपयोग किए जाने वाले संख्यात्मक ग्रिड में समान परिशुद्धता की आवश्यकता नहीं होती है, और यह उत्तम अनुकूल होगा यदि ग्राफ़ के विशिष्ट क्षेत्र जिन्हें परिशुद्धता की आवश्यकता होती है,इस प्रकार से उन्हें केवल उन क्षेत्रों में मात्रा निर्धारण में परिष्कृत किया जा सकता है जिनकी आवश्यकता होती है। और अतिरिक्त परिशुद्धता. अनुकूली मेष शोधन बहु-आयामी ग्राफ़ के विशिष्ट क्षेत्रों में गणना समस्या की आवश्यकताओं के आधार पर संख्यात्मक गणना की स्पष्टता को अनुकूलित करने के लिए ऐसा गतिशील प्रोग्रामिंग वातावरण प्रदान करता रहता है, जिसमें बहु-आयामी ग्राफ़ के अन्य क्षेत्रों को निचले स्तर पर छोड़ते समय स्पष्टता की आवश्यकता होती है। परिशुद्धता और संकल्प की अवधारणा प्रदान करता है.
इस प्रकार से विशिष्ट आवश्यकताओं के लिए गणना परिशुद्धता को अनुकूलित करने की इस गतिशील विधियों को मार्शा बर्जर, जोसेफ ओलिगर और फिलिप कोलेला को मान्यता दी गई है, जिन्होंने स्थानीय अनुकूली मेष शोधन नामक गतिशील ग्रिडिंग के लिए कलन विधि विकसित किया है। किन्तु एएमआर का उपयोग तब से व्यापक उपयोग प्रमाणित हुआ है और इसका उपयोग हाइड्रोडायनामिक्स में अशांति समस्याओं के अध्ययन के साथ-साथ बोल्शोई ब्रह्माण्ड संबंधी सिमुलेशन जैसे खगोल भौतिकी में उच्च माप पर संरचनाओं के अध्ययन में किया गया है।
अनुकूली मेष शोधन का विकास
इस प्रकार से वैज्ञानिक पेपर की श्रृंखला में, मार्शा बर्जर, जोसेफ ओलिगर और फिलिप कोलेला ने स्थानीय अनुकूली मेष शोधन नामक गतिशील ग्रिडिंग के लिए एल्गोरिदम विकसित किया गया था ।[1][2] और एल्गोरिथ्म सामान्यतः हल किए गए आधार-स्तरीय नियमित कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के साथ कवर किए गए फ़ंक्शन के संपूर्ण कम्प्यूटेशनल डोमेन से प्रारंभ होता है। जैसे-जैसे गणना आगे बढ़ती है, व्यक्तिगत ग्रिड कक्ष को मानदंड का उपयोग करके शोधन के लिए टैग किया जाता है जिसे या तो उपयोगकर्ता द्वारा आपूर्ति की जा सकती है (उदाहरण के लिए प्रति कक्ष द्रव्यमान स्थिर रहता है, इसलिए उच्च घनत्व वाले क्षेत्र अधिक उच्च संकल्पित होते हैं) या रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन पर आधारित होते हैं।
फिर सभी टैग की गई कक्ष को परिष्कृत किया जाता है, जिसका अर्थ है कि मोटे ग्रिड पर महीन ग्रिड लगाया जाता है। शोधन के पश्चात , शोधन के निश्चित स्तर पर अलग-अलग ग्रिड पैच को इंटीग्रेटर को भेज दिया जाता है जो समय में उन कक्ष को आगे बढ़ाता है। अंत में, मोटे-बारीक ग्रिड इंटरफेस के साथ स्थानांतरण को सही करने के लिए सुधार प्रक्रिया प्रयुक्त की जाती है, जिससे यह सुनिश्चित किया जा सके कि कक्ष से निकलने वाली किसी भी संरक्षित मात्रा की मात्रा बॉर्डरिंग कक्ष में प्रवेश करने वाली मात्रा को सही प्रकार से संतुलित करती है। यदि किसी बिंदु पर किसी कक्ष में शोधन का स्तर आवश्यकता से अधिक होता है, तो वह उच्च रिज़ॉल्यूशन ग्रिड को हटाया जा सकता है और मोटे ग्रिड से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
इस प्रकार से यह उपयोगकर्ता को उन समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है जो नियमित ग्रिड पर पूर्ण रूप से कठिन होती हैं; उदाहरण के लिए, खगोल भौतिकी ने गिरते हुए विशाल आणविक क्लाउड कोर को 1015 के रिज़ॉल्यूशन के अनुरूप प्रति प्रारंभिक क्लाउड त्रिज्या 131,072 कक्ष के प्रभावी रिज़ॉल्यूशन तक मॉडल करने के लिए एएमआर का उपयोग किया जाता है। समान ग्रिड पर कक्ष का उपयोग किया जाता है ।[3]
किन्तु उन्नत मेष शोधन को कार्यात्मकताओं के माध्यम से प्रस्तुत किया गया है।[4] इस प्रकार से कार्यात्मकताएं ग्रिड उत्पन्न करने और मेष अनुकूलन प्रदान करने की क्षमता प्रदान करती हैं। कुछ उन्नत फलन में विंसलो और संशोधित लियाओ फलन सम्मिलित किया जाता हैं।[5]
अनुकूली मेष शोधन के अनुप्रयोग
ऊपरी जल समीकरण के समाधान की गणना करते समय, समाधान (पानी की ऊंचाई) की गणना केवल कुछ फीट की दूरी पर स्थित बिंदुओं के लिए की जा सकती है - और कोई यह मान लिया जाता है, कि उन बिंदुओं के बीच ऊंचाई सरलता से परिवर्तित होती रहती है। और समाधान के रिज़ॉल्यूशन के लिए सीमित कारक इस प्रकार ग्रिड रिक्ति है: ग्रिड-रिक्ति से छोटे माप पर संख्यात्मक समाधान की कोई विशेषता नहीं होती है । किन्तु अनुकूली मेष शोधन (एएमआर) ग्रिड बिंदुओं की दूरी को परिवर्तन कर दिया जाता है, जिससे यह परिवर्तित हो जाती है कि उस क्षेत्र में समाधान कितना सपष्ट रूप से ज्ञात होता है। ऊपरी पानी के उदाहरण में, ग्रिड को सामान्यतः कुछ फीट की दूरी पर रखा जा सकता है - जिससे इसे उन स्थानों पर कुछ इंच पर ग्रिड पॉइंट रखने के लिए अनुकूल रूप से परिष्कृत किया जा सकता है जहां उच्च लहरें आती रहती हैं।
इस प्रकार से यदि वह क्षेत्र जिसमें उच्च रिज़ॉल्यूशन वांछित रहता है, और गणना के समय स्थानीयकृत रहता है, तो स्थैतिक मेष शोधन का उपयोग किया जा सकता है - जिसमें ग्रिड दूसरों की तुलना में कुछ क्षेत्रों में अधिक सूक्ष्मता से फैला होता है, जिससे समय के साथ अपना आकार बनाए रखता है।
गतिशील ग्रिडिंग योजना के निम्नलिखित लाभ हैं इस प्रकार से है:
- स्थैतिक ग्रिड दृष्टिकोण पर कम्प्यूटेशनल लाभ में वृद्धि।
- स्थैतिक ग्रिड दृष्टिकोण पर भंडारण लाभ में वृद्धि।
- स्थैतिक ग्रिड दृष्टिकोण के निश्चित रिज़ॉल्यूशन या चिकने कण हाइड्रोडायनामिक्स की लैग्रेंजियन-आधारित अनुकूलता की तुलना में ग्रिड रिज़ॉल्यूशन का पूर्ण नियंत्रण होता है ।
- पूर्व-ट्यून किए गए स्थैतिक मेष की तुलना में, अनुकूली दृष्टिकोण के लिए समाधान के विकास पर कम विस्तृत प्राथमिक ज्ञान की आवश्यकता होती है।
- कम्प्यूटेशनल निवेश भौतिक प्रणाली के गुणों को प्राप्त करती है।[6] इसके अतिरिक्त , एएमआर विधियों को विकसित किया गया है और दो-चरण प्रवाह सहित द्रव यांत्रिकी समस्याओं की विस्तृत श्रृंखला पर प्रयुक्त किया गया है,[7] द्रव-संरचना इंटरैक्शन,[8] और तरंग ऊर्जा परिवर्तित किया जाता है ।[9]
संदर्भ
- ↑ Berger, Marsha J.; Oliger, Joseph (1984). "हाइपरबोलिक आंशिक अंतर समीकरणों के लिए अनुकूली जाल शोधन" (PDF). Journal of Computational Physics. 53 (3): 484–512. doi:10.1016/0021-9991(84)90073-1. Archived (PDF) from the original on July 22, 2021. Retrieved 2021-07-22.
- ↑ Berger, Marsha J.; Colella, Philipp (1989). "शॉक हाइड्रोडायनामिक्स के लिए स्थानीय अनुकूली जाल शोधन" (PDF). Journal of Computational Physics. 82 (1): 64–84. Bibcode:1989JCoPh..82...64B. doi:10.1016/0021-9991(89)90035-1.
- ↑ Klein, Richard (1999). "Star formation with 3-D adaptive mesh refinement: the collapse and fragmentation of molecular clouds". Journal of Computational and Applied Mathematics. 109 (1–2): 123–152. doi:10.1016/S0377-0427(99)00156-9.
- ↑ Huang, Weizhang; Russell, Robert D. (2010). अनुकूली गतिमान जाल विधि. Springer. ISBN 978-1-4419-7916-2.
- ↑ Khattri, Sanjay Kumar (2007). "ग्रिड निर्माण और कार्यप्रणाली द्वारा अनुकूलन". Computational & Applied Mathematics. 26 (2): 235–249. Retrieved 2021-07-22.
- ↑ Popinet, Stéphane (2015). "A quadtree-adaptive multigrid solver for the Serre–Green–Naghdi equations". Journal of Computational Physics. 302: 336–358. Bibcode:2015JCoPh.302..336P. doi:10.1016/j.jcp.2015.09.009. Retrieved 2021-07-22.
- ↑ Zeng, Yadong; Xuan, Anqing; Blaschke, Johannes; Shen, Lian (2022). "सबसाइक्लिंग और गैर-सबसाइक्लिंग के साथ दो-चरण प्रवाह के कुशल अनुकरण के लिए एक समानांतर सेल-केंद्रित अनुकूली स्तर सेट ढांचा". Journal of Computational Physics. Elsevier. 448: 110740. Bibcode:2022JCoPh.44810740Z. doi:10.1016/j.jcp.2021.110740. S2CID 244203913.
- ↑ Zeng, Yadong; Bhala, Amneet; Shen, Lian (2022). "A subcycling/non-subcycling time advancement scheme-based DLM immersed boundary method framework for solving single and multiphase fluid--structure interaction problems on dynamically adaptive grids". Computers & Fluids. Elsevier. 238: 105358. doi:10.1016/j.compfluid.2022.105358. S2CID 247369961.
- ↑ Yu, Yi-Hsiang; Li, Ye (2013). "रेनॉल्ड्स-एवरेज्ड नेवियर--स्टोक्स दो-बॉडी फ्लोटिंग-पॉइंट अवशोषक तरंग ऊर्जा प्रणाली के भारी प्रदर्शन का अनुकरण करते हैं". Computers & Fluids. Elsevier. 73: 104–114. doi:10.1016/j.compfluid.2012.10.007.
यह भी देखें
श्रेणी:संख्यात्मक अंतर समीकरण
