अभाज्य-गणना फलन

गणित में, अभाज्य-गणना फलन वह फलन (गणित) है जो किसी वास्तविक संख्या x से कम या उसके समान अभाज्य संख्याओं की संख्या की गणना करता है। इसे π(x) (संख्या π से असंबंधित ) द्वारा दर्शाया जाता है.

के मान π(एन) पहले 60 धनात्मक पूर्णांकों के लिए

विकास दर

Main article: अभाज्य संख्या प्रमेय

संख्या सिद्धांत में बहुत रुचि प्रधान-गणना फलन का स्पर्शोन्मुख विश्लेषण है। और 18वीं शताब्दी के अंत में कार्ल फ्रेडरिक गॉस और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे द्वारा अनुमान लगाया गया था कि यह लगभग होना चाहिए।

$${\frac {x}{\log(x)}}$$

जहाँ लॉग प्राकृतिक लघुगणक है, इस अर्थ में कि

$$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log(x)}}=1.$$

यह कथन प्रधान संख्या प्रमेय है। समतुल्य कथन है

$$\lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1$$

इस प्रकार से जहां ली लघुगणकीय समाकल फलन है। अभाज्य संख्या प्रमेय को प्रथम समय 1896 में जैक्स हैडमार्ड और चार्ल्स जीन डे ला वल्ली-पौसिन द्वारा सिद्ध किया गया था। चार्ल्स डे ला वेली पॉसिन स्वतंत्र रूप से, 1859 में बर्नहार्ड रीमैन द्वारा प्रस्तुत किए गए रीमैन ज़ेटा फलन के गुणों का उपयोग करते हुए। अभाज्य संख्या प्रमेय के प्रमाण नहीं ज़ेटा फलन या सम्मिश्र विश्लेषण का उपयोग 1948 के चारों-ओर एटले सेलबर्ग और पॉल एर्डोस (अधिकांश भाग के लिए स्वतंत्र रूप से) द्वारा पाया गया था।

अधिक स्पष्ट अनुमान

1899 में,चार्ल्स जीन डे ला वेली पॉसिन ने यह सिद्ध किया

$$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty$$

कुछ धनात्मक स्थिरांक के लिए a. जहाँ , O(...) उच्च O अंकन है।

का अधिक स्पष्ट अनुमान $\pi (x)\!$ अब जाने जाते हैं। उदाहरण के लिए, 2002 में, केविन फोर्ड (गणितज्ञ) ने यह सिद्ध कर दिया

$$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0.2098(\log x)^{\frac {3}{5}}(\log \log x)^{-{\frac {1}{5}}}\right)\right).$$

मॉसिंगहॉफ और ट्रुडजियन ने $\pi (x)$ और $\operatorname {li} (x)$ के मध्य अंतर के लिए एक स्पष्ट ऊपरी सीमा सिद्ध की है:

$${\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2593{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.315}}}\right)$$

के लिए $x\geq 229$.

$x$ के मूल्यों के लिए जो अनुचित रूप से बड़े नहीं हैं, $\operatorname {li} (x)$,$\pi (x)$ से उच्च है हालाँकि . , $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ अनगिनत बार राशि परिवर्तन के लिए जाना जाता है। इसकी चर्चा के लिए स्केव्स का नंबर देखें।

स्पष्ट रूप

$x>1$ के लिए $\pi _{0}(x)=\pi (x)-1/2$ दें जब $x$ एक अभाज्य संख्या हो, और अन्यथा $\pi _{0}(x)=\pi (x)$ हो। बर्नहार्ड रीमैन ने अपने काम ऑन द नंबर ऑफ़ प्राइम्स लेस दैन अ गिवेन मैग्निट्यूड में सिद्ध किया कि $\pi _{0}(x)$ समान है

$$\pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho }),$$

जहाँ

$$\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n}),$$

μ(n) मोबियस फलन है, li(x) लघुगणक समाकल फलन है, ρ रीमैन ज़ेटा फलन के प्रत्येक शून्य को अनुक्रमित करता है, और li(x^ρ/n) शाखा कटौती के साथ मूल्यांकन नहीं किया जाता है किन्तु इसके अतिरिक्त माना जाता है Ei(ρ/n log x) जहाँ Ei(x) घातीय अभिन्न है। यदि नगण्य शून्य एकत्र किए जाते हैं और योग केवल गैर-नगण्य शून्यों ρ रीमैन ज़ेटा फलन के ऊपर लिया जाता है, तो $\pi _{0}(x)$ द्वारा अनुमानित किया जा सकता है

$$\pi _{0}(x)\approx \operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\log {x}}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log {x}}}.$$

रीमैन परिकल्पना बताती है कि ऐसा हर गैर-नगण्य शून्य Re(s) = 1/2 के साथ स्थित है .

π(x), x / log x, और li(x) की तालिका

तालिका दिखाती है कि कैसे तीन फलन π (x), x / लॉग x और li(x) की तुलना 10 की घातों पर की जाती है।और यह भी देखें,

x	π(x)	π(x) − x / log x	li(x) − π(x)	x / π(x)	x / log x  % Error
10	4	0	2	2.500	-8.57%
102	25	3	5	4.000	13.14%
103	168	23	10	5.952	13.83%
104	1,229	143	17	8.137	11.66%
105	9,592	906	38	10.425	9.45%
106	78,498	6,116	130	12.739	7.79%
107	664,579	44,158	339	15.047	6.64%
108	5,761,455	332,774	754	17.357	5.78%
109	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667	5.10%
1010	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975	4.56%
1011	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283	4.13%
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590	3.77%
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896	3.47%
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202	3.21%
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	2.99%
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	2.79%
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	38.116	2.63%
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420	2.48%
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	42.725	2.34%
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	222,744,644	45.028	2.22%
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332	2.11%
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	2.02%
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939	1.93%
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243	1.84%
1025	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546	1.77%
1026	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850	1.70%
1027	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	1.64%
1028	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	63.456	1.58%
1029	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23,130,930,737,541,725,917,951,446	4,551,193,622,464	65.759	1.52%

प्राइम-काउंटिंग फलन का अनुपात दिखाने वाला ग्राफ़ π(x) इसके दो अनुमानों के लिए, x/लॉग x और Li(x)। जैसे ही x बढ़ता है (ध्यान दें x अक्ष लॉगरिदमिक है), दोनों अनुपात 1 की ओर झुकते हैं। x/लॉग x का अनुपात ऊपर से बहुत धीरे-धीरे अभिसरित होता है, जबकि Li(x) का अनुपात नीचे से अधिक तेज़ी से अभिसरित होता है।

पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में, π(x) स्तंभ अनुक्रम है OEIS: A006880, π(x) − x/log x अनुक्रम है OEIS: A057835, और li(x) − π(x) अनुक्रम है OEIS: A057752.

π(10²⁴) के मान की गणना मूल रूप से जे. बुएथे, जेन्स फ्रांके जे द्वारा गणना की गई थी। फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग रीमैन परिकल्पना को मानते हुए की थी।

इसे पश्चात में डीजे प्लैट द्वारा गणना में बिना नियम सत्यापित किया गया था।

इस प्रकार से π(10²⁵) के मान की गणना जे. बुएथे, जेन्स फ्रांके|जे. फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग के कारण है। π(10²⁶) के मान की गणना गणना डी. बी. स्टेपल द्वारा की गई थी। इस तालिका में अन्य सभी पूर्व प्रविष्टियों को भी उस कार्य के भाग के रूप में सत्यापित किया गया था।

10²⁷ का मान की घोषणा 2015 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।

10²⁸ का मान की घोषणा 2020 में डेविड बॉ और किम वालिस्क ने की थी।

10²⁹ का मान की घोषणा 2022 में डेविड बॉ और किम वालिस्क ने की थी।

π(x) के मूल्यांकन के लिए एल्गोरिदम

यदि $x$ बहुत बड़ा नहीं है तो $\pi (x)$ को खोजने का एक आसान विधि यह है कि , एराटोस्थनीज की सीव का उपयोग करके $x$ से कम या उसके समान अभाज्य संख्याएँ प्राप्त करें और फिर उन्हें गिनने के लिए।

$\pi (x)$ को खोजने का एक अधिक विस्तृत विधि एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे (समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके) के कारण है: दिया गया $x$, यदि $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ हैं, तो $x$ से कम या उसके बराबर पूर्णांकों की संख्या जो किसी भी $p_{i}$ से विभाज्य नहीं हैं

$\lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots$

(जहाँ $\lfloor {x}\rfloor$ फ़्लोर फलन को दर्शाता है)। यह संख्या इसलिए के समान है

$\pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1$

जब संख्याएँ $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ के वर्गमूल से कम या उसके समान $x$ अभाज्य संख्याएँ हैं .

मीसेल-लेहमर एल्गोरिदम

Main article: मीसेल-लेहमर एल्गोरिदम

इस प्रकार से 1870 और 1885 के मध्य प्रकाशित लेखों की श्रृंखला में, अर्न्स्ट मीसेल ने मूल्यांकन का व्यावहारिक दहनशील विधि वर्णित (और उपयोग किया) $\pi (x)$.मान लीजिए कि $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ प्रथम $n$ अभाज्य है और $\Phi (m,n)$ द्वारा उन प्राकृतिक संख्याओं को निरूपित करता है जो M से अधिक नहीं हैं जो किसी भी $i\leq n$ के लिए $p_{i}$ में से किसी से भी विभाज्य नहीं हैं।

$\Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{n}}},n-1\right).$

प्राकृतिक संख्या $m$ दी गई है , यदि $n=\pi \left({\sqrt[{3}]{m}}\right)$ और यदि $\mu =\pi \left({\sqrt {m}}\right)-n$, तब

$\pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right).$

इस दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, मीसेल ने $x$ के लिए $\pi (x)$ , की गणना 5×10⁵, 10⁶, 10⁷, और 10⁸ के समान की

1959 में, डेरिक हेनरी लेहमर ने मीसेल की विधि का विस्तार और सरलीकरण किया। वास्तविक के लिए परिभाषित करें $m$ और प्राकृतिक संख्या के लिए $n$ और $k$, $P_{k}(m,n)$ क्योंकि संख्याओं की संख्या m से अधिक नहीं है, ठीक k अभाज्य कारकों के साथ, सभी से अधिक $p_{n}$. इसके अतिरिक्त , समुच्चय करें $P_{0}(m,n)=1$. तब

$\Phi (m,n)=\sum _{k=0}^{+\infty }P_{k}(m,n)$

जहां योग वास्तव में केवल बहुत से अशून्य शब्द हैं। होने देना $y$ पूर्णांक को निरूपित करें जैसे कि ${\sqrt[{3}]{m}}\leq y\leq {\sqrt {m}}$, और समुच्चय करें $n=\pi (y)$. तब $P_{1}(m,n)=\pi (m)-n$ और $P_{k}(m,n)=0$ कब $k\geq 3$. इसलिए,

$\pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P_{2}(m,n)$

की गणना $P_{2}(m,n)$ इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है:

$P_{2}(m,n)=\sum _{y<p\leq {\sqrt {m}}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\right)-\pi (p)+1\right),$

जहां योग अभाज्य संख्याओं से अधिक है।

दूसरी ओर, की गणना $\Phi (m,n)$ निम्नलिखित नियमों का उपयोग करके किया जा सकता है:

1. $\Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor$
2. $\Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{b}}},b-1\right)$

अपनी पद्धति और आईबीएम 701 का उपयोग करते हुए, लेहमर के सही मान की गणना करने में सक्षम था $\pi \left(10^{9}\right)$ और का सही मान चूक गए $\pi \left(10^{10}\right)$ द्वारा 1.

इस पद्धति में और सुधार लैगरियास, मिलर, ओडलीज़को, डेलिग्लिस और रिवाट द्वारा किए गए थे।

प्राइम-गिनती कार्यों के लिए सूत्र

प्राइम-गिनती कार्यों के सूत्र दो प्रकार में आते हैं: अंकगणितीय सूत्र और विश्लेषणात्मक सूत्र। अभाज्य संख्या प्रमेय को सिद्ध करने के लिए सबसे पहले अभाज्य-गणना के लिए विश्लेषणात्मक सूत्र का उपयोग किया गया था। वे रीमैन और हंस कार्ल फ्रेडरिक वॉन मैंगोल्ड्ट के काम से उपजे हैं, और आम तौर पर स्पष्ट सूत्र (एल-फलन) के रूप में जाने जाते हैं।

हमारे पास ψ के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति है:

$\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right),$

जहाँ

$\psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.$

जहाँ ρ क्रिटिकल स्ट्रिप में Riemann zeta फलन के शून्य हैं, जहाँ ρ का वास्तविक भाग शून्य और के मध्य है। सूत्र से अधिक x के मानों के लिए मान्य है, जो रुचि का क्षेत्र है। मूल पर योग सनियम अभिसरण है, और काल्पनिक भाग के पूर्ण मूल्य में वृद्धि के क्रम में लिया जाना चाहिए। ध्यान दें कि नगण्य मूल पर समान योग सूत्र में अंतिम वापस लेना देता है।

के लिए $\Pi _{0}(x)$ हमारे पास अधिक सम्मिश्र सूत्र है

$\Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}.$

जीटा फलन के पहले 200 गैर-नगण्य शून्यों का उपयोग करते हुए रीमैन का स्पष्ट सूत्र

फिर से, सूत्र x > 1 के लिए मान्य है, जबकि ρ उनके निरपेक्ष मान के अनुसार क्रमित जीटा फलन के गैर-नगण्य शून्य हैं। अभिन्न नगण्य शून्य पर श्रृंखला के समान है:

$\int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}\left(\sum _{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm {d} t=\sum _{m}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\,\mathrm {d} t\,\,{\overset {(u=t^{-2m})}{=}}-\sum _{m}\operatorname {li} (x^{-2m})$

पहला शब्द ली (x) सामान्य लॉगरिदमिक इंटीग्रल फलन है; अभिव्यक्ति ली (x^ρ) को दूसरे टर्म में Ei(ρ लॉग  x) के रूप में माना जाना चाहिए, जहां Ei पॉजिटिव रियल के साथ ब्रांच कट के साथ नेगेटिव रियल से कॉम्प्लेक्स प्लेन तक xपोनेंशियल इंटीग्रल फलन का विश्लेषणात्मक निरंतरता है।

इस प्रकार, मोबियस उलटा सूत्र हमें देता है

$\pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-\sum _{m}\operatorname {R} (x^{-2m})$

x> 1 के लिए मान्य है, जहाँ

$\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\log x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}$

रीमैन का आर-फलन है और μ(n) मोबियस फलन है। इसके लिए हँसी श्रृंखला को जोर्जेन पेडरसन ग्राम श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। जब यह अनुमान लगाया जाता है कि रीमैन ज़ेटा फलन के सभी शून्य सरल हैं, वह

$\operatorname {R} (e^{-2\pi t})={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta (2k+1)}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\rho }{\frac {t^{-\rho }}{\rho \cos(\pi \rho /2)\zeta '(\rho )}}$

जहाँ $\rho$ रीमैन ज़ेटा फलन के गैर-नगण्य शून्यों पर चलता है और $t>0$.

के लिए सूत्र में गैर-नगण्य जीटा शून्य पर योग $\pi _{0}(x)$ के उतार-चढ़ाव का वर्णन करता है $\pi _{0}(x),$ जबकि शेष नियम ें प्राइम-काउंटिंग फलन का सहज भाग देती हैं, तो कोई उपयोग कर सकता है

$\operatorname {R} (x)-\sum _{m=1}^{\infty }\operatorname {R} (x^{-2m})$

अच्छे अनुमानक के रूप में $\pi (x)$ x > 1 के लिए। वास्तव में, चूंकि दूसरा पद 0 की ओर अग्रसर होता है $x\to \infty$, जबकि रव वाले हिस्से का आयाम अनुमान के अनुसार है ${\sqrt {x}}/\log x,$ आकलन $\pi (x)$ द्वारा $\operatorname {R} (x)$ अकेला ही उतना ही अच्छा है, और प्राइम्स के वितरण के उतार-चढ़ाव को फलन के साथ स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है

${\bigl (}\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x){\bigr )}{\frac {\log x}{\sqrt {x}}}.$

असमानताएं

जहाँ कुछ उपयोगी असमानताएँ हैं π(x)।

${\frac {x}{\log x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\log x}}$

x ≥ 17 के लिए।

बाईं असमानता x ≥ 17 के लिए मान्य है और दाईं असमानता x > 1 के लिए मान्य है। स्थिरांक 1.25506 है ${\textstyle {\frac {30\log 113}{113}}}$ 5 दशमलव स्थानों तक, जैसे ${\textstyle {\frac {\pi (x)\log x}{x}}}$ x = 113 पर इसका अधिकतम मान है।

2010 में पियरे डसार्ड ने सिद्ध किया:

${\frac {x}{\log x-1}}<\pi (x)$ के लिए $x\geq 5393$, और

$\pi (x)<{\frac {x}{\log x-1.1}}$ के लिए $x\geq 60184$.

जहाँ nवें अभाज्य, p के लिए कुछ असमानताएँ हैं_n. ऊपरी सीमा रोसेर (1941) के कारण है, द लोअर टू डसार्ट (1999):

$n(\log(n\log n)-1)<p_{n}<n{\log(n\log n)}$ एन ≥ 6 के लिए।

n ≥ 2 के लिए बाएँ असमिका लागू होती है और n ≥ 6 के लिए दाएँ असमिका लागू होती है।

nवें अभाज्य संख्या के लिए सन्निकटन है

$p_{n}=n(\log(n\log n)-1)+{\frac {n(\log \log n-2)}{\log n}}+O\left({\frac {n(\log \log n)^{2}}{(\log n)^{2}}}\right).$

श्रीनिवास रामानुजन असमानता को सिद्ध किया

$\pi (x)^{2}<{\frac {ex}{\log x}}\pi \left({\frac {x}{e}}\right)$

के सभी पर्याप्त बड़े मूल्यों के लिए धारण करता है $x$.

में दुसार्ट ने सिद्ध किया (प्रस्ताव 6.6) कि, के लिए $n\geq 688383$,

$p_{n}\leq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}\right),$ और (प्रस्ताव 6.7) कि, के लिए $n\geq 3$,

$p_{n}\geq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2.1}{\log n}}\right).$

अभी हाल ही में, दुसार्ट

सिद्ध किया है (प्रमेय 5.1) कि, के लिए $x>1$,

$\pi (x)\leq {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}+{\frac {7.59}{\log ^{3}x}}\right)$ ,

और वह, के लिए $x\geq 88789$,

$\pi (x)>{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}\right).$

रीमैन परिकल्पना

रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य अनुमान में त्रुटि पर बहुत सख्त बाध्यता से है $\pi (x)$, और इसलिए अभाज्य संख्याओं के अधिक नियमित वितरण के लिए,

$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).$

विशेष रूप से,

$|\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\,\log {x},\qquad {\text{for all }}x\geq 2657.$

यह भी देखें

• फोआस स्थिर
• बर्ट्रेंड का अभिधारणा
• ओपरमैन का अनुमान
• रामानुजन प्राइम

बाहरी संबंध

• Chris Caldwell, The Nth Prime Page at The Prime Pages.
• Tomás Oliveira e Silva, Tables of prime-counting functions.