अवस्था फलन

संतुलन के ऊष्मप्रवैगिकी में, अवस्था फलन, अवस्था का फलन, या ऊष्मप्रवैगिकी प्रणाली के लिए बिंदु फलन एक गणितीय फलन है जो कई चर अवस्था या अवस्था मात्रा से संबंधित है (जो एक प्रणाली के ऊष्मप्रवैगिकी संतुलन का वर्णन करता है) जो केवल वर्तमान पर निर्भर करता है प्रणाली की संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी अवस्था^[1] (जैसे गैस, तरल, ठोस, क्रिस्टल, या पायस), न कि ऊष्मप्रवैगिकी प्रक्रिया पथ जिसे प्रणाली ने उस अवस्था तक पहुँचने के लिए लिया है। एक अवस्था फलन प्रणाली के संतुलन अवस्थाओ का वर्णन करता है, इस प्रकार प्रणाली के प्रकार का भी वर्णन करता है। एक चर अवस्था सामान्यतः एक अवस्था फलन होता है, इसलिए एक संतुलन अवस्था में अन्य चर मूल्यों का निर्धारण भी अवस्था चर के मूल्य को उस अवस्था में अवस्था फलन के रूप में निर्धारित करता है। आदर्श गैस कानून एक अच्छा उदाहरण है। इस कानून में, एक अवस्था चर (जैसे, दबाव, आयतन, तापमान, या गैसीय संतुलन प्रणाली में पदार्थ की मात्रा) अन्य अवस्था चर का एक फलन है, इसलिए इसे एक अवस्था फलन माना जाता है। एक अवस्था फलन विषमांगी मिश्रण या सजातीय मिश्रण में गैसीय, तरल या ठोस रूप में एक निश्चित प्रकार के परमाणुओं या अणुओं की संख्या का वर्णन कर सकता है, या ऐसी प्रणाली बनाने या प्रणाली को एक में बदलने के लिए अलग संतुलन अवस्था में आवश्यक ऊर्जा की मात्रा का वर्णन कर सकता है।

आंतरिक ऊर्जा, तापीय धारिता, और एन्ट्रापी अवस्था मात्रा या अवस्था फलनों के उदाहरण हैं क्योंकि वे मात्रात्मक रूप से एक ऊष्मप्रवैगिकी प्रणाली की एक संतुलन स्थिति का वर्णन करते हैं, भले ही उस स्थिति में प्रणाली तक कैसे पहुंचा हो। इसके विपरीत, यांत्रिक फलन और ऊष्मा प्रक्रिया मात्राएँ या पथ फलन हैं क्योंकि उनके मान दो संतुलन अवस्थाओं के बीच एक विशिष्ट संक्रमण (या पथ) पर निर्भर करते हैं जो एक प्रणाली ने अंतिम संतुलन स्थिति तक पहुँचने के लिए लिया है। ऊष्मा (कुछ असतत मात्रा में) एक अवस्था फलन जैसे कि तापीय धारिता का वर्णन कर सकती है, लेकिन सामान्यतः, यह वास्तव में प्रणाली का वर्णन नहीं करती है जब तक कि इसे एक निश्चित प्रणाली के अवस्था फलन के रूप में परिभाषित नहीं किया जाता है, और इस प्रकार गर्मी की मात्रा द्वारा तापीय धारिता का वर्णन किया जाता है। यह एंट्रॉपी पर भी लागू हो सकता है जब गर्मी की तुलना तापमान से की जाती है। हिस्टैरिसीस प्रदर्शित करने वाली मात्राओं के लिए विवरण टूट जाता है।^[2]

इतिहास

यह संभावना है कि रुडोल्फ क्लॉसियस, विलियम जॉन मैक्कॉर्न रैंकिन, पीटर टैट (भौतिक विज्ञानी) और विलियम थॉमसन, प्रथम बैरन केल्विन जैसे लोगों द्वारा 1850 और 1860 के दशक के दौरान अवस्था के फलनों का प्रयोग ढीले अर्थों में किया गया था। 1870 के दशक तक, इस शब्द ने अपना खुद का उपयोग हासिल कर लिया था। अपने 1873 के पेपर ग्राफ़िकल मेथड्स इन द ऊष्मप्रवैगिकी ऑफ़ फ्लुइड्स में, विलार्ड गिब्स कहते हैं: मात्रा v, p, t, ε, और η का निर्धारण तब किया जाता है जब शरीर की स्थिति दी जाती है, और उन्हें शरीर की स्थिति के कार्यों को कॉल करने की अनुमति दी जा सकती है।^[3]

अवलोकन

एक ऊष्मप्रवैगिकी प्रणाली को कई ऊष्मप्रवैगिकी पैरामीटर (जैसे तापमान, आयतन (ऊष्मप्रवैगिकी), या दबाव) द्वारा वर्णित किया जाता है जो आवश्यक रूप से स्वतंत्र नहीं होते हैं। प्रणाली का वर्णन करने के लिए आवश्यक पैरामीटर की संख्या प्रणाली के अवस्था स्थान का आयाम है ( $D$ ). उदाहरण के लिए, कणों की एक निश्चित संख्या के साथ एक मोनोएटोमिक गैस एक द्वि-आयामी प्रणाली का एक साधारण मामला है ( $D = 2$ ). किसी भी द्वि-आयामी प्रणाली को विशिष्ट रूप से दो मापदंडों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। दबाव और तापमान के बजाय दबाव और मात्रा जैसे पैरामीटर की एक अलग जोड़ी चुनना, द्वि-आयामी ऊष्मप्रवैगिकी अवस्था अंतरिक्ष में एक अलग समन्वय प्रणाली बनाता है लेकिन अन्यथा समतुल्य है। दाब और तापमान का उपयोग आयतन ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है, दाब और आयतन का उपयोग तापमान ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है, और तापमान और आयतन का उपयोग दाब ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है। एक समान कथन उच्च-आयामी रिक्त स्थान के लिए है, जैसा कि अवस्था अभिधारणा द्वारा वर्णित है।

सामान्यतयः, एक अवस्था स्थान को फॉर्म के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है $F(P,V,T,\ldots )=0$ , जहाँ $P$ दबाव को दर्शाता है, $T$ तापमान को दर्शाता है, $V$ मात्रा को दर्शाता है, और दीर्घवृत्त अन्य संभावित अवस्था चर जैसे कण संख्या $N$ और एन्ट्रापी $S$ को दर्शाता है | यदि उपरोक्त उदाहरण में अवस्था स्थान द्वि-आयामी है, तो इसे त्रि-आयामी ग्राफ (त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सतह) के रूप में देखा जा सकता है। चूँकि, अक्षों के लेबल अद्वितीय नहीं हैं (क्योंकि इस मामले में तीन से अधिक अवस्था चर हैं), और अवस्था को परिभाषित करने के लिए केवल दो स्वतंत्र चर आवश्यक हैं।

जब कोई प्रणाली लगातार अवस्था बदलता है, तो यह अवस्था अंतरिक्ष में पथ का पता लगाता है। पथ को अवस्था के मापदंडों के मूल्यों को ध्यान में रखते हुए निर्दिष्ट किया जा सकता है क्योंकि प्रणाली पथ का पता लगाता है, चाहे वह समय के फलन के रूप में हो या किसी अन्य बाहरी चर के फलन के रूप में। उदाहरण के लिए, दबाव होना $P (t)$ और मात्रा $V (t)$ समय से समय के फलनों के रूप में $t 0$ को $t 1$ द्वि-आयामी अवस्था अंतरिक्ष में पथ निर्दिष्ट करेगा। समय का कोई भी फलन तब पथ पर अभिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, प्रणाली द्वारा समय से किए गए फलन (भौतिकी) की गणना करना $t 0$ समय पर $t 1$ , गणना करें

${\textstyle W(t_{0},t_{1})=\int _{0}^{1}P\,dV=\int _{t_{0}}^{t_{1}}P(t){\frac {dV(t)}{dt}}\,dt}$ . फलन की गणना करने के लिए $W$ उपरोक्त समाकलन में, फलन $P (t)$ और $V (t)$ $t$ पूरे पथ पर प्रत्येक समय ज्ञात होना चाहिए । इसके विपरीत, एक अवस्था फलन केवल पथ के अंत बिंदुओं पर प्रणाली पैरामीटर के मानों पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण का उपयोग पथ पर $V dP$ के कार्य और समाकलन की गणना के लिए किया जा सकता है :

{\begin{aligned}\Phi (t_{0},t_{1})&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}P{\frac {dV}{dt}}\,dt+\int _{t_{0}}^{t_{1}}V{\frac {dP}{dt}}\,dt\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d(PV)}{dt}}\,dt=P(t_{1})V(t_{1})-P(t_{0})V(t_{0}).\end{aligned}}

समीकरण में, ${\frac {d(PV)}{dt}}dt=d(PV)$ फलन $P (t) V (t)$ के सटीक अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है | इसलिए अभिन्न को मूल्य के अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $P (t) V (t)$ एकीकरण के अंतिम बिंदुओं पर उत्पाद $PV$ इसलिए प्रणाली का एक अवस्था फलन है।

नोटेशन डी का उपयोग सटीक अंतर के लिए किया जाएगा। दूसरे शब्दों में, dΦ का समाकल Φ(t1) - Φ(t0) के बराबर होगा

अंकन $d$ का उपयोग सटीक अंतर के लिए किया जाएगा। दूसरे शब्दों में, $d Φ$ का समाकलन $Φ(t 1) - Φ(t 0)$ के बराबर होगा | प्रतीक $δ$ एक सटीक अंतर के लिए आरक्षित होगा, जिसे पथ के पूर्ण ज्ञान के बिना एकीकृत नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $δW = PdV$ का उपयोग फलन की अतिसूक्ष्म वृद्धि को दर्शाने के लिए किया जाएगा।

अवस्था फलन ऊष्मप्रवैगिकी प्रणाली की मात्रा या गुणों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि गैर- अवस्था फलन एक ऐसी प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करते हैं जिसके दौरान अवस्था फलन बदलते हैं। उदाहरण के लिए, अवस्था फलन $PV$ एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा के समानुपाती होता है, लेकिन फलन $W$ स्थानांतरित ऊर्जा की मात्रा है क्योंकि प्रणाली के कार्य करते समय हस्तांतरित करता है। आंतरिक ऊर्जा पहचानने योग्य है; यह ऊर्जा का एक विशेष रूप है। फलन ऊर्जा की वह मात्रा है जिसने अपना रूप या स्थान बदल लिया है।