एडिटिव श्वार्ज़ विधि

गणित में, एडिटिव श्वार्ज़ विधि, जिसका नाम हरमन श्वार्ज़ के नाम पर रखा गया है, इस प्रकार आंशिक अंतर समीकरण के लिए सीमा मूल्य समस्या को छोटे डोमेन पर सीमा मूल्य समस्याओं में विभाजित करके और परिणामों को जोड़कर हल करती है।

अवलोकन

आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) का उपयोग सभी विज्ञानों में घटनाओं को मॉडल करने के लिए किया जाता है। इस प्रकार व्याख्या के उद्देश्य से, हम एक उदाहरण भौतिक समस्या और उससे जुड़ी सीमा मूल्य समस्या (बीवीपी) देते हैं। भले ही पाठक नोटेशन से अपरिचित हो, उद्देश्य केवल यह दिखाना है कि लिखे जाने पर बीवीपी कैसा दिखता है।

(मॉडल समस्या) वर्गाकार धातु की प्लेट में ऊष्मा का वितरण इस प्रकार किया जाता है कि बाएं किनारे को 1 डिग्री पर रखा जाता है और अन्य किनारों को 0 डिग्री पर रखा जाता है, इसे लंबे समय तक रखने के पश्चात् निम्नलिखित सीमा मान समस्या को संतुष्ट किया जाता है :

f_xx(x,y) + f_yy(x,y) = 0

f(0,y) = 1; f(x,0) = f(x,1) = f(1,y) = 0

जहाँ f अज्ञात फलन (गणित) है, f_xx और f_xx क्रमशः x और y के संबंध में दूसरे आंशिक व्युत्पन्न को निरूपित करें।

यहां, डोमेन (गणितीय विश्लेषण) वर्ग [0,1] × [0,1] है।

इस विशेष समस्या को बिल्कुल कागज पर हल किया जा सकता है, इसलिए कंप्यूटर की कोई आवश्यकता नहीं है। चूँकि, यह असाधारण स्थितिया है, और अधिकांश बीवीपी को त्रुटिहीन रूप से हल नहीं किया जा सकता है। अनुमानित समाधान खोजने के लिए कंप्यूटर का उपयोग करना ही एकमात्र संभावना है।

कंप्यूटर पर समाधान करना

ऐसा करने की विशिष्ट विधि वर्ग (ज्यामिति) [0,1] × [0,1] में नियमित अंतराल (गणित) पर एफ का नमूना लेना है। इस प्रकार उदाहरण के लिए, हम x दिशा में x = 0.1, 0.2, ..., 0.8 और 0.9 पर 8 नमूने ले सकते हैं, और समान निर्देशांक प्रणाली पर y दिशा में 8 नमूने ले सकते हैं। फिर हमारे पास (0.2,0.8) और (0.6,0.6) जैसी स्थानों पर वर्ग के 64 नमूने होंगे। इस प्रकार कंप्यूटर प्रोग्राम का लक्ष्य उन 64 बिंदुओं पर f के मान की गणना करना होगा, जो वर्ग के अमूर्त वेरिएबल को खोजने से आसान लगता है।

कुछ कठिनाइयाँ हैं, उदाहरण के लिए‚ वर्ग में केवल 64 बिंदुओं पर f को जानते हुए f_xx(0.5,0.5) की गणना करना संभव नहीं है। इसे दूर करने के लिए, कोई व्यक्ति व्युत्पन्नों के किसी प्रकार के संख्यात्मक सन्निकटन का उपयोग करता है, उदाहरण के लिए परिमित तत्व विधि या परिमित अंतर देखें। हम इन कठिनाइयों को नजरअंदाज करते हैं और समस्या के दूसरे पहलू पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

रैखिक समस्याओं को हल करना

इस समस्या को हल करने के लिए हम जो भी विधि चुनें, हमें समीकरणों की बड़ी रैखिक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होगी। इस प्रकार पाठक हाई स्कूल के समीकरणों की रैखिक प्रणालियों को याद कर सकते हैं, वह इस तरह दिखती हैं:

2a + 5b = 12 (*)

6a − 3b = −3

यह 2 अज्ञात (ए और बी) में 2 समीकरणों की एक प्रणाली है। यदि हम उपरोक्त सुझाए गए तरीके से बीवीपी को हल करते हैं, तब हमें 64 अज्ञात में 64 समीकरणों की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होगी। इस प्रकार आधुनिक कंप्यूटरों के लिए यह कोई कठिन समस्या नहीं है, किन्तु यदि हम बड़ी संख्या में नमूनों का उपयोग करते हैं, तब आधुनिक कंप्यूटर भी बीवीपी को बहुत कुशलता से हल नहीं कर सकते हैं।

डोमेन अपघटन

जो हमें डोमेन अपघटन विधियों तक लाता है। यदि हम डोमेन [0,1] × [0,1] को दो उपडोमेन [0,0.5] × [0,1] और [0.5,1] × [0,1] में विभाजित करते हैं, तब प्रत्येक में केवल आधा नमूना होता है अंक. इसलिए हम प्रत्येक उपडोमेन पर अपनी मॉडल समस्या के संस्करण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं, किन्तु इस बार प्रत्येक उपडोमेन में केवल 32 नमूना बिंदु हैं। अंत में, प्रत्येक उपडोमेन पर समाधान दिए जाने पर, हम [0,1] × [0,1] पर मूल समस्या का समाधान प्राप्त करने के लिए उन्हें समेटने का प्रयास कर सकते हैं।

समस्याओं का आकार

रैखिक प्रणालियों के संदर्भ में, हम 64 अज्ञातों में 64 समीकरणों की प्रणाली को 32 अज्ञातों में 32 समीकरणों की दो प्रणालियों में विभाजित करने का प्रयास कर रहे हैं। इस प्रकार निम्नलिखित कारणों से यह स्पष्ट लाभ होगा। प्रणाली (*) पर पीछे मुड़कर देखने पर, हम देखते हैं कि जानकारी के 6 महत्वपूर्ण टुकड़े हैं। वह a और b के गुणांक हैं (पहली पंक्ति पर 2,5 और दूसरी पंक्ति पर 6,−3), और दाईं ओर (जिसे हम 12,−3 के रूप में लिखते हैं)। दूसरी ओर, यदि हम 1 अज्ञात में 1 समीकरण की दो "प्रणालियाँ" लेते हैं, तब यह इस तरह दिख सकती है:

पद्धति 1: 2a = 12

पद्धति 2: -3b = −3

हम देखते हैं कि इस प्रणाली में जानकारी के केवल 4 महत्वपूर्ण टुकड़े हैं। इसका कारण यह है कि कंप्यूटर प्रोग्राम के लिए 2×2 प्रणाली को हल करने की तुलना में दो 1×1 प्रणाली को हल करना आसान होगा, क्योंकि 1×1 प्रणाली की जोड़ी एकल 2×2 प्रणाली की तुलना में सरल होती है। इस प्रकार जबकि 64×64 और 32×32 प्रणालियाँ यहाँ वर्णन करने के लिए बहुत बड़ी हैं, हम सादृश्य द्वारा कह सकते हैं कि 64×64 प्रणाली में 4160 जानकारी हैं, जबकि 32×32 प्रणालियों में से प्रत्येक में 1056, या लगभग 64×64 प्रणाली का एक चौथाई है।

डोमेन अपघटन एल्गोरिथ्म

दुर्भाग्य से, तकनीकी कारणों से सामान्यतः हमारे 64 बिंदुओं के ग्रिड (रैखिक समीकरणों की 64x64 प्रणाली) को 32 बिंदुओं के दो ग्रिडों (रैखिक समीकरणों की दो 32x32 प्रणालियों) में विभाजित करना और 64 का उत्तर प्राप्त करना संभव नहीं है। ×64 प्रणाली. इसके अतिरिक्त, निम्नलिखित एल्गोरिदम वास्तव में होता है:

1) 64×64 प्रणाली के अनुमानित समाधान से शुरुआत करें।

2) 64×64 प्रणाली से, अनुमानित समाधान को उत्तम बनाने के लिए दो 32×32 प्रणाली बनाएं।

3) दो 32×32 प्रणालियों को हल करें।

4) 64×64 प्रणाली के अनुमानित समाधान को उत्तम बनाने के लिए दो 32×32 समाधानों को "एक साथ" रखें।

5) यदि समाधान अभी भी बहुत अच्छा नहीं है, तब 2 से दोहराएं।

ऐसे दो तरीके हैं जिनसे यह आधार 64×64 प्रणाली को हल करने से उत्तम हो सकता है। इस प्रकार सबसे पहले, यदि एल्गोरिदम की पुनरावृत्ति की संख्या छोटी है, तब दो 32×32 प्रणाली को हल करना 64×64 प्रणाली को हल करने की तुलना में अधिक कुशल हो सकता है। दूसरा, दो 32×32 प्रणाली को ही कंप्यूटर पर हल करने की आवश्यकता नहीं है, इसलिए इस एल्गोरिदम को अनेक कंप्यूटरों की शक्ति का उपयोग करने के लिए समानांतर में चलाया जा सकता है।

वास्तव में, ही कंप्यूटर पर 64×64 प्रणाली के अतिरिक्त दो 32×32 प्रणाली को हल करना (समानांतरता का उपयोग किए बिना) कुशल होने की संभावना नहीं है। चूँकि, यदि हम दो से अधिक उपडोमेन का उपयोग करते हैं, तब तस्वीर बदल सकती है। उदाहरण के लिए, हम चार 16×16 समस्याओं का उपयोग कर सकते हैं और ऐसी संभावना है कि इन्हें हल करना एकल 64×64 समस्या को हल करने से उत्तम होगा, यदि डोमेन अपघटन एल्गोरिदम को कुछ बार पुनरावृत्त करने की आवश्यकता हो।

एक तकनीकी उदाहरण

यहां हम मानते हैं कि पाठक आंशिक अंतर समीकरणों से परिचित है।

हम आंशिक अवकल समीकरण को हल करेंगे

u_xx + u_yy = f (**)

हम अनंत पर सीमा थोपते हैं।

हम डोमेन 'R'² को दो अतिव्यापी उपडोमेन H₁ = (− ∞,1] × R and H₂ = [0,+ ∞) × R में विघटित करते हैं प्रत्येक उपडोमेन में, हम फॉर्म का BVP हल करेंगे:

u^{( j )}_xx + u^{( j )}_yy = f in H_j

u^{( j )}(x_j,y) = g(y)

कहां x₁ = 1 और x₂ = 0 और अनंत पर सीमा को अन्य सीमा शर्त के रूप में लेते हैं। इस प्रकार हम उपरोक्त समस्या के समाधान u^{( j )} को S(f,g) से निरूपित करते हैं। ध्यान दें कि S द्विरेखीय है।

श्वार्ज़ एल्गोरिथ्म इस प्रकार आगे बढ़ता है:

1. उपडोमेन H1 और H2 में क्रमशः PDE के अनुमानित समाधान u^{( 1 )}₀ और u^{( 2 )}₀ से प्रारंभ करें। K से 1 आरंभ करें.
2. u^{( j )}_{k + 1} = S(f,u^{(3 − j)}_k(x_j)) की गणना j = 1,2 के साथ करें।
3. k को से बढ़ाएं और पर्याप्त त्रुटिहीनता प्राप्त होने तक 2 को दोहराएं।

यह भी देखें

• डोमेन अपघटन विधि
• श्वार्ज़ वैकल्पिक विधि

संदर्भ

• बैरी स्मिथ, पेट्टर ब्योर्स्टेड, विलियम ग्रोप्प, डोमेन अपघटन, एलिप्टिक आंशिक विभेदक समीकरणों के लिए समानांतर बहुस्तरीय विधियाँ, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस 1996
• एंड्रिया टोसेली और ओलोफ़ विडलुंड, डोमेन अपघटन विधियाँ - एल्गोरिदम और सिद्धांत, कम्प्यूटेशनल गणित में स्प्रिंगर श्रृंखला, वॉल्यूम। 34, 2004

बाहरी संबंध

• आधिकारिक डोमेन अपघटन विधियाँ पृष्ठ