ऑप्टिक समीकरण

ऑप्टिक समीकरण के पूर्णांक समाधान 1/a + 1/b = 1/c के लिये 1 ≤ a,b ≤ 99. वृत्त में संख्या c है। में S वी जी दस्तावेज़, इसका समाधान देखने के लिए एक वृत्त पर माउस ले जायें।

Not to be confused with Optic(ऑप्टिक) समीकरण.

संख्या सिद्धांत में, ऑप्टिक समीकरण एक समीकरण है जिसके लिए दो धनात्मक पूर्णांकों ए और बी के गुणक व्युत्क्रमों के योग की आवश्यकता होती है, जो तीसरे धनात्मक पूर्णांक सी के व्युत्क्रम के बराबर होता है:

${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {1}{c}}.$

एबीसी द्वारा दोनों पक्षों को गुणा करने से पता चलता है कि ऑप्टिक समीकरण एक डायोफैंटिन समीकरण (एकाधिक पूर्णांक चर में एक बहुपद समीकरण) के बराबर है।

समाधान

पूर्णांक ए, बी, सी में सभी समाधान सकारात्मक पूर्णांक प्राचल निरूपक(पैरामीटर) एम, एन, के द्वारा दिए गए हैं

$a=km(m+n),\quad b=kn(m+n),\quad c=kmn$

जहाँ m और n सह अभाज्य पूर्णांक हैं।

ज्यामिति में प्रकटन

व्युत्क्रम पायथागॉरियन प्रमेय (लाल) में वर्गों के साथ ऑप्टिक समीकरण प्रकट होता है

ऑप्टिक समीकरण, अनुमति देता है लेकिन पूर्णांक समाधानों की आवश्यकता नहीं होती है, यह ज्यामिति में कई संदर्भों में प्रकट होता है।

एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज में अंतःत्रिज्या आर, परित्रिज्या आर, और अंत:केन्द्र और परिकेन्द्र के बीच की दूरी एक्स, फस प्रमेय से संबंधित हैं इसके अनुसार

${\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},$

और शीर्ष ए, बी, सी, डी से केंद्र आई की दूरी अंतःत्रिज्या से संबंधित है

${\frac {1}{IA^{2}}}+{\frac {1}{IC^{2}}}={\frac {1}{IB^{2}}}+{\frac {1}{ID^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}.$

पार की हुई सीढ़ियाँ। ${\tfrac {1}{h}}={\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}.$

क्रास्ड लैडर समस्या में, ऊर्ध्वाधर दीवारों के तल पर बंधी हुई दो सीढ़ियाँ ऊँचाई एच पर पार करती हैं और ए और बी की ऊँचाई पर विपरीत दीवारों के विरुद्ध झुकती हैं। हमारे पास ${\tfrac {1}{h}}={\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}.$है, इसके अलावा, यदि दीवारें झुकी हुई हैं और तीनों माप दीवारों के समानांतर बनाए गए हैं, तो सूत्र की पकड़ जारी रहती है।

मान लीजिए पी एक समबाहु त्रिभुज एबीसी के परिवृत्त पर, लघु चाप (ज्यामिति) एबी पर एक बिंदु है। मान लीजिए ए, पी से ए की दूरी है और बी, पी से बी की दूरी है। पी और दूर शीर्ष सी से गुजरने वाली रेखा पर, मान लीजिए कि पी से त्रिभुज की भुजा एबी की दूरी है। फिर

${\tfrac {1}{a}}+{\tfrac {1}{b}}={\tfrac {1}{c}}.$

एक समलम्ब में, दो समानांतर भुजाओं के समानांतर एक खंड बनाएं, जो विकर्णों के प्रतिच्छेदन से होकर गुजरे और गैर-समानांतर पक्षों पर अंत बिंदु हों। फिर अगर हम समानांतर भुजाओं की लंबाई को ए और बी के रूप में निरूपित करते हैं और विकर्ण प्रतिच्छेदन के माध्यम से खंड की आधी लंबाई को सी के रूप में निरूपित करते हैं, तो ए और बी के व्युत्क्रम का योग सी के व्युत्क्रम के बराबर होता है।

विशेष स्थिति जिसमें वे पूर्णांक जिनके व्युत्क्रमों को लिया गया है, वर्ग संख्याएँ होनी चाहिए, समकोण त्रिभुजों के संदर्भ में दो तरह से प्रकट होती हैं। सबसे पहले, पैरों से ऊँचाई के वर्गों के व्युत्क्रम का योग (समरूप रूप से, स्वयं पैरों के वर्गों का) कर्ण से ऊँचाई के वर्ग के व्युत्क्रम के बराबर होता है। यह मानता है कि संख्याएँ पूर्णांक हैं या नहीं; एक सूत्र है (कर्ण से पूर्णांक ऊंचाई के साथ पूर्णांक त्रिकोण पायथागॉरियन त्रिकोण देखें) जो सभी पूर्णांक स्थितियों को उत्पन्न करता है। दूसरा, एक समकोण त्रिभुज में भी दो अंकित वर्गों में से एक की भुजा के व्युत्क्रम के वर्ग का योग और कर्ण के वर्ग के व्युत्क्रम का योग दूसरे अंकित वर्ग की भुजा के व्युत्क्रम के वर्ग के बराबर होता है।

एक सप्तकोणीय त्रिभुज के पक्ष, जो नियमित सप्तभुज के साथ अपने कोने साझा करते हैं, और ऑप्टिक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

अन्य रूप

पतला लेंस समीकरण

पतले लेंस समीकरण में दूरियाँ

नगण्य मोटाई और केन्द्रीय लंबाई एफ(f) के लेंस के लिए, लेंस से किसी वस्तु की दूरी, एस₁, और लेंस से इसकी छवि तक, एस₂ तक की दूरी, पतले लेंस सूत्र द्वारा संबंधित होती है::

${\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}={\frac {1}{f}}$ .

विद्युत अभियांत्रिकी

Comparison of effective resistance, inductance and capacitance of two resistors, inductors and capacitors in series and parallel

विद्युत परिपथ या इलेक्ट्रॉनिक परिपथ के घटकों को एक श्रृंखला और समानांतर परिपथ विन्यास कहा जाता है, जिसमें इसे जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, कुल विद्युत प्रतिरोध मान R_tप्रतिरोध आर(R) वाले दो प्रतिरोधों के₁ और आर₂ समानांतर में जुड़ा हुआ ऑप्टिक समीकरण का अनुसरण करता है:

${\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}={\frac {1}{R_{t}}}$ .

इसी प्रकार, समानांतर में जुड़े अधिष्ठापन एल₁ और एल₂ के साथ दो प्रेरकों का कुल अधिष्ठापन एल_t द्वारा दिया गया है:

${\frac {1}{L_{1}}}+{\frac {1}{L_{2}}}={\frac {1}{L_{t}}}$

और श्रृंखला में जुड़े धारिता सी₁ और सी₂ के साथ दो संधारित्रों की कुल धारिता सी_t इस प्रकार है:

${\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}={\frac {1}{C_{t}}}$ .

कागज मोड़ना

क्रास्ड लैडर प्रॉब्लम का उपयोग करके कागज की एक आयताकार शीट को तीन भागों में मोड़ना

क्रास्ड लैडर समस्या के ऑप्टिक समीकरण को आयताकार कागज को तीन बराबर भागों में मोड़ने पर लागू किया जा सकता है। एक तरफ (यहाँ दिखाया गया बायाँ हिस्सा) आंशिक रूप से आधे में मुड़ा हुआ है और एक निशान छोड़ने के लिए कोंचा गया है। इस निशान से एक विकर्ण के साथ एक विपरीत कोने तक एक रेखा का प्रतिच्छेदन नीचे के किनारे से ठीक एक तिहाई है। शीर्ष किनारे को फिर प्रतिच्छेदन से मिलने के लिए मोड़ा जा सकता है।

हरात्मक माध्य

a और बb का हरात्मक माध्य है ${\frac {2}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}$ या 2सी। दूसरे शब्दों में सी, ए और बी का आधा हरात्मक माध्य है।

फर्मेट के अंतिम प्रमेय से संबंध

फर्मेट के अंतिम प्रमेय में कहा गया है कि दो पूर्णांकों का योग एक ही पूर्णांक शक्ति (n) के बराबर नहीं हो सकता है, यदि n > 2 है तो घात एन तक बढ़ाए गए पूर्णांक के बराबर नहीं हो सकता है। इसका तात्पर्य है कि ऑप्टिक समीकरण के किसी भी समाधान में सभी तीन पूर्णांक पूर्ण घात के बराबर नहीं हैं समान घात n > 2. यदि ${\tfrac {1}{x^{n}}}+{\tfrac {1}{y^{n}}}={\tfrac {1}{z^{n}}},$ फिर से गुणा करना $(xyz)^{n}$ देना होगा $(yz)^{n}+(xz)^{n}=(xy)^{n},$ जो फर्मेट के अंतिम प्रमेय द्वारा असंभव है।

यह भी देखें

• एर्दोस-स्ट्रॉस अनुमान, एक अलग डायोफैंटाइन समीकरण जिसमें पूर्णांकों के व्युत्क्रमों का योग शामिल है
• व्युत्क्रम का योग