केंद्रीय रेखा (ज्यामिति)

ज्यामिति में, केंद्रीय रेखाएँ कुछ विशेष सीधी रेखाएँ होती हैं जो त्रिभुज के तल (ज्यामिति) में स्थित होती हैं। विशेष संपत्ति जो सीधी रेखा को केंद्रीय रेखा के रूप में भिन्न करती है, त्रिरेखीय निर्देशांक में रेखा के समीकरण के माध्यम से प्रकट होती है। यह विशेष गुण त्रिभुज केंद्र की अवधारणा से भी संबंधित है। 1994 में प्रकाशित पेपर में क्लार्क किम्बरलिंग द्वारा केंद्रीय रेखा की अवधारणा प्रस्तुत की गई थी।^[1]^[2]

परिभाषा

मान लीजिए $ABC$ समतल त्रिभुज है और मान लीजिए $(x:y:z)$ त्रिकोण $ABC$ के तल में मनमाने बिंदु के त्रिरेखीय निर्देशांक हों।

त्रिभुज $ABC$ के तल में सीधी रेखा जिसके त्रिरेखीय निर्देशांक में समीकरण का रूप है

f(a,b,c)x+g(a,b,c)y+h(a,b,c)z=0

जहां ट्रिलिनियर निर्देशांक वाला बिंदु $(f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c))$ त्रिभुज केंद्र है, त्रिकोण $ABC$ के तल में केंद्रीय रेखा है त्रिभुज के सापेक्ष $ABC$ .^[2]^[3]^[4]

त्रिरेखीय ध्रुवों के रूप में केंद्रीय रेखाएं

त्रिरेखीय ध्रुवों और समकोणीय संयुग्मों की अवधारणाओं का उपयोग करके केंद्रीय रेखा और उसके संबंधित त्रिभुज केंद्र के मध्य ज्यामितीय संबंध व्यक्त किया जा सकता है।

X = ( u ( a, b, c ) : v ( a, b, c ) : w ( a, b, c ) ) त्रिभुज केंद्र बनें। वह रेखा जिसका समीकरण है

x / u ( a, b, c ) + y / v ( a, b, c ) y + z / w ( a, b, c ) = 0

त्रिभुज केंद्र X का 'त्रिरेखीय ध्रुवीय' है।^[2]^[5] बिंदु Y = (1 / u (a, b, c ) : 1 / v ( a, b, c ): 1 / w ( a, b, c ) ) त्रिभुज केंद्र X का समकोणीय संयुग्म है।

इस प्रकार समीकरण द्वारा दी गई केंद्रीय रेखा

f ( a, b, c ) x + g ( a, b, c ) y + h ( a, b, c ) z = 0

त्रिभुज केंद्र ( f ( a, b, c ) : g ( a, b, c ) : h ( a, b, c ) ) के आइसोगोनल संयुग्म का त्रिरेखीय ध्रुवीय है।

केंद्रीय लाइनों का निर्माण

माना X त्रिभुज ABC का त्रिभुज केंद्र है।

रेखाएँ AX, BX और CX और उनका प्रतिबिंब क्रमशः A, B, C के कोणों के आंतरिक समद्विभाजकों में बनाएँ।
परावर्तित रेखाएँ समवर्ती हैं और सहमति का बिंदु X का आइसोगोनल संयुग्म Y है।
बता दें कि केवियन AY, BY, CY त्रिभुज ABC की विपरीत भुजाओं से क्रमशः A' , B' , C' पर मिलते हैं। त्रिभुज A'B'C' Y का सीवियन त्रिभुज है।
त्रिकोण ABC और सीवियन त्रिभुज A'B'C' परिप्रेक्ष्य में हैं और DEF दो त्रिभुजों के परिप्रेक्ष्य का अक्ष है। रेखा DEF बिंदु Y की त्रिरेखीय ध्रुवीय है। रेखा DEF त्रिभुज केंद्र X से जुड़ी केंद्रीय रेखा है।

कुछ नामित केंद्रीय रेखाएं

चलो X_n त्रिकोण केंद्रों के क्लार्क किम्बरलिंग के विश्वकोश में n वें त्रिकोण केंद्र बनें। X_n से जुड़ी केंद्रीय रेखा L_n द्वारा दर्शाया गया है नामित केंद्रीय रेखाएँ नीचे दी गई हैं।

त्रिभुज ABC और इसके बाह्य त्रिभुज के परिप्रेक्ष्य के अक्ष के रूप में एंटिओर्थिक अक्ष।

X₁ से जुड़ी सेंट्रल लाइन, केंद्र: एंटीऑर्थिक अक्ष

अंत: केंद्र से जुड़ी केंद्रीय रेखा X₁ = (1 : 1 : 1 ) (I द्वारा भी निरूपित किया जाता है) है

x + y + z = 0।

यह रेखा त्रिभुज ABC की 'एंटीऑर्थिक अक्ष' है।^[6]

त्रिभुज ABC के अंत:केंद्र का समकोण संयुग्म स्वयं ही अंत:केंद्र होता है। तो एंटिओर्थिक अक्ष, जो कि अंत:केंद्र से जुड़ी केंद्रीय रेखा है, त्रिभुज ABC और उसके अंत:केंद्रीय त्रिभुज (त्रिभुज ABC के अंतःकेंद्र का सेवियन त्रिभुज) के परिप्रेक्ष्य का अक्ष है।
त्रिभुज ABC का एंटिओर्थिक अक्ष त्रिभुज ABC के परिप्रेक्ष्य (ज्यामिति) का अक्ष और त्रिभुज ABC का बाह्य त्रिभुज ₁I₂I₃ है।^[7]
वह त्रिभुज जिसकी भुजाएँ त्रिभुज ABC के बहिर्वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करती हैं, त्रिभुज ABC का बाह्य त्रिभुज है। त्रिभुज ABC और इसके विस्तारक त्रिभुज परिप्रेक्ष्य में हैं परिप्रेक्ष्य की धुरी त्रिभुज ABC की एंटीऑर्थिक धुरी है।

X₂ से जुड़ी सेंट्रल लाइन, केन्द्रक: लेमोइन अक्ष

त्रिभुज ABC के केन्द्रक X₂ (G द्वारा भी निरूपित किया जाता है) के त्रिरेखीय निर्देशांक ( 1 / a : 1 / b : 1 / c )हैं। अतः केन्द्रक से जुड़ी केन्द्रीय रेखा वह रेखा है जिसका त्रिरेखीय समीकरण है

x / a + y / b + z / c = 0।

यह रेखा त्रिभुज ABC की 'लेमोइन अक्ष' है, जिसे 'लेमोइन रेखा' भी कहा जाता है।

केन्द्रक X₂ का समकोणीय संयुग्म त्रिरेखीय निर्देशांक (a : b : c ) वाले सिम्मेडियन बिंदु X₆ ( K द्वारा भी निरूपित) है। अतः त्रिभुज ABC का लेमोइन अक्ष त्रिभुज ABC के सममध्य बिंदु का त्रिरेखीय ध्रुवीय है।
त्रिभुज ABC का स्पर्शरेखा त्रिभुज त्रिभुज T_AT_BT_C है त्रिभुज ABC के परिवृत्त को उसके शीर्षों पर स्पर्श रेखाओं द्वारा बनाया गया है। त्रिभुज ABC और इसका स्पर्शरेखा त्रिभुज परिप्रेक्ष्य में हैं और परिप्रेक्ष्य का अक्ष त्रिभुज ABC का लेमोइन अक्ष है।

X₃ से जुड़ी सेंट्रल लाइन, परिकेन्द्र: ओर्थिक अक्ष

त्रिभुज ABC के परिकेन्द्र X₃ (O द्वारा भी निरूपित किया जाता है) के त्रिरेखीय निर्देशांक( cos A : cos B : cos C ) हैं । अत: परिकेन्द्र से जुड़ी केन्द्रीय रेखा वह रेखा है जिसका त्रिरेखीय समीकरण है

x cos A + y cos B + z cos C = 0।

यह रेखा त्रिभुज ABC की 'ऑर्थिक अक्ष' है।^[8]

परिकेन्द्र X₆ का आइसोगोनल संयुग्म त्रिरेखीय निर्देशांक (sec A : sec B : sec C ) वाले लंब केन्द्र X₄ ( H द्वारा भी निरूपित) है। तो त्रिभुज ABC की ऑर्थोथिक धुरी त्रिभुज ABC के ऑर्थोसेंटर का त्रिरेखीय ध्रुवीय है। त्रिभुज ABC का ऑर्थोथिक अक्ष त्रिभुज ABC और उसके ऑर्थोथिक त्रिभुज H_AH_BH_C के परिप्रेक्ष्य का अक्ष है।

X₄ से जुड़ी सेंट्रल लाइन, ऑर्थोसेंटर

त्रिभुज ABC के लम्बकेन्द्र X₄ (H द्वारा भी निरूपित किया जाता है) के त्रिरेखीय निर्देशांक (sec A : sec B : sec C) हैं। अत: परिकेन्द्र से जुड़ी केन्द्रीय रेखा वह रेखा है जिसका त्रिरेखीय समीकरण है

x sec A + y sec B + z sec C = 0.

त्रिभुज के लंबकेन्द्र का समकोणीय संयुग्म त्रिभुज का परिकेन्द्र होता है। अतः लंबकेन्द्र से जुड़ी केंद्रीय रेखा परिकेन्द्र का त्रिरेखीय ध्रुवीय है।

X₅ से जुड़ी सेंट्रल लाइन, नौ-बिंदु केंद्र

त्रिभुज ABC के नौ-बिंदु केंद्र X₅ (N द्वारा भी निरूपित किया जाता है) के त्रिरेखीय निर्देशांक हैं ( cos ( B − C ) : cos ( C − A ): cos ( A − B ) )।^[9] तो नौ बिंदु केंद्र से जुड़ी केंद्रीय रेखा वह रेखा है जिसका त्रिरेखीय समीकरण है

x cos (B − C ) + y cos ( C − A ) + z cos ( A − B ) = 0.

त्रिकोण ABC के नौ-बिंदु केंद्र का आइसोगोनल संयुग्म त्रिभुज ABC का 'कोस्नीता बिंदु' X₅₄ है । ^[10]^[11] तो नौ-बिंदु केंद्र से जुड़ी केंद्रीय रेखा कोस्नीता बिंदु की त्रिरेखीय ध्रुवीय है।
कोस्नीता बिंदु का निर्माण इस प्रकार किया गया है। माना O त्रिभुज ABC का परिकेन्द्र है। माना O_A, O_B, O_C क्रमशः त्रिभुज BOC, COA, AOB का परिकेन्द्र हो। रेखाएँ AO_A, BO_B, CO_C समवर्ती हैं और समवर्ती बिंदु त्रिभुज ABC का कोसनीता बिंदु है। नाम जे रिग्बी के कारण है।^[12]

X₆ से जुड़ी सेंट्रल लाइन, सममध्य बिंदु : अनंत पर रेखा

त्रिभुज ABC के सिम्मेडियन बिंदु X₆ (जिसे K द्वारा भी निरूपित किया जाता है) के त्रिरेखीय निर्देशांक (a : b : c ) हैं। तो सममध्य बिंदु से जुड़ी केंद्रीय रेखा वह रेखा है जिसका त्रिरेखीय समीकरण है

a x + b y + c z =0

यह रेखा त्रिभुज ABC के तल में अनंत पर स्थित रेखा है।
त्रिभुज ABC के सममध्य बिंदु का समकोणीय संयुग्म त्रिभुज ABC का केन्द्रक है। इसलिए सममध्य बिंदु से जुड़ी केंद्रीय रेखा केंद्रक का त्रिरेखीय ध्रुवीय है। यह त्रिभुज ABC और उसके मध्य त्रिभुज के परिप्रेक्ष्य की धुरी है।

कुछ और नामित केंद्रीय रेखाएं

यूलर लाइन

त्रिभुज ABC की यूलर रेखा त्रिभुज ABC के केन्द्रक, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र और नौ-बिंदु केंद्र से गुजरने वाली रेखा है। यूलर रेखा का त्रिरेखीय समीकरण है

x sin 2A sin (B − C ) + y sin 2B sin ( C − A ) + z sin 2C sin ( C − A ) = 0.

यह त्रिभुज केंद्र X₆₄₇ से जुड़ी केंद्रीय रेखा है।

नागल लाइन

त्रिभुज ABC की नागल रेखा त्रिभुज ABC के केन्द्रक, अंत:केंद्र, स्पाइकर केंद्र और नागल बिंदु से गुजरने वाली रेखा है। नागल रेखा का त्रिरेखीय समीकरण है

x a ( b − c ) + y b ( c − a ) + z c ( a − b ) = 0।

यह त्रिभुज केंद्र X₆₄₉ से जुड़ी केंद्रीय रेखा है।

ब्रोकार्ड अक्ष

त्रिभुज ABC का ब्रोकार्ड अक्ष परिकेन्द्र से होकर जाने वाली रेखा है और त्रिभुज ABC का सममध्य बिंदु है। इसका त्रिरेखीय समीकरण है

x sin (B − C ) + y sin ( C − A ) + z sin ( A − B ) = 0.

यह त्रिभुज केंद्र X₅₂₃ से जुड़ी केंद्रीय रेखा है।

यह भी देखें

ट्रिलिनियर ध्रुवीयता
त्रिकोण शंकु
आधुनिक त्रिभुज ज्यामिति

संदर्भ

↑ Kimberling, Clark (June 1994). "त्रिभुज के तल में केंद्रीय बिंदु और केंद्रीय रेखाएँ". Mathematics Magazine. 67 (3): 163–187. doi:10.2307/2690608.
↑ ^{Jump up to: 2.0} ^2.1 ^2.2 Kimberling, Clark (1998). त्रिकोण केंद्र और केंद्रीय त्रिकोण. Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc. p. 285.
↑ Weisstein, Eric W. "केंद्रीय रेखा". From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Retrieved 24 June 2012.
↑ Kimberling, Clark. "Glossary : Encyclopedia of Triangle Centers". Archived from the original on 23 April 2012. Retrieved 24 June 2012.
↑ Weisstein, Eric W. "त्रिरेखीय ध्रुवीय". From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Retrieved 28 June 2012.
↑ Weisstein, Eric W. "एंटिओर्थिक एक्सिस". From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Retrieved 28 June 2012.
↑ Weisstein, Eric W. "एंटिओर्थिक एक्सिस". From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Retrieved 26 June 2012.
↑ Weisstein, Eric W. "ऑर्थिक एक्सिस". From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
↑ Weisstein, Eric W. "नौ सूत्री केंद्र". From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Retrieved 29 June 2012.
↑ Weisstein, Eric W. "कोस्नीता पॉइंट". From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Retrieved 29 June 2012.
↑ Darij Grinberg (2003). "कोस्नीता बिंदु और परावर्तन त्रिभुज पर" (PDF). Forum Geometricorum. 3: 105–111. Retrieved 29 June 2012.
↑ J. Rigby (1997). "कुछ विस्मृत ज्यामितीय प्रमेयों पर संक्षिप्त टिप्पणियाँ". Mathematics & Informatics Quarterly. 7: 156–158.

[1] Kimberling, Clark (June 1994). "त्रिभुज के तल में केंद्रीय बिंदु और केंद्रीय रेखाएँ". Mathematics Magazine. 67 (3): 163–187. doi:10.2307/2690608.

[TCCT-2] {Jump up to: 2.0} ^2.1 ^2.2 Kimberling, Clark (1998). त्रिकोण केंद्र और केंद्रीय त्रिकोण. Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc. p. 285.

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[4] Kimberling, Clark. "Glossary : Encyclopedia of Triangle Centers". Archived from the original on 23 April 2012. Retrieved 24 June 2012.

[5] Weisstein, Eric W. "त्रिरेखीय ध्रुवीय". From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Retrieved 28 June 2012.

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[10] Weisstein, Eric W. "कोस्नीता पॉइंट". From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Retrieved 29 June 2012.

[Darij-11] Darij Grinberg (2003). "कोस्नीता बिंदु और परावर्तन त्रिभुज पर" (PDF). Forum Geometricorum. 3: 105–111. Retrieved 29 June 2012.

[12] J. Rigby (1997). "कुछ विस्मृत ज्यामितीय प्रमेयों पर संक्षिप्त टिप्पणियाँ". Mathematics & Informatics Quarterly. 7: 156–158.

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