कॉची मुख्य मान

This article is about अनुचित समाकलों को मान निर्दिष्ट करने की एक विधि. For एकल शाखा से संबद्ध जटिल फलन के मान, see मुख्य मान. For लॉरेंट श्रृंखला का नकारात्मक-शक्ति वाला भाग, see मुख्य भाग.

गणित में, ऑगस्टिन लुइस कॉची के नाम पर कॉची मुख्य मान, कुछ अनुचित पूर्णांकी को मान निर्दिष्ट करने की विधि है जो अन्यथा अपरिभाषित होगी।

सूत्रीकरण

इंटीग्रैंड f में गणितीय विलक्षणता के प्रकार के आधार पर, कॉची मुख्य मान को निम्नलिखित नियमों के अनुसार परिभाषित किया गया है:

परिमित संख्या b पर विलक्षणता के लिए

$$\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left[\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x~+~\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right]$$

$a<b<c$ के साथ और जहाँ b कठिन बिंदु है, जिस पर फलन f का व्यवहार ऐसा है कि

$$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty \quad$$

किसी $a<b$ के लिए

$$\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty \quad$$

किसी $b<c.$ के लिए ( अंकन ± और ∓ के सटीक उपयोग के लिए प्लस या माइनस देखें .)

अनंत ($\infty$) पर एक विलक्षणता के लिए

$$\lim _{a\to \infty }\,\int _{-a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x$$

जहाँ

$$\int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty$$

और

$$\int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty .$$

कुछ स्तिथियों में एक परिमित संख्या b और अनंत पर दोनों विलक्षणताओं से एक साथ निपटना आवश्यक है। यह सामान्यतः प्रपत्र की एक सीमा द्वारा किया जाता है

$$\lim _{\;\eta \to 0^{+}}\,\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}}\,\left[\,\int _{b-{\frac {1}{\eta }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,~+~\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\eta }}}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right].$$

उन स्तिथियों में जहां समाकल को दो स्वतंत्र, परिमित सीमाओं में विभाजित किया जा सकता है,

$$\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left|\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty$$

और

$$\lim _{\;\eta \to 0^{+}}\;\left|\,\int _{b+\eta }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty ,$$

तो फलन सामान्य अर्थों में पूर्णांक है। मुख्य मूल्य के लिए प्रक्रिया का परिणाम साधारण अभिन्न के समान है; चूँकि यह अब परिभाषा से मेल नहीं खाता, यह तकनीकी रूप से एक प्रमुख मूल्य नहीं है। कॉची मुख्य मान को संकुल-मूल्य फलन $f(z):z=x+i\,y\;$ के साथ $x,y\in \mathbb {R} \;$ के समोच्च एकीकरण के तरीके के रूप में भी समोच्च पर एक स्तम्भ C के साथ परिभाषित किया जा सकता है। $C(\varepsilon )$ को उसी समोच्च के रूप में परिभाषित करें, जहां ध्रुव के चारों ओर त्रिज्या ε की चक्रिका के अंदर का हिस्सा हटा दिया गया है। बशर्ते कि फलन $f(z)$ $C(\varepsilon )$पर समाकलनीय हो चाहे ε कितना ही छोटा क्यों न हो जाए, तो कौशी का मुख्य मान सीमा निम्न है:

$$\operatorname {p.\!v.} \int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{C(\varepsilon )}f(z)\,\mathrm {d} z.$$

लेबसग्यु-पूर्णांक फलन की स्तिथि में, अर्थात्, फलन जो पूर्ण मूल्य में पूर्णांक हैं, ये परिभाषाएँ पूर्णांकी की मानक परिभाषा के साथ मेल खाती हैं। यदि फलन $f(z)$ मेरोमोर्फिक है, सोखोत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय पूर्णांकी ओवर के प्रमुख मूल्य से संबंधित है C पूर्णांकी के औसत-मान के साथ समोच्च के साथ थोड़ा ऊपर और नीचे विस्थापित हो गया, ताकि अवशेष प्रमेय को उन पूर्णांकी पर लागू किया जा सके। मुख्य मान पूर्णांकी हिल्बर्ट रूपांतरण की चर्चा में एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।

वितरण सिद्धांत

मान लीजिये ${C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )$ बम्प फलन का सम्मुच्चय है, यानी वास्तविक संख्या $\mathbb {R}$ पर सघन समर्थन के साथ सुचारू फलन का स्थान है। फिर निम्न मानचित्र

$$\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C}$$

कॉची मुख्य मान के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\left[\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\right](u)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ,\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad {\text{for }}u\in {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )$$

एक वितरण (गणित) है। मानचित्र को ही कभी-कभी मुख्य मूल्य कहा जा सकता है (इसलिए अंकन p.v.)। यह वितरण, उदाहरण के लिए, संकेत प्रकार्य के फूरियर रूपांतरण और हैवीसाइड सोपान फलन में प्रकट होता है।

एक वितरण के रूप में अच्छी तरह से परिभाषित

निम्न सीमा के अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए

$$\int _{0}^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x$$

श्वार्ट्ज फलन के लिए $u(x)$ है, पहले ध्यान दें कि $[0,\infty )$ पर ${\frac {u(x)-u(-x)}{x}}$ निरंतर चालू है। जैसे

$$\lim _{\,x\searrow 0\,}\;{\Bigl [}u(x)-u(-x){\Bigr ]}~=~0~$$

और इसलिए

$$\lim _{x\searrow 0}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}~=~\lim _{\,x\searrow 0\,}\,{\frac {u'(x)+u'(-x)}{1}}~=~2u'(0)~,$$

तब से $u'(x)$ निरंतर है और होपितल का नियम लागू होता है।

इसलिए, $\int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x$ उपस्थित है और औसत मूल्य प्रमेय $u(x)-u(-x),$ को लागू करके हम निम्न पाते हैं:

$\left|\,\int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;\int _{0}^{1}{\frac {{\bigl |}u(x)-u(-x){\bigr |}}{x}}\,\mathrm {d} x\;\leq \;\int _{0}^{1}\,{\frac {\,2x\,}{x}}\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}\,\mathrm {d} x\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}~.$

और इसके अतिरिक्त:

$\left|\,\int _{1}^{\infty }{\frac {\;u(x)-u(-x)\;}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~\cdot \;\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\,x^{2}\,}}\;=\;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~,$

हम ध्यान दें कि मानचित्र

$$\operatorname {p.v.} \;\left({\frac {1}{\,x\,}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C}$$

श्वार्ट्ज कार्यों के लिए सामान्य सेमिनोर्म्स $u$ द्वारा सीमित है। इसलिए, यह मानचित्र परिभाषित करता है, क्योंकि यह स्पष्ट रूप से रैखिक है, श्वार्टज़ अंतरिक्ष पर निरंतर कार्यात्मक है और इसलिए एक संस्कारित वितरण है।

ध्यान दें कि प्रमाण के लिए केवल 0 के प्रतिवैस में लगातार भिन्न होने के लिए $u$ की आवश्यकता होती है और $x\,u$ अनंत की ओर सीमित होना चाहिए। इसलिए मुख्य मूल्य को और भी कमजोर धारणाओं पर परिभाषित किया गया है जैसे कि $u$ सघन समर्थन के साथ एकीकृत और 0 पर अलग-अलग हैं।

अधिक सामान्य परिभाषाएं

मुख्य मान फलन $x$ का व्युत्क्रम वितरण है और इस विशेषता के साथ लगभग एकमात्र वितरण है:

$$xf=1\quad \Leftrightarrow \quad \exists K:\;\;f=\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)+K\delta ,$$

जहाँ $K$ स्थिर है और $\delta$ डिराक वितरण।

एक व्यापक अर्थ में, यूक्लिडियन अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{n}$ पर एकवचन अभिन्न अभिन्न कर्नेल की एक विस्तृत श्रेणी के लिए प्रमुख मूल्य को परिभाषित किया जा सकता है। यदि $K$ के मूल में एक पृथक विलक्षणता है, लेकिन एक अन्यथा "शिष्ट" फलन है, तो मुख्य मान वितरण को कॉम्पैक्टली अवलंबित सुचारू फलन पर परिभाषित किया गया है

$$[\operatorname {p.\!v.} (K)](f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\varepsilon }(0)}f(x)K(x)\,\mathrm {d} x.$$

ऐसी सीमा अच्छी तरह से परिभाषित नहीं हो सकती है, या, अच्छी तरह से परिभाषित होने के कारण, यह आवश्यक रूप से वितरण को परिभाषित नहीं कर सकती है। हालाँकि, यह अच्छी तरह से परिभाषित है अगर $K$ घात का एक सतत सजातीय कार्य है $-n$ जिसका मूल पर केन्द्रित किसी भी गोले पर समाकलन लुप्त हो जाता है। उदाहरण के लिए, रिज्ज़ रूपांतरण के विषय में यही स्थिति है।

उदाहरण

दो सीमाओं के मानों पर विचार करें:

$$\lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=0,$$

यह अन्यथा अ-परिभाषित अभिव्यक्ति का कॉशी प्रमुख मूल्य है

$$\int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.$$

इसके साथ ही:

$$\lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-2a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=\ln 2.$$

इसी तरह, हमारे पास है

$$\lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=0,$$

यह अन्यथा खराब परिभाषित अभिव्यक्ति का मुख्य मूल्य है

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.$$

लेकिन

$$\lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=-\ln 4.$$

चिन्हांकन

अलग-अलग लेखक फलन $f$ के कॉची मुख्य मान के लिए अलग-अलग चिन्हांकन का उपयोग करते हैं, दूसरों के बीच में:

$$PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,$$

$$\mathrm {p.v.} \int f(x)\,\mathrm {d} x,$$

$$\int _{L}^{*}f(z)\,\mathrm {d} z,$$

$$-\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm {d} x,$$

साथ ही $P,$ P.V., ${\mathcal {P}},$ $P_{v},$ $(CPV),$ और V.P.

यह भी देखें

• हैडमार्ड परिमित भाग अभिन्न
• हिल्बर्ट परिवर्तन
• सोखोत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय