गतिशील प्रणाली सिद्धांत
गतिशील प्रणाली सिद्धांत गणित का ऐसा क्षेत्र है जिसका उपयोग अराजक प्रणाली गतिक प्रणाली के व्यवहार का वर्णन करने के लिए किया जाता है, सामान्य रूप से अवकलन समीकरण को नियोजित करके इसे प्राप्त किया जाता हैं। इस प्रकार जब विभेदक समीकरणों को नियोजित किया जाता है, तो सिद्धांत को निरंतर समय के रूप में प्रकट किया जाता है। इस प्रकार 'सतत गतिशील प्रणाली याभौतिक दृष्टिकोण से, निरंतर गतिशील प्रणाली को मौलिक यांत्रिकी का सामान्यीकरण माना जाता है, इस प्रकार सामान्यीकरण जहां गति के समीकरणों को सीधे पोस्ट किया जाता है और कम से कम इस पर होने वाले इसके प्रभावों के सिद्धांत के यूलर-लग्रेंज समीकरण होने के लिए बाध्य नहीं किया जाता हैं। इस प्रकार जब अंतर समीकरणों को नियोजित किया जाता है, तो सिद्धांत को असतत समय का रूप ले लेता है।' इस प्रकार असतत गतिशील प्रणाली के अनुसार जब समय चर (वैरियेबल) समूह पर चलता है जो इस प्रकार कुछ अंतरालों पर असतत हो जाता है और अन्य अंतरालों पर निरंतर होता है या कोई स्वंय से सिद्ध समय दर से प्रकाट होता है जैसे कि कैंटर समूह, समय के पैमाने पर गतिशील समीकरण प्राप्त करता है। कुछ स्थितियों को मिश्रित संचालकों द्वारा भी प्रतिरूपित किया जा सकता है, जैसे अंतर-अंतर समीकरण इत्यादि।
यह सिद्धांत गतिशील प्रणालियों के दीर्घकालिक गुणात्मक व्यवहार से संबंधित है, और इस प्रकार जब संभव हो तो प्रणालियों की गति के समीकरणों की प्रकृति का अध्ययन करता है, जो अधिकांशतः मुख्य रूप से यांत्रिक या अन्यथा प्रकृति में भौतिक होते हैं, जैसे कि ग्रहों की कक्षाएँ और विद्युत परिपथ का व्यवहार, साथ ही जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र और अन्य जगहों पर उत्पन्न होने वाली प्रणालियाँ इसका मुख्य उदाहरण हैं। इस प्रकार अधिकांश आधुनिक शोध अराजक प्रणालियों के अध्ययन पर केंद्रित रहते हैं।
इसके अध्ययन से इस क्षेत्र को मुख्यतः 'गतिशील प्रणालियों', 'गणितीय गतिशील प्रणाली सिद्धांत' या 'गतिशील प्रणालियों का गणितीय सिद्धांत' भी कहा जाता है।
अवलोकन
गतिशील प्रणालियों सिद्धांत और कैओस सिद्धांत गतिक प्रणालियों के दीर्घकालिक गुणात्मक व्यवहार से निपटते हैं। यहां, गतिक प्रणाली (जो अधिकांशतः निराशाजनक होता है) को परिभाषित करने वाले समीकरणों के त्रुटिहीन समाधान खोजने पर ध्यान नहीं दिया जाता है, बल्कि इस प्रकार के प्रश्नों के उत्तर देने के लिए कि क्या प्रणाली लंबी अवधि में स्थिर स्थिति में नियत रह जाएगी, यदि हां, तो क्या हैं संभव स्थिर स्थिति होगी? या प्रणाली का दीर्घकालिक व्यवहार इसकी प्रारंभिक स्थिति पर निर्भर करता है?
एक महत्वपूर्ण लक्ष्य किसी दिए गए गतिशील प्रणाली के निश्चित बिंदुओं या स्थिर अवस्थाओं का वर्णन करना है; ये चर के मान हैं जो समय के साथ नहीं परिवर्तित होता हैं। इनमें से कुछ निश्चित बिंदु आकर्षक हैं, जिसका अर्थ है कि यदि प्रणाली पास की स्थिति में प्रारंभ होता है, तो इस प्रकार यह निश्चित बिंदु की ओर अभिसरण करता है।
इसी तरह, किसी को आवधिक बिंदुओं में रोचकी है, प्रणाली के स्थिति जो कई बार इन चरणों के पश्चात दोहराते हैं। इस प्रकार आवधिक बिंदु भी आकर्षक हो सकते हैं। शारकोव्स्की का प्रमेय आयामी असतत गतिशील प्रणाली के आवधिक बिंदुओं की संख्या के बारे में रोचक कथन है।
यहां तक कि साधारण अरैखिक गतिकीय प्रणालियां भी प्राय: यादृच्छिक व्यवहार प्रदर्शित करती हैं जिसे अराजकता कहा गया है।[1] गतिशील प्रणालियों की शाखा जो स्वच्छ परिभाषा और अराजकता की जांच से संबंधित है, अराजकता सिद्धांत कहलाती है।
इतिहास
गतिक प्रणाली सिद्धांत की अवधारणा का मूल न्यूटोनियन यांत्रिकी में है। वहां, अन्य प्राकृतिक विज्ञानों और इंजीनियरिंग विषयों की तरह, गतिशील प्रणालियों के विकास नियम को ऐसे संबंध द्वारा स्पष्ट रूप से दिया जाता है जो प्रणाली की स्थिति को भविष्य में केवल थोड़े समय के लिए देता है।
कंप्यूटर के आगमन से पहले, गतिशील प्रणाली को हल करने के लिए परिष्कृत गणितीय तकनीकों की आवश्यकता होती थी और इसे केवल गतिशील प्रणालियों के छोटे वर्ग के लिए ही पूरा किया जा सकता था।
गणितीय गतिशील प्रणाली सिद्धांत की कुछ उत्कृष्ट प्रस्तुतियों में बेल्ट्रामी (1998), लूनबर्गर (1979), पाडुलो & अरबिब (1974), और स्ट्रोगेट्ज़ (1994) सम्मलित हैं।[2]
अवधारणाएं
गतिक प्रणाली
गतिशील प्रणाली की अवधारणा किसी निश्चित नियम के लिए गणितीय औपचारिक प्रणाली है जो अपने परिवेश स्थान में बिंदु की स्थिति की समय निर्भरता का वर्णन करती है। उदाहरणों में गणितीय मॉडल सम्मलित हैं जो घड़ी के पेंडुलम के झूलने, पाइप में पानी के प्रवाह और झील में प्रत्येक झरने में मछलियों की संख्या का वर्णन करते हैं।
एक गतिशील प्रणाली में वास्तविक संख्या के संग्रह द्वारा निर्धारित स्थिति होता है, या सामान्यतः उपयुक्त स्थिति स्थान में बिंदु (ज्यामिति) के समूह (गणित) द्वारा की जाती हैं। इस प्रणाली की स्थिति में छोटे परिवर्तन संख्याओं में छोटे परिवर्तन के अनुरूप होते हैं। संख्याएँ ज्यामितीय स्थान के निर्देशांक भी हैं जो इस प्रकार इस स्थिति में कई गुना हो जाता हैं। इस प्रकार गतिशील प्रणाली का विकास नियम कार्य (गणित) है जो वर्णन करता है कि भविष्य के स्थिति वर्तमान स्थिति से क्या अनुसरण करते हैं। इस नियम के अनुसार नियतात्मक प्रणाली (गणित) का उपयोग हो सकता है (इस प्रकार निश्चित समय अंतराल के लिए भविष्य की स्थिति को वर्तमान स्थिति को देखते हुए त्रुटिहीन रूप से भविष्यवाणी की जा सकती है) या स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण (स्थिति के विकास की भविष्यवाणी केवल निश्चित संभावना के साथ की जा सकती है)।
गतिशीलता
गतिशीलतावाद, जिसे गतिशील परिकल्पना या संज्ञानात्मक विज्ञान या गतिशील संज्ञान में गतिशील परिकल्पना भी कहा जाता है, इस प्रकार दार्शनिक टिम वैन गेल्डर के कार्य द्वारा उदाहरणित संज्ञानात्मक विज्ञान में नया दृष्टिकोण है। यह तर्क देता है कि अंतर समीकरण अधिक पारंपरिक कंप्यूटर मॉडल की तुलना में मॉडलिंग अनुभूति के लिए अधिक अनुकूल हैं।
अरैखिक प्रणाली
गणित में, अरैखिक प्रणाली ऐसी प्रणाली है जो रैखिक प्रणाली नहीं है - अर्थात, ऐसी प्रणाली जो सुपरपोजिशन सिद्धांत को संतुष्ट नहीं करती है। इस प्रकार कम तकनीकी रूप से, अरैखिक प्रणाली ऐसी कोई भी समस्या है जहां उक्त वैरियेबल को हल करने के लिए स्वतंत्र घटकों के रैखिक योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। इस प्रकार समरूपता (भौतिकी) प्रणाली, जो स्वतंत्र चर के फलन की उपस्थिति के अतिरिक्त रैखिक है, इसकी कठोर परिभाषा के अनुसार अरेखीय है, अपितु ऐसी प्रणालियों का अध्ययन सामान्यतः रैखिक प्रणालियों के साथ किया जाता है, क्योंकि इस प्रकार उन्हें अरैखिक प्रणाली में रूपांतरित किया जा सकता है जब तक विशेष समाधान ज्ञात है।
संबंधित क्षेत्र
अंकगणितीय गतिशीलता
- अंकगणितीय गतिशीलता ऐसा क्षेत्र है जो 1990 के दशक में उभरा जो गणित के दो क्षेत्रों, गतिकीय प्रणालियों और संख्या सिद्धांत को संयोजित किया जाता है। इस प्रकार मौलिक रूप से, असतत गतिशीलता जटिल विमान या वास्तविक रेखा के स्व-मानचित्रों के पुनरावर्तित कार्य के अध्ययन को संदर्भित करती है। अंकगणित गतिकी पूर्णांक, परिमेय, के संख्या-सैद्धांतिक गुणों का अध्ययन है। p-ऐडिक, और/या बीजगणितीय बिंदु बहुपद या परिमेय फलन के बार-बार प्रयोग के अंतर्गत किया जाता हैं।
अराजकता सिद्धांत
- कैओस सिद्धांत कुछ गतिशील प्रणाली (परिभाषा) के व्यवहार का वर्णन करता है - अर्थात, ऐसी प्रणालियाँ जिनकी स्थिति समय के साथ विकसित होती है - जो गतिकी को प्रदर्शित कर सकती हैं जो प्रारंभिक स्थितियों के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होती हैं (लोकप्रिय रूप से तितली प्रभाव के रूप में संदर्भित किया गया हैं)। इस संवेदनशीलता के परिणामस्वरूप, जो प्रारंभिक स्थितियों में इस त्रुटि की घातीय वृद्धि के रूप में प्रकट होता है, अराजक प्रणालियों का व्यवहार यादृच्छिकता प्रकट करता है। यह तब भी होता है जब ये प्रणालियां नियतात्मक प्रणाली (दर्शन) हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी भविष्य की गतिशीलता पूरी तरह से उनकी प्रारंभिक स्थितियों से परिभाषित होती है, जिसमें कोई यादृच्छिक तत्व सम्मलित नहीं होता है। इस व्यवहार को नियतात्मक अराजकता या केवल अराजकता के रूप में जाना जाता है।
जटिल प्रणाली
- जटिल प्रणाली वैज्ञानिक क्षेत्र है जो प्रकृति, समाज और विज्ञान में जटिलता मानी जाने वाली प्रणालियों के सामान्य गुणों का अध्ययन करता है। इसे जटिल प्रणाली सिद्धांत, जटिलता विज्ञान, जटिल प्रणालियों का अध्ययन और/या जटिलता विज्ञान भी कहा जाता है। ऐसी प्रणालियों की प्रमुख समस्याएँ उनके औपचारिक वैज्ञानिक मॉडलिंग और सिमुलेशन के साथ कठिनाइयाँ हैं। इस प्रकार के दृष्टिकोण से, विभिन्न शोध संदर्भों में जटिल प्रणालियों को उनके अलग-अलग गुणों के आधार पर परिभाषित किया जाता है।
- जटिल प्रणालियों का अध्ययन विज्ञान के कई क्षेत्रों में नई जीवन शक्ति ला रहा है जहां अधिक विशिष्ट न्यूनीकरणवादी रणनीति विफल हो गई है। इसलिए जटिल प्रणालियों का उपयोग अधिकांशतः व्यापक शब्द के रूप में किया जाता है, जिसमें तंत्रिका विज्ञान, सामाजिक विज्ञान, मौसम विज्ञान, रसायन विज्ञान, भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान, मनोविज्ञान, कृत्रिम जीवन, विकासवादी संगणना, अर्थशास्त्र, भूकंप की भविष्यवाणी, आणविक जीव विज्ञान सहित कई विविध विषयों में समस्याओं के लिए शोध दृष्टिकोण सम्मलित है। इसके कारण स्वयं जीवित कोशिका (जीव विज्ञान) की प्रकृति के बारे में पूछताछ की जाती हैं।
नियंत्रण सिद्धांत
- नियंत्रण सिद्धांत अभियांत्रिकी और गणित की अंतःविषय शाखा है, यह आंशिक रूप से गतिशील प्रणालियों के व्यवहार को प्रभावित करने से संबंधित है।
एर्गोडिक सिद्धांत
- एर्गोडिक सिद्धांत गणित की शाखा है जो अपरिवर्तनीय माप और संबंधित समस्याओं के साथ गतिशील प्रणालियों का अध्ययन करता है। इसका प्रारंभिक विकास सांख्यिकीय भौतिकी की समस्याओं से प्रेरित था।
कार्यात्मक विश्लेषण
- कार्यात्मक विश्लेषण गणित की शाखा है, और विशेष रूप से गणितीय विश्लेषण, वेक्टर रिक्त स्थान और उन पर कार्यरत ऑपरेटर (गणित) के अध्ययन से संबंधित है। कार्यात्मक रिक्त स्थान के अध्ययन में इसकी ऐतिहासिक जड़ें हैं, विशेष रूप से फ़ंक्शन (गणित) के परिवर्तन, जैसे फूरियर रूपांतरण, साथ ही अंतर समीकरणों और अभिन्न समीकरणों के अध्ययन में किया जाता हैं। इस प्रकार क्रियात्मक (गणित) शब्द का यह प्रयोग भिन्नरूपों की कलन पर वापस जाता है, जिसका अर्थ ऐसे फलन से है जिसका तर्क फलन है। सामान्य रूप से इसका उपयोग गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी वीटो वोल्टेरा को दिया गया है और इसकी स्थापना का श्रेय अधिक हद तक गणितज्ञ स्टीफन बानाच को दिया जाता है।
ग्राफ गतिक प्रणाली
- ग्राफ़ गतिक प्रणाली (जीडीएस) की अवधारणा का उपयोग ग्राफ़ या नेटवर्क पर होने वाली प्रक्रियाओं की विस्तृत श्रृंखला को कैप्चर करने के लिए किया जा सकता है। ग्राफ़ गतिक प्रणाली के गणितीय और कम्प्यूटेशनल विश्लेषण में प्रमुख विषय उनके संरचनात्मक गुणों (जैसे नेटवर्क कनेक्टिविटी) और परिणामी वैश्विक गतिशीलता से संबंधित है।
अनुमानित गतिशील प्रणाली
- प्रोजेक्टेड गतिक प्रणाली गणित सिद्धांत है जो गतिक प्रणाली के व्यवहार की जांच कर रहा है जहां समाधान बाधा समूह तक सीमित हैं। इस प्रकार अनुशासन अनुकूलन (गणित) और संतुलन बिंदु समस्याओं और सामान्य अंतर समीकरणों की गतिशील दुनिया दोनों की स्थिर दुनिया के साथ संयोजन और अनुप्रयोगों को साझा करता है। इस प्रकार अनुमानित अंतर समीकरण को प्रवाह (गणित) द्वारा अनुमानित गतिशील प्रणाली दी जाती है।
प्रतीकात्मक गतिशीलता
- प्रतीकात्मक गतिशीलता कुछ विशेष प्रतीकों के अनंत अनुक्रमों से युक्त असतत स्थान द्वारा सामयिक या चिकने गतिशील प्रणाली को मॉडलिंग करने का अभ्यास है, जिनमें से प्रत्येक शिफ्ट ऑपरेटर द्वारा दी गई गतिशीलता (विकास) के साथ प्रणाली की स्थिति से मेल खाती है।
प्रणाली की गतिशीलता
- प्रणाली की गतिशीलता समय के साथ प्रणाली के व्यवहार को समझने का विधि है। यह आंतरिक फीडबैक लूप और समय की देरी से संबंधित है जो पूरे प्रणाली के व्यवहार और स्थिति को प्रभावित करता है।[3] प्रणाली गतिक्स के उपयोग को प्रणाली के अध्ययन के अन्य विधियों से अलग बनाता है, जो स्टॉक और प्रवाह के साथ प्रतिक्रिया लूप का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली भाषा के रूप में उपयोग किया जाता हैं। ये तत्व यह वर्णन करने में सहायता करते हैं कि कैसे सरल प्रतीत होने वाली प्रणालियाँ भी चकरा देने वाली अरैखिकता प्रदर्शित करती हैं।
सामयिक गतिकी
- टोपोलॉजिकल गतिक्स गतिक प्रणाली के सिद्धांत की शाखा है जिसमें सामान्य टोपोलॉजी के दृष्टिकोण से गतिक प्रणाली के गुणात्मक, स्पर्शोन्मुख गुणों का अध्ययन किया जाता है।
अनुप्रयोग
बायोमैकेनिक्स में
खेल बायोमैकेनिक्स में, एथलेटिक प्रदर्शन और दक्षता मॉडलिंग के लिए व्यवहार्य प्रारूप के रूप में विवादित विज्ञान में गतिशील प्रणाली सिद्धांत उभरा है। गतिशील प्रणाली के दृष्टिकोण से, मानव विवादित प्रणाली सह-निर्भर उप-प्रणालियों (जैसे श्वसन, संचार, तंत्रिका, कंकाल प्रस्तुती, अवधारणात्मक) का अत्यधिक जटिल नेटवर्क है जो बड़ी संख्या में अंतःक्रियात्मक घटकों (जैसे रक्त कोशिकाओं, ऑक्सीजन) से बना है। इस प्रकार अणु, मांसप्रस्तुती ऊतक, चयापचय एंजाइम, संयोजी ऊतक और हड्डी इसके मुख्य उदाहरण हैं। गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत में, भौतिक और जैविक प्रणालियों में पाए जाने वाले स्व संगठन की सामान्य प्रक्रियाओं के माध्यम से विवादित के पैटर्न उभर कर आते हैं।[4] इस प्रारूप के वैचारिक अनुप्रयोग से संयोजित किसी भी प्रमाण का कोई शोध सत्यापन नहीं है।
संज्ञानात्मक विज्ञान में
गतिशील प्रणाली सिद्धांत को न्यूरो गतिशीलन और संज्ञानात्मक विज्ञान के क्षेत्र में लागू किया गया है, विशेष रूप से संज्ञानात्मक विकास के नव-पियागेटियन सिद्धांतों में किया जाता हैं। यह विश्वास है कि संज्ञानात्मक विकास सिंटैक्स और ऐ पर आधारित सिद्धांतों के अतिरिक्त भौतिक सिद्धांतों द्वारा सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करता है। यह भी माना जाता है कि मानव व्यवहार के मॉडलिंग के लिए अंतर समीकरण सबसे उपयुक्त उपकरण हैं। इन समीकरणों की व्याख्या अंतरिक्ष के माध्यम से एजेंट के संज्ञानात्मक प्रक्षेपवक्र का प्रतिनिधित्व करने के लिए की जाती है। दूसरे शब्दों में, गतिशीलतावादियों का तर्क है कि मनोविज्ञान कुछ पर्यावरणीय और आंतरिक दबावों के अनुसार एजेंट के संज्ञान और व्यवहार का वर्णन होना चाहिए जो अंतर समीकरणों के माध्यम से की जाती हैं। अराजकता सिद्धांत की भाषा भी अधिकांशतः अपनाई जाती है।
इसमें शिक्षार्थी का मस्तिष्क उस असन्तुलन की स्थिति में पहुँच जाता है जहाँ पुराने प्रतिमान टूट जाते हैं। यह संज्ञानात्मक विकास का चरण संक्रमण है। स्व-संगठन (सुसंगत रूपों का सहज निर्माण) दूसरे से जुड़े गतिविधि स्तरों के रूप में समूह होता है। नवगठित मैक्रोस्कोपिक और सूक्ष्म संरचनाएं प्रक्रिया को तेज करते हुए दूसरे का समर्थन करती हैं। ये लिंक स्कैलपिंग (जटिल प्रदर्शन के बार-बार निर्माण और पतन) नामक प्रक्रिया के माध्यम से मन में नई स्थिति की संरचना का निर्माण करते हैं। यह नया, उपन्यास स्थिति प्रगतिशील, असतत, विशेष स्वभाव और अप्रत्याशित है।[5]
गतिक प्रणाली सिद्धांत का हाल ही में बाल विकास में लंबे समय से अनुत्तरित समस्या को समझाने के लिए उपयोग किया गया है जिसे ए-नॉट-बी त्रुटि कहा जाता है।[6] इसके अतिरिक्त, 1990 के दशक के मध्य से[7] संज्ञानात्मक विज्ञान, प्रणाली सैद्धांतिक संयोजनवाद की ओर उन्मुख, तेजी से (नॉनलाइनियर) "गतिक प्रणालियों सिद्धांत (डीएसटी)" से तरीकों को अपनाया है।[8][9][10] इस प्रकार आधुनिक संबंधवाद में विभिन्न प्रकार के न्यूरोसिम्बोलिक संज्ञानात्मक न्यूरो संरचना, उनके गणितीय संरचनात्मक कोर पर विचार करते हुए, (नॉनलाइनियर) गतिक प्रणाली के रूप में वर्गीकृत किए जा सकते हैं।[11][12][13] इस प्रकार डीएसटी के साथ संयोजन संज्ञानात्मक न्यूरोआर्किटेक्चर को इंगित करने के लिए न्यूरोकॉग्निशन में ये प्रयास न केवल न्यूरोइन्फॉर्मेटिक्स और संयोजनवाद से आते हैं, बल्कि हाल ही में विकासात्मक मनोविज्ञान ("गतिक फील्ड सिद्धांत (डीएफटी)") से भी आते हैं।[14][15]) और "विकासवादी रोबोटिक्स" और "विकासात्मक रोबोटिक्स" से[16] "विकासवादी संगणना (EC)" की गणितीय पद्धति के संबंध में किया जाता हैं। इसके अवलोकन के लिए मौरर देखें।[17][18]
दूसरी भाषा के विकास में
दूसरी भाषा के अधिग्रहण का अध्ययन करने के लिए गतिक प्रणाली सिद्धांत के अनुप्रयोग का श्रेय डायने लार्सन-फ्रीमैन को दिया जाता है, जिन्होंने 1997 में लेख प्रकाशित किया था जिसमें उन्होंने प्रमाणित किया था कि दूसरी भाषा के अधिग्रहण को विकासात्मक प्रक्रिया के रूप में देखा जाना चाहिए जिसमें भाषा की कमी के साथ-साथ भाषा का अधिग्रहण भी सम्मलित है।[19] इस प्रकार अपने लेख में उसने प्रमाणित किया कि भाषा को गतिशील प्रणाली के रूप में देखा जाना चाहिए जो गतिशील, जटिल, गैर-रैखिक, अराजक, अप्रत्याशित, प्रारंभिक स्थितियों के प्रति संवेदनशील, खुली, स्व-संगठित, प्रतिक्रिया संवेदनशील और अनुकूल है।
यह भी देखें
- संबंधित विषय
- डायनेमिक सिस्टम विषयों की सूची
- बेकर का नक्शा
- द्विभाजन सिद्धांत के जैविक अनुप्रयोग
- गतिशील प्रणाली (परिभाषा)
- सन्निहित एंबेडेड अनुभूति
- फाइबोनैचि संख्या
- भग्न
- जिंजरब्रेडमैन नक्शा
- हेलो कक्षा
- सिस्टम सिद्धांत के प्रकारों की सूची
- दोलन
- पश्चसंज्ञानवाद
- आवर्तक तंत्रिका नेटवर्क
- कॉम्बिनेटरिक्स और डायनेमिक सिस्टम
- सिनर्जेटिक्स (हेकेन)
- सिस्टमोग्राफी
- संबंधित वैज्ञानिक
टिप्पणियाँ
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बाहरी संबंध
- Dynamic Systems Encyclopedia of Cognitive Science entry.
- Definition of dynamical system in MathWorld.
- DSWeb Dynamical Systems Magazine
