गेज सिद्धांत का परिचय

गेज सिद्धांत भौतिकी में एक प्रकार का वैज्ञानिक सिद्धांत है। गेज शब्द का अर्थ है माप, मोटाई, मध्य की दूरी (जैसे कि रेल की पटरियों पर), या निश्चित मापदंड के अनुसार इकाइयों की परिणामी संख्या (फ़ैब्रिक के एक इंच में लूप की संख्या या गेज आधुनिक सिद्धांत क्षेत्र (भौतिकी) के संदर्भ में भौतिक बलों का वर्णन करते हैं, उदाहरण के लिए, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और क्षेत्र जो प्राथमिक कण के मध्य बलों का वर्णन करते हैं। इन क्षेत्र सिद्धांतों की सामान्य विशेषता यह है कि मूलभूत क्षेत्रों को सीधे मापा नहीं जा सकता है; चूंकि, कुछ संबद्ध मात्राएँ मापी जा सकती हैं, जैसे आवेश, ऊर्जा और वेग है। उदाहरण के लिए, मान लें कि आप सीसे की गेंद का व्यास नहीं माप सकते हैं, किन्तु आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि पाउंड बनाने के लिए कितनी सीसे की गेंदों की आवश्यकता है, जो प्रत्येक प्रकार से समान हैं। इस प्रकार गेंदों की संख्या, सीसे का घनत्व और उसके व्यास से किसी गोले के आयतन की गणना करने के सूत्र का उपयोग करके, अप्रत्यक्ष रूप से एकल सीसे की गेंद का व्यास निर्धारित किया जा सकता है। इस प्रकार क्षेत्र सिद्धांतों में, अप्राप्य क्षेत्रों के विभिन्न विन्यासों के परिणामस्वरूप समान अवलोकन योग्य (भौतिकी) प्राप्त हो सकता है। ऐसे एक क्षेत्र विन्यास से दूसरे में परिवर्तन को गेज परिवर्तन कहा जाता है; क्षेत्र के रूपांतरित होने के अतिरिक्त, मापने योग्य मात्राओं में परिवर्तन की कमी, गेज इनवेरिएंस नामक प्रोपर्टी है। उदाहरण के लिए, यदि आप सीसे की गेंदों के रंग को माप सकते हैं और पता लगा सकते हैं कि जब आप रंग परिवर्तित होते हैं, तब भी आप पाउंड में समान संख्या में गेंदों को फिट करते हैं, तो रंग की प्रोपर्टी गेज अपरिवर्तनीयता दिखाएगी। चूँकि क्षेत्र परिवर्तन के अनुसार किसी भी प्रकार के अपरिवर्तनीयता को भौतिकी में समरूपता माना जाता है, गेज अपरिवर्तनीयता को कभी-कभी गेज समरूपता कहा जाता है। सामान्यतः, कोई भी सिद्धांत जिसमें गेज अपरिवर्तनीयता की प्रोपर्टी होती है उसे गेज सिद्धांत माना जाता है।

उदाहरण के लिए, विद्युत चुंबकत्व में विद्युत क्षेत्र E और चुंबकीय क्षेत्र B अवलोकनीय हैं, जबकि क्षमताएं V (वोल्टेज) और A (चुंबकीय सदिश क्षमता) नहीं हैं। गेज परिवर्तन के अनुसार जिसमें V में स्थिरांक जोड़ा जाता है, इस प्रकार 'E' या 'B' में कोई अवलोकनीय परिवर्तन नहीं होता है।

इस प्रकार 1920 के दशक में क्वांटम यांत्रिकी के आगमन के साथ, और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में निरंतर प्रगति के साथ, गेज परिवर्तनों का महत्व निरंतर बढ़ गया है। गेज सिद्धांत भौतिकी के नियमों को बाधित करते हैं, क्योंकि गेज परिवर्तन से प्रेरित सभी परिवर्तनों को अवलोकन योग्य मात्राओं के संदर्भ में लिखे जाने पर दूसरे को निरस्त करना पड़ता है। 20वीं सदी के समय, भौतिकविदों को क्रमश अनुभव हुआ कि सभी बल (मौलिक अंतःक्रियाएं) स्थानीय समरूपता द्वारा लगाए गए अवरोधों से उत्पन्न होते हैं, इस स्थिति में परिवर्तन समष्टि-समय में बिंदु से दूसरे बिंदु पर भिन्न होते हैं। पर्टर्बेटिव क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (सामान्यतः स्काकैटरींग सिद्धांत के लिए नियोजित) गेज बोसॉन नामक बल-मध्यस्थ कणों के संदर्भ में बलों का वर्णन करता है। इन कणों की प्रकृति गेज परिवर्तनों की प्रकृति से निर्धारित होती है। इन प्रयासों की परिणति मानक मॉडल है, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत जो गुरुत्वाकर्षण को छोड़कर सभी मूलभूत इंटरैक्शन का स्पष्ट पूर्वानुमान करता है।

इतिहास और महत्व

गेज समरूपता वाला सबसे प्रारंभिक क्षेत्र सिद्धांत जेम्स क्लर्क मैक्सवेल का 1864-65 में मौलिक विद्युतगतिकी (इलेक्ट्रोमैग्नेटिक क्षेत्र का गतिशील सिद्धांत) का सूत्रीकरण था। प्रारंभिक निरूपण में इस समरूपता के महत्व पर ध्यान नहीं दिया गया था। इसी तरह, किसी के ध्यान में न आने पर, डेविड हिल्बर्ट ने निर्देशांक के किसी भी परिवर्तन के अनुसार समरूपता मानकर आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के समीकरण निकाले थे, जैसे आइंस्टीन अपना कार्य पूर्ण कर रहे थे। इसके पश्चात् में आइंस्टीन की सामान्य सापेक्षता में सफलता से प्रेरित हरमन वेइल ने 1919 में अनुमान लगाया (गलत, जैसा कि यह निकला) कि स्केल (माप) या गेज (रेलवे के विभिन्न ट्रैक गेज से प्रेरित शब्द) के परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीयता भी हो सकती है विद्युत चुंबकत्व की स्थानीय समरूपता है। चूंकि वेइल की गेज की पसंद गलत थी, इस प्रकार नाम गेज दृष्टिकोण पर रुका रहा था। क्वांटम यांत्रिकी के विकास के पश्चात्, वेइल, व्लादिमीर फॉक और फ़्रिट्ज़ लंदन ने तरंग चरण (तरंगों) के परिवर्तन के साथ स्केल कारक को प्रतिस्थापित करके और इसे विद्युत चुंबकत्व में सफलतापूर्वक प्रयुक्त करके अपनी गेज पसंद को संशोधित किया था। सशक्त परमाणु बलों का वर्णन करने के प्रयास में सी हेनिंग यांग और रॉबर्ट मिल्स (भौतिक विज्ञानी) द्वारा 1954 में गेज समरूपता को गणितीय रूप से सामान्यीकृत किया गया था। इस विचार को, जिसे यांग-मिल्स सिद्धांत कहा गया,इसके पश्चात् में बल के क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में और इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत में विद्युत चुंबकत्व के साथ इसके एकीकरण में आवेदन मिला था।

भौतिकी के लिए गेज सिद्धांतों का महत्व क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत या विद्युत चुंबकत्व के क्वांटम-यांत्रिक व्यवहार, अशक्त बल और सशक्त बल का वर्णन करने के लिए एकीकृत प्रारूप प्रदान करने में उनकी सही सफलता से उत्पन्न होता है। यह गेज सिद्धांत, जिसे मानक मॉडल के रूप में जाना जाता है, प्रकृति की चार मूलभूत शक्तियों में से तीन के संबंध में प्रयोगात्मक पूर्वानुमान का स्पष्ट वर्णन करता है।

मौलिक भौतिकी में

विद्युतचुम्बकत्व

Main article: गेज फिक्सिंग

ऐतिहासिक रूप से, गेज समरूपता का खोजा जाने वाला पहला उदाहरण मौलिक विद्युत चुंबकत्व था। स्थैतिक विद्युत क्षेत्र को विद्युत क्षमता $V$ (वोल्टेज) के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है) जिसे समष्टि में प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित किया गया है, और व्यावहारिक कार्य में पृथ्वी को भौतिक संदर्भ के रूप में लेना पारंपरिक है जो क्षमता, या विद्युत के शून्य स्तर को परिभाषित करता है। किन्तु केवल क्षमता में अंतर ही भौतिक रूप से मापने योग्य होता है, यही कारण है कि वाल्टमीटर में दो जांच होनी चाहिए, और केवल उनके मध्य वोल्टेज अंतर की रिपोर्ट कर सकता है। इस प्रकार कोई भी पृथ्वी के अतिरिक्त किसी अन्य मानक के सापेक्ष सभी वोल्टेज अंतरों को परिभाषित करना चुन सकता है, जिसके परिणामस्वरूप निरंतर ऑफसेट जुड़ जाएगा। यदि क्षमता $V$ मैक्सवेल के समीकरणों का समाधान है, इस गेज परिवर्तन के पश्चात्, नई क्षमता $V\rightarrow V+C$ मैक्सवेल के समीकरणों का भी समाधान है और कोई भी प्रयोग इन दोनों समाधानों के मध्य अंतर नहीं कर सकता है। दूसरे शब्दों में, विद्युत् और चुंबकत्व को नियंत्रित करने वाले भौतिकी के नियम (अर्थात, मैक्सवेल समीकरण) गेज परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय हैं। मैक्सवेल के समीकरणों में गेज समरूपता होती है।

स्थैतिक विद्युत् से विद्युत चुंबकत्व तक सामान्यीकरण करते हुए, हमारे निकट दूसरी क्षमता है, चुंबकीय सदिश क्षमता A, जो गेज परिवर्तनों से भी निकल सकती है। यह परिवर्तन स्थानीय हो सकते हैं. अर्थात्, V पर स्थिरांक जोड़ने के अतिरिक्त, कोई कार्य जोड़ सकता है जो समष्टि और समय में विभिन्न बिंदुओं पर भिन्न-भिन्न मान लेता है। यदि A को भी कुछ संगत विधियों से परिवर्तित हो जाता है, तो समान E (विद्युत) और B (चुंबकीय) क्षेत्र परिणामित होते हैं। इस प्रकार क्षेत्र E और B और संभावित V और A के मध्य विस्तृत गणितीय संबंध गेज परिवर्तन की प्रकृति के स्पष्ट विवरण के साथ, गेज फिक्सिंग लेख में दिया गया है। यहां प्रासंगिक तथ्य यह है कि गेज परिवर्तन के अनुसार क्षेत्र समान रहते हैं, और इसलिए मैक्सवेल के समीकरण अभी भी संतुष्ट हैं।

गेज समरूपता का चार्ज कांसेर्वेशन से गहरा संबंध है। मान लीजिए कि कोई ऐसी प्रक्रिया उपस्थित है जिसके द्वारा कोई समष्टि में निश्चित बिंदु 1 पर चार्ज q बनाकर, इसे किसी अन्य बिंदु 2 पर ले जाकर और पुनः इसे नष्ट करके चार्ज के संरक्षण का उल्लंघन कर सकता है। हम कल्पना कर सकते हैं कि यह प्रक्रिया ऊर्जा संरक्षण के अनुरूप थी। हम यह कहते हुए एक नियम बना सकते हैं कि चार्ज बनाने के लिए ऊर्जा E1=qV1 के इनपुट की आवश्यकता होती है और इसे नष्ट करने पर E2=qV2 निकलता है, जो स्वाभाविक प्रतीत होता है क्योंकि qV विद्युत क्षेत्र में संग्रहीत अतिरिक्त ऊर्जा को मापता है क्योंकि एक चार्ज उपस्थित होता है।, ऊर्जा का संरक्षण संतुष्ट होगा, क्योंकि कण के निर्माण और समाप्ति से जारी शुद्ध ऊर्जा, qV₂-qV₁, कण को ​​1 से 2, qV₂-qV₁ तक ले जाने में किए गए कार्य के समान होगा किन्तु यद्यपि यह परिदृश्य ऊर्जा के संरक्षण को बचाता है, यह गेज समरूपता का उल्लंघन करता है। गेज समरूपता के लिए आवश्यक है कि परिवर्तन के अनुसार भौतिकी के नियम $V\rightarrow V+C$ अपरिवर्तनीय होंता है , जिसका तात्पर्य यह है कि कोई भी प्रयोग किसी बाहरी मानक जैसे कि विद्युत ग्राउंड के संदर्भ के बिना, पूर्ण क्षमता को मापने में सक्षम नहीं होना चाहिए। किन्तु प्रस्तावित नियम E₁=qV₁ और E₂=qV₂ निर्माण और समाप्ति की ऊर्जाओं के लिए प्रयोगकर्ता को समष्टि में किसी विशेष बिंदु पर चार्ज q बनाने के लिए आवश्यक ऊर्जा इनपुट की तुलना करके पूर्ण क्षमता निर्धारित करने की अनुमति मिल सकती है, जहां क्रमश $V$ और $V+C$ क्षमता है । निष्कर्ष यह है कि यदि गेज समरूपता है, और ऊर्जा संरक्षित है, जिससे चार्ज को संरक्षित किया जाना चाहिए।

इस वर्ग पर कार्टेशियन समन्वय ग्रिड को समन्वय परिवर्तन द्वारा विकृत कर दिया गया है, जिससे पुराने (x,y) निर्देशांक और नए के मध्य गैर-रेखीय संबंध हो। आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के समीकरण अभी भी नई समन्वय प्रणाली में मान्य हैं। समन्वय प्रणाली के ऐसे परिवर्तन सामान्य सापेक्षता के गेज परिवर्तन हैं।

सामान्य सापेक्षता

जैसा कि ऊपर विचार की गई है, मौलिक (अर्थात, गैर-क्वांटम यांत्रिक) सामान्य सापेक्षता के लिए गेज परिवर्तन अर्बिटरी समन्वय परिवर्तन हैं। तकनीकी रूप से, परिवर्तन विपरीत होना चाहिए, और इसका विपरीत दोनों सुचारू होना चाहिए, विभेदक होने के अर्थ में इच्छानुसार विधि से विभिन्न कार्य करना चाहिए।

भौतिक सिद्धांत में समरूपता का उदाहरण: व्याख्या अपरिवर्तनीयता

समन्वय के परिवर्तनों के अनुसार कुछ वैश्विक समरूपताएं सामान्य सापेक्षता और गेज की अवधारणा दोनों से पहले की हैं। उदाहरण के लिए, गैलीलियो और आइजैक न्यूटन ने गैलीलियन परिवर्तन की धारणा प्रस्तुत की थी , अरिस्टोटेलियन भौतिकी अवधारणा से उन्नति जिसके अनुसार समष्टि में विभिन्न स्थान, जैसे कि पृथ्वी बनाम आकाश, विभिन्न भौतिक नियमों का पालन करते हैं।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि पर्यवेक्षक पृथ्वी पर हाइड्रोजन परमाणु के गुणों की जांच करता है, दूसरा - चंद्रमा (या ब्रह्मांड में किसी अन्य स्थान) पर, पर्यवेक्षक पाएगा कि उनके हाइड्रोजन परमाणु पूर्ण रूप से समान गुण प्रदर्शित करते हैं। पुनः, यदि पर्यवेक्षक ने आज हाइड्रोजन परमाणु की जांच की थी और दूसरे ने - 100 वर्ष पहले (या अतीत में या भविष्य में किसी भी समय), दोनों प्रयोग पुनः से पूर्ण रूप से समान परिणाम देंगे। उस समय और समष्टि के संबंध में जहां इन गुणों की जांच की गई थी, हाइड्रोजन परमाणु के गुणों की अपरिवर्तनीयता को व्याख्या अपरिवर्तनीयता कहा जाता है।

इस प्रकार भिन्न-भिन्न समय के हमारे दो पर्यवेक्षकों को याद करते हुए: उनके प्रयोगों का समय 100 वर्ष आगे बढ़ गया है। यदि पुराने पर्यवेक्षक द्वारा प्रयोग करने का समय t था, तो आधुनिक प्रयोग का समय t+100 वर्ष है। दोनों पर्यवेक्षकों ने भौतिकी के समान नियमों की खोज की थी। चूँकि दूर की आकाशगंगाओं में हाइड्रोजन परमाणुओं से प्रकाश अरबों वर्षों तक समष्टि में यात्रा करने के पश्चात् पृथ्वी तक पहुँच सकता है, वास्तव में कोई भी महा विस्फोट से लेकर अधिकतर सभी तरह की समयावधियों को आवरण करते हुए ऐसे अवलोकन कर सकता है, और वह दिखाते हैं कि नियम भौतिकी सदैव जैसी रही है।

दूसरे शब्दों में, यदि सिद्धांत में हम समय t को t+100 वर्ष में परिवर्तित होते हैं (या वास्तव में कोई अन्य समय परिवर्तन) तो सैद्धांतिक पूर्वानुमान नहीं परिवर्तित करती हैं।

समरूपता का और उदाहरण: अर्बिटरी समन्वय परिवर्तनों के अनुसार आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरण का अपरिवर्तनीयता

आइंस्टीन की सामान्य सापेक्षता में, x, y, z, और t जैसे निर्देशांक न केवल व्याख्या के वैश्विक अर्थ में सापेक्ष हैं जैसे $t\rightarrow t+C$, घूर्णन, आदि, किन्तु पूर्ण रूप से इच्छानुसार विधि से हो जाते हैं, जिससे, उदाहरण के लिए, कुछ इच्छानुसार नियम के अनुसार पूर्ण रूप से नए समय-समान समन्वय को परिभाषित किया जा सके जैसे कि $t\rightarrow t+t^{3}/t_{0}^{2}$, जहां $t_{0}$ में समय के आयाम हैं, और फिर भी आइंस्टीन के समीकरणों का रूप वही होगा।

अर्बिटरी समन्वय परिवर्तन के अनुसार समीकरण के रूप की अपरिवर्तनीयता को सामान्य रूप से सामान्य सहसंयोजकता के रूप में जाना जाता है, और इस प्रोपर्टी वाले समीकरणों को सहसंयोजक रूप में लिखा जाता है। सामान्य सहप्रसरण गेज अपरिवर्तन का विशेष मामला है।

मैक्सवेल के समीकरणों को सामान्यतः सहसंयोजक रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरण के समान सामान्य समन्वय परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है।

क्वांटम यांत्रिकी में

क्वांटम विद्युतगतिकी

क्वांटम यांत्रिकी के आगमन तक, गेज समरूपता का एकमात्र प्रसिद्ध उदाहरण विद्युत चुंबकत्व में था, और अवधारणा का सामान्य महत्व पूर्ण रूप से समझा नहीं गया था। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट नहीं था कि यह क्षेत्र E और B थे या संभावित V और A जो मूलभूत मात्राएं थीं; इस प्रकार गेज परिवर्तन को गणितीय गति से अधिक कुछ नहीं माना जा सकता है।

अहरोनोव-बोहम प्रयोग

डबल-स्लिट विवर्तन और इंटरफेरेंस पैटर्न

Main article: अहरोनोव-बोहम प्रभाव

क्वांटम यांत्रिकी में, इलेक्ट्रॉन जैसे कण को ​​तरंग के रूप में भी वर्णित किया गया है। उदाहरण के लिए, यदि डबल-स्लिट प्रयोग इलेक्ट्रॉनों के साथ किया जाता है, तो तरंग जैसा इंटरफेरेंस पैटर्न देखा जाता है। इलेक्ट्रॉन के उन स्थानों पर पाए जाने की संभावना सबसे अधिक होती है, जहां दो स्लिटों से निकलने वाली तरंग के भाग दूसरे के साथ चरण में होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप तरंग इंटरफेरेंस होता है। इलेक्ट्रॉन तरंग की आवृत्ति क्वांटम-मैकेनिकल संबंध E = hf के माध्यम से व्यक्तिगत इलेक्ट्रॉन कण की गतिज ऊर्जा से संबंधित होती है। यदि इस प्रयोग में कोई विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र उपस्थित नहीं है, तो इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा स्थिर है, और, उदाहरण के लिए, प्रयोग के केंद्रीय अक्ष के साथ इलेक्ट्रॉन का पता लगाने की उच्च संभावना होगी, जहां समरूपता के दो भाग होते हैं प्रवाह चरण में हैं.

किन्तु अब मान लीजिए कि प्रयोग में इलेक्ट्रॉन विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र के अधिकृत हैं। उदाहरण के लिए, यदि अक्ष के पक्ष विद्युत क्षेत्र लगाया जाए किन्तु दूसरी पक्ष नहीं, तो प्रयोग के परिणाम प्रभावित होंगे। उस पक्ष से निकलने वाली इलेक्ट्रॉन तरंग का भाग भिन्न दर पर दोलन करता है, क्योंकि इसकी ऊर्जा में −eV जोड़ा गया है, जहां −E इलेक्ट्रॉन का चार्ज है और V विद्युत क्षमता है। इसके प्रयोग के परिणाम भिन्न-भिन्न होंगे, क्योंकि इलेक्ट्रॉन तरंग के दो भागो के मध्य चरण संबंध परिवर्तित गए हैं, और इसलिए रचनात्मक और हानिकारक इंटरफेरेंस के समष्टि पक्ष या दूसरे में स्थानांतरित हो जाएंगे। यह विद्युत क्षमता है जो यहां घटित होती है, विद्युत क्षेत्र नहीं, और यह इस तथ्य की अभिव्यक्ति है कि यह क्षमताएं हैं न कि क्षेत्र जो क्वांटम यांत्रिकी में मौलिक महत्व रखते हैं।

डबल-स्लिट प्रयोग का योजनाबद्ध जिसमें अहरोनोव-बोहम प्रभाव देखा जा सकता है: इलेक्ट्रॉन दो स्लिट से निकलते हैं, अवलोकन स्क्रीन पर इंटरफेरेंस करते हैं, जब नीले रंग में चिह्नित बेलनाकार सोलनॉइड में चुंबकीय क्षेत्र B प्रारंभ होता है तो इंटरफेरेंस पैटर्न परिवर्तित जाता है रेखाचित्र।

क्षमता के साथ स्पष्टीकरण

ऐसे स्थिति भी संभव हैं जिनमें किसी प्रयोग के परिणाम तब भिन्न होते हैं जब क्षमताएँ परिवर्तित जाती हैं, तथापि कोई भी आवेशित कण कभी भी किसी भिन्न क्षेत्र के संपर्क में न आया था। ऐसा ही उदाहरण अहरोनोव-बोहम प्रभाव है, जो चित्र में दिखाया गया है। इस उदाहरण में, सोलनॉइड को प्रारंभ करने से सोलनॉइड के अन्दर केवल चुंबकीय क्षेत्र B उपस्थित होता है। किन्तु सोलनॉइड को इस प्रकार स्थित किया गया है कि इलेक्ट्रॉन संभवतः इसके आंतरिक भाग से नहीं निकल सकता है। यदि किसी का मानना ​​है कि क्षेत्र मूलभूत मात्राएँ हैं, तो वह उम्मीद करेगा कि प्रयोग के परिणाम अपरिवर्तित होंगे। वास्तव में, परिणाम भिन्न हैं, क्योंकि सोलनॉइड को प्रारंभ करने से उस क्षेत्र में सदिश क्षमता A परिवर्तित गई जहां से इलेक्ट्रॉन निकलते हैं। अब जब यह स्थापित हो गया है कि यह क्षमताएँ V और A हैं जो मौलिक हैं, न कि क्षेत्र E और B, तो हम देख सकते हैं कि गेज परिवर्तन, जो V और A को परिवर्तित होते हैं, उनका केवल गणितीय विरूपण होने के अतिरिक्त वास्तविक भौतिक महत्व है।

गेज अपरिवर्तनशीलता: प्रयोगों के परिणाम क्षमता के लिए गेज की पसंद से स्वतंत्र होते हैं

ध्यान दें कि इन प्रयोगों में, परिणाम को प्रभावित करने वाली एकमात्र मात्रा इलेक्ट्रॉन तरंग के दो भागों के मध्य चरण में अंतर है। मान लीजिए कि हम इलेक्ट्रॉन तरंग के दो भागो को छोटी घड़ियों के रूप में कल्पना करते हैं, जिनमें से प्रत्येक में एक ही सुई होती है जो वृत्त में घूमती है, अपने चरण का ट्रैक रखती है। चूंकि यह कार्टून कुछ तकनीकी विवरणों को नजरअंदाज करता है, किन्तु यह उन भौतिक घटनाओं को बनाए रखता है जो यहां महत्वपूर्ण हैं। यदि दोनों घड़ियों को समान मात्रा में गति दी जाती है, जिससे उनके मध्य चरण संबंध अपरिवर्तित रहता है, और प्रयोगों के परिणाम समान होते हैं। इतना ही नहीं, प्रत्येक घड़ी की गति को निश्चित मात्रा में परिवर्तन भी आवश्यक नहीं है। हम प्रत्येक घड़ी पर सुई के कोण को भिन्न-भिन्न मात्रा में परिवर्तित सकते हैं, जहां θ समष्टि और समय दोनों की स्थिति पर निर्भर हो सकता है। इसका प्रयोग के परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा, क्योंकि इलेक्ट्रॉन के समष्टि का अंतिम अवलोकन ही समष्टि और समय पर होता है, जिससे प्रत्येक इलेक्ट्रॉन की घड़ी में चरण परिवर्तन समान होगा, और दो प्रभाव निरस्त हो जाएंगे । यह गेज परिवर्तन का और उदाहरण है: यह स्थानीय है, और यह प्रयोगों के परिणामों को नहीं परिवर्तित करता है।

सारांश

संक्षेप में, क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में गेज समरूपता अपना पूर्ण महत्व प्राप्त कर लेती है। इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म, अर्थात क्वांटम विद्युतगतिकी के लिए क्वांटम यांत्रिकी के अनुप्रयोग में, गेज समरूपता विद्युत चुम्बकीय तरंगों और इलेक्ट्रॉन तरंगों दोनों पर प्रयुक्त होती है। यह दो गेज समरूपताएं वास्तव में घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, यदि गेज परिवर्तन θ को इलेक्ट्रॉन तरंगों पर प्रयुक्त किया जाता है, जिससे किसी को विद्युत चुम्बकीय तरंगों का वर्णन करने वाली क्षमता के अनुरूप परिवर्तन भी प्रयुक्त करना होगा। क्वांटम विद्युतगतिकी को पुनर्सामान्यीकरण सिद्धांत बनाने के लिए गेज समरूपता की आवश्यकता होती है, अर्थात, जिसमें सभी भौतिक रूप से मापने योग्य मात्राओं की गणना की गई पूर्वानुमान सीमित होती हैं।

गेज समरूपता के प्रकार

उपरोक्त उपखंड में छोटी घड़ियों के रूप में इलेक्ट्रॉनों का वर्णन वास्तव में गणितीय नियमों का कथन है जिसके अनुसार इलेक्ट्रॉनों के चरणों को जोड़ा और घटाया जाना है: उन्हें सामान्य संख्याओं के रूप में माना जाना चाहिए, अतिरिक्त उस स्थिति के जहां गणना का परिणाम 0≤θ<360° की सीमा के बाहर आता है, हम इसे अनुमत सीमा में आने के लिए विवश करते हैं, जो वृत्त को आवरण करता है। इसे रखने का दूसरी विधि यह है कि 5° का चरण कोण, 365° के कोण के पूर्णतः समतुल्य माना जाता है। इस प्रकार प्रयोगों ने इलेक्ट्रॉन तरंगों द्वारा निर्मित इंटरफेरेंस पैटर्न के बारे में इस परीक्षण योग्य कथन को सत्यापित किया है। रैप-अराउंड प्रोपर्टी को छोड़कर, इस गणितीय संरचना के बीजगणितीय गुण पूर्णतः सामान्य वास्तविक संख्याओं के समान हैं।

गणितीय शब्दावली में, इलेक्ट्रॉन चरण जोड़ के अनुसार एक एबेलियन समूह बनाते हैं, जिसे सर्कल समूह या u(1) कहा जाता है। "एबेलियन" का अर्थ है कि जोड़ इस प्रकार परिवर्तित होता है कि θ + φ = φ + θ समूह का अर्थ है कि जोड़ जुड़ता है और उसका एक पहचान अवयव होता है, जिसका नाम "0" है। साथ ही, प्रत्येक चरण के लिए एक व्युत्क्रम उपस्थित होता है जैसे कि एक चरण और उसके व्युत्क्रम का योग 0 होता है। इस प्रकार एबेलियन समूहों के अन्य उदाहरण जोड़, 0, और निषेध के अनुसार पूर्णांक और उत्पाद, 1 और व्युत्क्रम के अनुसार गैर-शून्य भिन्न हैं।

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मुड़े हुए सिलेंडर का गेज फिक्स करना

गेज की पसंद की कल्पना करने के विधि के रूप में, विचार करें कि क्या यह बताना संभव है कि सिलेंडर मुड़ गया है या नहीं। यदि सिलेंडर पर कोई स्‍फीति, निशान या खरोंच नहीं है, तो हम नहीं बता सकते। चूंकि, हम सिलेंडर के अनुदिश अर्बिटरी वक्र खींच सकते हैं, जिसे किसी कार्य θ(x) द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां x सिलेंडर की धुरी के साथ दूरी को मापता है। एक बार यह अर्बिटरी विकल्प (गेज का चयन) हो जाने के पश्चात्, यदि कोई पश्चात् में सिलेंडर को घुमाता है तो इसका पता लगाना संभव हो जाता है।

इस प्रकार 1954 में, चेन निंग यांग और रॉबर्ट मिल्स (भौतिक विज्ञानी) ने इन विचारों को गैर-क्रमविनिमेय समूहों में सामान्यीकृत करने का प्रस्ताव रखा था। गैर-क्रमविनिमेय गेज समूह ऐसे क्षेत्र का वर्णन कर सकता है, जो विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के विपरीत, स्वयं के साथ संपर्क करता है। उदाहरण के लिए, सामान्य सापेक्षता बताती है कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों में ऊर्जा होती है, और विशेष सापेक्षता का निष्कर्ष है कि ऊर्जा द्रव्यमान के समान है। इसलिए गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को प्रेरित करता है। परमाणु बल के निकट भी यह स्व-अंतःक्रियात्मक गुण होता है।

गेज बोसॉन

सामान्यतः, गेज समरूपता विद्युत और परमाणु इंटरैक्शन जैसे इंटरैक्शन के अस्तित्व के लिए व्याख्या दे सकती है। यह इस तथ्य से संबंधित एक प्रकार की गेज समरूपता से उत्पन्न होता है कि किसी दिए गए प्रकार के सभी कण प्रयोगात्मक रूप से दूसरे से अप्रभेद्य होते हैं। कल्पना कीजिए कि ऐलिस और बेट्टी जैसी जुड़वाँ बहनें हैं, जिन पर जन्म के समय कंगनों पर A और B लिखा होता है। क्योंकि लड़कियाँ जैसी हैं, इसलिए कोई भी यह नहीं बता पाएगा कि जन्म के समय उनका समष्टि परिवर्तित हो गया था या नहीं; लेबल A और B इच्छानुसार हैं, और इन्हें आपस में परिवर्तित हो जा सकता है। उनकी पहचानों का ऐसा स्थायी आदान-प्रदान वैश्विक गेज समरूपता की तरह है। संगत स्थानीय गेज समरूपता भी है, जो इस तथ्य का वर्णन करती है कि एक क्षण से दूसरे क्षण तक, ऐलिस और बेट्टी भूमिकाएँ परिवर्तित सकती हैं जबकि कोई नहीं देख रहा होगा, और कोई भी बताने में सक्षम नहीं होगा। यदि हम देखते हैं कि माँ का पसंदीदा फूलदान टूट गया है, तो हम केवल यह अनुमान लगा सकते हैं कि दोष किसी या दूसरे जुड़वां का है, किन्तु हम यह नहीं बता सकते कि दोष 100% ऐलिस का है और 0% बेट्टी का, या इसके विपरीत यदि ऐलिस और बेट्टी वास्तव में लोग नहीं किन्तु क्वांटम-मैकेनिकल कण हैं, तो उनमें तरंग गुण भी हैं, जिसमें सुपरपोजिशन सिद्धांत का गुण भी सम्मिलित है, जो तरंगों को इच्छानुसार विधि से जोड़ने, घटाने और मिश्रित करने की अनुमति देता है। इससे यह पता चलता है कि हम पहचान की पूर्ण परिवर्तन तक ही सीमित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम देखते हैं कि समष्टि में निश्चित समष्टि पर निश्चित मात्रा में ऊर्जा उपस्थित है, तो ऐसा कोई प्रयोग नहीं है जो हमें बता सके कि क्या वह ऊर्जा 100% A और 0% B है, 0% A और 100% B है, या 20% A और 80% B है, या कोई अन्य मिश्रण तथ्य यह है कि समरूपता स्थानीय है इसका कारण है कि हम इन अनुपातों के स्थिर रहने पर भी विश्वास नहीं कर सकते हैं क्योंकि कण समष्टि में विस्तृत हैं। गणितीय रूप से इसका प्रतिनिधित्व कैसे किया जाता है इसका विवरण कणों के स्पिन (भौतिकी) से संबंधित तकनीकी उद्देश्यों पर निर्भर करता है, किन्तु हमारे वर्तमान उद्देश्यों के लिए हम स्पिनलेस कण पर विचार करते हैं, जिसके लिए यह पता चलता है कि मिश्रण को कुछ इच्छानुसार विकल्प गेज θ(x) द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है , जहां कोण θ = 0° 100% A और 0% B का प्रतिनिधित्व करता है, इस प्रकार θ = 90° का अर्थ 0% A और 100% B है, और मध्यवर्ती कोण मिश्रण का प्रतिनिधित्व करते हैं।

क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों के अनुसार, कणों का वास्तव में समष्टि के माध्यम से प्रक्षेप पथ नहीं होता है। इस प्रकार गति को केवल तरंगों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, और व्यक्तिगत कण का संवेग p उसकी तरंग दैर्ध्य λ से p = h/λ द्वारा संबंधित होता है। प्रयोगसिद्ध माप के संदर्भ में, तरंग दैर्ध्य केवल समष्टि में बिंदु और दूसरे निकटवर्ती बिंदु (गणितीय रूप से, व्युत्पन्न द्वारा) के मध्य तरंग में परिवर्तन को देखकर निर्धारित किया जा सकता है। छोटी तरंग दैर्ध्य वाली तरंग अधिक तेजी से दोलन करती है, और इसलिए निकटवर्ती बिंदुओं के मध्य अधिक तेजी से परिवर्तित करती है। अब मान लीजिए कि हम इच्छानुसार विधि से समष्टि में बिंदु पर गेज निश्चित करते हैं, यह कहकर कि उस समष्टि पर ऊर्जा 20% A और 80% B है। पुनः हम दोनों तरंगों को उनकी तरंग दैर्ध्य निर्धारित करने के लिए किसी अन्य, निकट बिंदु पर मापते हैं। किन्तु प्रवाह परिवर्तन के दो पूर्णतः भिन्न कारण हैं। वह परिवर्तित सकते थे क्योंकि वे निश्चित तरंग दैर्ध्य के साथ दोलन कर रहे थे, या वह परिवर्तित सकते थे क्योंकि गेज कार्य 20-80 मिश्रण से परिवर्तित कर, मान लीजिए, 21-79 हो गया था। यदि हम दूसरी संभावना को नजरअंदाज करते हैं, तो परिणामी सिद्धांत कार्य नहीं करता है; संवेग में असामान्य विसंगतियाँ दिखाई देंगी, जो संवेग के संरक्षण के सिद्धांत का उल्लंघन करेंगी। इस प्रकार सिद्धांत में कुछ परिवर्तित हो जाना चाहिए.

इस प्रकार पुनः से स्पिन से संबंधित तकनीकी उद्देश्य हैं, किन्तु विभिन्न महत्वपूर्ण स्थितियों में, विद्युत आवेशित कणों और परमाणु बलों के माध्यम से इंटरैक्सन करने वाले कणों सहित, समस्या का समाधान गेज कार्य θ(x) में भौतिक वास्तविकता को प्रयुक्त करना है। हम कहते हैं कि यदि कार्य θ दोलन करता है, तो यह नए प्रकार की क्वांटम-मैकेनिकल तरंग का प्रतिनिधित्व करता है, और इस नई तरंग की अपनी गति p = h/λ होती है, जो pa में परिवर्तित हो जाती है उन विसंगतियों को दूर करें जो अन्यथा गति के संरक्षण को तोड़ देतीं है। विद्युत चुंबकत्व के संदर्भ में, कण A और B इलेक्ट्रॉनों जैसे आवेशित कण होंगे, और θ द्वारा दर्शाया गया क्वांटम यांत्रिक तरंग विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र होगा। (यहां हम इस तथ्य से उठाए गए तकनीकी उद्देश्यों को नजरअंदाज करते हैं कि इलेक्ट्रॉनों में वास्तव में स्पिन 1/2 होता है, स्पिन शून्य नहीं है। यह अतिसरलीकरण यही कारण है कि गेज क्षेत्र θ अदिश राशि के रूप में सामने आता है, जबकि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र वास्तव में V और 'A' से युक्त सदिश द्वारा दर्शाया जाता है।) परिणाम यह है कि हमारे निकट विद्युत चुम्बकीय इंटरैक्शन की उपस्थिति के लिए स्पष्टीकरण है: यदि हम समान, गैर-इंटरैक्टिंग कणों के गेज-सममित सिद्धांत का निर्माण करने का प्रयास करते हैं, तो परिणाम आत्मनिर्भर नहीं है , और केवल विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों को जोड़कर ही सुधर की जा सकती है जो कणों के परस्पर क्रिया का कारण बनते हैं।

चूंकि कार्य θ(x) तरंग का वर्णन करता है, क्वांटम यांत्रिकी के नियमों के अनुसार इसमें कण गुण भी होने चाहिए। विद्युत चुम्बकत्व के स्थिति में, विद्युत चुम्बकीय तरंगों के अनुरूप कण फोटॉन है। सामान्यतः, ऐसे कणों को गेज बोसॉन कहा जाता है, जहां बोसॉन शब्द पूर्णांक स्पिन वाले कण को ​​​​संदर्भित करता है। सिद्धांत के सबसे सरल संस्करणों में गेज बोसॉन द्रव्यमान रहित होते हैं, किन्तु उन संस्करणों का निर्माण करना भी संभव है जिनमें उनका द्रव्यमान होता है। यह गेज बोसॉन की मामला है जो परमाणु क्षय के लिए उत्तरदायी अशक्त अंतःक्रिया बल को वहन करता है।

अग्रिम पठन

These books are intended for general readers and employ the barest minimum of mathematics.

• 't Hooft, Gerard: "Gauge Theories of the Force between Elementary Particles," Scientific American, 242(6):104–138 (June 1980).
• "Press Release: The 1999 Nobel Prize in Physics". Nobelprize.org. Nobel Media AB 2013. 20 Aug 2013.
• Schumm, Bruce (2004) Deep Down Things. Johns Hopkins University Press. A serious attempt by a physicist to explain gauge theory and the Standard Model.
• Feynman, Richard (2006) QED: The Strange Theory of Light and Matter. Princeton University Press. A nontechnical description of quantum field theory (not specifically about gauge theory).