घात समुच्चय का अभिगृहीत

गणित में, पावर सेट का अभिगृहीत अभिगृहीत सेट सिद्धांत के ज़र्मेलो-फ्रेंकेल अभिगृहीतों में से एक है।

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल अभिगृहीतों की औपचारिक भाषा में, अभिगृहीत पढ़ता है:

$\forall x\,\exists y\,\forall z\,[z\in y\iff \forall w\,(w\in z\Rightarrow w\in x)]$

जहाँ y, x का घात समुच्चय ${\mathcal {P}}(x)$ है,

अंग्रेजी में, यह कहता है:

किसी भी समुच्चय x को देखते हुए, एक समुच्चय होता है ${\mathcal {P}}(x)$, दिए गए किसी भी सेट z के लिए, ${\mathcal {P}}(x)$ समुच्चय z का सदस्य है और केवल यदि z का प्रत्येक तत्व भी x का एक तत्व है।

अधिक संक्षेप में: प्रत्येक सेट के लिए $x$, एक समुच्चय है ${\mathcal {P}}(x)$ जिसमें सटीक रूप से सबसेट सम्मिलित हैं $x$.

सबसेट संबंध पर ध्यान दें औपचारिक परिभाषा में $\subseteq$ का उपयोग नहीं किया जाता है क्योंकि उपसमुच्चय औपचारिक समुच्चय सिद्धांत में आदिम संबंध नहीं है; अपितु, सबसेट को निर्धारित सदस्यता के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, $\in$. विस्तार के अभिगृहीत द्वारा, समुच्चय ${\mathcal {P}}(x)$ अद्वितीय है।

घात समुच्चय का अभिगृहीत सिद्धांत के अधिकांश अभिगृहीतों में प्रकट होता है। इसे सामान्यतः विवादास्पद माना जाता है, यद्यपि रचनात्मक सेट सिद्धांत भविष्यवाणी के बारे में चिंताओं को हल करने के लिए कमजोर संस्करण को स्वीकृत करता है।

परिणाम

घात समुच्चय अभिगृहीत दो सेटों के कार्टेशियन उत्पाद की सरल परिभाषा की अनुमति देता है $X$ और $Y$:

$X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}.$

नोटिस जो

$x,y\in X\cup Y$

$\{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y)$

और, उदाहरण के लिए, कुराटोव्स्की आदेशित जोड़ी का उपयोग करने वाले एक मॉडल पर विचार करें,

$(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))$

और इस प्रकार कार्तीय गुणनफल एक समुच्चय है

$X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)).$

कोई पुनरावर्ती रूप से सेट के किसी भी परिमित संग्रह के कार्टेशियन उत्पाद को परिभाषित कर सकता है:

$X_{1}\times \cdots \times X_{n}=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.$

ध्यान दें कि कार्तीय उत्पाद के अस्तित्व को घात समुच्चय अभिगृहीत का उपयोग किए बिना सिद्ध किया जा सकता है, जैसा कि क्रिप्के-प्लेटेक सेट सिद्धांत के विषय में है।

सीमाएं

घात समुच्चय अभिगृहीत यह निर्दिष्ट नहीं करता है कि सेट के कौन से उपसमुच्चय उपस्थित हैं, मात्र यह कि एक ऐसा सेट है जो सभी को समाहित करता है। सभी बोधगम्य उपसमूहों के अस्तित्व की गारंटी नहीं है। विशेष रूप से, अनंत सेट के घात समुच्चय में केवल "रचनात्मक सेट" होते हैं यदि ब्रह्मांड रचनात्मक ब्रह्मांड है लेकिन ZF सेट सिद्धांत के अन्य मॉडलों में ऐसे सेट हो सकते हैं जो रचनात्मक नहीं हैं।

संदर्भ

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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