चतुर्भुज और स्थानिक घूर्णन

इकाई वेक्टर चतुर्भुज, जिसे वर्सर के रूप में जाना जाता है, स्थानिक अभिविन्यास (ज्यामिति) और तीन आयामी अंतरिक्ष में तत्वों के घूर्णन का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक सुविधाजनक गणित संकेतन प्रदान करता है। विशेष रूप से, वे एक मनमाना अक्ष के बारे में अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व | अक्ष-कोण ROTATION के बारे में जानकारी को एन्कोड करते हैं। रोटेशन और ओरिएंटेशन चार का समुदाय का कंप्यूटर चित्रलेख में अनुप्रयोग होता है, कंप्यूटर दृष्टि, रोबोटिक्स, मार्गदर्शन , आणविक गतिशीलता, उड़ान गतिशीलता, उपग्रहों की कक्षीय यांत्रिकी, और बनावट (क्रिस्टलीय) विश्लेषण।

जब रोटेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, तो इकाई चतुर्भुज को रोटेशन चतुर्भुज भी कहा जाता है क्योंकि वे 3 डी रोटेशन समूह का प्रतिनिधित्व करते हैं। जब एक ओरिएंटेशन (ज्यामिति) (एक संदर्भ समन्वय प्रणाली के सापेक्ष घूर्णन) का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, तो उन्हें ओरिएंटेशन चतुर्भुज या रवैया चतुर्भुज कहा जाता है। के एक निश्चित बिंदु के चारों ओर एक स्थानिक घूर्णन $\theta$ एक इकाई अक्ष के बारे में रेडियन $(X,Y,Z)$ यह दर्शाता है कि यूलर अक्ष चतुर्भुज द्वारा दिया गया है $(C,X\,S,Y\,S,Z\,S)$, कहाँ $C=\cos(\theta /2)$ और $S=\sin(\theta /2)$.

रोटेशन मैट्रिक्स की तुलना में, चतुर्भुज अधिक कॉम्पैक्ट, कुशल और संख्यात्मक रूप से स्थिर हैं। यूलर कोणों की तुलना में, उनकी कार्य संरचना सरल होती है। हालाँकि, वे उतने सहज और समझने में आसान नहीं हैं और, उन लोगों के और कोसाइन के आवधिक कार्य के कारण, प्राकृतिक अवधि से सटीक रूप से भिन्न घूर्णन कोणों को समान चतुर्भुज में एन्कोड किया जाएगा और कांति में पुनर्प्राप्त कोण सीमित होंगे $[0,2\pi ]$.

चतुष्कोणों को घूर्णन के रूप में उपयोग करना

एक गोले का 3डी विज़ुअलाइज़ेशन और उसके चारों ओर घूमना an यूलर अक्ष (${\hat {e}}$) के कोण से $\theta$

3-आयामी अंतरिक्ष में, यूलर के घूर्णन प्रमेय के अनुसार, एक निश्चित बिंदु के बारे में एक कठोर शरीर या समन्वय प्रणाली के घूर्णन का कोई भी घूर्णन या अनुक्रम किसी दिए गए कोण द्वारा एकल घूर्णन के बराबर होता है $\theta$ एक निश्चित अक्ष (जिसे यूलर अक्ष कहा जाता है) के बारे में जो निश्चित बिंदु से होकर गुजरती है। यूलर अक्ष को आम तौर पर एक इकाई वेक्टर द्वारा दर्शाया जाता है${\vec {u}}$ (${\hat {e}}$ चित्र में)। इसलिए, तीन आयामों में किसी भी घूर्णन को एक वेक्टर (गणित और भौतिकी) के माध्यम से दर्शाया जा सकता है${\vec {u}}$ और एक कोण $\theta$.

क्वाटरनियंस इसे एन्कोड करने का एक सरल तरीका देते हैं चार वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व, और किसी स्थिति (वेक्टर) पर संबंधित घुमाव को लागू करने (गणना करने) के लिए उपयोग किया जा सकता है (x,y,z), वास्तविक समन्वय स्थान में मूल (गणित) के सापेक्ष एक बिंदु (ज्यामिति) का प्रतिनिधित्व करता है|आर³.

यूक्लिडियन वेक्टर जैसे (2, 3, 4) या (a_x, a_y, a_z) के रूप में पुनः लिखा जा सकता है 2 i + 3 j + 4 k या a_x i + a_y j + a_z k, कहाँ i, j, k तीन कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (पारंपरिक रूप से) का प्रतिनिधित्व करने वाले इकाई वैक्टर हैं x, y, z), और यूक्लिडियन वेक्टर की व्याख्या करके मौलिक चतुर्धातुक इकाइयों के गुणन नियमों का भी पालन करें (a_x, a_y, a_z) शुद्ध चतुर्भुज के सदिश भाग के रूप में (0, a_x, a_y, a_z).

कोण का एक घूर्णन $\theta$ यूनिट वेक्टर द्वारा परिभाषित अक्ष के चारों ओर

${\vec {u}}=(u_{x},u_{y},u_{z})=u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k}$

एक इकाई चतुर्भुज द्वारा संयुग्मन द्वारा दर्शाया जा सकता है q. चतुर्धातुक उत्पाद के बाद से $\ (0+u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )(0+u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )$ -1 देता है, घातीय फ़ंक्शन की टेलर श्रृंखला का उपयोग करके, यूलर के सूत्र के पॉल के मैट्रिक्स का परिणाम होता है:

$\mathbf {q} =e^{{\frac {\theta }{2}}{(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )}}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\sin {\frac {\theta }{2}}=\cos {\frac {\theta }{2}}+\mathbf {u} \sin {\frac {\theta }{2}}$

इसे दिखाया जा सकता है वांछित घुमाव को एक साधारण वेक्टर पर लागू किया जा सकता है $\mathbf {p} =(p_{x},p_{y},p_{z})=p_{x}\mathbf {i} +p_{y}\mathbf {j} +p_{z}\mathbf {k}$ त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, शुद्ध चतुर्भुज का सदिश भाग माना जाता है $\mathbf {p'}$, के Conjugate_element_(field_theory) का मूल्यांकन करकेp′ द्वाराq, द्वारा दिए गए:

$L(\mathbf {p'} ):=\mathbf {q} \mathbf {p'} \mathbf {q} ^{-1}=(0,\mathbf {r} ),$

$\mathbf {r} =(\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}-||\mathbf {u} ||^{2})\mathbf {p} +2(\mathbf {u} .\mathbf {p} )\mathbf {u} +2\cos {\frac {\theta }{2}}(\mathbf {u} \times \mathbf {p} ),$ हैमिल्टन उत्पाद का उपयोग करते हुए, जहां शुद्ध चतुर्भुज का वेक्टर भाग है L(p′) = (0, r_x, r_y, r_z) घूर्णन के बाद बिंदु का नया स्थिति वेक्टर है। एक प्रोग्रामेटिक कार्यान्वयन में, संयुग्मन एक शुद्ध चतुर्भुज का निर्माण करके प्राप्त किया जाता है जिसका वेक्टर भाग होता है p, और फिर चतुर्भुज संयुग्मन का प्रदर्शन करना। परिणामी शुद्ध चतुर्भुज का सदिश भाग वांछित सदिश है r. स्पष्ट रूप से, $L$ चतुर्भुज स्थान का स्वयं में एक रैखिक परिवर्तन प्रदान करता है; भी, तब से $\mathbf {q}$ एकात्मक है, परिवर्तन एक आइसोमेट्री है। भी, $L(\mathbf {q} )=\mathbf {q}$ इसलिए $L$ सदिशों को समानांतर छोड़ता है $\mathbf {q}$ अपरिवर्तनीय. तो, विघटित करके $\mathbf {p}$ वेक्टर भाग के समानांतर एक वेक्टर के रूप में $(u_{x},u_{y},u_{z})\sin {\frac {\theta }{2}}$ का $\mathbf {q}$ और के सदिश भाग के लिए सामान्य एक सदिश $\mathbf {q}$ और दिखा रहा है कि इसका अनुप्रयोग $L$ के सामान्य घटक के लिए $\mathbf {p}$ घुमाता है तो दावा दिखता है. तो चलो $\mathbf {n}$ का घटक हो $\mathbf {p}$ के सदिश भाग के लिए ओर्थोगोनल $\mathbf {q}$ और जाने $\mathbf {n} _{T}=\mathbf {n} \times \mathbf {u}$. यह पता चला है कि का वेक्टर भाग $L(0,\mathbf {n} )$ द्वारा दिया गया है $(\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}})\mathbf {n} +2(\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}})\mathbf {n} _{T}$ $=\cos \theta \mathbf {n} +\sin \theta \mathbf {n} _{T}$.

चतुष्कोणों से स्वतंत्र एक ज्यामितीय तथ्य भौतिक घूर्णन से घूर्णी परिवर्तन मैट्रिक्स तक दो-से-एक मानचित्रण का अस्तित्व है। यदि 0 ⩽ $\theta$ ⩽ $2\pi$, चारों ओर एक भौतिक घूर्णन ${\vec {u}}$ द्वारा $\theta$ और चारों ओर एक भौतिक घूर्णन $-{\vec {u}}$ द्वारा $2\pi -\theta$ दोनों मध्यवर्ती अभिविन्यासों के माध्यम से असंयुक्त पथों द्वारा समान अंतिम अभिविन्यास प्राप्त करते हैं। उन सदिशों और कोणों को सूत्र में सम्मिलित करके q ऊपर, कोई पाता है कि यदि q पहले घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है, -q दूसरे घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है। यह एक ज्यामितीय प्रमाण है कि संयुग्मन द्वारा q और तक −q को समान घूर्णी परिवर्तन मैट्रिक्स का उत्पादन करना चाहिए। इस तथ्य की पुष्टि बीजगणितीय रूप से यह ध्यान देकर की जाती है कि संयुग्मन द्विघात है q, तो का संकेत q रद्द करता है, और परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। (3डी रोटेशन ग्रुप#कनेक्शन_बिटवीन_एसओ(3)_एंड_एसयू(2)|2:1 एसयू(2) से एसओ(3) की मैपिंग देखें) यदि दोनों रोटेशन आधे-मोड़ हैं $(\theta =\pi )$, दोनों q और -q का वास्तविक निर्देशांक शून्य के बराबर होगा। अन्यथा, किसी के पास एक सकारात्मक वास्तविक भाग होगा, जो एक कोण से कम कोण द्वारा घूर्णन का प्रतिनिधित्व करेगा $\pi$, और दूसरे में एक नकारात्मक वास्तविक भाग होगा, जो इससे बड़े कोण द्वारा घूर्णन का प्रतिनिधित्व करेगा $\pi$.

गणितीय रूप से, यह ऑपरेशन सभी शुद्ध चतुर्भुजों के सेट को वहन करता है p (जिनका वास्तविक भाग शून्य के बराबर है) - जो चतुर्भुजों के बीच एक 3-आयामी स्थान का निर्माण करते हैं - अक्ष यू के बारे में वांछित घुमाव द्वारा, कोण θ द्वारा। (प्रत्येक वास्तविक चतुर्भुज को इस ऑपरेशन द्वारा स्वयं में ले जाया जाता है। लेकिन 3-आयामी अंतरिक्ष में घूर्णन के उद्देश्य से, हम वास्तविक चतुर्भुजों को अनदेखा करते हैं।)

यदि हमारी दृष्टि रेखा उसी दिशा में इंगित करती है तो घूर्णन दक्षिणावर्त होता है ${\vec {u}}$.

इस (कौन सा?) उदाहरण में, q एक इकाई चतुर्भुज है और

$\mathbf {q} ^{-1}=e^{-{\frac {\theta }{2}}{(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )}}=\cos {\frac {\theta }{2}}-(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\sin {\frac {\theta }{2}}.$

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो चतुर्भुजों के गुणनफल द्वारा संयुग्मन इन चतुर्भुजों द्वारा संयुग्मनों की संरचना है: यदि p और q इकाई चतुर्भुज हैं, फिर घूर्णन (संयुग्मन) द्वाराpq है

$\mathbf {pq} {\vec {v}}(\mathbf {pq} )^{-1}=\mathbf {pq} {\vec {v}}\mathbf {q} ^{-1}\mathbf {p} ^{-1}=\mathbf {p} (\mathbf {q} {\vec {v}}\mathbf {q} ^{-1})\mathbf {p} ^{-1}$,

जो कि घूमने (संयुग्मित करने) के समान हैq और फिर द्वाराp. परिणाम का अदिश घटक आवश्यक रूप से शून्य है।

चूँकि, किसी घूर्णन का चतुर्भुज व्युत्क्रम, विपरीत घूर्णन है $\mathbf {q} ^{-1}(\mathbf {q} {\vec {v}}\mathbf {q} ^{-1})\mathbf {q} ={\vec {v}}$. चतुर्धातुक घूर्णन का वर्ग एक ही अक्ष के चारों ओर दोगुने कोण का घूर्णन है। आम तौर पर अधिक qⁿ द्वारा एक घूर्णन हैn समान अक्ष के चारों ओर के कोण का गुना q. इसे मनमाने वास्तविक तक बढ़ाया जा सकता है n, स्थानिक झुकावों के बीच सहज अंतर्वेशन की अनुमति देता है; स्लर्प देखें.

दो घूर्णन चतुर्भुजों को संबंध द्वारा एक समकक्ष चतुर्भुज में जोड़ा जा सकता है:

$\mathbf {q} '=\mathbf {q} _{2}\mathbf {q} _{1}$

जिसमें q′ घूर्णन से मेल खाता है q₁ रोटेशन के बाद q₂. इस प्रकार, घुमावों की एक मनमानी संख्या को एक साथ बनाया जा सकता है और फिर एकल घुमाव के रूप में लागू किया जा सकता है। (ध्यान दें कि चतुर्भुज गुणन क्रमविनिमेय नहीं है।)

उदाहरण संयुग्मन संक्रिया

पहले विकर्ण के चारों ओर 120° का घूर्णन क्रमपरिवर्तित होता है i, j, और k चक्रीय रूप से

संयुग्मन p द्वारा q ऑपरेशन को संदर्भित करता है p ↦ qpq⁻¹.

रोटेशन पर विचार करें f अक्ष के चारों ओर ${\vec {v}}=\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k}$, 120° के घूर्णन कोण के साथ, या 2π/3 रेडियंस.

$\alpha ={\frac {2\pi }{3}}$

p ↦ q p के लिए q = 1 + i + j + k/2 इकाई 3-गोले पर। इस एकतरफ़ा (अर्थात् बाएँ और दाएँ (बीजगणित)) गुणन पर ध्यान दें, चतुर्भुजों का 60° घूर्णन प्राप्त होता है

इसकी लंबाई ${\vec {v}}$ है √3, आधा कोण है π/3 (60°) कोज्या के साथ 1/2, (cos  60° = 0.5) और साइन √3/2, (sin  60° ≈ 0.866). इसलिए हम इकाई चतुर्भुज द्वारा संयुग्मन से निपट रहे हैं

${\begin{aligned}u&=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\cdot {\frac {1}{\|{\vec {v}}\|}}{\vec {v}}\\&=\cos {\frac {\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} }{\sqrt {3}}}\\&={\frac {1+\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} }{2}}\end{aligned}}$

अगर f रोटेशन फ़ंक्शन है,

$f(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} )=u(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} )u^{-1}$

यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक इकाई चतुर्भुज का व्युत्क्रम केवल उसके काल्पनिक घटकों के योगात्मक व्युत्क्रम द्वारा प्राप्त किया जाता है। एक परिणाम के रूप में,

$u^{-1}={\dfrac {1-\mathbf {i} -\mathbf {j} -\mathbf {k} }{2}}$

और

$f(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} )={\dfrac {1+\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} }{2}}(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} ){\dfrac {1-\mathbf {i} -\mathbf {j} -\mathbf {k} }{2}}$

चतुर्धातुक अंकगणित के सामान्य नियमों का उपयोग करके इसे सरल बनाया जा सकता है

$f(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} )=c\mathbf {i} +a\mathbf {j} +b\mathbf {k}$

जैसा कि अपेक्षित था, घूर्णन एक घन को एक बिंदु पर स्थिर रखने और उसे निश्चित बिंदु के माध्यम से लंबे विकर्ण के बारे में 120° घुमाने से मेल खाता है (देखें कि तीन अक्ष चक्रीय क्रमपरिवर्तन कैसे हैं)।

चतुर्भुज-व्युत्पन्न रोटेशन मैट्रिक्स

एक चतुर्भुज घूर्णन $\mathbf {p'} =\mathbf {q} \mathbf {p} \mathbf {q} ^{-1}$ (साथ $\mathbf {q} =q_{r}+q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k}$) को रोटेशन मैट्रिक्स#क्वाटरनियन में बीजगणितीय रूप से हेरफेर किया जा सकता है $\mathbf {p'} =\mathbf {Rp}$, कहाँ $\mathbf {R}$ रोटेशन मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है:

$\mathbf {R} ={\begin{bmatrix}1-2s(q_{j}^{2}+q_{k}^{2})&2s(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r})&2s(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r})\\2s(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r})&1-2s(q_{i}^{2}+q_{k}^{2})&2s(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r})\\2s(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r})&2s(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r})&1-2s(q_{i}^{2}+q_{j}^{2})\end{bmatrix}}$

यहाँ $s=\|q\|^{-2}$ और अगर q एक इकाई चतुर्भुज है, $s=1^{-2}=1$.

यदि हम व्यक्त करें तो इसे वेक्टर कैलकुलस और रैखिक बीजगणित का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है $\mathbf {p}$ और $\mathbf {q}$ क्वाटरनियन#स्केलर और वेक्टर भागों के रूप में और समीकरण में गुणन संक्रिया के लिए सूत्र का उपयोग करें $\mathbf {p'} =\mathbf {q} \mathbf {p} \mathbf {q} ^{-1}$. अगर हम लिखते हैं $\mathbf {p}$ जैसा $\left(0,\ \mathbf {p} \right)$, $\mathbf {p} '$ जैसा $\left(0,\ \mathbf {p} '\right)$ और $\mathbf {q}$ जैसा $\left(q_{r},\ \mathbf {v} \right)$, कहाँ $\mathbf {v} =\left(q_{i},q_{j},q_{k}\right)$, हमारा समीकरण बदल जाता है $\left(0,\ \mathbf {p} '\right)=\left(q_{r},\ \mathbf {v} \right)\left(0,\ \mathbf {p} \right)s\left(q_{r},\ -\mathbf {v} \right)$. दो चतुर्भुजों के गुणन के लिए सूत्र का उपयोग करके, जिन्हें अदिश और सदिश भागों के रूप में व्यक्त किया जाता है,

$\left(r_{1},\ {\vec {v}}_{1}\right)\left(r_{2},\ {\vec {v}}_{2}\right)=\left(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\ r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2}\right),$

इस समीकरण को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है

कहाँ $\otimes$ बाहरी उत्पाद को दर्शाता है, $\mathbf {I}$ पहचान मैट्रिक्स है और $[\mathbf {v} ]_{\times }$ परिवर्तन मैट्रिक्स है कि जब एक वेक्टर के साथ दाईं ओर से गुणा किया जाता है $\mathbf {u}$ क्रॉस उत्पाद#मैट्रिक्स गुणन में रूपांतरण देता है $\mathbf {v} \times \mathbf {u}$.

तब से $\mathbf {p} '=\mathbf {R} \mathbf {p}$, हम पहचान सकते हैं $\mathbf {R}$ जैसा $s\left(\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} +q_{r}^{2}\mathbf {I} +2q_{r}[\mathbf {v} ]_{\times }+[\mathbf {v} ]_{\times }^{2}\right)$, जिसके विस्तार पर उपरोक्त मैट्रिक्स रूप में लिखी गई अभिव्यक्ति का परिणाम होना चाहिए।

अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व पुनर्प्राप्त करना

इजहार $\mathbf {q} \mathbf {p} \mathbf {q} ^{-1}$ किसी भी सदिश चतुर्भुज को घुमाता है $\mathbf {p}$ वेक्टर द्वारा दी गई धुरी के चारों ओर $\mathbf {a}$ कोण से $\theta$, कहाँ $\mathbf {a}$ और $\theta$ चतुर्भुज पर निर्भर करता है $\mathbf {q} =q_{r}+q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k}$.

$\mathbf {a}$ और $\theta$ निम्नलिखित समीकरणों से पाया जा सकता है:

${\begin{aligned}(a_{x},a_{y},a_{z})={}&{\frac {(q_{i},q_{j},q_{k})}{\sqrt {q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}}}}\\[2pt]\theta =2\operatorname {atan2} &\left({\sqrt {q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}}},\,q_{r}\right),\end{aligned}}$

कहाँ $\operatorname {atan2}$ atan2|दो-तर्क स्पर्शरेखा है।

जब चतुर्भुज एक अदिश चतुर्भुज के पास पहुंचता है तो सावधानी बरतनी चाहिए, क्योंकि अध:पतन (गणित) के कारण पहचान रोटेशन की धुरी अच्छी तरह से परिभाषित नहीं होती है।

स्थानिक घुमावों की संरचना

दो घूर्णन आर की संरचना के चतुर्भुज सूत्रीकरण का एक लाभ_B और आर_A बात यह है कि यह सीधे घूर्णन की धुरी और समग्र घूर्णन के कोण R को प्राप्त करता है_C = आर_BR_A.

मान लीजिए कि स्थानिक घूर्णन आर से जुड़े चतुर्भुज का निर्माण इसके घूर्णन अक्ष 'एस' से घूर्णन कोण के साथ किया गया है $\varphi$ इस धुरी के चारों ओर. संबंधित चतुर्भुज द्वारा दिया गया है

$$S=\cos {\frac {\varphi }{2}}+\mathbf {S} \sin {\frac {\varphi }{2}}.$$

फिर घूर्णन की संरचना आर_B आर के साथ_A घूर्णन R है_C = आर_BR_A चतुष्कोणों के गुणनफल द्वारा परिभाषित घूर्णन अक्ष और कोण के साथ

$$A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {A} \sin {\frac {\alpha }{2}}\quad {\text{and}}\quad B=\cos {\frac {\beta }{2}}+\mathbf {B} \sin {\frac {\beta }{2}},$$

वह है

$$C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\mathbf {C} \sin {\frac {\gamma }{2}}=\left(\cos {\frac {\beta }{2}}+\mathbf {B} \sin {\frac {\beta }{2}}\right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {A} \sin {\frac {\alpha }{2}}\right).$$

प्राप्त करने के लिए इस उत्पाद का विस्तार करें

$$\cos {\frac {\gamma }{2}}+\mathbf {C} \sin {\frac {\gamma }{2}}=\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)+\left(\mathbf {B} \sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {A} \sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}+\mathbf {B} \times \mathbf {A} \sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right).$$

इस समीकरण के दोनों पक्षों को पहचान से विभाजित करें, जो कोसाइन का गोलाकार नियम है,

$$\cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}},$$

और गणना करें

$$\mathbf {C} \tan {\frac {\gamma }{2}}={\frac {\mathbf {B} \tan {\frac {\beta }{2}}+\mathbf {A} \tan {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {B} \times \mathbf {A} \tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}}}.$$

यह दो घूर्णनों की अक्षों के संदर्भ में परिभाषित मिश्रित घूर्णन की धुरी के लिए रोड्रिग्स का सूत्र है। उन्होंने यह सूत्र 1840 में निकाला (देखें पृष्ठ 408)। तीन घूर्णन अक्ष A, B, और C एक गोलाकार त्रिभुज बनाते हैं और इस त्रिभुज की भुजाओं द्वारा निर्मित तलों के बीच के विकर्ण कोणों को घूर्णन कोणों द्वारा परिभाषित किया जाता है। हैमिल्टन इन समीकरणों के घटक रूप को प्रस्तुत करते हुए दिखाया गया है कि चतुर्धातुक उत्पाद दो दिए गए शीर्षों और उनकी संबंधित चाप-लंबाई से एक गोलाकार त्रिभुज के तीसरे शीर्ष की गणना करता है, जो अण्डाकार ज्यामिति में बिंदुओं के लिए बीजगणित को भी परिभाषित करता है।

अक्ष-कोण रचना

सामान्यीकृत घूर्णन अक्ष, को हटाते हुए ${\textstyle \cos {\frac {\gamma }{2}}}$ विस्तारित उत्पाद से, वेक्टर निकलता है जो घूर्णन अक्ष है, कुछ स्थिरांक का समय। जब अक्ष वेक्टर को सामान्य किया जाए तो सावधानी बरतनी चाहिए $\gamma$ है $0$ या $k2\pi$ जहां वेक्टर निकट है $0$; जो कि पहचान है, या किसी अक्ष के चारों ओर 0 घूर्णन है।

$${\begin{aligned}\gamma &=2\cos ^{-1}\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)\\\mathbf {D} &=\mathbf {B} \sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {A} \sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}+\mathbf {B} \times \mathbf {A} \sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\end{aligned}}$$

या कोण जोड़ त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन के साथ...

$${\begin{aligned}\gamma &=2\cos ^{-1}\left(\left(1-\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}+\left(1+\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\right)\\\mathbf {D} &=\left(\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)\mathbf {A} +\left(\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)\mathbf {B} +\left(\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\right)\mathbf {B} \times \mathbf {A} \end{aligned}}$$

अंततः घूर्णन अक्ष को सामान्य बनाना: ${\textstyle {\frac {\mathbf {D} }{2\sin {\frac {1}{2}}\gamma }}}$ या ${\textstyle {\frac {\mathbf {D} }{\|\mathbf {D} \|}}}$.

घूर्णन चतुर्भुज के संबंध में विभेदन

घुमाया हुआ चतुर्भुज p' = q p q⁻¹ को घूर्णन चतुर्भुज के संबंध में विभेदित करने की आवश्यकता है q, जब संख्यात्मक अनुकूलन से रोटेशन का अनुमान लगाया जाता है। 3डी ऑब्जेक्ट पंजीकरण या कैमरा अंशांकन में रोटेशन कोण का अनुमान एक आवश्यक प्रक्रिया है। एकात्मक के लिए q और शुद्ध काल्पनिक p, जो कि 3डी अंतरिक्ष में घूर्णन के लिए है, घुमाए गए चतुर्भुज के व्युत्पन्न को मैट्रिक्स कैलकुलस नोटेशन का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial \mathbf {q} }}\equiv \left[{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial q_{0}}},{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial q_{x}}},{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial q_{y}}},{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial q_{z}}}\right]=\left[\mathbf {pq} -(\mathbf {pq} )^{*},(\mathbf {pqi} )^{*}-\mathbf {pqi} ,(\mathbf {pqj} )^{*}-\mathbf {pqj} ,(\mathbf {pqk} )^{*}-\mathbf {pqk} \right].\end{aligned}}$

में एक व्युत्पत्ति पाई जा सकती है।

पृष्ठभूमि

चतुर्भुज

Main article: Quaternions

जटिल संख्याओं को एक अमूर्त प्रतीक प्रस्तुत करके परिभाषित किया जा सकता है i जो बीजगणित के सामान्य नियमों और अतिरिक्त नियम को संतुष्ट करता है i² = −1. यह सम्मिश्र संख्या अंकगणित के सभी नियमों को पुन: प्रस्तुत करने के लिए पर्याप्त है: उदाहरण के लिए:

$(a+b\mathbf {i} )(c+d\mathbf {i} )=ac+ad\mathbf {i} +b\mathbf {i} c+b\mathbf {i} d\mathbf {i} =ac+ad\mathbf {i} +bc\mathbf {i} +bd\mathbf {i} ^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)\mathbf {i} .$

उसी प्रकार चतुर्भुज को अमूर्त प्रतीकों का परिचय देकर परिभाषित किया जा सकता है i, j, k जो नियमों को पूरा करते हैं i² = j² = k² = i j k = −1 और गुणन के क्रमविनिमेय नियम को छोड़कर सामान्य बीजगणितीय नियम (ऐसे गैरअनुक्रमिक गुणन का एक परिचित उदाहरण मैट्रिक्स गुणन है)। इससे चतुर्भुज अंकगणित के सभी नियम अनुसरण करते हैं, जैसे चतुर्भुज#आधार तत्वों का गुणन। इन नियमों का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि:

${\begin{aligned}&(a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} )(e+f\mathbf {i} +g\mathbf {j} +h\mathbf {k} )=\\&(ae-bf-cg-dh)+(af+be+ch-dg)\mathbf {i} +(ag-bh+ce+df)\mathbf {j} +(ah+bg-cf+de)\mathbf {k} .\end{aligned}}$

काल्पनिक भाग $b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}$ एक चतुर्भुज का व्यवहार एक वेक्टर की तरह होता है ${\vec {v}}=(b,c,d)$ त्रि-आयामी सदिश स्थल और वास्तविक भाग में a में एक अदिश (गणित) की तरह व्यवहार करता है R. जब ज्यामिति में चतुर्भुज का उपयोग किया जाता है, तो उन्हें शास्त्रीय हैमिल्टनियन चतुर्भुज#क्वाटरनियन के रूप में परिभाषित करना अधिक सुविधाजनक होता है:

$a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =a+{\vec {v}}.$

कुछ लोगों को एक वेक्टर में एक संख्या जोड़ना अजीब लग सकता है, क्योंकि वे बहुत अलग प्रकृति की वस्तुएं हैं, या दो वैक्टर को एक साथ गुणा करना, क्योंकि यह ऑपरेशन आमतौर पर अपरिभाषित होता है। हालाँकि, अगर कोई याद रखता है कि यह चतुर्भुज के वास्तविक और काल्पनिक भागों के लिए एक मात्र संकेतन है, तो यह अधिक वैध हो जाता है। दूसरे शब्दों में, सही तर्क दो चतुर्भुजों का योग है, एक शून्य वेक्टर/काल्पनिक भाग के साथ, और दूसरा शून्य अदिश/वास्तविक भाग के साथ:

$q_{1}=s+{\vec {v}}=\left(s,{\vec {0}}\right)+\left(0,{\vec {v}}\right).$

हम चतुर्धातुक गुणन को वेक्टर क्रॉस उत्पाद और डॉट उत्पादों की आधुनिक भाषा में व्यक्त कर सकते हैं (जो वास्तव में पहले स्थान पर चतुर्भुज से प्रेरित थे)). सदिश/काल्पनिक भागों को गुणा करते समय, नियमों के स्थान पर i² = j² = k² = ijk = −1 हमारे पास चतुर्भुज गुणन नियम है:

${\vec {v}}{\vec {w}}=-{\vec {v}}\cdot {\vec {w}}+{\vec {v}}\times {\vec {w}},$

कहाँ:

• ${\vec {v}}{\vec {w}}$ परिणामी चतुर्भुज है,
• ${\vec {v}}\times {\vec {w}}$ वेक्टर क्रॉस उत्पाद (एक वेक्टर) है,
• ${\vec {v}}\cdot {\vec {w}}$ सदिश अदिश गुणनफल (एक अदिश राशि) है।

क्वाटरनियन गुणन गैर-अनुवांशिक गुणन है (क्रॉस उत्पाद के कारण, जो प्रतिविनिमय गुण | एंटी-कम्यूट होता है), जबकि स्केलर-स्केलर और स्केलर-वेक्टर गुणन कम्यूट होता है। इन नियमों से तुरंत यह पता चलता है कि (क्वाटरनियंस#क्वाटरनियंस और R3 की ज्यामिति):

$q_{1}q_{2}=\left(s+{\vec {v}}\right)\left(t+{\vec {w}}\right)=\left(st-{\vec {v}}\cdot {\vec {w}}\right)+\left(s{\vec {w}}+t{\vec {v}}+{\vec {v}}\times {\vec {w}}\right).$

एक गैर-शून्य चतुर्भुज का (बाएं और दाएं) गुणात्मक व्युत्क्रम या व्युत्क्रम संयुग्म-से-मानक अनुपात (चतुर्भुज#संयुग्मन, मानक और व्युत्क्रम) द्वारा दिया जाता है:

$q_{1}^{-1}=\left(s+{\vec {v}}\right)^{-1}={\frac {\left(s+{\vec {v}}\right)^{*}}{\lVert s+{\vec {v}}\rVert ^{2}}}={\frac {s-{\vec {v}}}{s^{2}+\lVert {\vec {v}}\rVert ^{2}}},$

जैसा कि प्रत्यक्ष गणना द्वारा सत्यापित किया जा सकता है (गुणात्मक व्युत्क्रम#जटिल संख्याओं की समानता पर ध्यान दें)।

रोटेशन पहचान

Main article: Rodrigues' rotation formula

होने देना ${\vec {u}}$ एक इकाई वेक्टर (रोटेशन अक्ष) बनें और चलो $q=\cos {\frac {\alpha }{2}}+{\vec {u}}\sin {\frac {\alpha }{2}}$. हमारा लक्ष्य यह दिखाना है

${\vec {v}}'=q{\vec {v}}q^{-1}=\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+{\vec {u}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)\,{\vec {v}}\,\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}-{\vec {u}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)$

वेक्टर उत्पन्न करता है ${\vec {v}}$ एक कोण से घुमाया गया $\alpha$ धुरी के चारों ओर ${\vec {u}}$. विस्तार करना (और इसे ध्यान में रखते हुए ${\vec {u}}{\vec {v}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$), हमारे पास है

${\vec {v}}_{\bot }$