चरघातांकी बंटन

Not to be confused with संभाव्यता वितरण का घातीय परिवार.

Exponential

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	$\lambda >0,$ rate, or inverse scale
Support	$x\in [0,\infty )$
PDF	$\lambda e^{-\lambda x}$
CDF	$1-e^{-\lambda x}$
Quantile	$-{\frac {\ln(1-p)}{\lambda }}$
Mean	${\frac {1}{\lambda }}$
Median	${\frac {\ln 2}{\lambda }}$
Mode	$0$
Variance	${\frac {1}{\lambda ^{2}}}$
Skewness	$2$
Ex. kurtosis	$6$
Entropy	$1-\ln \lambda$
MGF	${\frac {\lambda }{\lambda -t}},{\text{ for }}t<\lambda$
CF	${\frac {\lambda }{\lambda -it}}$
Fisher information	${\frac {1}{\lambda ^{2}}}$
Kullback-Leibler divergence	$\ln {\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1$

प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, चरघातांकी बंटन या नकारात्मक चरघातांकी बंटन एक प्वासों बिंदु प्रक्रिया में घटनाओं के बीच समय का संभाव्यता बंटन है, अर्थात, एक प्रक्रिया जिसमें घटनाएं लगातार और स्वतंत्र रूप से एक स्थिर औसत दर पर होती हैं। यह गामा बंटन का एक विशेष मामला है। यह ज्यामितीय बंटन का निरंतर अनुरूप है, और इसमें स्मृतिहीन होने का प्रमुख गुण है। पॉइसन बिंदु प्रक्रियाओं के विश्लेषण के लिए उपयोग किए जाने के अतिरिक्त यह विभिन्न अन्य संदर्भों में पाया जाता है।

घातीय बंटन बंटन के चरघातांकी परिवार के वर्ग के समान नहीं है। यह संभाव्यता बंटन का एक बड़ा वर्ग है जिसमें इसके सदस्यों में से एक के रूप में चरघातांकी बंटन सम्मलित है, लेकिन इसमें कई अन्य बंटन भी सम्मलित हैं, जैसे सामान्य बंटन, द्विपद बंटन, गामा बंटन और पॉइसन बंटन।

परिभाषाएँ

संभाव्यता घनत्व फलन

एक चरघातांकी बंटन का प्रायिकता घनत्व फलन (pdf) है

$f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

यहाँ λ > 0 बंटन का मापदंड है, जिसे अधिकांशत: वेग मापदंड कहा जाता है। बंटन अंतराल पर समर्थित है[0, ∞). यदि एक यादृच्छिक चर X का यह बंटन है, तो हम लिखते हैंX ~ Exp(λ).

चरघातांकी बंटन अनंत विभाज्यता (संभावना) प्रदर्शित करता है।

संचयी बंटन फलन

संचयी बंटन फलन द्वारा दिया गया है

$F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

वैकल्पिक प्राचलीकरण

मापनी प्राचल के संदर्भ में चरघातांकी बंटन को कभी-कभी प्राचलीकरण किया जाता है β = 1/λ, जो माध्य भी है:

$$f(x;\beta )={\begin{cases}{\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}\qquad \qquad F(x;\beta )={\begin{cases}1-e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$$

गुण

माध्य, प्रसरण, चरण और माध्यिका

माध्य संभाव्यता जन केंद्र है, अर्थात पहला चरण।

माध्यिका preimage F है⁻¹(1/2).

वेग मापदंड λ के साथ एक घातीय रूप से वितरित यादृच्छिक चर X का माध्य या अपेक्षित मान इसके द्वारा दिया गया है

$$\operatorname {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}.$$

नीचे दिए गए उदाहरणों के आलोक में, यह समझ में आता है: यदि आप 2 प्रति घंटे की औसत दर से फोन कॉल प्राप्त करते हैं, तो आप प्रत्येक कॉल के लिए आधा घंटा प्रतीक्षा करने की अपेक्षा कर सकते हैं। X का प्रसरण किसके द्वारा दिया गया है

$$\operatorname {Var} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}},$$

इसलिए मानक विचलन माध्य के बराबर है।

X का चरण (गणित), के लिए $n\in \mathbb {N}$ द्वारा दिए गए हैं

$$\operatorname {E} \left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}.$$

X के केंद्रीय चरण, के लिए $n\in \mathbb {N}$ द्वारा दिए गए हैं

$$\mu _{n}={\frac {!n}{\lambda ^{n}}}={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.$$

जहाँ !n, n का विचलन है

X की माध्यिका द्वारा दिया गया है

$$\operatorname {m} [X]={\frac {\ln(2)}{\lambda }}<\operatorname {E} [X],$$

जहाँ ln प्राकृतिक लघुगणक को संदर्भित करता है। इस प्रकार माध्य और माध्यिका के बीच पूर्ण अंतर है

$$\left|\operatorname {E} \left[X\right]-\operatorname {m} \left[X\right]\right|={\frac {1-\ln(2)}{\lambda }}<{\frac {1}{\lambda }}=\operatorname {\sigma } [X],$$

चेबिशेव की असमानता के अनुसार#एक अनुप्रयोग: माध्य और माध्यिका के बीच की दूरी है।

चरघातांकी यादृच्छिक चर की मेमोरीलेसनेस गुण

एक घातीय रूप से वितरित यादृच्छिक चर T संबंध का पालन करता है

$$\Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)=\Pr(T>t),\qquad \forall s,t\geq 0.$$

इसे संचयी बंटन फलन#पूरक संचयी बंटन फलन (पूंछ बंटन) पर विचार करके देखा जा सकता है:

$${\begin{aligned}\Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)&={\frac {\Pr \left(T>s+t\cap T>s\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {\Pr \left(T>s+t\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}}\\[4pt]&=e^{-\lambda t}\\[4pt]&=\Pr(T>t).\end{aligned}}$$

जब T की व्याख्या किसी प्रारंभिक समय के सापेक्ष किसी घटना के घटित होने के लिए प्रतीक्षा समय के रूप में की जाती है, तो इस संबंध का तात्पर्य है कि, यदि T को समय की कुछ प्रारंभिक अवधि में घटना का निरीचरण करने में विफलता पर प्रतिबंधित किया जाता है, तो शेष प्रतीक्षा समय का बंटन मूल बिना शर्त बंटन के समान है। उदाहरण के लिए, यदि कोई घटना 30 सेकंड के बाद नहीं हुई है, तो सशर्त संभावना है कि घटित होने में कम से कम 10 सेकंड लगेंगे, प्रारंभिक समय के बाद 10 सेकंड से अधिक की घटना को देखने की बिना शर्त संभावना के बराबर है।

चरघातांकी बंटन और ज्यामितीय बंटन मेमोरीलेसनेस हैं।

चरघातांकी बंटन अनिवार्य रूप से एकमात्र निरंतर संभाव्यता बंटन भी है जिसकी निरंतर विफलता दर है।

चतुर्थक

विसंगतियों के लिए तुकी मानदंड।

Exp(λ) के लिए चतुर्थक फलन (व्युत्क्रम संचयी बंटन फलन) है

$$F^{-1}(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\qquad 0\leq p<1$$

चतुर्थक इसलिए हैं:

• पहला चतुर्थक: ln(4/3)/λ
• माध्यिका: ln(2)/λ
• तीसरी चतुर्थक: ln(4)/λ

और परिणामस्वरूप अंतःचतुर्थक श्रेणी ln(3)/λ है।

जोखिम पर सशर्त मान (अपेक्षित कमी)

जोखिम पर सशर्त मान (CVaR) जिसे Exp (λ) के लिए अपेक्षित कमी या सुपरचतुर्थक के रूप में भी जाना जाता है, निम्नानुसार प्राप्त किया गया है:

$${\begin{aligned}{\bar {q}}_{\alpha }(X)&={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}q_{p}(X)dp\\&={\frac {1}{(1-\alpha )}}\int _{\alpha }^{1}{\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}dp\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{1-\alpha }^{0}-\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{0}^{1-\alpha }\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}[(1-\alpha )\ln(1-\alpha )-(1-\alpha )]\\&={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}\\\end{aligned}}$$

अधिकता की बफर्ड संभावना (बीपीओई)

अधिकता की बफ़र्ड प्रायिकता उस प्रायिकता स्तर को घटाकर एक है जिस पर CVaR थ्रेशोल्ड के बराबर है $x$. इसे निम्न प्रकार से निकाला जाता है:

$${\begin{aligned}{\bar {p}}_{x}(X)&=\{1-\alpha |{\bar {q}}_{\alpha }(X)=x\}\\&=\{1-\alpha |{\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}=x\}\\&=\{1-\alpha |\ln(1-\alpha )=1-\lambda x\}\\&=\{1-\alpha |e^{\ln(1-\alpha )}=e^{1-\lambda x}\}=\{1-\alpha |1-\alpha =e^{1-\lambda x}\}=e^{1-\lambda x}\end{aligned}}$$

कुलबैक-लीब्लर विचलन

निर्देशित कुल्बैक-लीब्लर विचलन इन नेट (यूनिट)। $e^{\lambda }$ (अनुमानित बंटन) से $e^{\lambda _{0}}$ ('true' बंटन) द्वारा दिया जाता है

$${\begin{aligned}\Delta (\lambda _{0}\parallel \lambda )&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {p_{\lambda _{0}}(x)}{p_{\lambda }(x)}}\right)\\&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {\lambda _{0}e^{\lambda _{0}x}}{\lambda e^{\lambda x}}}\right)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )-(\lambda _{0}-\lambda )E_{\lambda _{0}}(x)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1.\end{aligned}}$$

अधिकतम एन्ट्रापी बंटन

समर्थन (गणित) के साथ सभी निरंतर संभाव्यता बंटन के बीच # संभाव्यता और माप सिद्धांत में [0, ∞) और μ, λ = 1/μ के साथ चरघातांकी बंटन में सबसे बड़ा अंतर एंट्रॉपी है। दूसरे शब्दों में, यह एक यादृच्छिक चर X के लिए अधिकतम एन्ट्रापी प्रायिकता बंटन है जो शून्य से अधिक या उसके बराबर है और जिसके लिए E[X] निश्चित है।

न्यूनतम घातीय यादृच्छिक चर का बंटन

माना X₁, …, X_n दर मापदंडों λ के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर घातीय रूप से वितरित यादृच्छिक चर λ₁, …, λ_n है तब

$$\min \left\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\right\}$$

मापदंड के साथ घातीय रूप से वितरित भी किया जाता है

$$\lambda =\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}.$$

इसे संचयी बंटन फलन#पूरक संचयी बंटन फलन (पूंछ बंटन) पर विचार करके देखा जा सकता है:

$${\begin{aligned}&\Pr \left(\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}>x\right)\\={}&\Pr \left(X_{1}>x,\dotsc ,X_{n}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\Pr \left(X_{i}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\exp \left(-x\lambda _{i}\right)=\exp \left(-x\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).\end{aligned}}$$

न्यूनतम प्राप्त करने वाले चर का सूचकांक श्रेणीबद्ध बंटन के अनुसार वितरित किया जाता है

$$\Pr \left(X_{k}=\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}\right)={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.$$

अनुमति देकर एक प्रमाण देखा जा सकता है $I=\operatorname {argmin} _{i\in \{1,\dotsb ,n\}}\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}$. तब,

$${\begin{aligned}\Pr(I=k)&=\int _{0}^{\infty }\Pr(X_{k}=x)\Pr(\forall _{i\neq k}X_{i}>x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\lambda _{k}e^{-\lambda _{k}x}\left(\prod _{i=1,i\neq k}^{n}e^{-\lambda _{i}x}\right)dx\\&=\lambda _{k}\int _{0}^{\infty }e^{-\left(\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}\right)x}dx\\&={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.\end{aligned}}$$

ध्यान दें कि

$$\max\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}$$

चरघातांकी रूप से वितरित नहीं होता है, यदि X₁, …, X_n सभी के पास मापदंड 0 नहीं है।

आई.आई.डी. के संयुक्त चरण घातीय आदेश आँकड़े

माना $X_{1},\dotsc ,X_{n}$ $n$ वेग मापदंड λ के साथ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर चरघातांकी यादृच्छिक चर है। माना $X_{(1)},\dotsc ,X_{(n)}$ इसी क्रम के आँकड़ों को निरूपित करने के लिए $i<j$ , संयुक्त चरण $\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]$ आदेश के आँकड़ों के $X_{(i)}$ और $X_{(j)}$ द्वारा दिया गया है

$${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right]\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}+\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{((n-k)\lambda )^{2}}}+\left(\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\right)^{2}.\end{aligned}}$$

यह कुल अपेक्षा के नियम और स्मृतिहीन गुण को लागू करके देखा जा सकता है:

$${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\mid X_{(i)}=x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\textrm {since}}~X_{(i)}=x\implies X_{(j)}\geq x\right)\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\left[\operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\text{by the memoryless property}}\right)\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right].\end{aligned}}$$

पहला समीकरण पूर्ण अपेक्षा के नियम का अनुसरण करता है। दूसरा समीकरण इस तथ्य की पड़ताल करता है कि एक बार हम पर स्थिति $X_{(i)}=x$, उसका पालन करना चाहिए $X_{(j)}\geq x$. तीसरा समीकरण बदलने के लिए स्मृतिहीन गुण पर निर्भर करता है $\operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]$ साथ $\operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x$.

दो स्वतंत्र घातीय यादृच्छिक चर का योग

दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का संभाव्यता बंटन फलन (पीडीएफ) प्रायिकता बंटनों का संवलन है। यदि $X_{1}$ और $X_{2}$ संबंधित दर मापदंडों के साथ स्वतंत्र घातीय यादृच्छिक चर हैं $\lambda _{1}$ और $\lambda _{2},$ फिर की संभावना घनत्व $Z=X_{1}+X_{2}$ द्वारा दिया गया है

$${\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X_{1}}(x_{1})f_{X_{2}}(z-x_{1})\,dx_{1}\\&=\int _{0}^{z}\lambda _{1}e^{-\lambda _{1}x_{1}}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}(z-x_{1})}\,dx_{1}\\&=\lambda _{1}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}z}\int _{0}^{z}e^{(\lambda _{2}-\lambda _{1})x_{1}}\,dx_{1}\\&={\begin{cases}{\dfrac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\left(e^{-\lambda _{1}z}-e^{-\lambda _{2}z}\right)&{\text{ if }}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}\\[4pt]\lambda ^{2}ze^{-\lambda z}&{\text{ if }}\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda .\end{cases}}\end{aligned}}$$

इस बंटन की एन्ट्रॉपी बंद रूप में उपलब्ध है: मानते हुए $\lambda _{1}>\lambda _{2}$ (सामान्यता के नुकसान के बिना), फिर

$${\begin{aligned}H(Z)&=1+\gamma +\ln \left({\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)+\psi \left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}\right),\end{aligned}}$$

जहाँ $\gamma$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है, और $\psi (\cdot )$ डिगामा फलन है। समान दर मापदंडों के मामले में, परिणाम आकार 2 और मापदंड के साथ एक एरलांग बंटन है $\lambda ,$ जो बदले में गामा बंटन का एक विशेष मामला है।

संबंधित बंटन

• यदि X ~ लाप्लास(m, b⁻¹), फिर |X − μ| ~ Exp(β).
• यदि X ~ पैरेटो (1, λ), तो log(X) ~ Exp(λ).
• यदि X ~ स्केव लॉजिस्टिक(θ), तो $\log \left(1+e^{-X}\right)\sim \operatorname {Exp} (\theta )$.
• यदि X_i~ U(0, 1) फिर
  $$\lim _{n\to \infty }n\min \left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)\sim \operatorname {Exp} (1)$$
• चरघातांकी बंटन स्केल्ड बीटा बंटन की एक सीमा है:
  $$\lim _{n\to \infty }n\operatorname {Beta} (1,n)=\operatorname {Exp} (1).$$
• घातीय बंटन टाइप 3 पियर्सन बंटन का एक विशेष मामला है।
• यदि X ~ Exp (λ) और X_i ~ Exp (न्यूनतम_i) तब:
  • $kX\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {\lambda }{k}}\right)$, एक सकारात्मक कारक द्वारा स्केलिंग के अनुसार बंद होना है।
  • 1 + X ~ बेंकटैंडर वेइबुल बंटन (λ, 1), जो एक छोटा घातांक बंटन को कम करता है।
  • ke^X ~ परेटो(k, λ).
    • e^−X ~ बीटा(λ, 1)
      • 1/ke^X ~ PowerLaw(k, λ)
  • ${\sqrt {X}}\sim \operatorname {Rayleigh} \left({\frac {1}{\sqrt {2\lambda }}}\right)$, रेले बंटन
  • $X\sim \operatorname {Weibull} \left({\frac {1}{\lambda }},1\right)$, वीबुल बंटन
  • $X^{2}\sim \operatorname {Weibull} \left({\frac {1}{\lambda ^{2}}},{\frac {1}{2}}\right)$
  • μ − β log(λX) ∼ गंबेल(μ, β).
  • $\lfloor X\rfloor \sim \operatorname {Geometric} \left(1-e^{-\lambda }\right)$, 0,1,2,3 पर एक ज्यामितीय बंटन,...
  • $\lceil X\rceil \sim \operatorname {Geometric} \left(1-e^{-\lambda }\right)$, 1,2,3,4 पर एक ज्यामितीय बंटन,...
  • यदि भी Y ~ इरलांग(n, λ) या$Y\sim \Gamma \left(n,{\frac {1}{\lambda }}\right)$ तब ${\frac {X}{Y}}+1\sim \operatorname {Pareto} (1,n)$
  • यदि भी λ ~ गामा बंटन (के, θ) (आकार, स्केल पैरामीट्रिसेशन) तो X का सीमांत बंटन लोमैक्स बंटन (के, 1/θ) है, गामा यौगिक बंटन
  • λ₁X₁ − λ₂Y₂ ~लाप्लास(0, 1).
  • min {X₁, ..., X_n} ~ Exp (λ₁ + ... + λ_n).
  • यदि λ_i = λ हो तब:
    • $X_{1}+\cdots +X_{k}=\sum _{i}X_{i}\sim$ एरलांग बंटन (k, λ) = गामा बंटन (k, λ⁻¹) = गामा(k, λ) (in (k, θ) और (α, β) प्राचलीकरण, क्रमशः) एक पूर्णांक आकार मापदंड k के साथ है।
    • यदि $T=(X_{1}+\cdots +X_{k})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$, तब $2\lambda T\sim \chi _{2n}^{2}$.
    • X_i - X_j ~ लाप्लास (0, λ^-1).
  • यदि X भी_i स्वतंत्र हैं, तो:
    • ${\frac {X_{i}}{X_{i}+X_{j}}}$ ~ समान बंटन (निरंतर)(0, 1)
    • $Z={\frac {\lambda _{i}X_{i}}{\lambda _{j}X_{j}}}$ संभाव्यता घनत्व फलन है $f_{Z}(z)={\frac {1}{(z+1)^{2}}}$. इसका उपयोग विश्वास्यता अंतराल प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है ${\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{j}}}$.
  • यदि λ = 1:
    • $\mu -\beta \log \left({\frac {e^{-X}}{1-e^{-X}}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,\beta )$, लॉजिस्टिक बंटन
    • $\mu -\beta \log \left({\frac {X_{i}}{X_{j}}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,\beta )$
    • μ - σ लॉग (X) ~ सामान्यीकृत चरम मान बंटन GEV (μ, σ, 0)।
    • आगे यदि $Y\sim \Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{\alpha }}\right)$ तब ${\sqrt {XY}}\sim \operatorname {K} (\alpha ,\beta )$ (K-बंटन)
  • यदि λ = 1/2 तब X ∼ χ²
    ₂; अर्थात, X में 2 डिग्री स्वतंत्रता (सांख्यिकी) के साथ ची-वर्ग बंटन है। इस तरह:
    $$\operatorname {Exp} (\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\operatorname {Exp} \left({\frac {1}{2}}\right)\sim {\frac {1}{2\lambda }}\chi _{2}^{2}\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Exp} (\lambda )\sim {\frac {1}{2\lambda }}\chi _{2n}^{2}$$
• यदि $X\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {1}{\lambda }}\right)$ और $Y\mid X$ ~ प्वासों(X) तब $Y\sim \operatorname {Geometric} \left({\frac {1}{1+\lambda }}\right)$ (ज्यामितीय बंटन)
• होयट बंटन घातीय बंटन और आर्क्साइन बंटन से प्राप्त किया जा सकता है
• चरघातांकी बंटन की एक सीमा है κ-घातांकीय बंटन में $\kappa =0$ मामले में।
• चरघातांकी बंटन κ-सामान्यीकृत गामा बंटन की एक सीमा है $\alpha =1$ और $\nu =1$

  $\lim _{(\alpha ,\nu )\to (0,1)}p_{\kappa }(x)=(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}}{\frac {\alpha \lambda ^{\nu }}{\Gamma (\nu )}}x^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\lambda x^{\alpha })=\lambda e^{-\lambda x}$

अन्य संबंधित बंटन:

• अति चरघातांकी बंटन - वह डिस्ट्रीब्यूशन जिसका घनत्व चरघातांकी प्रायिकता का भारित योग है।
• हाइपोचरघातांकी बंटन - चरघातीय यादृच्छिक चर के सामान्य योग का बंटन है।
• एक्सगाउसियन बंटन - चरघातांकी बंटन और सामान्य बंटन का योग है।

सांख्यिकीय अनुमान

मान लें कि यादृच्छिक चर X को दर मापदंड λ के साथ घातीय रूप से वितरित किया गया है, और $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ नमूना माध्य के साथ X से n स्वतंत्र नमूने हैं ${\bar {x}}$.

मापदंड अनुमान

λ के लिए अधिकतम संभावना अनुमानक का निर्माण निम्नानुसार किया गया है।

λ के लिए संभावना फलन, एक स्वतंत्र रूप से वितरित यादृच्छिक चर प्रतिदर्श x = (x₁, …, X_n) चर से निकाला गया है:

$$L(\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\lambda \exp(-\lambda x_{i})=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda \sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right),$$

जहाँ:

$${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$$

प्रतिदर्श माध्य है।

संभावना फलन के लघुगणक का व्युत्पन्न है:

$${\frac {d}{d\lambda }}\ln L(\lambda )={\frac {d}{d\lambda }}\left(n\ln \lambda -\lambda n{\overline {x}}\right)={\frac {n}{\lambda }}-n{\overline {x}}\ {\begin{cases}>0,&0<\lambda <{\frac {1}{\overline {x}}},\\[8pt]=0,&\lambda ={\frac {1}{\overline {x}}},\\[8pt]<0,&\lambda >{\frac {1}{\overline {x}}}.\end{cases}}$$

परिणाम स्वरुप, दर मापदंड के लिए अधिकतम संभावना अनुमान है:

$${\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}={\frac {1}{\overline {x}}}={\frac {n}{\sum _{i}x_{i}}}$$

यह है not का एक निष्पक्ष अनुमानक $\lambda ,$ यद्यपि ${\overline {x}}$ is एक निष्पक्ष MLE का अनुमानक $1/\lambda$ और बंटन

का पक्षपात ${\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}$ के बराबर है

$$B\equiv \operatorname {E} \left[\left({\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}-\lambda \right)\right]={\frac {\lambda }{n-1}}$$

जो पूर्वाग्रह-सुधारित अधिकतम संभावना अनुमानक उत्पन्न करता है

$${\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}^{*}={\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}-B.$$

माध्य चुकता त्रुटि का एक अनुमानित न्यूनतम (यह भी देखें: बायस-वैरियंस ट्रेडऑफ़) एमएलई के लिए एक सुधार कारक के साथ, दो से अधिक नमूना आकार मानते हुए पाया जा सकता है।

$${\widehat {\lambda }}=\left({\frac {n-2}{n}}\right)\left({\frac {1}{\bar {x}}}\right)={\frac {n-2}{\sum _{i}x_{i}}}$$

यह व्युत्क्रम-गामा बंटन के माध्य और प्रसरण से प्राप्त होता है, ${\textstyle {\mbox{Inv-Gamma}}(n,\lambda )}$.

फिशर की जानकारी

फिशर जानकारी, निरूपित ${\mathcal {I}}(\lambda )$, दर मापदंड के एक अनुमानक के लिए $\lambda$ के रूप में दिया गया है:

$${\mathcal {I}}(\lambda )=\operatorname {E} \left[\left.\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}\right|\lambda \right]=\int \left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}f(x;\lambda )\,dx$$

बंटन में लगाना और हल करना देता है:

$${\mathcal {I}}(\lambda )=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log \lambda e^{-\lambda x}\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{\lambda }}-x\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\lambda ^{-2}.$$

यह दर मापदंड के बारे में एक चरघातांकी बंटन के प्रत्येक स्वतंत्र नमूने की जानकारी की मात्रा निर्धारित करता है $\lambda$.

विश्वास्यता अंतराल

एक चरघातांकी बंटन के दर मापदंड के लिए 100(1 − α)% विश्वास्यता अंतराल निम्न द्वारा दिया जाता है:

$${\frac {2n}{{\widehat {\lambda }}\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}<{\frac {1}{\lambda }}<{\frac {2n}{{\widehat {\lambda }}\chi _{{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}$$

जो बराबर है:

$${\frac {2n{\overline {x}}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}<{\frac {1}{\lambda }}<{\frac {2n{\overline {x}}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}$$

जहाँ χ²
_p,v है 100(p) स्वतंत्रता की v डिग्री (सांख्यिकी) के साथ ची वर्ग बंटन का प्रतिशतक, n नमूने में अंतर-आगमन समय के प्रेचरणों की संख्या है, और x-बार नमूना औसत है। सटीक अंतराल समापन बिंदुओं के लिए एक सामान्य सन्निकटन के लिए एक सामान्य सन्निकटन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है χ²
_p,v बंटन। यह सन्निकटन 95% विश्वास्यता अंतराल के लिए निम्नलिखित मान देता है:

$${\begin{aligned}\lambda _{\text{lower}}&={\widehat {\lambda }}\left(1-{\frac {1.96}{\sqrt {n}}}\right)\\\lambda _{\text{upper}}&={\widehat {\lambda }}\left(1+{\frac {1.96}{\sqrt {n}}}\right)\end{aligned}}$$

यह सन्निकटन कम से कम 15 से 20 तत्वों वाले नमूनों के लिए स्वीकार्य हो सकता है।

बायेसियन निष्कर्ष

चरघातांकी बंटन से पहले का संयुग्म गामा बंटन है (जिसका चरघातांकी बंटन एक विशेष मामला है)। गामा संभाव्यता घनत्व फलन का निम्नलिखित मापदंड उपयोगी है:

$$\operatorname {Gamma} (\lambda ;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\lambda \beta ).$$

पश्च बंटन p को ऊपर परिभाषित संभावना फलन और पूर्व गामा के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}p(\lambda )&\propto L(\lambda )\Gamma (\lambda ;\alpha ,\beta )\\&=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right){\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\lambda \beta )\\&\propto \lambda ^{(\alpha +n)-1}\exp(-\lambda \left(\beta +n{\overline {x}}\right)).\end{aligned}}$$

अब पश्च घनत्व p को एक लापता सामान्यीकरण स्थिरांक तक निर्दिष्ट किया गया है। चूंकि इसमें गामा पीडीएफ का रूप है, इसे आसानी से भरा जा सकता है, और एक प्राप्त करता है:

$$p(\lambda )=\operatorname {Gamma} (\lambda ;\alpha +n,\beta +n{\overline {x}}).$$

यहां हाइपरपैरामीटर α को पूर्व अवलोकनों की संख्या के रूप में और β को पूर्व अवलोकनों के योग के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। पश्च माध्य यहाँ है:

$${\frac {\alpha +n}{\beta +n{\overline {x}}}}.$$

उपस्थिति और अनुप्रयोग

घटनाओं का घटित होना

समांगी पॉसों प्रक्रिया में अंतर-आगमन समय की लंबाई का वर्णन करते समय चरघातांकी बंटन स्वाभाविक रूप से होता है।

चरघातांकी बंटन को ज्यामितीय बंटन के निरंतर समकक्ष के रूप में देखा जा सकता है, जो स्थिति को बदलने के लिए असतत प्रक्रिया के लिए आवश्यक बर्नौली परीचरणों की संख्या का वर्णन करता है। इसके विपरीत, चरघातांकी बंटन स्थिति को बदलने के लिए एक सतत प्रक्रिया के समय का वर्णन करता है।

वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में, एक स्थिर दर (या प्रति यूनिट समय की संभावना) की धारणा शायद ही कभी संतुष्ट होती है। उदाहरण के लिए, इनकमिंग फोन कॉल्स की दर दिन के समय के अनुसार अलग-अलग होती है। लेकिन यदि हम एक ऐसे समय अंतराल पर ध्यान केंद्रित करते हैं जिसके दौरान दर मोटे तौर पर स्थिर रहती है, जैसे दोपहर 2 से 4 बजे तक। कार्य दिवसों के दौरान, अगली फ़ोन कॉल आने तक के समय के लिए चरघातांकी बंटन का उपयोग एक अच्छे अनुमानित मॉडल के रूप में किया जा सकता है। इसी तरह के प्रतिवाद निम्नलिखित उदाहरणों पर लागू होते हैं जो लगभग घातीय रूप से वितरित चर उत्पन्न करते हैं:

• एक रेडियोधर्मी कण के क्षय होने तक का समय, या एक गीगर काउंटर के क्लिक के बीच का समय:
• आपके अगले टेलीफोन कॉल से पहले लगने वाला समय:
• रिड्यूस्ड-फॉर्म क्रेडिट रिस्क मॉडलिंग में डिफॉल्ट होने तक का समय (कंपनी ऋण धारकों को भुगतान पर) है।

घातीय चर का उपयोग उन स्थितियों को मॉडल करने के लिए भी किया जा सकता है जहां कुछ घटनाएं प्रति इकाई लंबाई की निरंतर संभावना के साथ होती हैं, जैसे डीएनए स्ट्रैंड पर उत्परिवर्तन के बीच की दूरी, या किसी दिए गए सड़क पर रोडकिल के बीच है।

पंक्ति सिद्धांत में, एक प्रणाली में एजेंटों का सेवा समय (उदाहरण के लिए ग्राहक को सेवा देने के लिए बैंक टेलर आदि को कितना समय लगता है) को अधिकांशत: घातीय रूप से वितरित चर के रूप में तैयार किया जाता है। (उदाहरण के लिए ग्राहकों का आगमन भी पोइसन बंटन द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है यदि आगमन स्वतंत्र हैं और समान रूप से वितरित किए गए हैं।) एक प्रक्रिया की लंबाई जिसे कई स्वतंत्र कार्यों के अनुक्रम के रूप में माना जा सकता है, एरलांग बंटन (जो बंटन है) का अनुसरण करता है। कई स्वतंत्र घातीय रूप से वितरित चरों के योग का)। विश्वसनीयता सिद्धांत और विश्वसनीयता इंजीनियरिंग भी चरघातांकी बंटन का व्यापक उपयोग करते हैं। इस बंटन की #स्मृतिहीन गुण के कारण, यह विश्वसनीयता सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले बाथटब वक्र के निरंतर खतरे की दर वाले हिस्से को मॉडल करने के लिए उपयुक्त है। यह बहुत सुविधाजनक भी है क्योंकि विश्वसनीयता मॉडल में विफलता दर को जोड़ना इतना आसान है। चरघातांकी बंटन चूंकि जीवों या तकनीकी उपकरणों के समग्र जीवनकाल को मॉडल करने के लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि यहां विफलता दर स्थिर नहीं हैं: अधिक विफलताएं बहुत युवा और बहुत पुरानी प्रणालियों के लिए होती हैं। File:FitExponDistr.tif|thumb|260px|CumFreq का उपयोग करके सालाना अधिकतम 1-दिवसीय वर्षा के लिए संचयी चरघातांकी बंटन फिट किया गयाभौतिकी में, यदि आप एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक निश्चित तापमान और दबाव पर गैस देखते हैं, तो विभिन्न अणुओं की ऊंचाई भी एक अनुमानित चरघातांकी बंटन का पालन करती है, जिसे बैरोमेट्रिक सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह नीचे उल्लिखित एंट्रॉपी गुण का परिणाम है।

जल विज्ञान में, चरघातांकी बंटन का उपयोग ऐसे चर के चरम मानों का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है जैसे दैनिक वर्षा और नदी निर्वहन मात्रा के मासिक और वार्षिक अधिकतम मान है।

नीली तस्वीर द्विपद बंटन के आधार पर 90% आत्मविश्वास बेल्ट को दिखाते हुए सालाना अधिकतम एक दिन की बारिश के लिए चरघातांकी बंटन को फिट करने का एक उदाहरण दिखाती है। संचयी बारंबारता विश्लेषण के भाग के रूप में वर्षा के आंकड़ों को साजिश रचने की स्थिति द्वारा दर्शाया जाता है।

शल्यक्रिया कक्ष प्रबंधन में, सर्जरी की अवधि के लिए पूर्वकथन कहनेवाला तरीकों के साथ सर्जरी की श्रेणी के लिए सर्जरी की अवधि का बंटन कोई विशिष्ट कार्य-सामग्री नहीं है (जैसे आपातकालीन कक्ष में, सभी प्रकार की सर्जरी सम्मलित हैं)।

पूर्वानुमान

एक अज्ञात चरघातांकी बंटन से n आँकड़ा बिंदुओं का एक नमूना देखने के बाद एक सामान्य कार्य इन नमूनों का उपयोग उसी स्रोत से पूर्वकथन के आँकड़े के बारे में पूर्वानुमान करने के लिए करना है। पूर्वकथन के नमूनों पर एक सामान्य पूर्वकथन कहनेवाला बंटन तथाकथित प्लग-इन बंटन है, जो दर मापदंड λ के लिए एक उपयुक्त अनुमान को घातीय घनत्व फलन में प्लग करके बनाया गया है। अनुमान का एक सामान्य विकल्प वह है जो अधिकतम संभावना के सिद्धांत द्वारा प्रदान किया जाता है, और इसके उपयोग से पूर्वकथन के नमूने x पर अनुमानित घनत्व प्राप्त होता है।_n+1, देखे गए नमूनों पर प्रतिबंधित x = (x₁, ..., X_n) द्वारा दिए गए है

$$p_{\rm {ML}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})=\left({\frac {1}{\overline {x}}}\right)\exp \left(-{\frac {x_{n+1}}{\overline {x}}}\right)$$

बायेसियन दृष्टिकोण एक पूर्वकथन कहनेवाला बंटन प्रदान करता है जो अनुमानित मापदंड की अनिश्चितता को ध्यान में रखता है, चूंकि यह पूर्व की पसंद पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर हो सकता है।

व्यक्तिपरक बायेसियन दृष्टिकोण के अनुसार उत्पन्न होने वाले प्राथमिकताओं को चुनने के मुद्दों से मुक्त एक पूर्वकथन कहनेवाला बंटन है

$$p_{\rm {CNML}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n^{n+1}\left({\overline {x}}\right)^{n}}{\left(n{\overline {x}}+x_{n+1}\right)^{n+1}}},$$

जिसे माना जा सकता है

1. एक फ़्रीक्वेंटिस्ट विश्वास बंटन , जो मुख्य मात्रा के बंटन से प्राप्त होता है ${x_{n+1}}/{\overline {x}}$;
2. X की संयुक्त संभावना से मापदंड λ को समाप्त करके प्राप्त एक प्रोफ़ाइल पूर्वकथन कहनेवाला संभावना_n+1 और λ अधिकतमकरण द्वारा है।
3. एक उद्देश्य बायेसियन पूर्वकथन कहनेवाला पश्च वितरण, गैर-सूचनात्मक जेफ्रीस पूर्व 1 / λ का उपयोग करके प्राप्त किया गया है।
4. सशर्त सामान्यीकृत अधिकतम संभावना (सीएनएमएल) पूर्वानुमान बंटन, सूचना सिद्धांत संबंधी विचारों से है।

दर मापदंड, λ के साथ वास्तविक चरघातांकी बंटन के बीच की दूरी या विचलन का उपयोग करके पूर्वकथन कहनेवाला बंटन की सटीकता को मापा जा सकता है₀, और नमूना x के आधार पर पूर्वकथन कहनेवाला बंटन। कुल्बैक-लीब्लर विचलन दो बंटनों के बीच अंतर का एक सामान्य रूप से उपयोग किया जाने वाला, मापदंड मुक्त माप है। Δ(λ₀||p) दर मापदंड λ₀ के साथ एक घातांक के बीच कुल्बैक-लीब्लर विचलन को दर्शाता है और एक पूर्वकथन कहनेवाला बंटन p यह दिखाया जा सकता है

$${\begin{aligned}\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {ML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n-1}}-\log(n)\\\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {CNML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n}}-\log(n)\end{aligned}}$$

जहां दर मापदंड के साथ चरघातांकी बंटन के संबंध में अपेक्षा की जाती है λ₀ ∈ (0, ∞), और ψ( · ) डिगामा फंक्शन है। यह स्पष्ट है कि सभी नमूना आकारों के लिए औसत कुलबैक-लीब्लर विचलन के संदर्भ में CNML पूर्वकथन कहनेवाला बंटन अधिकतम संभावना प्लग-इन बंटन से बेहतर है। n > 0.

यादृच्छिक चर जनरेशन

Further information: गैर-समान यादृच्छिक चर जनरेशन

चरघातांकी यादृच्छिक चर जनरेट करने के लिए एक अवधारणात्मक रूप से बहुत सरल विधि व्युत्क्रम परिवर्तन नमूना विधि पर आधारित है: यूनिट अंतराल पर एकसमान बंटन (निरंतर) से तैयार किए गए यादृच्छिक चर U को देखते हुए (0, 1), चर है

$$T=F^{-1}(U)$$

एक चरघातांकी बंटन है, जहां F⁻¹ चतुर्थक फलन है, जिसे परिभाषित किया गया है

$$F^{-1}(p)={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}.$$

इसके अतिरिक्त, यदि U (0, 1) पर समान है, तो 1 - U भी है। इसका मतलब यह है कि कोई निम्न प्रकार से घातीय चर उत्पन्न कर सकता है:

$$T={\frac {-\ln(U)}{\lambda }}.$$

चरघातांकी विचर को जनरेट करने की अन्य विधियों पर नुथ द्वारा चर्चा की गई है और देवरॉय। सॉर्टिंग रूटीन का उपयोग किए बिना तैयार आदेश किए गए चरघातांकी विचर का एक सेट बनाने के लिए एक तेज़ तरीका भी उपलब्ध है।

यह भी देखें

• मृत समय - कण डिटेक्टर विश्लेषण के लिए चरघातांकी बंटन का अनुप्रयोग।
• लाप्लास बंटन, या दोहरा चरघातांकी बंटन ।
• संभाव्यता बंटन के बीच संबंध
• मार्शल-ओल्किन चरघातांकी डिस्ट्रीब्यूशन

बाहरी संबंध

• "Exponential distribution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Online calculator of Exponential Distribution