चरघातांकी समाकल

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फ़ाइल:मेथमेटिका 13.1 फलन संकुल क्षेत्रक 3डी के साथ बनाए गए रंगों के साथ -2-2i से 2+2i तक सम्मिश्र समतल में n=2 के साथ घातांकीय पूर्णांकी फलन E n(z) का क्षेत्रक

मेथमेटिका 13.1 फलन संकुल क्षेत्रक 3डी के साथ बनाए गए रंगों के साथ -2-2i से 2+2i तक सम्मिश्र समतल में घातीय अभिन्न फलन Ei(z) का क्षेत्रक,

गणित में, घातीय अभिन्न ईआई सम्मिश्र समतल पर एक विशेष फलन है।

इसे एक घातीय फलन और किसी फलन के तर्क के बीच अनुपात के एक विशेष निश्चित अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है।

परिभाषाएँ

x के वास्तविक गैर-शून्य मानों के लिए, घातांकीय समाकलन Ei(x) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\operatorname {Ei} (x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,dt.$

रिस्च कलन विधि से पता चलता है कि ईआई एक प्राथमिक कार्य नहीं है। उपरोक्त परिभाषा का उपयोग x के सकारात्मक मानों के लिए किया जा सकता है, लेकिन शून्य पर एकीकृत की विलक्षणता के कारण पूर्णांकी को कॉची प्रमुख मूल्य के संदर्भ में समझा जाना चाहिए।

तर्क के जटिल मूल्यों के लिए, 0 और पर शाखा बिंदुओं $\infty$ के कारण परिभाषा अस्पष्ट हो जाती है Ei के स्थान पर निम्नलिखित संकेतन का प्रयोग किया जाता है,

$E_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi$x के सकारात्मक मानों के लिए, हमारे पास $-E_{1}(x)=\operatorname {Ei} (-x)$ है।

सामान्यतः, एक शाखा कर्त को नकारात्मक वास्तविक अक्ष और E₁ पर लिया जाता है सम्मिश्र समतल पर कहीं और विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

$z$ के वास्तविक भाग के सकारात्मक मूल्यों के लिए, ये लिखा जा सकता है

$E_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt=\int _{0}^{1}{\frac {e^{-z/u}}{u}}\,du,\qquad \Re (z)\geq 0.$

E₁ का व्यवहार शाखा के निकट कट को निम्नलिखित संबंध द्वारा देखा जा सकता है:

$\lim _{\delta \to 0+}E_{1}(-x\pm i\delta )=-\operatorname {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad x>0.$

गुण

नीचे दिए गए घातीय अभिन्न के कई गुण, कुछ स्तिथियों में, ऊपर की परिभाषा के माध्यम से इसके स्पष्ट मूल्यांकन से बचने की अनुमति देते हैं।

अभिसारी श्रृंखला

टुकड़ा $E_{1}$ फलन (शीर्ष) और $\operatorname {Ei}$ फलन (नीचे)।

नकारात्मक वास्तविक अक्ष से हटकर वास्तविक या जटिल तर्कों के लिए, $E_{1}(z)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$E_{1}(z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\;k!}}\qquad (\left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi )$

जहाँ $\gamma$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। योग सभी संकुल $z$ के लिए एकत्रित होता है, और हम नकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ काटी गई शाखा वाले जटिल लघुगणक का सामान्य मान लेते हैं।

इस सूत्र का उपयोग 0 और 2.5 के बीच वास्तविक $x$ के लिए चल बिंदु संक्रिया बहुकार्य के साथ $E_{1}(x)$ की गणना करने के लिए किया जा सकता है। $x>2.5$ के लिए, रद्दीकरण के कारण परिणाम गलत है।

रामानुजन द्वारा एक तीव्र अभिसरण श्रृंखला की खोज की गई:

${\rm {Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\exp {(x/2)}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}$

इन वैकल्पिक श्रृंखलाओं का उपयोग छोटे x के लिए अच्छी स्पर्शोन्मुख सीमाएँ देने के लिए भी किया जा सकता है, उदाहरण के लिए :

$1-{\frac {3x}{4}}\leq {\rm {Ei}}(x)-\gamma -\ln x\leq 1-{\frac {3x}{4}}+{\frac {11x^{2}}{36}}$

$x\geq 0$ के लिए है।

स्पर्शोन्मुख (अपसारी) श्रृंखला

भिन्न संख्या के लिए स्पर्शोन्मुख सन्निकटन की सापेक्ष त्रुटि $~N~$ संक्षिप्त योग में पदों का

दुर्भाग्य से, बड़े मापांक के तर्कों के लिए उपरोक्त श्रृंखला का अभिसरण धीमा है। उदाहरण के लिए, तीन महत्वपूर्ण अंकों $E_{1}(10)$ का सही उत्तर पाने के लिए 40 से अधिक शब्दों की आवश्यकता होती है। हालाँकि, x के सकारात्मक मानों के लिए, एक अपसारी श्रृंखला सन्निकटन है जिसे एकीकृत करके $xe^{x}E_{1}(x)$ भागों द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:

$E_{1}(x)={\frac {\exp(-x)}{x}}\left(\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-x)^{n}}}+O(N!x^{-N})\right)$

उपरोक्त सन्निकटन की सापेक्ष त्रुटि को विभिन्न मानों के लिए $N$ दाईं ओर के चित्र में अंकित किया गया है, काटे गए योग में पदों की संख्या ($N=1$ लाल, $N=5$ गुलाबी रंग में) है।

सभी आदेशों से परे स्पर्शोन्मुखता

भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके, हम एक स्पष्ट सूत्र प्राप्त कर सकते हैं

$$\operatorname {Ei} (z)={\frac {e^{z}}{z}}\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{z^{k}}}+e_{n}(z)\right),\quad e_{n}(z)\equiv (n+1)!\ ze^{-z}\int _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t^{n+2}}}\,dt$$

किसी भी निश्चित $z$ के लिए, त्रुटि पद का पूर्ण मान $|e_{n}(z)|$ घटता है, फिर बढ़ता है। जब $\vert e_{n}(z)\vert \leq {\sqrt {\frac {2\pi }{\vert z\vert }}}e^{-\vert z\vert }$ तब $n\sim |z|$ न्यूनतम पर होता है। इस संकुचित को सभी आदेशों से परे अनंतस्पर्शी कहा जाता है।

घातांकीय और लघुगणकीय व्यवहार: कोष्ठक

की कोष्ठक $E_{1}$ प्राथमिक कार्यों द्वारा

पिछले उपखंडों में सुझाई गई दो श्रृंखलाओं से, यह निष्कर्ष निकलता है कि $E_{1}$ तर्क के बड़े मूल्यों के लिए एक नकारात्मक घातांक की तरह और छोटे मूल्यों के लिए लघुगणक की तरह व्यवहार करता है। तर्क के सकारात्मक वास्तविक मूल्यों के लिए, $E_{1}$ को प्राथमिक कार्यों द्वारा निम्नानुसार कोष्ठक में रखा जा सकता है:

${\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0$

इस असमानता का बायाँ भाग लेखाचित्र में बाईं ओर नीले रंग में दिखाया गया है; केंद्रीय भाग $E_{1}(x)$ काले रंग में दिखाया गया है और दाहिना भाग लाल रंग में दिखाया गया है।

ईआईएन द्वारा परिभाषित

दोनों $\operatorname {Ei}$ और $E_{1}$संपूर्ण फलन $\operatorname {Ein}$ का उपयोग करके अधिक सरलता से लिखा जा सकता है। निम्न रूप में परिभाषित

$\operatorname {Ein} (z)=\int _{0}^{z}(1-e^{-t}){\frac {dt}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}$

(ध्यान दें कि यह उपरोक्त परिभाषा में केवल एक वैकल्पिक श्रृंखला है $\mathrm {E} _{1}$) तो हमारे पास हैं

$E_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z)\qquad \left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi$

$\operatorname {Ei} (x)\,=\,\gamma +\ln {\left|x\right|}-\operatorname {Ein} (-x)\qquad x\neq 0$

अन्य कार्यों के साथ संबंध

कुमेर का समीकरण

$z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0$

सामान्यतः संगम हाइपरज्यामितीय कार्य $M(a,b,z)$ और $U(a,b,z)$ द्वारा हल किया जाता है। लेकिन जब $a=0$ और $b=1,$ वह है,

$z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(1-z){\frac {dw}{dz}}=0$

अपने पास

$M(0,1,z)=U(0,1,z)=1$

सभी z के लिए. फिर E₁(−z) द्वारा दूसरा समाधान दिया जाता है। वास्तव में,

$E_{1}(-z)=-\gamma -i\pi +{\frac {\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a}},\qquad 0<{\rm {Arg}}(z)<2\pi$

व्युत्पन्न के साथ मूल्यांकन $a=0$ किया गया। संगम हाइपरजियोमेट्रिक फलन के साथ एक और संबंध यह है कि E₁फलन U(1,1,z) का एक घातीय गुना है:

$E_{1}(z)=e^{-z}U(1,1,z)$

घातीय पूर्णांकी सूत्र द्वारा लघुगणकीय पूर्णांकी फलन li(x) से निकटता से संबंधित है

$\operatorname {li} (e^{x})=\operatorname {Ei} (x)$

के गैर-शून्य वास्तविक मानों के लिए $x$ है

सामान्यीकरण

घातीय अभिन्न को भी सामान्यीकृत किया जा सकता है

$E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,dt,$

जिसे ऊपरी अपूर्ण गामा फलन के एक विशेष स्तिथि के रूप में लिखा जा सकता है:

$E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).$

सामान्यीकृत रूप को कभी-कभी मिश्रा फलन $\varphi _{m}(x)$ कहा जाता है, निम्न रूप में परिभाषित है

$\varphi _{m}(x)=E_{-m}(x).$

इस सामान्यीकृत रूप के कई गुण एनआईएसटी गणितीय कार्यों की अंकीय लाइब्रेरी में पाए जा सकते हैं।

लघुगणक को सम्मिलित करना सामान्यीकृत पूर्णांक-घातांकीय फलन को परिभाषित करता है

$E_{s}^{j}(z)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{1}^{\infty }\left(\log t\right)^{j}{\frac {e^{-zt}}{t^{s}}}\,dt.$

अनिश्चितकालीन अभिन्न:

$\operatorname {Ei} (a\cdot b)=\iint e^{ab}\,da\,db$

$d(n)$ के लिए सामान्य जनक फलन के समान है, $n$ के भाजक की संख्या :

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }d(n)x^{n}=\sum \limits _{a=1}^{\infty }\sum \limits _{b=1}^{\infty }x^{ab}$

व्युत्पन्न

सामान्यीकृत कार्यों के व्युत्पन्न $E_{n}$ सूत्र के माध्यम से गणना की जा सकती है

$E_{n}'(z)=-E_{n-1}(z)\qquad (n=1,2,3,\ldots )$

ध्यान दें कि फलन $E_{0}$ मूल्यांकन करना आसान है (इस पुनरावृत्ति को उपयोगी बनाना), क्योंकि यह $e^{-z}/z$ उचित है।

काल्पनिक तर्क का घातीय अभिन्न अंग

$E_{1}(ix)$ ख़िलाफ़ $x$; वास्तविक भाग काला, काल्पनिक भाग लाल।

अगर $z$ काल्पनिक है, इसका एक गैर-नकारात्मक वास्तविक भाग है, इसलिए हम सूत्र का उपयोग कर सकते हैं

$E_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt$

त्रिकोणमितीय अभिन्नों के साथ संबंध प्राप्त करने के लिए $\operatorname {Si}$ और $\operatorname {Ci}$ है:

$E_{1}(ix)=i\left[-{\tfrac {1}{2}}\pi +\operatorname {Si} (x)\right]-\operatorname {Ci} (x)\qquad (x>0)$

$\mathrm {E} _{1}(ix)$ के वास्तविक और काल्पनिक भाग चित्र में दाईं ओर काले और लाल वक्रों के साथ अंकित हैं।

अनुमान

घातांकीय अभिन्न फलन के लिए कई सन्निकटन दिए गए हैं। इसमे सम्मिलित है:

• स्वामी और ओहिजा सन्निकटन
  $$E_{1}(x)=\left(A^{-7.7}+B\right)^{-0.13},$$
  जहाँ
  $${\begin{aligned}A&=\ln \left[\left({\frac {0.56146}{x}}+0.65\right)(1+x)\right]\\B&=x^{4}e^{7.7x}(2+x)^{3.7}\end{aligned}}$$
  * एलन और हेस्टिंग्स सन्निकटन
  $$E_{1}(x)={\begin{cases}-\ln x+{\textbf {a}}^{T}{\textbf {x}}_{5},&x\leq 1\\{\frac {e^{-x}}{x}}{\frac {{\textbf {b}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}{{\textbf {c}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}},&x\geq 1\end{cases}}$$
  जहाँ
  $${\begin{aligned}{\textbf {a}}&\triangleq [-0.57722,0.99999,-0.24991,0.05519,-0.00976,0.00108]^{T}\\{\textbf {b}}&\triangleq [0.26777,8.63476,18.05902,8.57333]^{T}\\{\textbf {c}}&\triangleq [3.95850,21.09965,25.63296,9.57332]^{T}\\{\textbf {x}}_{k}&\triangleq [x^{0},x^{1},\dots ,x^{k}]^{T}\end{aligned}}$$
• निरंतर अंश विस्तार
  $$E_{1}(x)={\cfrac {e^{-x}}{x+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{x+{\cfrac {3}{\ddots }}}}}}}}}}}}.$$
• बैरी एट अल का अनुमान।
  $$E_{1}(x)={\frac {e^{-x}}{G+(1-G)e^{-{\frac {x}{1-G}}}}}\ln \left[1+{\frac {G}{x}}-{\frac {1-G}{(h+bx)^{2}}}\right],$$
  जहाँ:
  $${\begin{aligned}h&={\frac {1}{1+x{\sqrt {x}}}}+{\frac {h_{\infty }q}{1+q}}\\q&={\frac {20}{47}}x^{\sqrt {\frac {31}{26}}}\\h_{\infty }&={\frac {(1-G)(G^{2}-6G+12)}{3G(2-G)^{2}b}}\\b&={\sqrt {\frac {2(1-G)}{G(2-G)}}}\\G&=e^{-\gamma }\end{aligned}}$$
  साथ $\gamma$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक होना।

अनुप्रयोग

• समय-निर्भर गर्मी हस्तांतरण
• जलभृत परीक्षण में कोई भी संतुलन भूजल प्रवाह (जिसे एक कुआं कार्य कहा जाता है)
• तारकीय और ग्रहीय वातावरण में विकिरण स्थानांतरण
• रेखा स्रोतों और समकालन के साथ क्षणिक या अस्थिर स्थिति प्रवाह के लिए त्रिज्यीय प्रसार समीकरण
• सरलीकृत 1-डी ज्यामिति में न्यूट्रॉन परिवहन समीकरण का समाधान है

यह भी देखें

• गुडविन-स्टेटन पूर्णांकी
• बिकले-नायलर कार्य

संदर्भ

• Abramowitz, Milton; Irene Stegun (1964). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Abramowitz and Stegun. New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0., Chapter 5.
• Bender, Carl M.; Steven A. Orszag (1978). Advanced mathematical methods for scientists and engineers. McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-004452-4.
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बाहरी संबंध

• "Integral exponential function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• एनआईएसटी documentation on the Generalized Exponential Integral
• Weisstein, Eric W. "Exponential Integral". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "En-Function". MathWorld.
• "Exponential integral Ei". Wolfram Functions Site.
• Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals in डीLMF.