चैनल क्षमता

चैनल क्षमता, विद्युत अभियन्त्रण, कंप्यूटर विज्ञान, और सूचना सिद्धांत जिस दर पर ऊपरी सीमा घनिष्ठ होती है, उस संचार चैनल पर सूचना को मज़बूती से प्रसारित किया जा सकता है।

शोर-चैनल कोडिंग प्रमेय की शर्तों का पालन करते हुए प्रदत्त चैनल की क्षमता ही उच्चतम सूचना दर होती है। (प्रति इकाई समय सूचना की इकाइयों में) जिसे अव्यवस्थित रूप से छोटी त्रुटि संभाव्यता के साथ प्राप्त किया जा सकता है।

1948 में क्लाउड ई. शैनन द्वारा विकसित सूचना सिद्धांत, चैनल क्षमता की धारणा को परिभाषित करता है और एक गणितीय मॉडल प्रदान करता है जिसके द्वारा इसकी गणना की जा सकती है। मुख्य परिणाम यह बताता है कि ऊपर वर्णित रूप में चैनल की क्षमता, चैनल के इनपुट और आउटपुट के बीच अधिकतम आपसी सूचना द्वारा दी जाती है, जहां इनपुट वितरण के संबंध में अधिकतम जानकारी दी गई है।

चैनल क्षमता की धारणा आधुनिक वायरलाइन और वायरलेस संचार प्रणालियों के विकास के लिए केंद्रीय होती है, उपन्यास त्रुटि सुधार कोडिंग तंत्र के आगमन के साथ जिसके परिणामस्वरूप चैनल क्षमता द्वारा वादा किया गया की सीमा के बहुत निकट अभिनय प्राप्त हुआ है।

औपचारिक परिभाषा

संचार प्रणाली के लिए मौलिक गणितीय मॉडल निम्नलिखित है:

${\xrightarrow[{\text{Message}}]{W}}{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Encoder}}\\f_{n}\\\hline \end{array}}{\xrightarrow[{\mathrm {Encoded \atop sequence} }]{X^{n}}}{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Channel}}\\p(y|x)\\\hline \end{array}}{\xrightarrow[{\mathrm {Received \atop sequence} }]{Y^{n}}}{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Decoder}}\\g_{n}\\\hline \end{array}}{\xrightarrow[{\mathrm {Estimated \atop message} }]{\hat {W}}}$

जहाँ:

• $W$ प्रेषित होने वाला संदेश है;
• $X$ चैनल इनपुट संकेताक्षर है ($X^{n}$, $n$ उस पर संकेताक्षर का अनुक्रम है) जो अक्षर ${\mathcal {X}}$ में लिया गया है;
• $Y$ चैनल आउटपुट संकेताक्षर है ($Y^{n}$, $n$ उस पर संकेताक्षर का अनुक्रम है) जो अक्षर ${\mathcal {Y}}$ में लिया गया है;
• ${\hat {W}}$ प्रेषित संदेश का अनुमान है;
• $f_{n}$ एक एनकोडिंग फ़ंक्शन है ब्लॉक की लंबाई $n$ के लिए;
• $p(y|x)=p_{Y|X}(y|x)$ यह शोर वाला चैनल है, जो कि सशर्त संभाव्यता वितरण द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है;और,
• $g_{n}$ एक डिकोडिंग फ़ंक्शन है ब्लॉक की लंबाई $n$ के लिए;

मान लें कि $X$ और $Y$ को यादृच्छिक चर के रूप में तैयार किया गया है। इसके अतिरिक्त, मान लीजिए की $p_{Y|X}(y|x)$ $Y$ दिए गए $X$ का सशर्त संभाव्यता वितरण फलन है, जो संचार चैनल की अंतर्निहित निश्चित संपत्ति है।

तब सीमांत वितरण $p_{X}(x)$ का चुनाव पूरी तरह से पहचान के कारण संयुक्त संभाव्यता वितरण $p_{X,Y}(x,y)$ को निर्धारित करता है

$\ p_{X,Y}(x,y)=p_{Y|X}(y|x)\,p_{X}(x)$

जो, बदले में, पारस्परिक सूचना $I(X;Y)$ को प्रेरित करता है। चैनल क्षमता को इस रूप में परिभाषित किया गया है:

$\ C=\sup _{p_{X}(x)}I(X;Y)\,$

जहां $p_{X}(x)$ के सभी संभावित विकल्पों पर सुप्रीमम लिया जाता है।

चैनल क्षमता की योगात्मकता

चैनल क्षमता स्वतंत्र चैनलों पर योगात्मक है। इसका अर्थ है कि संयुक्त रूप से दो स्वतंत्र चैनलों के प्रयोग से सामान्य सैद्धांतिक क्षमता का उन्हें स्वतंत्र रूप से प्रयोग करने में सहायता मिलती है। अधिक औपचारिक रूप से, मान लीजिए की $p_{1}$और $p_{2}$ऊपर दिए गए दो स्वतंत्र चैनल बनें; $p_{1}$में एक इनपुट वर्णमाला ${\mathcal {X}}_{1}$और एक आउटपुट वर्णमाला ${\mathcal {Y}}_{1}$है। $p_{2}$के लिए आइडेम हम उत्पाद चैनल $p_{1}\times p_{2}$को परिभाषित करते हैं जैसे

$\forall (x_{1},x_{2})\in ({\mathcal {X}}_{1},{\mathcal {X}}_{2}),\;(y_{1},y_{2})\in ({\mathcal {Y}}_{1},{\mathcal {Y}}_{2}),\;(p_{1}\times p_{2})((y_{1},y_{2})|(x_{1},x_{2}))=p_{1}(y_{1}|x_{1})p_{2}(y_{2}|x_{2})$

यह प्रमेय कहता है:

$$C(p_{1}\times p_{2})=C(p_{1})+C(p_{2})$$

Proof

We first show that $C(p_{1}\times p_{2})\geq C(p_{1})+C(p_{2})$.

Let $X_{1}$ and $X_{2}$ be two independent random variables. Let $Y_{1}$ be a random variable corresponding to the output of $X_{1}$ through the channel $p_{1}$, and $Y_{2}$ for $X_{2}$ through $p_{2}$.

By definition $C(p_{1}\times p_{2})=\sup _{p_{X_{1},X_{2}}}(I(X_{1},X_{2}:Y_{1},Y_{2}))$.

तब से $X_{1}$ और $X_{2}$ स्वतंत्र हैं, साथ ही $p_{1}$ और $p_{2}$, $(X_{1},Y_{1})$ से स्वतंत्र है $(X_{2},Y_{2})$. हम आपसी जानकारी की निम्नलिखित संपत्ति को लागू कर सकते हैं: $I(X_{1},X_{2}:Y_{1},Y_{2})=I(X_{1}:Y_{1})+I(X_{2}:Y_{2})$ अभी के लिए हमें केवल एक वितरण खोजने की जरूरत है $p_{X_{1},X_{2}}$ ऐसा है कि $I(X_{1},X_{2}:Y_{1},Y_{2})\geq I(X_{1}:Y_{1})+I(X_{2}:Y_{2})$. असल में, $\pi _{1}$ और $\pi _{2}$, के लिए दो संभाव्यता वितरण $X_{1}$ और $X_{2}$ को प्राप्त करने $C(p_{1})$ और $C(p_{2})$, पर्याप्त:

$C(p_{1}\times p_{2})\geq I(X_{1},X_{2}:Y_{1},Y_{2})=I(X_{1}:Y_{1})+I(X_{2}:Y_{2})=C(p_{1})+C(p_{2})$

अर्थात। $C(p_{1}\times p_{2})\geq C(p_{1})+C(p_{2})$ अब चलिए दिखाते हैं $C(p_{1}\times p_{2})\leq C(p_{1})+C(p_{2})$.

होने देना $\pi _{12}$ चैनल के लिए कुछ वितरण हो $p_{1}\times p_{2}$ परिभाषित करने $(X_{1},X_{2})$ और संबंधित आउटपुट $(Y_{1},Y_{2})$. होने देना ${\mathcal {X}}_{1}$ की वर्णमाला हो $X_{1}$, ${\mathcal {Y}}_{1}$ के लिए $Y_{1}$, और समान रूप से ${\mathcal {X}}_{2}$ और ${\mathcal {Y}}_{2}$.

पारस्परिक जानकारी की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है

${\begin{aligned}I(X_{1},X_{2}:Y_{1},Y_{2})&=H(Y_{1},Y_{2})-H(Y_{1},Y_{2}|X_{1},X_{2})\\&\leq H(Y_{1})+H(Y_{2})-H(Y_{1},Y_{2}|X_{1},X_{2})\end{aligned}}$

एंट्रॉपी (सूचना सिद्धांत) के अंतिम पद को फिर से लिखते हैं।

$H(Y_{1},Y_{2}|X_{1},X_{2})=\sum _{(x_{1},x_{2})\in {\mathcal {X}}_{1}\times {\mathcal {X}}_{2}}\mathbb {P} (X_{1},X_{2}=x_{1},x_{2})H(Y_{1},Y_{2}|X_{1},X_{2}=x_{1},x_{2})$ उत्पाद चैनल की परिभाषा के अनुसार, $\mathbb {P} (Y_{1},Y_{2}=y_{1},y_{2}|X_{1},X_{2}=x_{1},x_{2})=\mathbb {P} (Y_{1}=y_{1}|X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (Y_{2}=y_{2}|X_{2}=x_{2})$. किसी दिए गए जोड़े के लिए $(x_{1},x_{2})$, हम फिर से लिख सकते हैं $H(Y_{1},Y_{2}|X_{1},X_{2}=x_{1},x_{2})$ जैसा:

${\begin{aligned}H(Y_{1},Y_{2}|X_{1},X_{2}=x_{1},x_{2})&=\sum _{(y_{1},y_{2})\in {\mathcal {Y}}_{1}\times {\mathcal {Y}}_{2}}\mathbb {P} (Y_{1},Y_{2}=y_{1},y_{2}|X_{1},X_{2}=x_{1},x_{2})\log(\mathbb {P} (Y_{1},Y_{2}=y_{1},y_{2}|X_{1},X_{2}=x_{1},x_{2}))\\&=\sum _{(y_{1},y_{2})\in {\mathcal {Y}}_{1}\times {\mathcal {Y}}_{2}}\mathbb {P} (Y_{1},Y_{2}=y_{1},y_{2}|X_{1},X_{2}=x_{1},x_{2})[\log(\mathbb {P} (Y_{1}=y_{1}|X_{1}=x_{1}))+\log(\mathbb {P} (Y_{2}=y_{2}|X_{2}=x_{2}))]\\&=H(Y_{1}|X_{1}=x_{1})+H(Y_{2}|X_{2}=x_{2})\end{aligned}}$ इस समानता को सब पर समेट कर $(x_{1},x_{2})$, हमने प्राप्त किया

$H(Y_{1},Y_{2}|X_{1},X_{2})=H(Y_{1}|X_{1})+H(Y_{2}|X_{2})$.

अब हम आपसी सूचनाओं पर एक ऊपरी सीमा दे सकते हैं:

${\begin{aligned}I(X_{1},X_{2}:Y_{1},Y_{2})&\leq H(Y_{1})+H(Y_{2})-H(Y_{1}|X_{1})-H(Y_{2}|X_{2})\\&=I(X_{1}:Y_{1})+I(X_{2}:Y_{2})\end{aligned}}$ यह संबंध सर्वोच्च पर संरक्षित है। इसलिए

$C(p_{1}\times p_{2})\leq C(p_{1})+C(p_{2})$

हमारे द्वारा सिद्ध की गई दो असमानताओं को मिलाकर, हम प्रमेय का परिणाम प्राप्त करते हैं:

$C(p_{1}\times p_{2})=C(p_{1})+C(p_{2})$

एक ग्राफ की शैनन क्षमता

Main article: ग्राफ की शैनन क्षमता

यदि G अप्रत्यक्ष ग्राफ है तो इसका उपयोग एक संचार चैनल को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जिसमें संकेताक्षर ग्राफ के कोने हैं, और दो कोडवर्ड है जो एक दूसरे के साथ भ्रमित हो सकते हैं यदि प्रत्येक स्थिति में उनके संकेताक्षर सामान्य या आसन्न हैं। ऐसे चैनल की शैनन क्षमता को खोजने की कम्प्यूटेशनल जटिलता खुली रहती है, लेकिन यह अन्य महत्वपूर्ण ग्राफ इनवेरिएंट, लोवाज़ नंबर द्वारा ऊपरी सीमा में हो सकती है।

शोर चैनल कोडिंग प्रमेय

शोर चैनल कोडिंग प्रमेय बताता है कि किसी भी त्रुटि संभावना के लिए ε> 0 और चैनल क्षमता C से कम किसी भी संचरण दर R के लिए, एन्कोडिंग और डिकोडिंग योजना है जो R दर पर डेटा को संचारित करती है जिसकी त्रुटि संभावना ε से कम है, उसके लिए पर्याप्त बड़ी ब्लॉक लंबाई है। चैनल की क्षमता से अधिक किसी दर के लिए, रिसीवर पर त्रुटि की संभावना 0.5 तक बढ़ जाती है क्योंकि ब्लॉक की लंबाई अनंत तक जाती है।

उदाहरण आवेदन

बी हर्ट्ज बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) और सिग्नल-टू-शोर अनुपात एस/एन के साथ एक योगात्मक सफेद गॉसियन शोर (एडब्ल्यूजीएन) चैनल के लिए चैनल क्षमता अवधारणा का एक अनुप्रयोग शैनन-हार्टले प्रमेय है:

$C=B\log _{2}\left(1+{\frac {S}{N}}\right)\$

C को बिट्स प्रति सेकंड में मापा जाता है यदि लघुगणक को आधार 2 होता है, या नेट (इकाई) प्रति सेकंड में यदि प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग किया जाता है, तो B को हर्ट्ज़ में माना जाता है; संकेत और शोर ऊर्जा S और N रैखिक ऊर्जा इकाई (जैसे वाट या वोल्ट²) में व्यक्त की जाती हैं। चूंकि एस/एन आंकड़ों को अधिकांशतः डीबी में उद्धृत किया जाता है, रूपांतरण की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, 30 डीबी का संकेत-ध्वनि अनुपात $10^{30/10}=10^{3}=1000$ के रेखीय शक्ति अनुपात के अनुरूप होती है।

वायरलेस संचार में चैनल क्षमता

यह खंड सिंगल-एंटीना, पॉइंट-टू-पॉइंट परिदृश्य पर केंद्रित है। एकाधिक एंटेना वाली प्रणाली में चैनल क्षमता के लिए, एमआईएमओ पर आलेख देखें।

बैंडलिमिटेड एडब्लूजीएन चैनल

Main article: शैनन-हार्टले प्रमेय

पावर-सीमित नियम और बैंडविड्थ-सीमित नियम के साथ एडब्लूजीएन चैनल क्षमता का संकेत दिया गया। यहां, ${\frac {\bar {P}}{N_{0}}}=1$; बी और सी को अन्य मूल्यों के लिए आनुपातिक रूप से बढ़ाया जा सकता है।

यदि औसत प्राप्त शक्ति ${\bar {P}}$ [$W$] है , कुल बैंडविड्थ $W$ है हर्ट्ज़ में, और शोर शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व है $N_{0}$ [W/Hz], एडब्लूजीएन चैनल क्षमता है

$C_{\text{AWGN}}=W\log _{2}\left(1+{\frac {\bar {P}}{N_{0}W}}\right)$ [बिट्स/एस],

जहां ${\frac {\bar {P}}{N_{0}W}}$ प्राप्त सिग्नल-टू-शोर अनुपात (एसएनआर) है। इस परिणाम को शैनन-हार्टले प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

जब एसएनआर बड़ा होता है (एसएनआर ≫ 0 डीबी), क्षमता $C\approx W\log _{2}{\frac {\bar {P}}{N_{0}W}}$ शक्ति में लघुगणक और बैंडविड्थ में लगभग रैखिक है। इसे बैंडविड्थ-सीमित नियम कहा जाता है।

जब एसएनआर छोटा होता है (एसएनआर ≪ 0 डीबी), क्षमता $C\approx {\frac {\bar {P}}{N_{0}\ln 2}}$ शक्ति में रैखिक है लेकिन बैंडविड्थ के प्रति असंवेदनशील है। इसे शक्ति-सीमित नियम कहा जाता है।

बैंडविड्थ-सीमित नियम और शक्ति-सीमित नियम चित्र में सचित्र हैं।

आवृत्ति-चयनात्मक एडब्लूजीएन चैनल

आवृत्ति चयनात्मक चैनल की क्षमता तथाकथित जल भरण शक्ति आवंटन द्वारा दी गई है,

$C_{N_{c}}=\sum _{n=0}^{N_{c}-1}\log _{2}\left(1+{\frac {P_{n}^{*}|{\bar {h}}_{n}|^{2}}{N_{0}}}\right),$

जहां $P_{n}^{*}=\max \left\{\left({\frac {1}{\lambda }}-{\frac {N_{0}}{|{\bar {h}}_{n}|^{2}}}\right),0\right\}$ और $|{\bar {h}}_{n}|^{2}$ सबचैनल का लाभ $n$ है, साथ में $\lambda$ को शक्ति की कमी को पूरा करने के लिए चुना गया है।

स्लो-फेडिंग चैनल

स्लो-फेडिंग चैनल में, जहां सुसंगतता समय विलंबता आवश्यकता से अधिक है, चैनल द्वारा समर्थित विश्वसनीय संचार की अधिकतम दर के रूप में कोई निश्चित क्षमता नहीं है, $\log _{2}(1+|h|^{2}SNR)$ यादृच्छिक चैनल लाभ पर निर्भर करता है $|h|^{2}$ जो ट्रांसमीटर से अज्ञात है। यदि ट्रांसमीटर दर $R$ [बिट्स/ एस/हर्ट्ज] पर डेटा एन्कोड करता है, तो वहाँ एक शून्य संभावना है कि डिकोडिंग त्रुटि संभाव्यता को मनमाने ढंग से छोटा नहीं किया जा सकता है,

$p_{out}=\mathbb {P} (\log(1+|h|^{2}SNR)<R)$,

उस स्थिति में सिस्टम आउटेज में कहा जाता है। शून्य संभावना वाली चैनल के गहरे धुंधले होने की संभावना के कारण धीमी गति से लुप्त होने वाले चैनल का पूर्ण अर्थ शून्य होता है। चूंकि, $R$ के सबसे बड़े मूल्य का निर्धारण इस तरह किया जा सकता है कि आउटेज संभावित $p_{out}$, $\epsilon$ से कम है। यह मान $\epsilon$-आउटेज क्षमता के रूप में जाना जाता है।

फास्ट-फेडिंग चैनल

फास्ट-फेडिंग चैनल में, जहां विलंबता की आवश्यकता सुसंगतता समय से अधिक है और कोडवर्ड की लंबाई कई सुसंगतता अवधियों तक फैली हुई है, बड़ी संख्या में सुसंगतता समय अंतरालों पर कोडिंग करके कई स्वतंत्र चैनल फ़ेड पर औसत कर सकते हैं। इस प्रकार, $\mathbb {E} (\log _{2}(1+|h|^{2}SNR))$ [बिट्स/ एस/हर्ट्ज] की संचार की एक विश्वसनीय दर प्राप्त करना संभव है और इस मूल्य को तेजी से लुप्त होती चैनल की क्षमता के रूप में व्यक्त करना अर्थपूर्ण है।

यह भी देखें

• बैंडविड्थ (कंप्यूटिंग)
• बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग)
• बिट दर
• कोड दर
• त्रुटि प्रतिपादक
• निक्विस्ट दर
• नेगेंट्रॉपी
• अतिरेक (सूचना सिद्धांत)
• प्रेषक, डेटा संपीड़न, रिसीवर (सूचना सिद्धांत)
• शैनन-हार्टले प्रमेय
• स्पेक्ट्रल दक्षता
• प्रवाह

उन्नत संचार विषय

• मिमो
• सहकारी विविधता

बाहरी कड़ियाँ

• "Transmission rate of a channel", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• एडब्लूजीएन Channel Capacity with various constraints on the channel input (interactive demonstration)