छवि आवेश की विधि

See also: छवियों की विधि

छवि आवेशों की विधि (प्रतिबिंबों की विधि और दर्पण आवेशों की विधि के रूप में भी जाना जाता है) इलेक्ट्रोस्टाटिक्स में एक मूलभूत समस्या-समाधान उपकरण है। इस प्रकार से नाम की उत्पत्ति मूल लेआउट में कुछ तत्वों को काल्पनिक आरोपों के साथ परिवर्तन से हुई है, जो की समस्या की सीमा स्थितियों (डिरिचलेट सीमा स्थितियां या न्यूमैन सीमा स्थितियां देखें) को दोहराता है।

छवि आवेशों की विधि की वैधता पॉइसन के समीकरण के लिए अद्वितीयता प्रमेय के परिणाम पर निर्भर करती है, जिसमें कहा गया है कि किसी आयतन V में विद्युत क्षमता विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती है यदि पूरे क्षेत्र में आवेश घनत्व और मान दोनों हों सभी सीमाओं पर विद्युत क्षमता निर्दिष्ट है। इस प्रकार से वैकल्पिक रूप से, गॉस के नियम के विभेदक रूप में इस परिणाम के अनुप्रयोग से पता चलता है कि संवाहकों से घिरे वॉल्यूम V में और एक निर्दिष्ट चार्ज घनत्व ρ वाले, विद्युत क्षेत्र विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है यदि कुल चार्ज पर प्रत्येक संवाहक दिया गया है. विद्युत क्षमता या विद्युत क्षेत्र और संबंधित सीमा स्थितियों का ज्ञान होने पर हम उस चार्ज वितरण को स्वैप कर सकते हैं जिस पर हम विचार कर रहे हैं, एक आकृति के साथ जिसका विश्लेषण करना सरल है, जब तक कि यह रुचि के क्षेत्र में पॉइसन के समीकरण को संतुष्ट करता है और मानता है सीमाओं पर सही मान है.

संवाहक तल में परावर्तन

एक समतल संवाहक सतह के ऊपर धनात्मक आवेश का क्षेत्र, छवियों की विधि द्वारा पाया गया।

किसी संवाहक तल में विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण के लिए छवियों की विधि

बिंदु शुल्क

छवि आवेशों की विधि का सबसे सरल उदाहरण एक बिंदु आवेश का है, आवेश q के साथ, एक अनंत ग्राउंडेड (अर्थात्: xy-प्लेन में $V=0$ संवाहक प्लेट के ऊपर $(0,0,a)$ पर स्थित है। इस समस्या को सरल बनाने के लिए, हम समविभव की प्लेट को परिवर्तित कर सकते हैं आवेश −q के साथ, $(0,0,-a)$ पर स्थित है, यह व्यवस्था किसी भी बिंदु पर उसी विद्युत क्षेत्र का उत्पादन करेगी जिसके लिए $z>0$ (अर्थात्, संचालन प्लेट के ऊपर), और सीमा की नियम को पूरा करती है कि प्लेट के साथ क्षमता शून्य होनी चाहिए। यह स्थिति मूल समुच्चयअप के समतुल्य है, और इसलिए वास्तविक आवेश पर बल की गणना अब दो बिंदु आवेशों के मध्य कूलम्ब के नियम से की जा सकती है।

अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर क्षमता, z-अक्ष पर +a पर +q और −a पर −q आवेश के इन दो बिंदु आवेशों के कारण, बेलनाकार निर्देशांक में दी गई है

$V\left(\rho ,\varphi ,z\right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\sqrt {\rho ^{2}+\left(z-a\right)^{2}}}}+{\frac {-q}{\sqrt {\rho ^{2}+\left(z+a\right)^{2}}}}\right)\,$

ग्राउंडेड प्लेन पर सतह चार्ज घनत्व इसलिए दिया जाता है

$\sigma =-\varepsilon _{0}\left.{\frac {\partial V}{\partial z}}\right|_{z=0}={\frac {-qa}{2\pi \left(\rho ^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}$

इसके अतिरिक्त, संचालन तल पर प्रेरित कुल आवेश पूरे तल पर आवेश घनत्व का अभिन्न अंग होगा, इसलिए:

${\begin{aligned}Q_{t}&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }\sigma \left(\rho \right)\,\rho \,d\rho \,d\theta \\[6pt]&={\frac {-qa}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\infty }{\frac {\rho \,d\rho }{\left(\rho ^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}\\[6pt]&=-q\end{aligned}}$

इस प्रकार से समतल पर प्रेरित कुल आवेश बस −q हो जाता है। इसे गॉस के नियम से भी देखा जा सकता है, यह देखते हुए कि द्विध्रुव क्षेत्र बड़ी दूरी पर दूरी के घन पर घटता है, और इसलिए एक असीम रूप से बड़े क्षेत्र के अतिरिक्त क्षेत्र का कुल प्रवाह विलुप्त हो जाता है।

चूँकि विद्युत क्षेत्र सुपरपोज़िशन सिद्धांत को संतुष्ट करते हैं, अनेक बिंदु आवेशों के नीचे एक संवाहक विमान को प्रत्येक आवेश की दर्पण छवियों द्वारा व्यक्तिगत रूप से, बिना किसी अन्य संशोधन के प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण

इस प्रकार से xy-तल में एक अनंत ग्राउंडेड संवाहक विमान के ऊपर $(0,0,a)$ पर एक विद्युत द्विध्रुव क्षण p की छवि समान परिमाण और दिशा के साथ $(0,0,-a)$ पर एक द्विध्रुवीय क्षण है जिसे π द्वारा अज़ीमुथली घुमाया जाता है। अर्थात्, कार्तीय घटकों $(p\sin \theta \cos \phi ,p\sin \theta \sin \phi ,p\cos \theta )$ के साथ एक द्विध्रुव आघूर्ण छवि में द्विध्रुव आघूर्ण $(-p\sin \theta \cos \phi ,-p\sin \theta \sin \phi ,p\cos \theta )$ होगा। द्विध्रुव z दिशा में एक बल का अनुभव करता है, जो कि दिया गया है

$F=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {3p^{2}}{16a^{4}}}\left(1+\cos ^{2}\theta \right)$

और द्विध्रुव और संवाहक तल के लंबवत तल में एक टॉर्क,

$\tau =-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {p^{2}}{16a^{3}}}\sin 2\theta$

परावैद्युत तलीय इंटरफ़ेस में परावर्तन

संचालन तल के समान, दो भिन्न-भिन्न परावैद्युत मीडिया के मध्य एक समतल इंटरफ़ेस के स्तिथियों पर विचार किया जा सकता है। यदि एक बिंदु प्रभार $q$ को परावैद्युत में रखा जाता है जिसमें परावैद्युत स्थिरांक $\epsilon _{1}$ होता है , फिर इंटरफ़ेस (परावैद्युत के साथ जिसमें परावैद्युत स्थिरांक $\epsilon _{2}$ होता है ) एक बाध्य ध्रुवीकरण चार्ज विकसित करेगा। यह दिखाया जा सकता है कि कण युक्त परावैद्युत के अंदर परिणामी विद्युत क्षेत्र को इस प्रकार से संशोधित किया जाता है जिसे अन्य परावैद्युत के अंदर एक छवि चार्ज द्वारा वर्णित किया जा सकता है। चूंकि, अन्य परावैद्युत के अंदर, छवि चार्ज उपस्तिथ नहीं है।

धातु के स्तिथियों के विपरीत, छवि चार्ज $q'$ वास्तविक चार्ज के बिल्कुल विपरीत नहीं है: जहाँ ${\textstyle q'={\frac {\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}}q}$. इसका चिह्न भी समान हो सकता है, यदि आवेश को सशक्त परावैद्युत पदार्थ के अंदर रखा जाता है (आवेशों को कम परावैद्युत स्थिरांक के क्षेत्रों से दूर धकेल दिया जाता है) इसे सूत्र से देखा जा सकता है.

संचालन क्षेत्र में परावर्तन

त्रिज्या R के एक व्रत के लिए लाप्लास के समीकरण के लिए छवि विधि को दर्शाने वाला आरेख। हरा बिंदु एक आवेश q है जो मूल से दूरी p पर व्रत के अंदर स्थित है, लाल बिंदु उस बिंदु की छवि है, जिसमें आवेश है - qR/p, व्रत के बाहर R²/p की दूरी पर स्थित है मूल से। दोनों आवेशों द्वारा उत्पन्न विभव व्रत की सतह पर शून्य है।

व्रत के बाहर रखे गए आवेश के लिए भूमि पर बने व्रत के बाहर फ़ील्ड रेखाएँ।

अनेक सतहों को बिंदु छवि आवेशों की अनंत श्रृंखला की आवश्यकता होती है।

बिंदु शुल्क

छवियों की विधि को व्रत पर भी प्रयुक्त किया जा सकता है। वास्तव में, एक समतल में छवि आवेशों का स्तिथि एक व्रत के लिए छवियों के स्तिथियो का एक विशेष स्तिथि है। इस प्रकार से चित्र का संदर्भ लेते हुए, हम मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या R के एक भूमि व्रत के अंदर स्थिति $\mathbf {p}$ पर स्थित व्रत के अंदर एक बिंदु आवेश के कारण क्षमता का पता लगाना चाहते हैं (विपरीत स्थिति के लिए, एक आवेश के कारण व्रत के बाहर की क्षमता क्षेत्र के बाहर, विधि को समान विधि से प्रयुक्त किया जाता है)। चित्र में, इसे हरे बिंदु द्वारा दर्शाया गया है। मान लीजिए q इस बिंदु का बिंदु आवेश है। भूमि पर स्थित व्रत के संबंध में इस आवेश की छवि को लाल रंग में दिखाया गया है। इसका आवेश q′=−qR/p है और यह व्रत के केंद्र और आंतरिक आवेश को सदिश स्थिति $\left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p}$ पर जोड़ने वाली रेखा पर स्थित है। यह देखा जा सकता है कि दोनों आवेशों के कारण त्रिज्या सदिश $\mathbf {r}$ द्वारा निर्दिष्ट बिंदु पर क्षमता है अकेले संभावनाओं के योग द्वारा दिया जाता है:

$4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {r} )={\frac {q}{|\mathbf {r} _{1}|}}+{\frac {(-qR/p)}{|\mathbf {r} _{2}|}}={\frac {q}{\sqrt {r^{2}+p^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}+{\frac {(-qR/p)}{\sqrt {r^{2}+{\frac {R^{4}}{p^{2}}}-{\frac {2R^{2}}{p^{2}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}$

सबसे दाहिनी अभिव्यक्ति से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

$V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {q}{\sqrt {r^{2}+p^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}-{\frac {q}{\sqrt {{\frac {r^{2}p^{2}}{R^{2}}}+R^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}\right]$

और यह देखा जा सकता है कि व्रत की सतह पर (अर्थात जब r=R), क्षमता विलुप्त हो जाती है। इस प्रकार व्रत के अंदर की क्षमता दो आवेशों की क्षमता के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति द्वारा दी गई है। यह क्षमता व्रत के बाहर मान्य नहीं होगी, क्योंकि छवि आवेश वास्तव में उपस्तिथ नहीं है, किन्तु $\mathbf {p}$ आंतरिक आवेश द्वारा व्रत पर प्रेरित सतह आवेश घनत्व के लिए स्थित है। ग्राउंडेड व्रत के बाहर की क्षमता केवल व्रत के बाहर आवेश के वितरण से निर्धारित होगी और व्रत के अंदर आवेश वितरण से स्वतंत्र होगी। यदि हम सरलता के लिए (सामान्यता की हानि के बिना) यह मान लें कि आंतरिक आवेश z-अक्ष पर स्थित है, तो प्रेरित आवेश घनत्व केवल वृत्ताकार निर्देशांक θ का एक कार्य होगा और इसे इस प्रकार दिया जाता है:

$\sigma (\theta )=\varepsilon _{0}\left.{\frac {\partial V}{\partial r}}\right|_{r=R}={\frac {-q\left(R^{2}-p^{2}\right)}{4\pi R\left(R^{2}+p^{2}-2pR\cos \theta \right)^{3/2}}}$

व्रत पर कुल आवेश सभी कोणों को एकीकृत करके पाया जा सकता है:

$Q_{t}=\int _{0}^{\pi }d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,\,\sigma (\theta )R^{2}\sin \theta =-q$

ध्यान दें कि इस विधि से पारस्परिक समस्या का भी समाधान हो जाता है। यदि हमारे समीप त्रिज्या R के एक ग्राउंडेड व्रत के बाहर सदिश स्थिति $\mathbf {p}$ पर चार्ज q है, तो व्रत के बाहर की क्षमता चार्ज की क्षमता और व्रत के अंदर उसके छवि चार्ज के योग द्वारा दी जाती है। पहले स्तिथियों की तरह, छवि आवेश पर -qR/p आवेश होगा और यह सदिश स्थिति $\left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p}$ पर स्थित होगा। व्रत के अंदर की क्षमता केवल व्रत के अंदर वास्तविक आवेश वितरण पर निर्भर करेगी। पहले स्तिथियों के विपरीत, अभिन्न का मान −qR/p होगा।

विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण

विद्युत बिंदु द्विध्रुव की छवि थोड़ी अधिक सम्मिश्र है। यदि द्विध्रुव को एक छोटी दूरी से अलग किए गए दो बड़े आवेशों के रूप में चित्रित किया गया है, तो द्विध्रुव की छवि में न केवल उपरोक्त प्रक्रिया द्वारा संशोधित आवेश होंगे, किन्तु उनके मध्य की दूरी भी संशोधित होगी। उपर्युक्त प्रक्रिया के पश्चात्, यह पाया गया है कि त्रिज्या आर के व्रत के अंदर सदिश स्थिति $\mathbf {p}$ पर द्विध्रुव क्षण $M$ के साथ एक द्विध्रुव की एक छवि सदिश स्थिति $\left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p}$ पर स्थित होगी (अर्थात साधारण आवेश के समान) और इसका साधारण चार्ज होगा:

$q'={\frac {R\mathbf {p} \cdot \mathbf {M} }{p^{3}}}$

और एक द्विध्रुव क्षण:

$\mathbf {M} '=\left({\frac {R}{p}}\right)^{3}\left[-\mathbf {M} +{\frac {2\mathbf {p} (\mathbf {p} \cdot \mathbf {M} )}{p^{2}}}\right]$

व्युत्क्रमण की विधि

किसी व्रत के लिए छवियों की विधि सीधे व्युत्क्रमण की विधि की ओर ले जाती है। यदि हमारे पास स्थिति $\Phi (r,\theta ,\phi )$ का एक हार्मोनिक फ़ंक्शन है जहाँ $r,\theta ,\phi$ स्थिति के वृत्ताकार निर्देशांक हैं, तो मूल बिंदु के बारे में त्रिज्या आर के एक क्षेत्र में इस हार्मोनिक फ़ंक्शन की छवि होगी

$\Phi '(r,\theta ,\phi )={\frac {R}{r}}\,\Phi {\left({\frac {R^{2}}{r}},\theta ,\phi \right)}$

यदि विभव $\Phi$ स्थिति $(r_{i},\theta _{i},\phi _{i})$ पर परिमाण $q_{i}$ के आवेशों के एक समुच्चय से उत्पन्न होता है तो छवि क्षमता स्थिति $(R^{2}/r_{i},\theta _{i},\phi _{i})$ पर परिमाण $Rq_{i}/r_{i}$ के आवेशों की एक श्रृंखला का परिणाम होगी। यह इस प्रकार है कि यदि विभव $\Phi$ आवेश घनत्व $\rho (r,\theta ,\phi )$ से उत्पन्न होता है तो छवि क्षमता चार्ज घनत्व $\rho '(r,\theta ,\phi )=(R/r)\rho (R^{2}/r,\theta ,\phi )$ का परिणाम होगा|

यह भी देखें

• केल्विन परिवर्तन
• कूलम्ब का नियम
• विचलन प्रमेय
• फ्लक्स
• गॉसियन सतह
• श्वार्ज प्रतिबिंब सिद्धांत
• पॉइसन के समीकरण के लिए विशिष्टता प्रमेय
• छवि एंटीना
• सतह तुल्यता सिद्धांत

संदर्भ

• Jackson, John D. (1962). Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons.
• Jeans, James H. (1908). The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism. Cambridge University Press.

अग्रिम पठन

• Feynman, Richard; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (1989). Feynman Lectures on Physics, Mainly Electromagnetism and Matter. Addison-Wesley. ISBN 0-201-51003-0.
• Landau, Lev D.; Lifshitz, Evgeny M.; Pitaevskii, Lev P. (1960). Electrodynamics of Continuous Media 2nd Edition. London: Elsevier. ISBN 978-0-7506-2634-7.
• Purcell, Edward M. Berkeley Physics Course, Vol-2: Electricity and Magnetism (2nd ed.). McGraw-Hill.