ज्यामितीय गणना

Not to be confused with मैट्रिक्स कैलकुलस or सदिश कैलकुलस.

गणित में, ज्यामितीय कलन विभेदीकरण और एकीकरण को सम्मलित करने के लिए ज्यामितीय बीजगणित का विस्तार करता है। नियम-निष्ठता प्रभावशाली है और अंतर ज्यामिति और अंतर रूपों सहित अन्य गणितीय सिद्धांतों को सम्मलित करने के लिए दिखाया जा सकता है।

भेद

दिए गए ज्यामितीय बीजगणित के साथ, मान लीजिए $a$ और $b$ सदिश (गणित और भौतिकी) हो और $F$ सदिश का एक बहुसदिश-मूल्यवान फलन हो। की दिशात्मक व्युत्पत्ति $F$ साथ में $b$ पर $a$ परिभाषित किया जाता है

$(\nabla _{b}F)(a)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {F(a+\epsilon b)-F(a)}{\epsilon }},$

बशर्ते कि सीमा सभी के लिए उपस्थित हो $b$, जहां अदिश के लिए सीमा ली जाती है $\epsilon$. यह एक दिशात्मक व्युत्पत्ति की सामान्य परिभाषा के समान है, लेकिन इसे उन कार्यों तक विस्तारित करता है जो आवश्यक रूप से अदिश-मूल्यवान नहीं हैं।

अगला, आधार सदिश का एक सेट चुनें $\{e_{i}\}$ और संचालको पर विचार करें, निरूपित $\partial _{i}$, जो की दिशाओं में दिशात्मक व्युत्पन्न करता है $e_{i}$:

$\partial _{i}:F\mapsto (x\mapsto (\nabla _{e_{i}}F)(x)).$

फिर, आइंस्टीन योग अंकन का उपयोग करते हुए, संकारक पर विचार करें:

$e^{i}\partial _{i},$

मतलब

$F\mapsto e^{i}\partial _{i}F,$

जहां दिशात्मक व्युत्पन्न के पश्चात ज्यामितीय उत्पाद लागू होता है। अधिक मौखिक रूप से:

$F\mapsto (x\mapsto e^{i}(\nabla _{e_{i}}F)(x)).$

यह ऑपरेटर फ्रेम की पसंद से स्वतंत्र है, और इस प्रकार यह परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है कि ज्यामितीय कलन में सदिश व्युत्पन्न कहा जाता है:

$\nabla =e^{i}\partial _{i}.$

यह प्रवणता की सामान्य परिभाषा के समान है, लेकिन यह उन कार्यों तक भी फैली हुई है जो आवश्यक रूप से अदिश-मूल्यवान नहीं हैं।

दिशात्मक व्युत्पन्न अपनी दिशा के संबंध में रैखिक है, अर्थात:

$\nabla _{\alpha a+\beta b}=\alpha \nabla _{a}+\beta \nabla _{b}.$

इससे यह पता चलता है कि दिशात्मक व्युत्पन्न सदिश व्युत्पन्न द्वारा इसकी दिशा का आंतरिक उत्पाद है। सभी को देखने की जरूरत है कि दिशा है $a$ लिखा जा सकता है $a=(a\cdot e^{i})e_{i}$, जिससे कि:

$\nabla _{a}=\nabla _{(a\cdot e^{i})e_{i}}=(a\cdot e^{i})\nabla _{e_{i}}=a\cdot (e^{i}\nabla _{e_{i}})=a\cdot \nabla .$

इस कारण से, $\nabla _{a}F(x)$ अधिकांशतः नोट किया जाता है $a\cdot \nabla F(x)$.

सदिश व्युत्पन्न के संचालन का मानक क्रम यह है कि यह केवल अपने तत्काल दाईं ओर निकटतम फलन पर कार्य करता है। दो फलन दिए गए $F$ और $G$, तो उदाहरण के लिए हमारे पास है

$\nabla FG=(\nabla F)G.$

उत्पाद नियम

चूंकि आंशिक व्युत्पन्न एक उत्पाद नियम प्रदर्शित करता है, सदिश व्युत्पन्न केवल आंशिक रूप से इस संपत्ति को प्राप्त करता है। दो फलन पर विचार करें $F$ और $G$:

$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}(FG)& =e^i{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i(FG)\\ & =e^i(\end{array}$