डिक्सन बहुपद

गणित में, डिक्सन बहुपद, जिसे D_n(x,α) द्वारा निरूपित किया जाता है, एल.ई. डिक्सन (1897) द्वारा प्रस्तुत एक बहुपद अनुक्रम बनाता है। ब्रेवर (1961) द्वारा ब्रेवर योगों के अपने अध्ययन में उन्हें फिर से खोजा गया कई बार, यद्यपि कदाचित, ब्रेवर बहुपद के रूप में संदर्भित किया गया हो।

सम्मिश्र संख्याओं में, डिक्सन बहुपद चर के परिवर्तन के साथ अनिवार्य रूप से चेबीशेव बहुपदों के समतुल्य हैं, और, वस्तुतः, डिक्सन बहुपदों को कभी-कभी चेबीशेव बहुपद कहा जाता है।

डिक्सन बहुपदों का अध्ययन सामान्यतः परिमित क्षेत्रों पर किया जाता है, जहाँ वे कभी-कभी चेबीशेव बहुपदों के समतुल्य नहीं हो सकते हैं। उनमें रुचि का एक मुख्य कारण निश्चित α के लिए, वे क्रमपरिवर्तन बहुपदों के कई उदाहरण देते हैं; परिमित क्षेत्रों के क्रमपरिवर्तन के रूप में कार्य करने वाले बहुपद।

परिभाषा

प्रथम प्रकार

पहचान के साथ क्रमविनिमेय वलय R में पूर्णांक n > 0 और α के लिए(प्रायः परिमित क्षेत्र F_q = GF(q) चुना जाता है) R पर डिक्सन बहुपद(प्रथम प्रकार का)

$D_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n}{n-i}}{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,$

द्वारा दिया जाता है।

पूर्व कुछ डिक्सन बहुपद

${\begin{aligned}D_{1}(x,\alpha )&=x\\D_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-2\alpha \\D_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-3x\alpha \\D_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-4x^{2}\alpha +2\alpha ^{2}\\D_{5}(x,\alpha )&=x^{5}-5x^{3}\alpha +5x\alpha ^{2}\,\end{aligned}}$

हैं।

वे प्रारंभिक प्रतिबंधों D₀(x,α) = 2 और D₁(x,α) = x के साथ n ≥ 2,

$D_{n}(x,\alpha )=xD_{n-1}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2}(x,\alpha )\,,$

के लिए पुनरावृत्ति संबंध द्वारा भी उत्पन्न हो सकते हैं।

गुणांक पूर्व दो पदों के लिए न्यूनतम अंतर के साथ ओईआईएस में कई स्थानों पर दिए गए हैं।

द्वितीय प्रकार

द्वितीय प्रकार के डिक्सन बहुपद, E_n(x,α)

$E_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}$

द्वारा परिभाषित किए गए हैं।

उनका अधिक अध्ययन नहीं किया गया है, और प्रथम प्रकार के डिक्सन बहुपदों के समान गुण हैं। द्वितीय प्रकार के पूर्व कुछ डिक्सन बहुपद

${\begin{aligned}E_{0}(x,\alpha )&=1\\E_{1}(x,\alpha )&=x\\E_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-\alpha \\E_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-2x\alpha \\E_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-3x^{2}\alpha +\alpha ^{2}\,\end{aligned}}$