तरंग सदिश (वेव वेक्टर)

भौतिकी में तरंग सदिश वह सदिश (ज्यामितीय) है जिसका उपयोग तरंगों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जिसकी विशिष्ट इकाई का क्रम प्रति मीटर में प्रदर्शित होता है। इसमें यूक्लिडियन सदिश भी सम्मिलित रहता है। इसका परिमाण तरंग की तरंग संख्या है (तरंग दैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती), और इसकी दिशा तरंगाग्र के लंबवत होती है। इस प्रकार आइसोट्रोपिक मीडिया में यह तरंग परिक्षेपण की दिशा भी है।

कोणीय तरंग सदिश (या कोणीय तरंग सदिश) निकट संबंधी सदिश है, जिसकी विशिष्ट इकाई रेडियन प्रति मीटर है। इस प्रकार तरंग सदिश और कोणीय तरंग सदिश आनुपातिकता के निश्चित स्थिरांक 2π रेडियन प्रति चक्र से संबंधित हैं।

भौतिकी के कई क्षेत्रों में कोणीय तरंग सदिश को केवल तरंग सदिश के रूप में संदर्भित करना सामान्य है, इस प्रकार उदाहरण के लिए क्रिस्टलोग्राफी इसका प्रमुख उदाहरण हैं। जो भी उपयोग में है उसके लिए प्रतीक 'के' का उपयोग करना भी सरल है।

विशेष सापेक्षता के संदर्भ में, तरंग सदिश चार-सदिश को संदर्भित कर सकता है, जिसमें (कोणीय) तरंग सदिश और (कोणीय) आवृत्ति संयुक्त होती है।

परिभाषा

See also: गमन तरंग

एक साइन तरंग की तरंग दैर्ध्य, λ, को समान चरण (तरंगों) के साथ किन्हीं दो क्रमशः बिंदुओं के बीच मापा जा सकता है, जैसे आसन्न शिखरों, या गर्तों, या आसन्न शून्य क्रॉसिंग के बीच पारगमन की ही दिशा के साथ, जैसा कि दिखाया गया है।

तरंग सदिश और कोणीय तरंग सदिश का उपयोग अलग-अलग अर्थों के साथ किया जाता है। यहाँ, तरंग सदिश k को निरूपित किया जाता है और तरंग संख्या k = |k| और कोणीय तरंग सदिश द्वारा k और कोणीय तरंग संख्या k = |k| द्वारा निरूपित किया जाता है, ये k = 2πk से संबंधित हैं।

एक ज्यावक्रीय यात्रा तरंग समीकरण का अनुसरण करती है।

$\psi (\mathbf {r} ,t)=A\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi ),$

जहाँ:

• R स्थिति है,
• t समय है,
• $\psi$ तरंग का वर्णन करने वाली अशांति का वर्णन करने वाले आर और t का कार्य है (उदाहरण के लिए, समुद्र की तरंग के लिए, $\psi$ पानी की अधिक ऊंचाई होगी, या ध्वनि तरंग के लिए, $\psi$ अतिरिक्त वायु दाब होगा)।
• A तरंग का आयाम है (दोलन का चरम परिमाण),
• $\varphi$ चरण ऑफसेट है,
• $\omega$ तरंग की (अस्थायी) कोणीय आवृत्ति है, यह वर्णन करता है कि यह प्रति इकाई समय में कितने दोलनों को पूरा करता है, और अवधि (भौतिकी) से संबंधित है $T$ समीकरण द्वारा $\omega =2\pi /T$ के समान रहता हैं,
• $\mathbf {k}$ तरंग का कोणीय तरंग सदिश है, यह वर्णन करता है कि यह प्रति इकाई दूरी में कितने दोलनों को पूरा करता है, और समीकरण $|\mathbf {k} |=2\pi /\lambda$ द्वारा तरंग दैर्ध्य से संबंधित है।

तरंग सदिश और आवृत्ति का प्रयोग करते हुए समतुल्य समीकरण है

$\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=A\cos \left(2\pi ({\overset {\frown }{\mathbf {k} }}\cdot {\mathbf {r} }-\nu t)+\varphi \right),$

जहाँ पर:

• $\nu$ आवृत्ति है।
• k तरंग सदिश है।

तरंग सदिश की दिशा

Main article: सामूहिक वेग

जिस दिशा में तरंग सदिश पॉइंट्स को तरंग परिक्षेपण की दिशा से अलग किया जाना चाहिए। तरंग परिक्षेपण की दिशा तरंग के ऊर्जा प्रवाह की दिशा है, और वह दिशा जिसमें छोटा तरंग पैकेट चलेगा, अर्ताथ समूह वेग की दिशा में प्रदर्षित होता हैं। निर्वात में प्रकाश तरंगों के लिए यह पॉयंटिंग सदिश की दिशा भी है। इसी प्रकार दूसरी ओर तरंग सदिश चरण वेग की दिशा में इंगित करता है। दूसरे शब्दों में, तरंग सदिश तरंग सामने के सामान्य सतह पर इंगित करता है, जिसे तरंग फ्रंट भी कहा जाता है।

वायु किसी भी गैस, किसी भी तरल को अनाकार ठोस (जैसे कांच) और घन क्रिस्टल जैसे क्षीणन आइसोट्रॉपी में तरंगसदिश की दिशा तरंग परिक्षेपण की दिशा के समान होती है। यदि माध्यम अनिसोट्रोपिक है, तो तरंग सदिश सामान्य रूप से तरंग परिक्षेपण के अतिरिक्त अन्य दिशाओं में इंगित करता है। तरंग सदिश सदैव स्थिर चरण की सतहों के लंबवत होता है।

उदाहरण के लिए, जब तरंग असमदिग्वर्ती होने की दशा के माध्यम से यात्रा करती है, जैसे कि क्रिस्टल प्रकाशिकी के माध्यम से ध्वनि तरंगें, तरंग सदिश तरंग परिक्षेपण की दिशा में सटीक रूप से इंगित नहीं कर सकता है।

ठोस अवस्था भौतिकी में

Main article: ब्लाॅच का सिद्धांत

ठोस-अवस्था भौतिकी में, क्रिस्टल में [[इलेक्ट्रॉन छेद]] इलेक्ट्रॉन छिद्र का तरंगसदिश (जिसे k-सदिश भी कहा जाता है) इसके क्वांटम यांत्रिकी तरंग क्रिया का तरंगसदिश है। ये इलेक्ट्रॉन तरंगें साधारण सायनोसैड्युवल तरंगें नहीं हैं, अपितु उनके पास प्रकार का तरंगें रहती है, जो साइनसॉइडल होती है, और तरंगसदिश को उस तरंग के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, सामान्यतः भौतिकी परिभाषा का उपयोग करते हुए अधिक जानकारी के लिए बलोच की प्रमेय देखें।

विशेष सापेक्षता में

विशेष आपेक्षिकता में गतिमान तरंग सतह को दिक्-काल में हाइपरसफेस (3डी उप क्षेत्र) के रूप में माना जा सकता है, जो तरंग सतह द्वारा पारित सभी घटनाओं द्वारा गठित होती है। तरंगट्रेन (कुछ चर X द्वारा चिह्नित) को स्पेसटाइम में ऐसे हाइपरसर्फ्स के एक-पैरामीटर परिवार के रूप में माना जा सकता है। यह चर X स्पेसटाइम में स्थिति का अदिश फलन है। इस अदिश का व्युत्पन्न सदिश है जो तरंग चार-तरंग सदिश की विशेषता बताता है।

फोर-तरंगसदिश तरंग फोर-सदिश है जिसे मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में परिभाषित किया गया है:

$K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {n}}\right)=\left({\frac {2\pi }{cT}},{\frac {2\pi {\hat {n}}}{\lambda }}\right)\,$

जहाँ कोणीय आवृत्ति ${\frac {\omega }{c}}$ टेम्पोरल कंपोनेंट और तरंगनंबर सदिश है, जिसका ${\vec {k}}$ स्थानिक घटक है।

वैकल्पिक रूप से, तरंगनंबर $k$ कोणीय आवृत्ति के रूप में लिखा जा सकता है। इस प्रकार $\omega$ चरण वेग से विभाजित किया जाता हैं। इस प्रकार चरण-वेग $v_{p}$, या व्युत्क्रम अवधि के संदर्भ में $T$ और व्युत्क्रम तरंग दैर्ध्य $\lambda$ द्वारा प्रदर्शित करते हैं।

जब स्पष्ट रूप से लिखा जाता है तो इसका सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण और सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण रूप हैं:

${\begin{aligned}K^{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,\\K_{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\end{aligned}}$

सामान्यतः तरंग चार-सदिश का लोरेंत्ज़ स्केलर परिमाण है:

$K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=\left({\frac {\omega _{o}}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}$

चार-तरंगसदिश कॉसल स्ट्रक्चर है, इस प्रकार द्रव्यमान रहित कण (फोटोनिक) कणों के लिए स्पर्शरेखा वैक्टर, जहाँ द्रव्यमान $m_{o}=0$ अशक्त चार-तरंगसदिश का उदाहरण सुसंगत रूप से एक रंग वाले प्रकाश की किरण को प्रदर्शित करेगा, जिसमें चरण-वेग $v_{p}=c$ होता है।

$K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{c}}{\hat {n}}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {n}}\right)\,$ {प्रकाश की तरह/शून्य} के लिए

जिसमें चार-तरंगसदिश के स्थानिक भाग की आवृत्ति और परिमाण के बीच निम्नलिखित संबंध होंगे:

$K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=0$ {प्रकाश की तरह/शून्य} के लिए

फोर-तरंगसदिश चार गति से इस प्रकार संबंधित है:

$P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)$

फोर-तरंगसदिश चार-आवृत्ति से निम्नानुसार संबंधित है:

$K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)N^{\mu }=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)\left(\nu ,\nu {\vec {n}}\right)$

फोर-तरंगसदिश चार-वेग से इस प्रकार संबंधित है:

$K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)U^{\mu }=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)$

लोरेंत्ज़ परिवर्तन

सापेक्षवादी डॉपलर प्रभाव को प्राप्त करने की विधि चार विभिन्न तरंगों वाले सदिश के साथ लोरेंत्ज़ परिवर्तन को लेना है। इस प्रकार लोरेंत्ज़ मैट्रिक्स को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$\Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

ऐसी स्थिति में जहाँ तेज गति वाले स्रोत द्वारा प्रकाश उत्सर्जित किया जा रहा है और कोई पृथ्वी (प्रयोगशाला) फ्रेम में प्रकाश की आवृत्ति का पता लगाना चाहेगा, हम लोरेंत्ज़ परिवर्तन को निम्नानुसार लागू करेंगे। ध्यान दें कि स्रोत फ्रेम S^s में है और पृथ्वी अवलोकन फ़्रेम S^{अवलोकन} में है,

तरंग सदिश में लोरेंत्ज़ परिवर्तन को लागू करना हैं।

$k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }$

और सिर्फ देखने के लिए चुनना $\mu =0$ घटक परिणाम हैं

${\begin{aligned}k_{s}^{0}&=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\\[3pt]{\frac {\omega _{s}}{c}}&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\\&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\end{aligned}}$

जहाँ $\cos \theta$ की दिशा कोसाइन है। जिसमें $k^{1}$ इसके संबंध में $k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .$ समीकरण प्राप्त होता हैं। इसलिए

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}}$

स्रोत दूर जा रहा है (रेडशिफ्ट)

एक उदाहरण के रूप में, इसे ऐसी स्थिति में लागू करने के लिए जहाँ स्रोत पर्यवेक्षक ($\theta =\pi$) से सीधे दूर जा रहा हो, यह बन जाता है:

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}$

स्रोत की ओर बढ़ रहा है (ब्लूशिफ्ट)

इसे ऐसी स्थिति में लागू करने के लिए जहाँ स्रोत सीधे प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा हो ($\theta =0$), यह बन जाता है:

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}$

स्रोत स्पर्शरेखीय गतिमान (अनुप्रस्थ डॉप्लर प्रभाव)

इसे ऐसी स्थिति में लागू करने के लिए जहाँ स्रोत प्रेक्षक के संबंध में अनुप्रस्थ गति ($\theta =\pi /2$) कर रहा है, इस स्थिति में उक्त समीकरण प्राप्त होता हैं:

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-0)}}={\frac {1}{\gamma }}$

यह भी देखें

• समतल तरंग विस्तार
• घटना का क्षेत्र

अग्रिम पठन

• Brau, Charles A. (2004). Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-514665-3.