तिरछा निर्देशांक

विषम या तिरछे निर्देशांकों का निकाय एक ऐसा वक्ररेखीय निर्देशांक निकाय है जहाँ निर्देशांक सतहें लम्बकोणीय नहीं होती हैं, जो कि लम्बकोणीय निर्देशांकों की स्थिति के विपरीत है।

विषम निर्देशांक, लम्बकोणीय निर्देशांकों की तुलना में कार्य करने के लिए अधिक जटिल होते हैं क्योंकि मीट्रिक टेन्सर में ऐसे अशून्य अप-विकर्ण घटक होते हैं, जो टेंसर बीजगणित और टेंसर कलन के सूत्रों में कई सामान्यीकरणों को बाधित करते हैं। मीट्रिक टेंसर के अशून्य अप-विकर्ण घटक निर्देशांक के आधार सदिशों की गैर-लम्बकोणीयता के प्रत्यक्ष परिणाम हैं, क्योंकि परिभाषा के अनुसार:

$g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}$

जहाँ $g_{ij}$ मीट्रिक टेंसर और $\mathbf {e} _{i}$ (सहसंयोजक) आधार सदिश है।

ये निर्देशांक निकाय तब उपयोगी हो सकते हैं जब किसी समस्या की ज्यामिति एक विषम निकाय में सुव्यवस्थित होती है। उदाहरण के लिए, समान्तर चतुर्भुज में लाप्लास के समीकरण को हल करना तब सबसे आसान होता है जब इसे उपयुक्त विषम निर्देशांकों में हल किया जाए।

एक विषम अक्ष वाले कार्तीय निर्देशांक

एक ऐसा निर्देशांक निकाय जहाँ x अक्ष को z अक्ष की ओर मोड़ दिया गया है।

कार्तीय निर्देशांक निकाय, विषम निर्देशांक निकाय की सरलतम त्रि-विमीय स्थिति है जहाँ इसके अक्षों में से एक अक्ष, (माना x-अक्ष) किसी कोण $\phi$ पर झुका हुआ होता है, जो शेष दो अक्षों पर लम्ब होता है। इस उदाहरण के लिए, कार्तीय निर्देशांक के x-अक्ष को z-अक्ष की ओर $\phi$ कोण पर झुका दिया गया है, जो कि y-अक्ष पर लम्ब है।

बीजगणित और उपयोगी राशियाँ

माना $\mathbf {e} _{1}$, $\mathbf {e} _{2}$, और $\mathbf {e} _{3}$ क्रमशः $x$, $y$, और $z$ अक्षों के अनुदिश इकाई सदिश हैं। ये सदिश आधार के सहपरिवर्ती को निरूपित करते हैं; इनके बिंदु गुणनों की गणना करने से मीट्रिक टेन्सर प्राप्त होता है:

$[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&\sin(\phi )\\0&1&0\\\sin(\phi )&0&1\end{pmatrix}},\qquad [g^{ij}]={\frac {1}{\cos ^{2}(\phi )}}{\begin{pmatrix}1&0&-\sin(\phi )\\0&\cos ^{2}(\phi )&0\\-\sin(\phi )&0&1\end{pmatrix}}$

जहाँ

$\quad g_{13}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\phi \right)=\sin(\phi )$

और

${\sqrt {g}}=\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})=\cos(\phi )$

जो कि ऐसी राशियाँ हैं जो बाद में उपयोगी होती हैं।

इसका प्रतिपरिवर्ती आधार इस प्रकार है

$\mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\sqrt {g}}}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\cos(\phi )}}$

$\mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\sqrt {g}}}=\mathbf {e} _{2}$

$\mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\sqrt {g}}}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\cos(\phi )}}$

प्रतिपरिवर्ती आधार उपयोग हेतु अधिक सुविधाजनक नहीं है, हालाँकि यह परिभाषाओं में दिखाई देता है इसलिए इस पर विचार किया जाना चाहिए। हम राशियों को सहपरिवर्ती आधार के सापेक्ष लिखने के पक्ष में हैं।

चूँकि सभी आधार सदिश स्थिर हैं, अतः सदिश योग और अंतर सामान्यतः परिचित घटक-वार योग और अंतर होता है। अब माना

$\mathbf {a} =\sum _{i}a^{i}\mathbf {e} _{i}\quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {b} =\sum _{i}b^{i}\mathbf {e} _{i}$

जहाँ योग सूचकांक के सभी मानों (इस स्थिति में, i = 1, 2, 3) पर योग को दर्शाता है। इन सदिशों के प्रतिपरिवर्ती और सहपरिवर्ती घटक निम्न प्रकार संबंधित हो सकते हैं

$a^{i}=\sum _{j}a_{j}g^{ij}$

जिससे, स्पष्ट रूप से,

$a^{1}={\frac {a_{1}-\sin(\phi )a_{3}}{\cos ^{2}(\phi )}},$

$a^{2}=a_{2},$

$a^{3}={\frac {-\sin(\phi )a_{1}+a_{3}}{\cos ^{2}(\phi )}}.$

इसके बाद प्रतिपरिवर्ती घटकों के पदों में बिंदु गुणन

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b^{1}+a^{2}b^{2}+a^{3}b^{3}+\sin(\phi )(a^{1}b^{3}+a^{3}b^{1})$

और सहपरिवर्ती घटकों के पदों में

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{\cos ^{2}(\phi )}}[a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\cos ^{2}(\phi )+a_{3}b_{3}-\sin(\phi )(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1})].$

है।

कलन

परिभाषा से, एक अदिश फलन f का ग्रेडिएंट निम्न है

$\nabla f=\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {e} ^{1}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {e} ^{2}+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} ^{3}$

जहाँ $q_{i}$ सूचित x, y, z निर्देशांक हैं। प्रतिपरिवर्ती आधार के पदों में लिखित एक सदिश के रूप में स्वीकार करते हुए, इसे पुनः इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$\nabla f={\frac {{\frac {\partial f}{\partial x}}-\sin(\phi ){\frac {\partial f}{\partial z}}}{\cos(\phi )^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {-\sin(\phi ){\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}}{\cos(\phi )^{2}}}\mathbf {e} _{3}.$

एक सदिश $\mathbf {a}$ का विचलन

$\nabla \cdot \mathbf {a} ={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}a^{i}\right)={\frac {\partial a^{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial a^{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial a^{3}}{\partial z}}.$

और एक टेंसर $\mathbf {A}$ का विचलन

$\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}a^{ij}\mathbf {e} _{j}\right)=\sum _{i,j}\mathbf {e} _{j}{\frac {\partial a^{ij}}{\partial q^{i}}}.$

है। f का लाप्लासियन

$\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f={\frac {1}{\cos(\phi )^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-2\sin(\phi ){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial z}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$

है, और चूँकि सहपरिवर्ती आधार लम्ब और स्थिर है, अतः सदिश लाप्लासियन सहपरिवर्ती आधार के पदों में लिखे गए सदिश के घटकवार लाप्लासियन के समान है।

जबकि बिंदु गुणन और ग्रेडिएंट दोनों ही कुछ अव्यवस्थित हैं, जिसमें इनके पास (कार्तीय निकाय की तुलना में) अतिरिक्त पद हैं, तब बिंदु गुणन को एक ग्रेडिएंट के साथ जोड़ने वाला अभिवहन संकारक बहुत सरल हो जाता है:

$(\mathbf {a} \cdot \nabla )=\left(\sum _{i}a^{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\mathbf {e} ^{i}\right)=\left(\sum _{i}a^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\right)$

जो सहपरिवर्ती आधार में अभिव्यक्त किये जाने पर अदिश और सदिश दोनों फलनों पर घटकवार लागू हो सकता है।

अंत में, सदिश का कर्ल (गणित) निम्न है

$\nabla \times \mathbf {a} =\sum _{i,j,k}\mathbf {e} _{k}\epsilon ^{ijk}{\frac {\partial a_{j}}{\partial q^{i}}}=$

${\frac {1}{\cos(\phi )}}\left(\left(\sin(\phi ){\frac {\partial a^{1}}{\partial y}}+{\frac {\partial a^{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial a^{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\frac {\partial a^{1}}{\partial z}}+\sin(\phi )\left({\frac {\partial a^{3}}{\partial z}}-{\frac {\partial a^{1}}{\partial x}}\right)-{\frac {\partial a^{3}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial a^{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial a^{1}}{\partial y}}-\sin(\phi ){\frac {\partial a^{3}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}\right).$