तीन चरणों का प्रमेय

सिविल इंजीनियरिंग और संरचनात्मक विश्लेषण में बेनोइट पॉल एमिल क्लैपेरॉन का तीन चरणों का प्रमेय क्षैतिज बीम के निरंतर तीन समर्थनों पर झुकने वाले चरणों के मध्य एक संबंध है।

मान लीजिए A,B,C-D समर्थन के तीन निरंतर बिंदु हैं, और इन खंडों में लंबाई की प्रति इकाई भार को w और $w'$ द्वारा एबी की लंबाई और $l'$ BC की लंबाई से निरूपित करें। इस प्रकर से फिर झुकने वाले चरण

तीन बिंदुओं पर $M_{A},\,M_{B},\,M_{C}$ संबंधित हैं:

$M_{A}l+2M_{B}(l+l')+M_{C}l'={\frac {1}{4}}wl^{3}+{\frac {1}{4}}w'(l')^{3}.$

इस समीकरण को इस प्रकार से लिखा जा सकता है

$M_{A}l+2M_{B}(l+l')+M_{C}l'={\frac {6a_{1}x_{1}}{l}}+{\frac {6a_{2}x_{2}}{l'}}$

जहाँ a₁ AB पर ऊर्ध्वाधर भार के कारण बंकन और चरण आरेख पर क्षेत्र है, a₂ BC, पर भार के कारण क्षेत्रफल है, x₁ बीम AB, के बंकन आघूर्ण आरेख के A से केन्द्रक तक की दूरी है, x₂ बीम BC के बंकन आघूर्ण आरेख के क्षेत्र के C से केन्द्रक तक की दूरी है।

इस प्रकर से द्वतीय समीकरण अधिक सामान्य है क्योंकि इसमें प्रत्येक खंड का भार समान रूप से वितरित करने की आवश्यकता नहीं है।

चित्र 01-नमूना सतत बीम अनुभाग

तीन आघूर्ण समीकरणों की व्युत्पत्ति

क्रिश्चियन ओटो मोहर का प्रमेय तीन चरण प्रमेय को प्राप्त करने के लिए (टीएमटी) का उपयोग किया जा सकता है।

मोहर का प्रथम प्रमेय

एक बीम के दो बिंदुओं के मध्य विक्षेपण (भौतिकी) वक्र के ढलान में परिवर्तन उन दो बिंदुओं के मध्य एम/ईआई आरेख के क्षेत्र के समान होता है। (चित्रा 02)

चित्र 02-मोहर का प्रथम प्रमेय

मोहर का द्वतीय प्रमेय

इस प्रकर से एक बीम (संरचना) पर दो बिंदुओं k1 और k2 पर विचार करें। अर्थत्‌ K1 और k2 पर स्पर्शरेखा और k1 के माध्यम से ऊर्ध्वाधर के मध्य प्रतिच्छेदन बिंदु के सापेक्ष k1 और k2 का विक्षेपण (भौतिकी) k1 और k2 के मध्य k1 के बारे में एम/ईआई आरेख के चरण के समान है। (चित्र 03)

चित्र03-मोहर का द्वतीय प्रमेय

किंतु तीन चरण समीकरण एक निरंतर बीम के तीन क्रमिक समर्थनों पर झुकने वाले चरणों के मध्य संबंध को व्यक्त करता है, जो कि समर्थन के निपटान (संरचनात्मक) के साथ या उसके बिना दो आसन्न अवधि पर लोडिंग के अधीन है।

संकेत परिपाटी

चित्र 04 के अनुसार,

1. चरण M1, M2, और M3 सकारात्मक होंगे यदि वे बीम के ऊपरी भाग में संपीड़न (भौतिक) का कारण बनते हैं। (सकारात्मक शिथिलता)
2. विक्षेपण (भौतिकी) नीचे की ओर सकारात्मक। (डाउनवर्ड सेटलमेंट पॉजिटिव)
3. मान लीजिए कि ABC A,B और C पर समर्थन के साथ एक सतत किरण है। फिर A,B और C पर आघूर्ण क्रमशः M1, M2 और M3 हैं।
4. मान लीजिए कि समर्थन निपटान (संरचनात्मक) के कारण A' B' और C' बीम ABC की अंतिम स्थिति हैं।

चित्र 04-निपटान के अधीन एक सतत बीम का विक्षेपण वक्र

तीन चरण प्रमेय की व्युत्पत्ति

इस प्रकर से PB'Q बीम (संरचना) एबीसी के अंतिम लोच (भौतिकी) वक्र A'B'C' के लिए B' पर खींची गई स्पर्श रेखा है। मान लिजिये RB'S, B' से होकर खींची गई एक क्षैतिज रेखा है।

त्रिभुज RB'P और QB'S पर विचार करें।

${\dfrac {PR}{RB'}}={\dfrac {SQ}{B'S}},$

${\dfrac {PR}{L1}}={\dfrac {SQ}{L2}}$

(1)

$PR=\Delta B-\Delta A+PA'$

(2)

$SQ=\Delta C-\Delta B-QC'$

(3)

(1), (2), और (3) से,

${\dfrac {\Delta B-\Delta A+PA'}{L1}}={\dfrac {\Delta C-\Delta B-QC'}{L2}}$

${\dfrac {PA'}{L1}}+{\dfrac {QC'}{L2}}={\dfrac {\Delta A-\Delta B}{L1}}+{\dfrac {\Delta C-\Delta B}{L2}}$

(a)

इस प्रकर से PA' और QC' ज्ञात करने के लिए एम/ईआई आरेख बनाएं।

चित्र 05 - एम/ईआई आरेख

मोहर के द्वतीय प्रमेय से

PA' = A के बारे में A और B के मध्य एम/ईआई आरेख के क्षेत्र का प्रथम चरण है।

$PA'=\left({\frac {1}{2}}\times {\frac {M_{1}}{E_{1}I_{1}}}\times L_{1}\right)\times L_{1}\times {\frac {1}{3}}+\left({\frac {1}{2}}\times {\frac {M_{2}}{E_{2}I_{2}}}\times L_{1}\right)\times L_{1}\times {\frac {2}{3}}+{\frac {A_{1}X_{1}}{E_{1}I_{1}}}$

QC' = C के बारे में B और C के मध्य एम/ईआई आरेख के क्षेत्रफल का प्रथम चरण है।

$QC'=\left({\frac {1}{2}}\times {\frac {M_{3}}{E_{2}I_{2}}}\times L_{2}\right)\times L_{2}\times {\frac {1}{3}}+\left({\frac {1}{2}}\times {\frac {M_{2}}{E_{2}I_{2}}}\times L_{2}\right)\times L_{2}\times {\frac {2}{3}}+{\frac {A_{2}X_{2}}{E_{2}I_{2}}}$

समीकरण (ए) पर पीए' और क्यूसी' को प्रतिस्थापित करने पर, तीन चरण प्रमेय (टीएमटी) प्राप्त किया जा सकता है।

तीन चरण समीकरण

${\frac {M_{1}L_{1}}{E_{1}I_{1}}}+2M_{2}\left({\frac {L_{1}}{E_{1}I_{1}}}+{\frac {L_{2}}{E_{2}I_{2}}}\right)+{\frac {M_{3}L_{2}}{E_{2}I_{2}}}=6[{\frac {\Delta A-\Delta B}{L_{1}}}+{\frac {\Delta C-\Delta B}{L_{2}}}]-6[{\frac {A_{1}X_{1}}{E_{1}I_{1}L_{1}}}+{\frac {A_{2}X_{2}}{E_{2}I_{2}L_{2}}}]$

बाहरी संबंध

• CodeCogs: Continuous beams with more than one span