दीर्घित वर्ग जीरोबिक्यूपोला
| दीर्घित वर्ग जीरोबिक्यूपोला | |
|---|---|
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| Type | Johnson J36 – J37 – J38 |
| Faces | 8 triangles 18 squares |
| Edges | 48 |
| Vertices | 24 |
| Vertex configuration | 8+16(3.43) |
| Symmetry group | D4d |
| Dual polyhedron | Pseudo-deltoidal icositetrahedron |
| Properties | convex, singular vertex figure, canonical |
| Net | |
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File:J37 elongated square gyrobicupola.stlज्यामिति में, दीर्घित वर्ग जीरोबिक्यूपोला या प्रच्छन्न-रोम्बिक्यूबोक्टाहेड्रॉन जॉनसन ठोस (J37) में से एक है। यह सामान्यतः एक आर्किमिडीयन ठोस नहीं माना जाता है, भले ही इसके फलक (ज्यामिति) में नियमित बहुभुज होते हैं जो इसके प्रत्येक कोणबिंदु (ज्यामिति) में समान पतिरूप में मिलते हैं, क्योंकि 13 आर्किमिडीज़ ठोस के विपरीत, इसमें वैश्विक का एक सम्मुच्चय नहीं होता है समरूपता जो हर शीर्ष को हर दूसरे शीर्ष पर प्रतिचित्र करती है (हालांकि ब्रांको ग्रुनबाम ने सुझाव दिया है कि इसे 14वें उदाहरण के रूप में आर्किमिडीयन ठोस की पारंपरिक सूची में जोड़ा जाना चाहिए)। यह दृढ़ता से मिलता-जुलता है, लेकिन इसे गलत नहीं समझा जाना चाहिए, जो कि एक आर्किमिडीयन ठोस है। यह एक विहित बहुफलक भी है।
इस आकृति की खोज जोहान्स केप्लर ने आर्किमिडीयन ठोसों की अपनी गणना में की होगी, लेकिन मुद्रण में इसकी पहली स्पष्ट उपस्थिति 1905 में डंकन सोमरविले का काम प्रतीत होती है।[1] 1930 तक जे.सी.पी. मिलर द्वारा इसे स्वतंत्र रूप से फिर से खोजा गया था (गलती से रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन का एक प्रतिरूप बनाने का प्रयास करते समय [2]) और फिर से 1957 में वी. जी. अश्किन्यूज़ द्वारा खोजा गया था।[3]
A Johnson solid is one of 92 strictly convex polyhedra that is composed of regular polygon faces but are not uniform polyhedra (that is, they are not Platonic solids, Archimedean solids, prisms, or antiprisms). They were named by Norman Johnson, who first listed these polyhedra in 1966.[4]
निर्माण और रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन से संबंध
जैसा कि नाम से पता चलता है, इसका निर्माण एक वर्ग जाइरोबिकोपोला (J29) और इसके दो हिस्सों के बीच एक अष्टकोणीय प्रिज्म (ज्यामिति) डालकर होता है।
 रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन: त्रिकोण (नीले रंग में) लंबवत संरेखित हैं |
 रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन के विस्फोटित खंड |
 प्रच्छन्न- रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन: त्रिकोण लंबवत कंपित हैं |
ठोस को वर्ग कपोला (J4) एक रॉम्बिकुबोक्टाहेड्रोन (आर्किमिडीयन ठोस में से एक; a.k.a दीर्घ वर्ग ऑर्थोबिक्यूपोला) पर 45 डिग्री तक घुमाने के परिणाम के रूप में भी देखा जा सकता है। इसलिए यह एक कर्णित रॉम्बिक्यूबोक्टाहेड्रोन है। रॉम्बिकुबोक्टाहेड्रोन की इसकी समानता इसे वैकल्पिक नाम प्रच्छन्न-रोम्बिक्यूबोक्टाहेड्रोन देती है। इसे कभी-कभी चौदहवें आर्किमिडीयन ठोस के रूप में संदर्भित किया जाता है।
यह संपत्ति अपने पंचकोणीय-आनन वाले समकक्ष, जाइरेट रोम्बिकोसिडोडेकाहेड्रॉन तक नहीं ले जाती है।
समरूपता और वर्गीकरण
File:Pseudodeltoidal icositetrahedron.stlप्रच्छन्न-रोम्बिकुबोक्टाहेड्रोन में D4d समरूपता होती है। यह स्थानीय रूप से कोणबिंदु-संस्थागत है - किसी भी कोणबिंदु पर चार फलक की घटना की व्यवस्था सभी शीर्षों के लिए समान है; यह जॉनसन ठोस के बीच अद्वितीय है। हालाँकि, जिस तरह से इसे घुमाया जाता है, वह इसे एक अलग भूमध्य रेखा और दो अलग-अलग ध्रुव देता है, जो बदले में इसके शीर्षों को 8 ध्रुवीय शिखरों (4 प्रति ध्रुव) और 16 भूमध्यरेखीय शिखरों में विभाजित करता है। इसलिए यह कोणबिंदु-सकर्मक नहीं है, और फलस्वरूप सामान्यतः आर्किमिडीयन ठोस पदार्थों में से एक नहीं माना जाता है। इसके D4d समरूपता द्वारा रंगे चेहरों के साथ, यह इस तरह दिख सकता है:
| प्रच्छन्न-डेल्टोइडल इकोसिटेट्राहेड्रॉन (दाएं) द्विक बहुतल है. | |
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इसके भूमध्य रेखा के चारों ओर 8 (हरे) वर्ग, 4 (लाल) त्रिकोण और 4 (पीले) वर्ग ऊपर और नीचे हैं, और प्रत्येक ध्रुव पर एक (नीला) वर्ग है।
संबंधित बहुकोणीय आकृति और मधुकोश
दीर्घित वर्ग जाइरोबिकुपोला नियमित चतुर्पाश्वीय, घन और क्यूबोक्टाहेड्रोन के साथ एक दिक्-गरिष्ठ मधुकोष (ज्यामिति) बना सकता है। यह चतुष्फलक, चौकोर पिरामिड और घन के विभिन्न संयोजनों, विस्तारित वर्ग पिरामिड, और लम्बी चौकोर द्विपिरामिड के साथ एक और मधुकोश भी बना सकता है। [5]
छद्म भव्य रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन, छद्म-रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन का एक गैर-उत्तल समधर्मी है, जो गैर-उत्तल भव्य रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन से समान तरीके से निर्मित होता है।
रसायन विज्ञान में
वनाडेट आयन [V18O42]12− में प्रच्छन्न-रोम्बिकुबोक्टाहेड्रॉन संरचना है, जहां प्रत्येक वर्गाकार फलक VO5 पिरामिड के आधार के रूप में कार्य करता है।[6]
संदर्भ
- ↑ Sommerville, D. M. Y. (1905), "Semi-regular networks of the plane in absolute geometry", Transactions of the Royal Society of Edinburgh, 41: 725–747, doi:10.1017/s0080456800035560. As cited by Grünbaum (2009).
- ↑ Rouse Ball (1939), Coxeter, H. S. M. (ed.), Mathematical recreations and essays (11 ed.), p. 137
- ↑ Grünbaum, Branko (2009), "An enduring error" (PDF), Elemente der Mathematik, 64 (3): 89–101, doi:10.4171/EM/120, MR 2520469 Reprinted in Pitici, Mircea, ed. (2011). The Best Writing on Mathematics 2010. Princeton University Press. pp. 18–31..
- ↑ Johnson, Norman W. (1966), "Convex polyhedra with regular faces", Canadian Journal of Mathematics, 18: 169–200, doi:10.4153/cjm-1966-021-8, MR 0185507, Zbl 0132.14603.
- ↑ "J37 honeycombs", Gallery of Wooden Polyhedra, retrieved 2016-03-21
- ↑ Greenwood, Norman N.; Earnshaw, Alan (1997). Chemistry of the Elements (2nd ed.). Butterworth-Heinemann. p. 986. ISBN 978-0-08-037941-8.
अग्रिम पठन
- Anthony Pugh (1976), Polyhedra: A visual approach, California: University of California Press Berkeley, ISBN 0-520-03056-7 अध्याय 2: आर्किमिडीयन पॉलीहेड्रा, प्रिज्मा और प्रतिप्रिज्म, p. 25 प्रच्छन्न-रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन
